TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

----NGUYỄN QUANG HUY----

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI
(Có đáp án chi tiết)


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

Câu 1. (4,0 điểm)
3

2

1  3

2

1

1) Rút gọn: A      :     .
 2 5 10   2 3 12 
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2012  x  2013 với x là số tự nhiên.
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Tìm x biết 2x2.3x1.5x  10800 .
2) Ba bạn An, Bình và Cƣờng có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An
và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cƣờng tỉ lệ với 4 và 5. Tính số
viên bi của mỗi bạn.
Câu 3. (4,0 điểm)
1)

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p 2  2012 là hợp số.

2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n  4 và 2n đều là các số chính

phƣơng.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn.
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm
của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI  BC . Chứng minh hai tam
giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE .
2) Phân giác của các góc ABC, BDC cắt AC, BC lần lƣợt tại D, M. Phân giác của
1
2

góc BDA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: BD  MN .
Câu 5. (1,0 điểm)
1 1 1

2 3 4

Cho S  1     ... 
Tính  S  P 

2013

1
1
1
1
1
1
1
và P 
.



 ... 

2011 2012 2013
1007 1008
2012 2013

.
--------------Hết----------------

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

HƢỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 30/3/2013
Bản hướng dẫn có 03 trang
Phƣơng pháp-Kết quả

Câu

Điểm
( 4 điểm)

Câu 1
1
(2điểm)

 15 4 1   18 8 1 
A     :   
 10 10 10   12 12 12 


0.5đ

0.5đ

12 11
:
10 12

6 12 72
 . 
5 11 55

Vậy A 

0.5đ
0.5

72
.
55

P  x  2012  x  2013
2
(2điểm)

0.5 đ

+ Nếu x  2012 hoặc x  2013 thì P  1
+ Nếu x  2013 thì P  x  2012  x  2013  1  x  2013  1

0.5đ

+ Nếu x  2012 thì P  x  2012  x  2013  x  2012  1  1

0.5

+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt đƣợc khi x  2012 hoặc x  2013 .

0.5 đ
(4điểm)
1.0 đ

Câu 2
x2

x 1

Ta có 2 .3 .5  10800  2 .2 .3 .3.5  10800
x

1
(2.5điểm)

x

2

x

x

  2.3.5  900

x

0.5 đ
 30  30  x  2
x

2
(2.5điểm)

2

Vậy x  2 là kết quả cần tìm.
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cƣờng lần lƣợt là a, b, c . Vì tổng số viên bi
của ba bạn là 74 nên a  b  c  74
a b
a
b
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên   
5 6 10 12

+ Vì số viên bi của Bình và Cƣờng tỉ lệ với 4 và 5 nên
+ Từ đó ta có

a
b
c
a bc
74
  


2
10 12 15 10  12  15 37

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

b c
b
c
  
4 5 12 15

0.5
0.5 đ
0.5 đ

0.5 đ
0.5

0.5đ


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

0.5đ

+ Suy ra a  20; b  24; c  30
Câu 3
1
(2điểm)

+ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p  3k  1 k  , k  1

(4điểm)
0.5

+Với p  3k  1

0.5

suy ra p 2  2012   3k  1  2012  9k 2  6k  2013   p 2  2012 3
2

0.5

+Với p  3k  1

suy ra p 2  2012   3k  1  2012  9k 2  6k  2013   p 2  2012 3
2

Vậy p 2  2012 là hợp số.
2
(2điểm)

0.5

+ Vì n là số có hai chữ số nên 9  n  100  18  2n  200
0.5đ
+ Mặt khác 2n là số chính phƣơng chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 0.5đ

36; 64; 100; 144; 196.

+ Với 2n  36  n  18  n  4  22 không là số chính phƣơng
2n  64  n  32  n  4  36 là số chính phƣơng
2n  100  n  50  n  4  54 không là số chính phƣơng
2n  144  n  72  n  4  76 không là số chính phƣơng
2n  196  n  98  n  4  102 không là số chính phƣơng
+ Vậy số cần tìm là n  32 .

0.5 đ

0.5đ
(6 điểm)

Câu 4
1
(3điểm)

+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt)

0.5

+ Góc IAB là góc ngoài của tam giác ABH nên
IAB  ABH  AHB  ABH  900

0.5

+ Ta có EBC  EBA  ABC  ABC  90 . Do đó IAB  EBC .
0

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0.5 đ


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

+ Do đó ABI  BEC (c  g  c)
+ Do ABI  BEC (c  g  c) nên AIB  BCE .

0.5 đ

+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có AIB  IBH  90 .
Do đó BCE  IBH  900 .

0.5đ

KL: CE vuông góc với BI.

0.5đ

+ Do tính chất của đƣờng phân giác, ta có DM  DN .

0.5 đ

+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM  FD  FN .

0.5 đ

0

2
(3điểm)

+ Tam giác FDM cân tại F nên FMD  MDF .
FMD  MBD  BDM ( góc ngoài tam giác)

 MBD  CDM

Suy ra MBD  CDF (1)

0.5 đ

Ta có MCD  CDF  CFD (2)
Do tam giác ABC cân tại A nên MCD  2MBD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra MBD  DFC hay tam giác DBF cân tại D. Do đó

0.5 đ

1
MN
2
1 1 1
1
1
1
Cho S  1     ... 
và



2 3 4
2011 2012 2013
1
1
1
1
2013
. Tính  S  P  .
P

 ... 

1007 1008
2012 2013
+ Ta có:
1
1
1
1
P

 ... 

1007 1008
2012 2013
1
1
1
1
1

1
1 

 1    ... 


 ... 


1006 1007 1008
2012 2013 
 2 3
1 
 1 1
 1    ... 

1006 
 2 3
1
1
1
1
1 
 1 1
 1    ... 


 ... 



1006 1007 1008
2012 2013 
 2 3
1 
1 1 1
2     ... 

2012 
2 4 6
1 1 1
1
1
 1     ...... 

=S.
2 3 4
2012 2013
2013
Do đó  S  P  =0

0.5 đ

Điểm toàn bài

(20điểm)

BD  DF 

Câu 5
(1 điểm)

0.5 đ

(1 điểm)

0.5 đ

0.5 đ

Lƣu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm
của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và
cho điểm từng phần tương ứng.
HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHÕNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm).

 4 2  2  3 3  2
 :    :

 7 5 3  7 5 3
1
1
b) Tìm x biết: : 2x  
2
3
a) Tính A  

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x  4x  5x
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3.
Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của đa thức B(x)
tại x 

1
2

Bài 3 (4,0 điểm).
a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z
b) Tìm x, y, z biết:

5z  6y 6x  4z 4y  5x
và 3x  2y  5z  96 .


4
5
6
Bài 4 (3,0 điểm).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  x  1
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b  5 + b - 5.
Bài 5 (5,0 điểm).
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (
khác B và C). Gọi D, E, F là chân đƣờng vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua
trung điểm của DK.
Bài 6 (1,0 điểm).
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

------HẾT-----Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..………
HƢỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015-2016
Biểu
điểm

Nội dung

Bài

 4 2  2  3 3  2
 :    :
7

5 3  7 5 3

1
1
b) Tìm x biết: : 2x  
2
3
a) Tính A  

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x  4x  5x
a) Tính:

 4 2  2  3 3  2
A
 :    :
 7 5 3  7 5 3
 4 2 3 3  2
 
 :
=
 7 5 7 5 3
 4 3   2 3   2
2
 
      :  0 :  0
7   5 5  3
3
 7

0,5

0,75

Vậy : A = 0
b) Tìm x:

1

0,25

1
1
: 2x  
2
3
1
1
x
4
3
1 1 1 4 4
x :  . 
3 4 2 1 3
4
Vậy x 
3

0,75
0,5
0,25

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x  4x  5x
+) Với x = 0, x = 1 thay vào không thỏa mãn
+) x =2 thay vào ta đƣợc 32  42  52 (đúng), vậy x = 2 thỏa mãn
+) x > 2
x

0,25

x

3x 4x
3  4
3  4  5  x  x  1        1 (*)
5
5
5  5
x

x

x

Với x > 2 ta có
x

2

x

2

x

x

2

2

 3  3  4  4
 3  4  3  4
     ;                  1
5 5  5  5
 5  5  5  5
3
4
( vì  1;  1 )
5
5
HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0,25


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Suy ra x > 2 không thỏa mãn
Vây x =2

0,25

0,25

a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia
hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của
đa thức B(x) tại x 

1
2

a) Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

)f (0) 3  c 3
)f (1) 3  a  b  c 3  a  b 3
)f (1) 3  a  b  c 3  a  b 3

1
2

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3  2a 3  a 3 vì ( 2; 3) = 1  b 3
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

0,25

0,5

0,5
0,25

1

b) Với x = thì giá trị của đa thức
2

2

1 1
1
1
1
1
B  1 
  ... 


2 22 23
298 299 2100

0,25

 1 1
1
1
1
1 
2 B  2 1  
  ... 



298 299 2100 

 2 22 23

0,25

1 1
1
1
1
 2 1 
  ... 

2
3
98
99
2 2
2
2
2

0,25

 2 B =( 1 

1 1
1
1
1
1
1

) +2 
  ... 


2 22 23
298 299 2100
2100

 2B  B  2 
 B  2

1
2100

1
2100

Vậy B  2 

0,25

1
2100

0,25

0,25

a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy.
Chứng minh rằng: x = y = z

b) Tìm x, y, z biết:
3

5z  6y 6x  4z 4y  5x


và 3x  2y  5z  96 .
4
5
6
a) TH1: Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra x = y = z. Tƣơng tự với y; z

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0,5


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

TH2: x, y, z là các số khác 0 từ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy 

0,5

x z y x z y
x y z
 ;  ;     .
y x z y x z
y z x

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau



x y z x yz
  
1 x  y  z
y z x yzx

0,5
0,25

Vậy x = y = z (đpcm)
b) Từ

5z  6y 6x  4z 4y  5x


4
5
6

20z  24y 30x  20z 24y  30x



16
25
36


0,25

20 z  24 y  30 x  20 z  24 y  30 x
0
10  25  36

 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0

0,5

 20z = 24y = 30x
 10z = 12y = 15x


x y z
3x 2 y 5z 3x  2 y  5z 96
 





3
4 5 6
12 10 30 12  10  30 32

Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18

0,5
0,5
0,5

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  x  1
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b  5 + b - 5.
a) ĐK: x ≥ 0
Ta có x ≥ 0;

0,25

x  0  x  x  0  P  x  x 11

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy Pmin = 0 tại x = 0
4

b) Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x
Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với  xZ.

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Áp dụng nhận xét trên thì b  5 + b – 5 là số chẵn với b -5  Z.
Suy ra 2a + 7 là số chẵn  2a lẻ  a = 0 .
Khi đó b  5 + b – 5 = 8
+ Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – 5 = 8  0 = 8 (loại)
+ Nếu b ≥ 5 , ta có 2(b – 5) = 8  b – 5 = 4  b = 9 (thỏa mãn)
vậy (a; b) = (0; 9)
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC

lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đƣờng vuông góc
hạ từ M đến AB, AC, BH.
a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

giá trị không đổi.
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng
minh BC đi qua trung điểm của DK.
Vẽ hình và ghi GT, KL
A

H
D

0,5

E

F

C Q
B P

M I

K

a) Chứng minh đƣợc ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh
tƣơng ứng) (1)
+) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tƣơng ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH
BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm)
c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh : BD = FM = EH = CK
+) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tƣơng ứng)
+) Chứng minh : IDP  IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

1
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5

Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca)
+) 0  (a  b)2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b2  a 2  b2  2ab
Tƣơng tự: b2  c2  2bc; c2  a 2  2ca;

0,25

 a 2  b 2  b 2  c2  c2  a 2  2ab  2bc  2ca
6

 2(a 2  b 2  c2 )  2(ab  bc  ca)
0,25

 a 2  b 2  c2  ab  bc  ca (1)
+) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c
Nhân cả hai vế với a dƣơng ta đƣợc: a2 < ab + ac
Tƣơng tự: b2 < ba + bc; c2 < ca + cb
 a2 + b2 + c2 < ab + ac + ba + bc + ca + cb =2(ab+bc+ca)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0,25
(2)
0,25


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHÕNG GD&ĐT NGỌC LẶC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƢỢNG HỌC SINH MŨI NHỌN
MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày khảo sát : 14/04/2016
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính
10 5 5
3 3
155   
  0,9
7 11 23  5 13
a/ A 
26 13 13 7
3
403   
 0, 2 
7 11 23 91
10
12 5
6 2
10 3
5
2
2 .3  4 .9
5 .7  25 .49
b/ B 


6
3
9
3
22.3  84.35 125.7   5 .14





Bài 2 (5 điểm) :
a/ Chứng minh rằng: 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 với mọi số nguyên dƣơng n.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A  2014  x  2015  x  2016  x
2
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25  y  8  x  2015
Bài 3 (4 điểm) :

2

x  16 y  25 z  49


và 4 x3  3  29 . Tính: x – 2y + 3z
9
16
25
3
3
2

b/ Cho f ( x)  ax  4 x x  1  8 và g ( x)  x  4 x  bx  1  c  3 trong đó a, b, c
a/ Cho





là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x).
Bài 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đƣờng
thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng
minh rằng :
a/ BE = CF
AB  AC
b/ AE 
2
Bài 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB
lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB.
----------------- Hết ------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
HƢỚNG DẪN CHẤM
Nội dung

Bài
Bài 1

Điểm

4điểm

2 1 1 

3 3
5  31     3  3  9
  0,9
7 11 23  5 13 10
5 13
 

7
3
2 1 1  1 1 3

 0, 2 
 
13  31    
91
10
7 11 23  13 5 10

2 1 1 

1 1 3 
5  31     3    
7 11 23 
5 13 10 
 
 

1
1 3
2
1
1


 
13  31    
5 13 10
7 11 23 


10 5 5
 
7
11 23 
A
26 13 13
403   
7 11 23
155 

a/


b/

B

5
5
3 3
13
13
12 5
2 .3  46.92

 2 .3

510.73  255.492

125.7   59.143
212.34  3  1 510.73 1  7 
 12 5

2 .3  3  1 59.73 1  23 
2 5.  6  1 10 21 7


  

2

6

3.4

Bài 2
a/



 84.35

9

n 2

3

6

n2

3

6



212.35  212.34 510.73  510.7 4

212.36  212.35 59.73  59.73.23



n

1,0đ

0,5đ

1,0đ
0,5đ
0,5đ

2

Ta có : 3  2  3  2  3 .9  2 .4  3  2
 3n.10  2n.5  3n.10  2n 1.10
n

0,5đ

n

n

n

5điểm
0,5đ
0,5đ

n



 10 3n  2n 1 10

0,5đ

Vậy 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 với mọi số nguyên dƣơng n.
b/

Vì 2015  x  0 nên :

A  2014  x  2015  x  2016  x  2014  x  2016  x
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = 2015 (1)
Ta có : 2014  x  2016  x  x  2014  2016  x  x  2014  2016  x  2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0, suy ra :
2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2015.
Vậy A nhỏ nhất bằng 2 khi x = 2015.
c/

Ta có : 25 – y2 ≤ 25 => 8  x  2015 ≤ 25 =>
2

 x  2015

0,75đ
0,75đ
0,5đ

2

< 4.

Do x nguyên nên  x  2015 là số chính phƣơng. Có 2 trƣờng hợp xảy ra :

0,5đ

2

TH 1 :  x  2015  0  x  2015 , khi đó y = 5 hoặc y = -5.
2

 x  2015  1
 x  2016

 x  2015  1  x  2014

0,5đ

TH 2 :  x  2015  1  
2

Với x = 2016 hoặc x = 2014 thì y2 = 17 (loại)
Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5
Bài 3
a/

Ta có : 4 x  3  29  4 x  32  x  8  x  2 .
3

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

3

3

0,5đ
4điểm
0,5đ


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thay vào tỷ lệ thức ta đƣợc :

 y  7, z  1 .

2  16 y  25 z  49
y  25 z  49




2
9
16
25
16
25

Vậy x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 19
b/



0,5đ
0,5đ
0,5đ



3
2
3
3
3
Ta có : f(x) = ax  4 x x  1  8  ax  4 x  4 x  8   a  4  x  4 x  8

g(x) = x  4 x  bx  1  c  3  x  4bx  4 x  c  3
Do f(x) = g(x) nên chọn x bằng 0; 1; -1 ta đƣợc:
3

3

2

f(0) = g(0)  8 = c – 3  c = 11  g ( x)  x  4bx  4 x  8
f(1) = g(1)  a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8  a + 4b = -3 (1)
f(-1) = g(-1)  -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8  - a + 4b = 3(2)
Từ (1) và (2) suy ra: b = 0; a = -3.
Vậy a = -3 , b = 0 ; c = 11
3

2

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5điểm

Bài 4
A

F
B

C

M
N
D
E

a/

b/

Qua B kẻ đƣờng thẳng song song với AC, cắt EF tại D.
Xét  MBD và  MCF có : DBM  FCM (so le trong)
MB = MC (giả thiết) ; BMD  CMF (đối đỉnh)
Do đó:  MBD =  MCF (c.g.c) suy ra BD = CF (1)
Mặt khác :  AEF có AN vừa là đƣờng cao, vừa là đƣờng phân giác nên cân tại A, suy
ra E  MFA . Mà BDE  MFA (đồng vị) nên BDE  E
Do đó:  BDE cân tại B, suy ra BD = BE (2).

Từ (1) và (2) suy ra : BE = CF (đpcm)
Tam giác AEF cân tại A suy ra AE = AF
Ta có: 2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)
= (AB + AC) + (BD – CF) = AB + AC (do BE = CF)

0,5đ

Vậy AE 

0,5đ

AB  AC
(đpcm)
2

0,75đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

2điểm

Bài 5
Trên CA lấy điểm E sao cho EBA  15  B1  30
Ta có : E1  A1  EBA  300 , do đó  CBE cân tại C  CB = CE
Gọi F là trung điểm CD  CB = CE = CF = FD
Tam giác CEF cân tại C, lại có C1  1800  BCA  60o nên là tam giác đều.

Nhƣ vậy : CB = CE = CF = FD = EF.
Suy ra D1  E 3 mà D1  E 3  F 2  60o ( CEF đều)  D1  30o
o

o





0,5đ
0,5đ

Xét tam giác CDE ta có: CED  180o  C1  D1  900 (1)

0,5đ

Ta có : D1  B1 => EB = ED, A1  EBA => EA = EB => ED = ED (2)

0,5đ

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Từ (1) và (2) => Tam giác EDA vuông cân tại E => D2  45o
Vậy ADB  D1  D2  30o  45o  75o
B
1
150

1200

C
1
1
2

E

3
2

F

1
2

A

1
2

D

Chú ý:
- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
PHÕNG GD&ĐT
HUYỆN NHƢ XUÂN
Đề chính thức

ĐỀ THI GIAO LƢU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán Lớp 7
Ngày thi: 10/5/2016
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm):

212.35  46.92
(22.3)6  84.35
2) Cho hàm số y  f ( x)  ax 2  bx  c .
Cho biết f (0)  2014; f (1)  2015; f (1)  2017 . Tính f (2) .
1) Thực hiện phép tính: A 

Câu 2 (5,0 điểm):
1) x 

Tìm x, y biết:

1
 4  2
5

3) x  5  (3 y  4)2016  0

2) 2 x 1  5.2 x 2 
4)

7
32

x y
 và xy  40
2 5

Câu 3 (4,0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: 2 xy  x  2 y  4
1
2
2) Số M đƣợc chia thành ba số tỉ lệ với 0,5 ; 1 ; 2 . Tìm số M biết rằng tổng bình phƣơng
4
3
của ba số đó bằng 4660.
Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho CE = BD. Đƣờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đƣờng vuông
góc với BE tại E cắt AC tại N.
1) Chứng minh: MBD  NCE .
2) Cạnh BC cắt MN tại I. Chứng minh I trung điểm của MN.
3) Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên đoạn BC.
Câu 5 (2,0 điểm):
1) Tìm số tự nhiên có ba chữ số. Biết rằng số đó chia hết cho 7 và tổng các chữ số đó bằng
14.
2) Cho tam giác ABC có BAC  BCA  800 . Ở miền trong của tam giác vẽ hai tia Ax và Cy

cắt BC và BA lần lƣợt tại D và E. Cho biết CAD  600 ; ECA  500 .
Tính số đo góc ADE
Hết
Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm.
- Học sinh không được dùng máy tính bỏ túi
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh: ..........................

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHÕNG GD&ĐT
HUYỆN NHƢ XUÂN

Câu

HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƢU HỌC SINH
GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2015-2016

Nội dung
2 .3  4 .9
2 .3  2 .34
1) A  2 6 4 5  12 6 12 5
(2 .3)  8 .3
2 .3  2 .3
12

5

6

2

12

5

Điểm

12

212.34 (3  1)
2 1


12 5
2 .3 (3  1) 3.4 6
2) Ta có f (0)  2014  c  2014
f (1)  2015  a  b  c  2015  a  b  1
f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  3

1,0



Câu 1
(4,0đ)

1,0
(1)
(2)

1,0

Từ (1)(2) suy ra: a  2; b  1 . Khi đó f ( x)  2 x2  x  2014
Suy ra f (2)  2.(2)2  (2)  2014  2024

Câu 2
(5,0 đ)

1,0

9
 1

x 2
x


1
1
5
5
1) x   4  2  x   2  

5
5
 x  1  2  x   11

5
 5

9
11
Vậy x  ; x  
5
5
7
5
7
7 7
7 2 1
2) 2x 1  5.2x 2   2x 1 (1  )   2 x 1    2 x 1     24
32
2 32
2 32
32 7 16
Suy ra x 1  4  x  3 . Vậy x  3 .
3) x  5  (3 y  4)2016  0 . Vì x  5  0;(3 y  4)2016  0
 x  5
 x5  0
x  5  0


Suy ra: 


4 .
2016

3
y

4

0
y

(3
y

4)

0




3

Vậy x  5; y 

4
3

1,0
0,25
0,5

0,25

x y
xy y 2
40 y 2
 
 2 

 y 2  102  y  10  x  4
2 5
2.5 5
10 25
Vậy ( x; y) (4;10);(4; 10)
1) Ta có: 2 xy  x  2 y  4  x(2 y  1)  (2 y  1)  3  ( x 1)(2 y  1)  3
 ( x 1)(2 y  1)  3  (1).(3)  (3).(1)
1
1
3
-3
x 1
2
0
4
-2
x

2y+1
y

3
1

-3
-2

Vậy ( x; y) (2;1);(0; 2);(4;0);(2; 1)
2
3

0,25

0,5

4) Ta có:

Câu 3
(4,0đ)

1,0

1
4

1 5 9
2 3 4

1
0

6 20 27
: :

 6 : 20 : 27
12 12 12
Giả sử M đƣợc chia thành 3 số là x; y; z .

2) Ta có 0,5 :1 : 2  : : 
Theo bài ra ta có:
HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

-1
-1

1,0
0,25
0,5

1,0
0,5
0,5


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

x y
z
x2
y2
z2
x2  y 2  z 2
4660



 2  2 2 2

 4  22
2
2
6 20 27
6
20
27
6  20  27
1165
2
2
2
2
2
 x  12  x  12 ; y  40  y  40 ; z  542  z  54
Vậy M  12  40  54  106 Hoặc M  12  40  54  106

a) Ta có ABC  NCE  ( ACB)
 MBD  NCE (cgv  gn) .
b) Theo câu a)

M

I
B

D

 OAB  OAC (c.g.c)

 OBA  OCA

0,5
1,0
1,0
1,0

 BAH  CAH

Câu 4
(5,0 đ)

0,5
0,5

A

 MD  EN  IMD  INE(cgv  gn)
 IM  IN  I trung điểm MN.
c) Kẻ AH  BC
 ABH  ACH (ch  gn)

(1)
Đƣờng vuông góc với MN tại I cắt
AH tại O.

0,5

C

E

H

N

O

0,5

(2)

Mặt khác :
OBH  OCH (2cgv)  OB  OC (*)
(**)
OMI  ONI (2cgv)  OM  ON
BM  CN (câu b) (***)

Từ (*)(**)(***) suy ra : OBM  OCN (c.c.c)  OBM  OCN

(3)

Từ (2)(3)  OCA  OCN ( OBA)  900  OC  AC
Vì AC cố định mà OC  AC  O cố định.
Vậy đƣờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua điểm O cố định.

0,5

0,5

1) Ta có
abc 7  (100a  10b  c) 7  (98a  7b  2a  3b  c) 7  (2a  3b  c) 7 (1)
Mặt khác theo bài ra :
(2)
a  b  c  14  (a  b  c) 7  (2a  2b  2c) 7
Từ (1), (2)  b  c 7  b  c 7;0;7
Câu 5
(2,0 đ)

+) Nếu b  c  7 có c  0  b  7  a  7
c 1 b  8  a  5
c  2b 9a 3
+) Nếu b  c  0 có b  c  6  a  2
b  c 5a  4
b c  4a 6
b  c  3 a 8
+) Nếu b  c  7 có c  b  7  b  0  c  7  a  7
b 1 c  8  a  5
b 2c 9a 3
Vậy có 10 số thỏa mãn : 770; 581; 392; 266; 455; 644; 833; 707; 518; 329.

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

1,0


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

2) Kẻ tia CF sao cho

B

ACF  600 ( F  AB) ,
Tia CF cắt AD tại O.
 AOC; FOD đều
 OA  OC  AC ; OF  OD  FD .
AEC có

EAC  800 , ACE  500  CEA  500
 ACE cân tại A
 AC  AE  AEO cân tại A. Có
EAO  200  AEO  AOE  800

F

D

1,0

E
O

 EOF  400

Suy ra:
AFC  1800  800  600  400  EOF
 EOF cân tại E  EO  EF
 FDE  ODE(c.c.c)

1
1
 ODE  FDE  FDA   600  300
2
2
0
Vậy ADE  30 .

A

Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm bài hình.

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

C


TUYN TP 50 THI HC SINH GII TON LP 7 Cể P N CHI TIT
UBND HUYN GIA VIN
PHếNG GIO DC V O TO

THI KHO ST
CHT LNG HC SINH GII LP 7

CHNH THC

Mụn: Toỏn
Nm hc: 2014- 2015
Thi gian: 150 phỳt ( khụng k thi gian giao )

Cõu 1 (4 im).
a, Tớnh:

3 3

11 12 1,5 1 0,75
A
5 5
5
0.625 0.5
2,5 1,25
11 12
3

b, Rỳt gn: B =

4 5.9 4 2.6 9
210.38 6 8.20

0.375 0.3

Cõu 2. (4 im)
a. Tỡm x bit: x 15 = - 243
b. Tỡm x bit:
4-x+2x=3
c. Tỡm x,y,z bit:

(1)

x y z 94(1)
3 x 4 y 5 z (2)

Cõu 3. (3,5 im)
1
1
1
1


....
10 .
1
2
3
100
17 26 1 v 99 .

a. Chng minh rng:
b. So sỏnh:

Cõu 4. (7.5 im)
1. Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax
vẽ đ-ờng thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ BH Ay,CM Ay, BK AC.
Chứng minh rằng:
a, K là trung điểm của AC.
b, BH =

AC
2

c, KMC l tam giỏc đều
2. Cho gúc xOy c nh. Trờn tia Ox ly im M, Oy ly im N sao cho OM
+ ON = m khụng i. Chng minh : ng trung trc ca MN i qua mt im c
nh.
Cõu 5. (1 im)
Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y tha món iu kin: 2x+ 2y=72
---------------- Ht ----------------

HC HC NA HC MI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÕNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƢỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Môn: Toán
Năm học: 2014- 2015
(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang)
CHÚ Ý :
- Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó

Nội dung

Câu
Câu 1 a.

3 3
3
3
3 3 3
3 3
  
 

1
,
5

1

0
,
75
11 12 
= 8 10 11 12  2 3 4
A
5 5
5
5 5
5
5 5 5 5
 0.625  0.5  
2,5   1,25  
 
 

11 12
3
8 10 11 12 2 3 4
0.375  0.3 

1
1 
1 1
1 1 1
3     3   
8 10 11 12 
2 3 4
A= 
 
1
1 
1 1
1 1 1
5      5    
 8 10 11 12 
2 3 4

Điểm

0.75

0.75

3
3

+ =0
5
5

0.5

4 5.9 4  2.6 9
210.38  2.2 9.39
B  10 8

2 .3  6 8.20 210.38  2 8.38.2 2.5
210.38 (1  3)  2  1
 10 8


6
3
2 .3 (1  5)

0.5

a. x  15 = - 243 =(-3)5
x-1=-3
x=-2
b.
4-x+2x=3 (1)
* Với 4-x0 => x4 (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk)
* Với 4-x<0 => x>4 (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 <4 (loại)
Vậy x= -1

0.5
0.25
0.25
0.5

A=
b.

Câu 2
(4đ)

c. Tìm x,y,z biết:



x  y  z 94(1)
3 x  4 y 5 z (2)

1

0.5
0.5
0.25

Ta có: BCNN (3,4,5) = 60
Từ (2) 

x
y
z

3x 4 y 5 z
= =
hay
= =
20 15 12
60 60 60

0.25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
0.5
HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
x
y
z
x y z
94
= =
=
=
=2
20 15 12
20  15  12 47

0.5



0.25

x= 40, y=30 và z =24

Câu 3 a. So sánh: 17  26  1 và 99 .
(3,5
Ta có
đ)
17  16  4; 26  25  5

0.5
0.5
0.5
0.25

17  26  1  16  2  1  4  5  1  10

99  100  10

Vậy 17  26  1> 99
1



Vậy:

1

b)

1
;
1 10
1



1

1
;
2 10

1
2





1
3

1

1
; …..;
3 10

 .... 



1
100

 100.

1

1
.
100 10


1
 10
10

1
0.75
Vẽ
hình
1đ

Câu 4

a. (2 điểm)
Vì BC//Ay nên BCA = CAy (2 góc so le trong)

mà CAy =xAC (AC là tia phân giác xAy )
 xAC = BCA hay BAC =  BCA
 BAC cân tại B, lại có BKAC nên BK là đƣờng cao đồng thời là
trung tuyến
K là trung điểm của AC
AK=AC/2
b.(1.5 điểm)
Ta có BAK= 1/2xAy=300; ABH=900- BAH =900-600=300.
Xét 2 tam giác vuông HAB và KBA có
AB là cạnh chung
BAK=ABH (cmt)
HAB = KBA (cạnh huyền- góc nhọn)
BH=AK=AC/2
c(1.5 điểm) .
HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5

0.5
0.25


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Vì BC//Ay nên BH=CM (cùng bằng khoảng cách giữa BC và Ay)

ma BH=KC nên KC=CM
 CKM cân tại C
lại có KCM= 900-CAM =900-300 =600
nên CKM là tam giác đều.
2. (1,5 đ)

- Trên Oy lấy M' sao cho OM'=m (không đổi).
Ta có: ONDựng đƣờng trung trực của OM' và Oz là phân giác của góc xOy,
chúng cắt nhau tại D
Ta có DO=DM'  DOM'= DM'N
Xét ODM và M'DN có:
OM=MN,
DO=DM' (D thuộc đƣờng TT của OM',
MOD= DM'N (cùng bằng DOM')
ODM = M'DN (c.g.c) MD=ND
 D thuéc trung trùc cña MN.
- Do d cố định , góc xOy cố định nên Oz cố định nên D cố định. Vậy
đƣờng trung trực của MN đi qua D cố định.

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0.5
0.5
0.25
0.25
Vẽ
hình
0,25

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 5 2x+ 2y=72
Giả sử x>y ta có 2x+ 2y =2y(1+2x-y)=9.23
Do 1+2x-y là số lẻ nên: 1+ 2x-y = 1; 3; 9
Ta có bảng giá trị sau:
1+2x-y =1
2y=9.23 (loại)
1+2x-y = 3
2y =3.23. (loại)
1+2x-y = 9
2y =23
Ta thấy 2y = 23 là phù hợp
2 x  y  1  9 2 x  y  8  2 3
x  y  3
Vậy  y


3

y  3

y  3
2  2

0,25

0,25

 x=6 và y=3

---------------- Hết ----------------

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI

0,25
0,25


TUYN TP 50 THI HC SINH GII TON LP 7 Cể P N CHI TIT

UBND HUYN ANH SN
GIO DC V O TO

THI HC SINH GII LP 7 CP HUYN
Mụn: Toỏn
Nm hc: 2015-2016
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

Bài 1 : Cho biểu thức A =

x 1
x 1

.

16
25
và x =
.
9
9
b. Tìm giá trị của x để A =5.

a. Tính giá trị của A tại x =

Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần l-ợt độ dài từng hai đ-ờng cao
của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8.
a c
Bi 3: (1,5 im) Cho t l thc .
b d

Chng minh rng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bi 4: (4,5 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A; K l trung im ca BC. Trờn tia
i ca tia KA ly D , sao cho KD = KA.
a. Chng minh: CD // AB.
b. Gi H l trung im ca AC; BH ct AD ti M; DH ct BC ti N .
Chng minh rng: ABH = CDH.
c. Chng minh: HMN cõn.
Cõu 5. (1,0 im)

a. Cho ba s dng 0 a b c 1 chng minh rng:

a
b
c


2
bc 1 ac 1 ab 1

b. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Cõu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
nguyên nào?

HC HC NA HC MI

14 x
; x Z . Khi đó x nhận giá trị
4x


TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a.

b.

c.

3  2 5 9
:   .
4 3 9 4
1 1
45  1  1  1   

  
19  2  3  4   



1

5.415.99  4.320.89
5.210.619  7.2 29.27 6

Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
1
2

b. Tìm x, biết: 3 : 2 x  1 =
c. Tìm x, y, z biết :

21
22

2x  y 3 y  2z
và x + z = 2y

5
15

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

a c
 .
b d

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.

HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI