Toán cao cấp 3 do sinh viên ĐH SPKT TPHCM viết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.28 MB, 200 trang )
1
TÊN SẢN PHẨM : TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC
TÁC GIẢ
: TRẦN VĂN NAM SDT : 0933040591
TÊM ĐƠN VỊ
: THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
GIỚI THIỆU VỀ SẢN PHẦM : Giải pháp giúp sinh viên có những phương pháp học đơn giản hiệu quả ,
việc học tìm hiểu kiến thức trở nên nhẹ nhàng hơn, vấn đề được hiểu rõ ràng không đánh đố , gây khó khăn
cho người học, tốc độ học nhanh 15 phút vào thẳng vấn đề giải đề thi, không lan man, không lằng nhằng
gây khó hiểu.
Chi tiết sản phẩm :
1/TÍCH PHÂN HAI LỚP, BỘI 2, KÉP
2/Tích phân mặt loại 1
3/Tích phân đường loại 2 dang green
4/Tich phan boi 3, 3 lop
5/Tích phân mặt loại 2
6/phuong trinh vi phân
11
BookBoss 0933040591
BookBoss : 0933040591
Lý thuyết : Tính tích phân kép (hai lớp, bội 2) chính là tính thể tích
V Zdxdy
D
D
xconst y ham or const
f ( x ; y )dy
dx
xconst y ham or const
f ( x ; y )dxdy y const xham or const
dy
f ( x ; y )dx
y const xham or const
Khi hàm Z =1 chính là tích diện tích S= 1dxdy quy ước.
D
Kiến thức cần nhớ! : Vẽ Tất cả các đồ thị đã học
y x
y 2x
y 3x
+ đường thẳng : y ax b, a x by C 0 y 3x
x y 1 y 1 x
x y 2 y 2 x
BookBoss : 0933040591
const
: ở đây là đường thẳng
x y
y x2
x y
x 1 y
y 1 x2
x 1 y
x 1 y 1
y ax 2 bx c y x 2 2x y 1 x 2 2x 1 y 1 (x 1) 2
x 1 y 1
2
x ay by c
y x
2
x y
y x
y x
2
x
y
y x
y 2 2x
Tính chất của tích phân kép :
a) Nếu
f ( x ; y) là hàm lẻ đối với
x ; nghĩa là :
f ( x ; y ) f ( x ; y )
và miền D có trục đối xứng qua oy thì
f ( x ; y) f ( x ; y)
và miền D có trục đối xứng qua ox thì
D f ( x ; y)dxdy 0
b) Nếu
f ( x ; y) là hàm lẻ đối với y
; nghĩa là :
D f ( x ; y)dxdy 0
c) Nếu
f ( x ; y) là hàm lẻ đối với
x ;nghĩa là :
f ( x ; y ) f ( x ; y )
và miền D có trục đối xứng qua oy thì
f ( x ; y)dxdy Với D’ là phần của D mà x 0
D f ( x ; y)dxdy
D'
Công thức đổi biến sang tọa độ cực :
Đặt
I
x r cos
y r sin
x 2 y2 r 2 J r
f (x; y)dxdy
D(X;Y)
(rcos ;rsin ). J drd
D(X;Y)
Dạng : Parabol, đường thẳng :
BookBoss : 0933040591
D x,y D / ,r
r
D(X;Y)
(rcos ;rsin )r drd
Bài 1 :10/08/2015
x 0,y 0
Vẽ miền D :
và tính tích phân kép của hàm số f ( x ; y) 2 x y trên miền D
x
y
1
Giải
Vẽ hình ra
Cố định x, tính tích phân theo y
1 x
y2 1 x
I dx (2 x y )dy 2 xy
dx
2 0
0
0
0
1
(1 x) 2
2 x.(1 x)
dx
2
0
1
1
1
2
Cố định y, tính tích phân theo x
1 y
1 y
I dy (2 x y )dx x 2 xy
dy
0
0
0
0
1
1
1
(1 y )2 (1 y ) y dy
0
BookBoss : 0933040591
1
2
Bài 2: 30/12/2008
1
Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I = dx
2
2 x 2
f ( x ; y)dy
x
Giải
1
2 x 2
2
x
I = dx
1
2 x2
9
2
f ( x ; y)dy y
dx 2 x x dx
2
x
2
2
1
y
1
I =D1 +D2 = dy
2
2 y
2
1dx dy
1
2 y
1dx
2 y
2
y
2 y
dy
= x
dy + x
2 y
2
1
2 y
1
1
2
= y 2 y dy +
2
=
2 y 2 y dy
1
19
6
1,333333333
BookBoss : 0933040591
4,5
Bài 3 : Tính I
D
Y 0
2
xy dxdy D là giao giữa 3 đường Y X
X Y 2
Giải
y 0
Phải vẽ 3 đường y x 2
để tìm miền D
y 2 x
Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
x y 2 y
(2 y)2 y
I dy xydx
dy
2
2
y
0
0
0
y
2y
1
1
1
2
y y dy
2
2
(2 y)2 y y 2
7
0 2 2 dy 24
1
Cố định x, tính tích phân theo y
1
x2
2
2 x
0
0
1
0
I dx xydy dx
x2
x.
2
0
1
2
y 2 x2
y2 2 x
xydy x.
dx
x. 2 0 dx
2 0
0
1
2
2
1 5
2
4 4x x2
dx x. 2 x dx x dx x.
2
2
2
1
0
1
1 5
2 4 x 4 x 2 x3
x
dx
dx
2
2
0
1
1 5
7
12 24 24
1
2
BookBoss : 0933040591
dx
Bài 4:Tính tích phân I = xydxdy ,nếu D được giới hạn bởi các đường cong y x 4, y2 2x.
D
Giải
2
y2
y 4
y4
y
4
4 2
4
4
( y 4) 2 y y 5
x y 2
( y 4)2 y 2
I = xydxdy = dy xy dx
dy
dy 90
dy
2 y
2
2
2
8
D
2
2
2
2
y2
2
2
2
I =D1 +D 2 = dx
0
2x
8
2x
xydy dx
2
2x
xydy
x4
8
xy 2
xy 2 2 x
2x
dx +
=
dx
2
2
x
4
2x
0
2
2
2
2
2
2 x
8 x
2x
x 2x
2x
x
x
4
dx +
dx
=
2
2
2
2
0
2
2
2
8
x.2 x x x 4
x.2 x x.2 x
I =
dx 0 90
dx +
2
2
2
2
0
2
2
BookBoss : 0933040591
Bài 5 : Tính diện tích giới hạn bởi y x 2 6 và y x
Giải
Vẽ hình ra
Cố định x, tính tích phân theo y
3
x
2
I 2 dx 1dy 2 y 2
dx 2 x x 6 dx 27
x 6
0
0
0
x 2 6
3
x
3
Cố định y, tính tích phân theo x
y 6
0
I 2 dy
6
0
3
1dx 2 dy
0
y 6
0
3
1dx 2 y 6 dy 2
6
y
y 6 y dy 27
0
1
Bài 6: Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I = dy
0
y2 y
f ( x ; y )dx
0
Giải
Cố định y :
1
y2 y
0
0
I = dy
1
y2 y
0
0
f ( x ; y)dx dy
1
y2 y
5
1dx x
dy y 2 y dy
0
6
0
0
1
Cố định x :
1
2
1
1
I = dx 1dy = y 1
dx
=
1
x
dx = 0,833333333334
1
2
4
x
0
0
0
1
1
x
2
4
2
4
2
1
2
BookBoss : 0933040591
y2 y x
1
1
y2 y x
4
4
1
y
2
2
x
1
4
1
1
1
1
x y x
2
4
2
4
y
3
x2 2
0
x2 2 x 2
Bài 7. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I = dx
f ( x ; y )dy
Giải
3
x2 2
0
x2 2 x 2
I = dx
3
x2 2
y 2
dx x 2 2 ( x 2 2 x 2) dx 9
x 2x 2
0
0
3
f ( x ; y ) dy
Cố định y, tính tích phân theo x
2
1 y 1
1
1 y 1
I dy
5
1 y 1
2
y 2
1dx dy
5
2
5
1dx 1 y 1 1 y 1 dy 1 y 1 y 2 dy
1
2
1
2
2
2
16 x 2
0
8 x x
Bài 8. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I = dx
f ( x ; y )dy
2
Giải
2
I = dx
0
16 x 2
8 x x2
2
16 x 2
f ( x ; y ) dy y
dx
2
0
0
8x x
2
Cố định y, tính tích phân theo x
4 16 y 2
12
I
0
dy
0
16 y 2
4
1dx
dy
12
BookBoss : 0933040591
0
1 y
1dx x 2 xy
dy 2,7934
0
0
1
16 x 2 8 x x 2 dx 2,7394
1
x2
3
Bài 9: Đổi thứ tự lấy tích phân : I = dx f ( x ; y)dy dx
0
0
1
3 x
2
f ( x ; y)dy
0
Giải
1
I dy
0
3 2 y
1dx 1,333
y
2
Bài 10: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I dy
1
4 y
4 y 2
4
f ( x ; y )dx dy
2
4 y
0
f ( x ; y )dx
Giải
Bài 11 : 05/06/2015
1
2
2
2
1
2
1
y
1
y
Cho I = dy f ( x ; y ) dx dy f ( x ; y ) dx Vẽ miền lấy tp và đổi thứ tự tích phân trên.
Giải
2
Bài 12: Giả sử mật độ dân số (đơn vị : ngàn người/ km ) của một thành phố được cho bởi
hàm số p(x,y) 5000e
(trong đó x,y có đơn vị km). Hãy ước lượng dân số trong
vòng bán kính 1km xunh quanh tòa nhà thị chính (được đặt ở gốc tọa độ).
x2 y2
Giải
BookBoss : 0933040591
Bài 13: Tính diện tích miền D
x y 1; x y 3
y x ; y 2x
Giải
1
2
2x
1
2x
3
2
3 x
1 x
1
2
x
1
x
S 1dxdy D1 D2 D3 dx dy dx dy dx
1
3
D
1
2
1
1
3
1
2
3
2
2 x 1 x dx x dx 3 2 x dx
1
dy
1 3 1 2
24 8 4 3
1
Bài 14: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I = dx
0
2 x 2
f ( x ; y)dy
x
Giải
2 x2
I = dx f ( x ; y )dy = y
dx
x
0
x
0
1
7
= 2 x 2 x dx 1,166666667
6
0
2 x 2
1
1
1
y
2
2 y
0
0
1
0
I = D1 +D 2 = dy dx dy
1
=
2
ydy +
0
2 y dy =
1
BookBoss : 0933040591
2
y
2 y
dx = x dy + x
dy
0
0
0
1
1
1
2
0,6666666667
1,166666667
Bài 15: 20/12/2008
Tính tích phân I = ( x 2 y )dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y x , x y 1, y 0.
D
Giải
1y
x2
1 y
I dy (x 2y)dx 2xy
dy
y
2
0
y
0
0,5
0,5
(1 y)2
y2
2(1 y)y 2yy dy
2
2
0
0,5
(1 y)2
y2
2
2y 2y 2y 2 dy
2
2
0
0,5
(1 y)2
7
2y y2 dy
2
2
0
1
24
0,5
Cách khác :
0,5
x
0
0
I =D1 +D 2 = dx ( x 2 y )dy
1
1 x
0,5
0
( x 2 y)dx dy
1
x
1 x
2
I = ( xy y ) dx + xy y 2
dx
0
0
0
0,5
0,5
0,5
I = xx x dx +
2
0
0,5
I = x x dx +
2
2
0
I=
0
1
x.(1 x) (1 x) dx
2
0,5
1
x x
2
(1 x) 2 dx
0,5
BookBoss : 0933040591
1
24
1
24
Bài 16: 10/12/2007
Tính tích phân I = (3x 2 +y)dxdy ,trong đó D (x , y) R 2 :y 0, y x 2 , x y 2
D
Giải
Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
1
3
2 y
I dy (3x +y)dx x xy
dy (2 y)3 (2 y)y
y
0
0
0
y
2y
1
1
2
1
(2 y)3 2y y 2 2 y.y dy
0
3,616666701
1
x2
2
2 x
1
0
I =D1 +D 2 = dx (3 x y )dy dx (3 x 2 y )dy
2
0
0
2
2
2
2
y2 x
y2 2 x
I = 3x y
dx + 3x y
dx
0
2
2
0
0
1
1
2
(2 x) 2
2 2 x4
2
I = 3x .x dx + 3 x .(2 x)
dx
2
2
0
1
1
2
(2 x) 2
4 x4
2
3
I = 3x dx + 6 x 3 x
dx
2
2
0
1
1
I=
7
10
BookBoss : 0933040591
35
12
217
3,616666667
60
3
y
y.y dy
Bài 17: 13/06/2014
Tính tích phân kép I = 10ye
D
xy
1
0x
y
dxdy ,Với D:
1 y 2
Giải
Cố định y, tính tích phân theo x
2
1
y
1
0
I dy 10ye
2
xy
1
1
1
2
xy
.y
10ye
0.y
y
y dy 10e
dx
10e y dy
y
1
1
0
0
2
10e1 10 dy
1
10
10
e
BookBoss : 0933040591
Bài 18 :
Tính tích phân I = ( x 2 xy)dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y x , y 2x , x 2.
D
Giải
2
y2 2x
I dx (x xy)dy x y x
dx
x
2
0
x
0
2
2
(2x)2
x2
2
x .2x x
x .x x dx
2
2
0
2
2x
2
2
3
x3
3
3
2x 2x x dx
2
0
2
5
x3 dx
2
0
10
2
Cách khác :
BookBoss : 0933040591
y
2
4
2
2
y
2
I =D1 +D 2 = dy ( x xy ) dx dy ( x 2 xy )dx
2
y
2
0
3
y
2
4 3
x
x2
x
x2
I =
y
dy +
y dy
3 2 y
3 2 y
0
2
2
2
3
2
3
2
2 3
4 3
y
y2
1 y 1 y
2 22
1 y 1 y
I =
y y dy + y y dy
3
3 2
2
3 2 2 2
3 2 2 2
0
2
3
2
3
2
2 3
4
y
y3 1 y 1 y
8
1 y 1 y
I = y dy + 2 y y dy
3
3
2 3 2 2 2
3 2 2 2
0
2
2
2
4
1 3 1 3
1 3 1 3
5
8
I = y3
y y dy + 2 y
y y dy
6
24
8
3
24
8
0
2
8
22
I=
10
3
3
Bài 20 :
Tính tích phân I = 2 y dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y x , y 2x , y 1
D
Giải
1
2
1
2
1
2 2x
2 1
I D1 +D 2 dx 2ydy dx 2ydy y
dx
y dx
x
x
1
1
0
x
x
0
2x
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(2x) x dx 1 x dx 3x dx 1 x 2 dx
2
2
1
2
0
2
1
8
5
1
24
3
Cách khác :
BookBoss : 0933040591
2
2
0
1
2
y
I =D1 +D 2 = dy 2 ydx= 2 xy y dy
y
0
0
2
2
y
1
1
y
= 2 yy 2
2
0
1
= y 2dy =
0
1
1
y dy = 2 y 2 y 2 dy
0
1
3
Bài 21 : Tìm cận của tích phân kép I = f ( x ; y )dxdy theo các thứ tự khác nhau của các biến,
D
Với D là miền được giới hạn bởi các đường: x y2 , y 2 x .
Giải
1
y2
9
I dy dx x
dx y2 y 2 dx
y 2
2
2
y 2
2
2
1
y2
1
Cách khác :
BookBoss : 0933040591
1
I =D1 +D 2 = dx
4
x2
x
0
dy
dx
1
x
dy
x
1
0
x2
x
I= y
dx
+
y
x dx
x
4
1
1
I = x 2 x dx +
4
19
6
I=
0
x x dx
1
4,5
1,333333333
Bài 22: 20/05/2012
Tìm cận của tích phân kép I = f ( x ; y )dxdy theo các thứ tự khác nhau của các biến, Với D là
D
miền được giới hạn bởi các đường: x y2 , y 2 x .
Giải
1
I
2y
dy
2
y
2
1
2 y
9
dx x 2 dx 2 y y 2 dx
y
2
2
2
1
Cách khác :
1
I =D1 +D2 = dx
0
x
4
2 x
1
x
dy dx dy
x
4
2 x
x
dx + y
I = y
dx
x
0
1
x
1
1
I =
0
4
x x dx + 2 x x dx
1
I = 1,333333333
BookBoss : 0933040591
19
6
4,5
Bài 23: 26/12/2013
Tính tích phân bội sau I = ( x 2 y )dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường y 2x 2 và
D
y x 1
2
Bài 24: 29/05/2013
Xác định cận của tích phân bội sau I = f ( x ; y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các
D
đường y x x , y 2x . Sau đó hãy đổi thứ tự lấy tích phân.
2
Bài 25: 10/07/2013
1
Đổi thứ tự lấy tích phân I = dx
4
Tính I =
yx
ABCD
1
2
dxdy , Với
4
A(1,0);B(1,0);C(1,1);D(1,1)
1
BK nó giải I 2 = dx ( y x )dy
1
f ( x ; y )dy
x 3 x
3
2
x2
1
x2
1
0
2
dx
(
x
y)dy xử lý trị tuyệt đối bằng cách tách ra hai
tích phân rồi cộng kết quả lại
Bài 26: 6/6/2016
1
Đổi thứ tự lấy tích phân
1 x 2
dx
0
(1 x 2 y 2 )dy , sau đó tính tích phân này trong tọa độ cực.
1 x 2
Giải
BookBoss : 0933040591
1
Bài 27. Đổi thứ tự tính tích phân sau: I = dy
y2 y
0
2
e 2 x dx Khó Quá
0
Giải
1
I = dy
0
y2 y
e2 x dx
2
0
1
1
Bài 27. 08/06/2015 Đổi thứ tự tính tích phân sau: I = dy e2 x dx
2
0
Giải
1
1
I = dy e
0
y
2 x2
1
1
2 x2 x
2
1
5
2
d (2 x ) e y dx = e 2 x xdx
0
4
6
0
0
BookBoss : 0933040591
y
y2 y x
1
1
y2 y x
4
4
1
y
2
2
x
1
4
1
1
1
1
x y x
2
4
2
4
y
1
1
2 x2 x
2 1
1 21 1
1
2 x2
I = dx e dy = e y dx = e xdx = e2 x d (2 x 2 ) = e 2 x e 2
0
0 4
4
4
4
0
0
0
0
0
1
x
1
2 x2
Dạng : đường tròn, đường thẳng.
2
2
Bài 1 : Tính tích phân kép I = x y dxdy với D: x 2 y2 4;x 0; y 0
D
Giải
Cách 1 giải trong tọa độ đề các :
2
I = x y dxdy = dx
2
2
D
4 x 2
0
Rất khó lấy nguyên hàm hê hê
x 2 y 2 dy
0
Cách 2 Đổi biến sang tọa độ cực :
Đặt
x r cos
y r sin
J r x y r
2
2
2
I= x y dxdy d
2
D
2
0
BookBoss : 0933040591
0
2
2
D xy
2
0
D r
2
0 r 2
/
3
r 2 23 4
r .r dr d r dr 2 .
.
3
2 3 3
0
0
0
0
2
2
2
Bài 2 :
2
2
Tính tích phân kép I = x y dxdy với D: x 2 y2 2y 0;x 2 y2 1 0;x 0; y 0
D
Giải
Cách 2 Đổi biến sang tọa độ cực :
D: x 2 y2 2y 0;x 2 y2 1 0;x 0; y 0
Bài 3 :
2
2
Tính tích phân kép I = 4 x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
D
D: x y 1; y x
2
2
Giải
Cách 2 Đổi biến sang tọa độ cực :
BookBoss : 0933040591
Đặt
x r cos
y r sin
J r x y r
2
4
I = 4 x y dxdy
2
D
1
d
2
2
1 4r
4
.
3
3 2
2
4
2
1
1
2
3
4
0
2
D xy
3
D r 4
4
0 r 1
/
4
1
1
4 r .r dr d. 4 r 2
2
3
0
2
1
1
.
3
0
4 r
2
3
1
2
d 4 r
2
4
1
83 3
0 3
Bài 4 :
x y
dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
Tính tích phân kép I= e
2
2
D
D:1 x 2 y 2 4; y 0; y x 3
Giải
Đặt
x r cos
y r sin
I = e
x 2 y2
D
J r x y r
2
3
2
2
2
3
D xy
2
3
D r 4
4
0 r 1
/
1 2
dxdy d e .r dr d. e r d( r 2 )
2
0
1
0
1
r2
1 22
3 . e r e4 e1
2
6
1
0
Bài 5 :
BookBoss : 0933040591
Cho tích phân : I =
f ( x ; y )dxdy
2 x 2 y 2 4
x 0; y 0
a) Vẽ miền lấy tích phân I
b) Viết biểu thức của I khi đổi biến sang tọa độ cực.
Giải
Đặt
x r cos
y r sin
I=
2 x y 4
x 0;y0
2
2
J r x y r
2
2
2
D xy
0
2
D r
2 r 2
/
2
2
2
2
0
2
0
2
f(x;y)dxdy d f(x;y).r dr d f(x;y).r dr
2
2
Bài 6 : Tính tích phân kép sau đây : I = ( x y xy )dxdy Với D : x y 2 x
D
Giải
Đường tròn :
x 2 y2 2x 1 1
y
(x 1)2 y2 1
O
1
2
I (x y xy)dxdy
D
x r cos
Đặt
y r sin
x y r
2
2
BookBoss : 0933040591
2
J r
D x ,y D ,r 2
2
0 r 2cos
/
x
2
d
I
2cos
2
0
2
2cos
2
0
d
(r cos r sin r cos .r sin ).r dr
(r 2 cos r 2 sin r 3 cos .sin )dr
2
r3
2cos
r3
r4
cos sin cos .sin
d
0
3
3
4
2
2
(2cos )3
(2cos )3
(2cos ) 4
cos
sin
cos .sin d
3
3
4
2
2
8cos4 8cos3 .sin 16cos5 .sin
d
3
3
4
2
0
0
Bài 6:
Tính tích phân I = xdxdy ,miền D (x , y) :x x 2 y 2 2x
D
Giải
x x 2 y 2 2x
1 2 2 1
(x ) y
2
4
2
2
(x 1) y 1
Đặt
x r cos
y r sin
x y r
2
2
BookBoss : 0933040591
2
J r
D x ,y
D ,r 2
2
cos r 2cos
/
