Nghien cuu moi quan he

Nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun đàn hồi và độ rỗng của vật liệu
mẫu
1. Mở đầu
Một môi trường vật rỗng là vật rắn được cấu thành từ những hạt có kích thước khác nhau,
được sắp xếp có trật tự hoặc ngẫu nhiên, có liên kết giữa các phần tử nhiều hoặc ít và
giữa chúng tồn tại những khoảng không gian trống gọi là lỗ rỗng. Khi lỗ rỗng thay đổi thì
tính chất của vật liệu cũng thay đổi theo. Do đó việc phân tích mối quan hệ giữa độ rỗng
và môđun đàn hồi của vật liệu là cần thiết nhằm hiểu rõ hơn về ứng xử của vật liệu tự
nhiên hoặc nhân tạo.
Công việc được giới thiệu trong bài này bao gồm hai phần chính, nghiên cứu lý thuyết
dựa trên việc ứng dụng mô hình rời rạc của tập hợp các hạt dính để mô phỏng mối quan
hệ giữa độ rỗng và môđun đàn hồi của vật liệu và nghiên cứu thực nghiệm về sự ảnh
hưởng của độ rỗng tới môđun đàn hồi của vật liệu mô hình được chế tạo từ những viên bi
thủy tinh nhằm mục đích kiểm chứng lại những nghiên cứu lý thuyết.
Ý tưởng và nội dung của việc nghiên cứu này là: từ nghiên cứu về biến dạng của một
phần tử cấu thành dưới tác dụng của tải trọng bên ngoài ta có thể xác định được ứng xử
cơ học của toàn bộ vật liệu, cụ thể ở đây là mối quan hệ giữa môđun đàn hồi và độ rỗng.
Ý tưởng này được truyền cảm hứng và phát triển dựa trên những kết quả của George
Jefferson và công sự [1].
2. Nghiên cứu lý thuyết
2.1. Giới thiệu mô hình của George Jefferson về ứng xử đàn hồi của vật liệu cấu
thành từ tập hợp các hạt dính
Trong hướng nghiên cứu này, vật liệu được cấu thành từ những phần tử nhỏ ta gọi là
phần tử cơ bản. Ma trận độ cứng của phần tử này được tính toán bằng cách sử dụng mối
quan hệ giữa 3 lực tác dụng theo 3 phương chính của điểm tiếp xúc của phần tử. nguyên
lý công tác dụng được xét đến trong quá trình tính toán.
Để tính toán được đơn giản, ta đặt:
a* =

a
R

'
và E =

E
1− v2

,

Trong đó:
E – môđun đàn hồi của phần tử;
v - hệ số Poatxông của phần tử;
R – bán kính phần tử;
ai – bán kính của vùng tiếp xúc thứ i;
Fi – lực tác dụng ở điểm tiếp xúc thứ i;
uc – chuyển vị tịnh tiến của tâm phần tử;
ωc – chuyển vị quay của tâm phần tử;
hi – khoảng cách từ tâm phần tử tới vùng tiếp xúc thứ i.


Để mỗi phần tử cân bằng, ít nhất cần hai điểm tiếp xúc. Tuy nhiên ta xây dựng một phần
tử nhân tạo chỉ có duy nhất một điểm tiếp xúc. Lực tại điểm tiếp xúc F được phân thành
hai thành phần: N, T tương ứng với lực pháp tuyến và lực tiếp tuyến.
Trong trường hợp phần tử chỉ chịu tác dụng của một lực pháp tuyến, lực này cân bằng với
trọng lượng của phần tử. Hai đại lượng độ cứng được định nghĩa như sau:
S=

∂N
2 E R ∂u N
1

.

.

ψ (θ ) = 2 E R

∂u N (θ )
∂N

Với uN và uN (θ) tương ứng là chuyển vị pháp tuyến tại điểm tiếp xúc bất kỳ (kết hợp với
điểm tiếp xúc để tạo thành góc θ) của phần tử. Chuyển vị tiếp tuyến được bỏ qua.
Trong trường hợp phần tử chỉ chịu một lực tiếp tuyến, chỉ tồn tại duy nhất một chuyển vị
tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
Thiết lập sự cân bằng với lực thể tích và mômen thể tích của phần tử. Giá trị uT được tính
toán dựa vào công thức sau:
P=

∂T
2 E R ∂uT
1

.

Với việc sử dụng phần mềm tính toán ABAQUS, những biểu thức tính toán của S, P,
ψ(θ) được thiết lapạ cho từng loại vật liệu, ở đây, chúng tôi giới thiệu phần tính toán của
G. Jefferson cho trường hợp hệ số Poát xông là 0,2 (0,2 là hệ số Poát xông của bi thủy
tinh sẽ được sử dụng trong phần thí nghiệm), khi đó biểu thức tính toán của S, P, ψ(θ) sẽ
là:
S (a * ) =

P(a * ) =

[

(

) ]
)(1 + 2a ) − a ])

a * + a *2 π / 6(1 − v ) 1 + 2a * − a *

(

[

(

1 − a *2 − 0.37 a * + a *2 π / 6 1 − v 2

[

(

)(

*

)

2(1 − v ) a * + a *3 π / 6 1 − v 2 1 + 2a * − a *

( 2 − v)

*

]

1 − a *2

ψ (θ ) : không phụ thuộc vào giá trị của a * và giá trị của nó được xác định dựa theo biểu
đồ.
Bằng cách sử dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta tính toán trong trường hợp một phần tử
gồm z điểm tiếp xúc, khi đó lực thể tích và mômen thể tích sẽ được triệt tiêu. Ten xơ độ
p
cứng của phần tử Cαβγξ sẽ được tính toán. Tiếp theo đó ta sử dụng phương pháp đồng
nhất hóa, phương pháp này cho phép xác định những đặc trưng đàn hồi của vật luiệu
đồng nhất, đàn hồi tuyến tính từ những đặc trưng đàn hồi của phần tử cơ bản. Tóm lại, từ

(

)


(

)

p
ten xơ độ cứng của từng phần tử Cαβγξ ten xxơ độ cứng tổng thể ( Cαβγξ ) cho toàn bộ vật
liệu được tính toán phụn thuộc vào độ rỗng.

(

p
Việc tính toán cho ten xơ độ cứng của từng phần tử Cαβγξ

)

ten xơ độ cứng tổng thể

(C ) cho toàn bộ vật liệu, cũng như phương pháp đồng nhất hóa được giới thiệu cụ thể
αβγξ

như sau.
a. Tính toán ten xơ độ cứng của phần tử
Sử dụng phương pháp cộng tác dụng, ta có thể thiết lập hệ phương trình thể hiện mối
quan hệ giữa 3 lực theo 3 phương chính ở mỗi điểm tiếp xúc với chuyển vị theo 3 phương
chính ở mỗi điểm tiếp xúc.

(u

i
α

)

− uαc xαi =

1
.

2E R

∑d

ij

Nj

j

1
 'i= j
với d =  S
ψ (θ ij ), i ≠ j.

ij

(

.

)

⇒ N βj = 2 E R ∑ A ij uαi − uαc xαi x βj , với A ij là ma trận nghịch đảo của d ij Và
i

[(

'

) (

]

)

Tβj = 2 E R u βj − u βc − uαi − uαc x βj x βj − ωγc xςj h j eςγβ P j .
i
c
Ở đây uα , uα tương ứng là chuyển vị theo phương α (tính trên hệ tọa độ trực giao gồm 3
phương) của điểm tiếp xúc thứ i và chuyển vị cứng của tâm phần tử. Lực N, T ký hiệu
tương ứng là lực tiếp tuyến và pháp tuyến ở điểm tiếp xúc. x j α là vectơ đơn vị có
phương là đường thẳng đứng nối tâm của phần tử và tâm của mặt tiếp xúc.

ta suy ra:


ij
Fβj = 2 E ' R ∑ Gαβ
(uαi − uαc ) − P j ωγc xςj h j eγςβ 
 i


(

)

ij
ij

i ij
j i
i ij
với Gαβ = A − P δ x β xα + P δ αβ .
c
Như vậy, để xác địh ten xơ độ cứng của phần tử ta cần tính giá trị của chuyển vị cứng uα
c
và chuyển vị quay ωγ . Việc tính toán này dựa trên điều kiện cân bằng về lực và mômen.

+ Từ điều kiện cân bằng về lực:

∑ Fβ

j

j

k
−1
= 0 ⇒ uαc = ∑ Lαβ
uαk − Qαβ
∑ P j ωγj xςj eγςβ
k

k
−1
kj
với Lαβ = ∑ Qαβ Gαβ ,
j

i

ij
Qαβ = ∑∑ Gαβ
.

+ Từ điều kiện cân bằng về mômen:

j

i


∑ Fβ xα h
j

j

j

i

với

e βας = 0 ⇒ ωφc = Wφς−1 ∑∑ J δγik xαi h i eδας u γk
k

i

Wφς = ∑ Ω iβφ xαi h i e βφς .

i

Như vậy phương trình 1 được viết dưới dạng sau:
Fβj = 2 E ' R ∑ K βγjk uγk ,

jk
với K βγ là ma trận độ cứng của phần tử.

j
K βγjk = J βγjk − Ω βφ
Wφς−1 ∑ J δγik xαi h i eδας
i

[ (

)]

ij
k
J βγjk = ∑ Gαβ
δ ik δ αγ − Lαγ
i

Ω βγj = P j xαj h j eγαβ − Qςδ−1 ∑ G βςji ∑ xαk h k P k eγαδ
i

k

Cuối cùng, ten xơ độ cứng của phanà tử được xác định theo công thức:
P

Cαβγς
=

(

4
π
V P = πR 3 − ∑ R − h i
3
3 i

(

D=

1
V

)

E ' RD
∑∑ h i x βi h k K αξik xγk + K αγik xςk ,
VP i k

∑V

) ( 2 R + h ),
2

i

P

P

Trong đó V P và D tương ứng là thể tích của phần tử và độ chặt của tập hợp phần tử, V
là thể tích của mẫu.
b. Tính toán ten xơ độ cứng tổng thể
Giả thiết rằng tất cả các phần tử và những điểm tiếp xúc là giống nhau. Ten xơ độ cứng
hữu hiệu của một tậpn hợp các phần tử được xác định như sau:
Cαβγς =

1
∑V P

∑V

P

P
Cαβγς

P

P

P
Với Cαβγς =

D=

∑V

(

E ' RD
ik k
h i x βi h k K ας
xγ + K αγik xςk
∑∑
P
V
i
k

)

P

P

V

⇒ Cαβγς =

E ' Rh 2
V



∑  ∑∑ xβ ( K ατ xγ
P

i

i

k

ik

k


+ K αγik xςk 


)

2.2 Xây dựng mô hình mối quan hệ giữa môđun đàn hồi và độ rỗng của vật liệu


a. Phần tử cơ bản
Trong phần này, việc mô hình hóa các phần tử cơ bản phụ thuộc vào số điểm tiếp xúc và
phương của lực tác dụng ở điểm tiếp xúc được nghiên cứu. dạng của các phần tử được
giới thiệu trong bài gồm 14 phần tử có số điểm tiếp xúc từ 2-6.
b. Tập hợp các phần tử
Sử dụng các phần tử cơ bản đã nghiên cứu ở trên, các kiểu tập hợp các phần tử khác nhau
được xây dựng. Mỗi một Tập hợp các phần tử này sẽ có một độ rỗng khác nhau. Trong
phạm vi bài báo này, dừng lại ở việc nghiên cứu 7 mô hình Tập hợp các phần tử.

c. Tính toán
Khối lượng tính toán là tương đối lớn, tuy nhiên bằng việc sử dụng chương trình tính
p
toán MATLAB chúng ta có thể xác định được tenxơ độ cứng của từng phần tử ( Cαβγς )
p

và tenxơ độ cứng tổng thể ( C αβγς ) cho toàn bộ vật liệu. Trong quá trình tính toán a nhận
6 giá trị biến đổi từ 0,1 đến 0,6, tức là với mỗi một tập hợp các phần tử ta tính toán được
p
6 giá trị tenxơ độ cứng tổng thể ( Cαβγς ) tương ứng với 6 giá trị a khác nhau hay tương
ứng với 6 độ chặt khác nhau.
Giả thiết rằng vật liệu là đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính, khi đó vật liệu được đặc trưng
bởi môđun chịu nén K và môđun chịu cắt G.

[

]

K =

1
(C1111 + C 2222 + C3333 ) + 2(C1122 + C 2233 + C3311 )
9

G =

1 ( C1111 + C 2222 + C 3333 ) − ( C1122 + C 2233 + C 3311 ) 


15 + 3( C1212 + C 2323 + C 3131 )



Như vậy với giá trị a * thay đổi ta có thể xác định mối quan hệ giữa môđun chịu nén K và
môđun chịu cắt G với độ chặt cho mỗi một tập hợp các phần tử.
d. Kết quả
Coi vật liệu thật gòm tập hợp của tất các kiểu Tập hợp các phần tử đã xây dựng ở trên,
như có cùng giá trị a * . Như vậy với những giá trị a * cho trước (trong bài này tính toán
cho 4 trường hợp a * = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4) chúng ta xác định được cặp giá trị môđun chịu
kéo (chịu nén) và độ chặt (độ rỗng =1-độ chặt) tương ứng với mỗi kiểu Tập hợp các phần
tử. Tập hợp những cặp giá trị này cho phép vẽ được những đường cong khác nhau thể
hiện mối quan hệ giữa môđun chịu kéo (chịu nén) và độ chặt (ứng với các giá trị a khác
nhau - tức là ứng với loại vật liệu khác nhau).Những kết quả này được so sánh với 2 sơ
đồ cổ điển xác định đặc trưng đàn hồi đối với môi trường vật rỗng được cấu thành từ
những pha rắn đồng nhất đẳng hướng[2].
Sơ đồ Mori - Takana

K
3k + 4 µ1 
1− v
 ⇒ h = 1 − 3n
K h = K 1 1 − n 1
3nk1 + 4 µ1 
K1
n(1 + v ) + 2(1 − 2v )





15k1 + 20 µ1


Gh = G1 1 − n
( 9 + 6n ) k1 + ( 8 + 12n ) µ1 

⇒

Gh
1− v
= 1 − 15n
( 3 + 2n )(1 + v ) + ( 4 + 6n )(1 − 2v )
G1

Sơ đồ Autocohérent
Kh
Gh
2(1 − n )(1 − 2n )(1 − 2v )
=
= 1 − 2n
;
K 1 n(1 + v ) + 2(1 − 2n )(1 − 2v )
G1
Trong đó:
Kh- môđun chịu nén của vật liệu;
K1- môđun chịu nén của cấu trúc vi mô;
Gh- môđun chịu cắt của cả vật liệu;
G1- môđun chịu cắt của cấu trúc vi mô;
n - độ rỗng.
3. Nghiên cứu thực nghiệm
Ở đây, chúng ta quan tâm tới việc chế tạo một vật liêụ rỗng nhân tạo cấu thành từ những
viên bi thuỷ tinh được tạo thành từ sự rắn lại do tác dụng của nhiệt độ.

Lợi thế của kiểu chế tạo vật liệu này là cho phép một sự biến đổi độc lập giữa kích thước
của lỗ rỗng và độ rỗng của vật liệu.
Toàn bộ nghiên cứu thực nghiệm được tác giả tiến hành tại phòng thí nghiệm vật liệu và
kết cấu công trình (LMSGC), Marne – la –Vallée, Cộng hoà Pháp.
3.1 Chế tạo và chuẩn bị vật liệu
a. Vật liệu và chuần bị vật liệu
+ Bi thuỷ tinh.
Bi thuỷ tinh được chế tạo theo 3 bước chính sau:
- Thuỷ tinh được nghiền sàng, loại bỏ những tạp chất, sau đó sàng qua bộ sàng tiêu chuẩn
nhằm phân loại kích thước của các hạt thuỷ tinh.
- Đưa hạt thuỷ tinh qua lò sấy nhiệt độ cao cho phép đạt được những viên bi thuỷ tinh
hình cầu nhờ sức căng bề mặt của thuỷ tinh.
- Sau khi làm nguội, những viên bi thuỷ tinh được đưa qua hệ thống sàng một lần nữa để
phân loại các viên bi thuỷ tinh theo kích thước. Trong 3 bước, việc kiểm trra được liên
tục tiến hành
nhằm đảm bảo loại bỏ hết những hạt dị thường.
Thành phần hạt được sử dụng làm thí nghiệm trong bài này nằm trong khoảng 104
-128μm.


+ Khuôn
Khuôn được chế tạo từ thạch cao chịu lửa. Có dạng hình trụ (10cm chiều cao, đường kính
ngoài là 8cm).
- Trộn khoảng 380g thạch cao với 180g nước nhằm đạt được một hỗn hợp đồng nhất;
- Rót hỗn hợp này vào một lõi bằng nhựa nhằm tạo hình dáng trụ tròn;
- Sau khoảng 3 giờ, tháo khuôn và đặt vào lô sấy nhằm đạt được trạng thái khô.
+ Tạo mẫu
Bi thuỷ tinh được rót vào khuôn bằng một thiết bị chuyên dùng nhằm đảm bảo mẫu vật
liệu đạt được sự đồng nhất tối ưu.
b. Nung mẫu

Khuôn được đặt vào trong một lò nung bằng sắt và chịu nhiệt độ theo chu kỳ xác định.
Chu kỳ này nhằm đảm bảo sự truyền nhiệt đồng nhất giữa mép và tâm của khối vật liệu
và loại bỏ vết nứt xuất hiện có thể xuất hiện. Sau khi hạ nhiệt độ (quá trình hạ nhiệt được
diễn ra từ từ nhờ sự cân bằng nhiệt giữa vật liệu và môi trường tự nhiên đảm bảo quá
trình liên kết của vật liệu), đập vỡ khuôn ta sẽ thu được những mẫu vật liệu.
3.2. Đo độ rỗng
Việc đo độ rỗng của mẫu vật liệu dựa trên máy phát tia Gamma. nguyên lý hoạt động của
máy dựa trên việc xác định sự hấp thụ tia Gamma cho phép xác định độ rỗng của vật liệu.
Tia Gamma được quét theo chiều cao của mẫu vật liệu cho phép xác định được độ rỗng
của từng mặt cắt, sau đó tiến hành lấy tích phân ta sẽ xác định chính xác giá trị độ rỗng
trung bình của khối vật liệu
3.3. Thí nghiệm cơ học
Mẫu vật liệu được nén trên máy nén thông thường trong giai đoạn đàn hồi nhằm xác định
môđun đàn hồi E của mẫu vật liệu.
3.4. Kết quả
Thí nghiệm được tiến hành với 2 nhóm mẫu vật liệu tương ứng với đô rỗng trung bình
lần lượt là 35% và 43%.
Kết quả chi tiết được thể hiện trong bảng 1.
Bảng 1. Kết quả thí nghiệm
X1
Độ rỗng 34,4
TB (%)

X2

X3

X4

X5

X6

35,3

34,9

34,4

35,0

34,0

E (MPa)

16216

12668

12501

14o60

18456

13995

E /E

0,23

0,18

0,19

0,21

0,26

0,2


X7
Độ rỗng 34,2
TB(%)

X8

X9

X10

X11

X12

44,2

43,2

43,3

43,4

43,1

E (MPa)

20350

5526

4334

5041

7248

4813

E /E

0,29

0,08

0,06

0,07

0,10

0,09

4. So sánh kết quả lý thuyết và thực nghiệm
Từ công thức: E =
với, K=

E
3(1 − 2v )

E
ta có: =
E

9 KG
3K + G
et G =

E
2( 1 + v )

K G
K G
K
G
2 (1 + v ) + (1 − 2v )
K
G
3

Vì vậy, từ những mối quan hệ đã được thiết lập trong phần lý thuyết giữa môđun chịu nén
và chịu cắt với độ chặt, ta có thể thiết lập được mối quan hệ giữa môđun đàn hồi với độ
chặt. Với giá trị môđun đàn hồi của thuỷ tinh E= 70000MPa, kết quả thực nghiệm và lý
thuyết được giới thiệu đồng thời trong một hình vẽ. Ta nhận thấy kết quả lý thuyết và
thực nghiệm tương đối trùng khớp. Cùng một giá trị độ chặt với giá trị a * càng lớn thì
môđun đàn hồi của vật liệu càng lớn. Thêm nữa, các kết quả thực nghiệm đối với trường
hợp độ chặt cao là tương đối phân tán.
5. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong bài này đã trình bày hai hướng tiếp cận, lý thuyết và thực nghiệm, để xác định sự
ảnh hưởng của độ rỗng tới môđun đàn hồi được chế tạo từ bi thuỷ tinh. Cả hai kết quả lý
thuyết và thực nghiệm là tương đối trùng khớp, độ rỗng càng cao thì môđun đàn hồi càng
bé.
Về mặt thực nghiệm, một phương pháp xác định mối quan hệ thực nghiệm giữa môđun
đàn hồi và độ rỗng của vật liệu có được từ viên bi thuỷ tinh được trình bày hệ thống.
Về mặt lý thuyết, mô hình toán học được trình bày cho kết quả tương đối phù hợp với vật
liệu nghiên cứu và phù hợp tốt hơn với 2 sơ đồ cổ điển xác định đặc trưng đàn hồi đối với
môi trường vật rỗng (Autocoherenct, Mori –Takana).
Tuy nhiên, đối với kết quả thực nghiệm vẫn còn tồn tại sự sai lệch lớn, đặc biệt khi độ
rỗng giảm. Trong khuôn khổ bài này chưa thể đưa ra được câu trả lời chính xác cho vấn
đề này. Hơn nữa, từ những kết quả trên, việc xác định ứng xử của vật liệu mẫu đòi hỏi
chúng ta phải có hiểu biết chính xác và sâu sắc thêm nữa về ảnh hưởng của quá trình chế
tạo vật liệu, về kích thước của mặt tiếp xúc, cũng như là giá trị của độ rỗng...
GS.TS. Nguyễn Viết Trung


(Nguồn tin: T/C KHCN Xây dựng, số 1/2006)