Giao trinh bai tap truyen nhiet va tbtdn

BÀI TäP GIÉI TÍCH 2
PHÙNG TR≈NG TH‹C


Phùng TrÂng Th¸c
1. Mi∑n giá tr‡ cıa hàm sË f (x, y) = cos 1
a [ 1, 1]

b [cos (1) , 1]

c [

x2 + y 2 là?
d Ph˜Ïng án khác

cos (1) , 1]

2. Mi∑n xác ‡nh và mi∑n giá tr‡ cıa hàm sË

f (x, y) = ln 1

x2

y2

là?
a D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = (0, 1)
b D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2  1 , E = (0, 1)
c D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = R
d D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = ( 1, 0]

3. Mi∑n xác ‡nh và mi∑n giá tr‡ cıa hàm sË
sin
f (x, y) =

là?

⇣p
⌘
1 x2 y 2
p
1 x2 y 2

a D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = ( 1, 1)
b D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = ( 1, 1)
c D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = [

sin 1, sin 1)

d D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1 , E = [sin 1, 1)

4. Mi∑n giá tr‡ cıa hàm sË

⇣
p
f (x, y, z) = 3 sin 3

là?
a [0, 4]

b [0, 1]

c [1, 4]

x2

y2

z4

d [2, 4]

5. M∞t
x

y

y2
2

2z + z 2

3
=0
2

2y + z 2

2z = 0

là m∞t gì?

a Elliptic Paraboloid
c Nón

b Hyperbolic Paraboloid

d Hyperboloid mÎt t¶ng

6. M∞t
x2

2x

y2

2

⌘2


Phùng TrÂng Th¸c
là m∞t gì?
a Elliptic Paraboloid

b Nón

c Hyperboloid mÎt t¶ng

d Hyperboloid hai t¶ng

7. M∞t

x2 + 4x + y 2 + 2y + z 2

2z =

5

là m∞t gì?
a C¶u

b Nón

c Hyperboloid mÎt t¶ng

d Hyperbolic Paraboloid

8. M∞t
x2

y2

4x

2y

z 2 + 2z + 2 = 0

là m∞t gì?
a Nón

b C¶u

c Hyperboloid mÎt t¶ng

d Hyperboloid hai t¶ng

9. M∞t
z2

4z

x+5=0

là m∞t gì?
a Trˆ parabol
c Trˆ

b Nón

d Trˆ hyperbol

10. M∞t
3

x

là m∞t gì?
a M∞t nón mÎt phía

p
3 + y2

z2 = 0

b N˚a m∞t c¶u

c N˚a m∞t hyperboloid mÎt t¶ng

d Trˆ parabol

11. M∞t
z=
là m∞t gì?
a M∞t nón mÎt phía

a 0

b 1

c

1

x2

2x + y 2

b N˚a m∞t c¶u

c N˚a m∞t hyperboloid mÎt t¶ng

12. Cho f (x, y) = sin (x

p

d N˚a m∞t Elliptic Paraboloid

000
y) . Tính fxyx
(1, 1) .

d 2


Phùng TrÂng Th¸c
13. Cho

8
3
2
>
> sin x + y
<
x2 + y 2
f (x, y) =
>
>
:
0

Giá tr‡ fx0 (0, 0) là?

a 0

b 1

1

c

d

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

1
2

14. Cho
f (x, y) = x cos (|x| y) .
Giá tr‡ fx0 (0, 0) là?
a 0

b 1

1

c

d 2

15. Cho

8
3
>
> y sin (1 |x|)
<
x2 + y 2
f (x, y) =
>
>
:0

Giá tr‡ fx0 (0, 1) là?
a 0

b 1

1

c

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

d Không tÁn t§i

16. (? )Cho
f (x, y) = x2

y 2 cos (x) .

Giá tr‡ f ”xy (0, 0) là?
a 0

b 1

1

c

d 2

17. Cho
f (x, y) =

Giá tr‡ fy0 (0, 1) là?
1
1
a
b p
c 1
2

d

p

8
p
>

>
< 1 + x2 + y 2
>
>
:0

f (x, y) =

a 0

b

1

c 1

khi (x, y) = (0, 0) .

2

18. Cho

Giá tr‡ fy0 (0, 1) là?

1 khi (x, y) 6= (0, 0) ,

8
>
>
<

x2 + (y

>
>
:0

d Không tÁn t§i

|y

1|

5

1)

2

khi (x, y) 6= (0, 1) ,
khi (x, y) = (0, 1) .


Phùng TrÂng Th¸c
19. Cho

Giá tr‡ cıa
a

1

lim

(x,y)!(0,0)

b 0

c 1

f (x, y) là?

a 0

lim

(x,y)!(0,0)

1

b

c 1

f (x, y) là?

a 0

lim

(x,y)!(0,0)

1

b

c 1

22. Cho

Giá tr‡ cıa
a 0

lim

(x,y)!(0,0)

1

b

c 1

khi (x, y) = (0, 0) .

8
>
x3 y 2
>
< 6
4

f (x, y) = x + y
>
>
:0

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

d Không tÁn t§i

21. Cho

Giá tr‡ cıa

khi (x, y) 6= (0, 0) ,

d Không tÁn t§i

20. Cho

Giá tr‡ cıa

8
>
x2 y 2
>
< 4
2
f (x, y) = x + y
>

>
:
0

f (x, y) là?

8
>
xy 2
>
< 4
2
f (x, y) = x + y
>
>
:
0

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

d Không tÁn t§i

8
>
x sin (x) + y 2
>
<
x2 + y 2
f (x, y) =

>
>
:0

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

f (x, y) là?

d Không tÁn t§i

23. Tìm
x2

lim

(x,y)!(1,0)

a 0

b 1

c 2

1) + 2y 2

1 (x
(x

2

1) + y 2

.

d Không tÁn t§i

p
24. Cho f (x, y) = |x| 2x2 + y 2 . Mi∑n xác ‡nh cıa hàm sË fx0 là?
✏
✏
a R2 {(0, 0)}
b R2 {(0, y) : y 6= 0}
c R2

d ;

25. Cho
f (x, y) =

8
>
>
<

x3
x2 + y 2

>
>

:0

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .


Phùng TrÂng Th¸c
Giá tr‡ cıa f ”xy (0, 0) là?
a 0

b 1

d Không tÁn t§i

c 2

26. Cho

8
3
>
y4
>x
<
2
2
f (x, y) = x + y
>
>
:

0

khi (x, y) 6= (0, 0) ,
khi (x, y) = (0, 0) .

Giá tr‡ cıa f ”xy (0, 0) và f ”yx (0, 0) l¶n l˜Òt là?
a 0 và 0

b Không tÁn t§i và 0

c C£ hai không tÁn t§i
d 1 và không tÁn t§i

27. Ph˜Ïng trình m∞t phØng ti∏p tuy∏n (ti∏p diªn) cıa m∞t (x + 1)
a z = 4x

b z

4x

y=0

c z = 4y

2

(y

1)

2

z = 0 t§i i∫m M (1, 1, 4) là?

d 2z = x

28. Ph˜Ïng trình m∞t phØng ti∏p tuy∏n (ti∏p diªn) cıa m∞t Ellipsoid
2

2

(x + 1)
(y 1)
z2
+
+
=1
6
6
12
t§i i∫m M (1, 1, 2) là?
a z + 2x + 4 = 0

b z

c z

d z + 4y

4y + 4 = 0

2x + 4 = 0
4=0

29. §o hàm theo h˜Óng !
v = (1, 1) cıa hàm f (x, y) = arcsin
p
p
3
1
3
p
p
a
b
c
d Không tÁn t§i
2
2 2
2 2

✓ ◆
x
t§i i∫m M (1, 2) là?
y

30. Giá tr‡ nh‰ nhßt cıa §o hàm theo h˜Óng mà hàm sË
f (x, y, z) = xeyz
§t ˜Òc t§i i∫m M (1, 0, 1) là?
p

p
p
2
2
3
a
b
c 0
d
31. Giá tr‡ lÓn nhßt cıa §o hàm theo h˜Óng mà hàm sË

f (x, y) = sin (2x + y)
§t ˜Òc t§i i∫m M (0, 0) là?
p
p
p
2
3
5
a
b
c 2
d


Phùng TrÂng Th¸c
32. VectÏ Ïn v‡ !
v làm cho §o hàm theo h˜Óng !
v t§i i∫m M (1, 1) cıa hàm sË f (x, y) = x2 y + ln (x
§t ˜Òc giá tr‡ nh‰ nhßt là?

✓
◆
1
1
p , p
a !
v =
b !
v = ( 1, 0)
2
2

c !
v = (0,

d Không tÁn t§i

1)

33. VectÏ Ïn v‡ !
v làm cho §o hàm theo h˜Óng !
v t§i i∫m M (1, 2, 1) cıa hàm sË f (x, y) = ex
giá tr‡ lÓn nhßt là?
✓
◆
1
2
3
a !
v = p ,p ,p

14
14 ◆
✓ 14
1
2
3
!
c v = p ,p ,p
14
14
14

p

35. Tìm góc gi˙a hai vectÏ gradient cıa hàm f (x, y) =
b 60

c 90

§t ˜Òc

p

34. Tìm Î dài cıa vectÏ gradient cıa hàm f (x, y, z) = sin (2x
p
p
5 b
11
a
c 6 d 7

a 30

2y+3z

◆
1
2
3
,p ,p
14
14◆
✓ 14
1
2
3
!
d v = p ,p ,p
14
14
14
b !
v =

✓

y + 1)

3y + 6z) t§i i∫m M0 (0, 0, 0) .

3x + y cos

d 120

✓
✓
◆ ◆
⇣⇡ ⌘
1
2 ⇡
y t§i các i∫m M1 (0, 0) và M2 p
,1 .
2
⇡
3

2b)x+(2a+6b)y+(a2 +b2 10)z

36. Cho các sË th¸c a, b thay Íi và hàm f (x, y, z) = e(6a

. Giá tr‡ nh‰ nhßt cıa Î dài

vectÏ gradient cıa hàm f t§i i∫m M0 (0, 0, 0) là?
a 10

b 20

d Ph˜Ïng án khác

c 30

37. Cho f (x, y) = arctan (x
a dx

dy

y) . Tìm df (1, 1) .

b dx + dy

c dx

2dy

d 2dx

dy

38. Cho f (x, y) = cos (ln (x + y)) . Tìm d2 f (1, 0) .
a

(dx + dy)

2

(dx

b

39. Cho f (x, y) = cos x2

a

dx2

dy 2

dy 2

exy . Bi∏t

b 2dt

2dt

c

c (dx + dy)

c

✓

p

⇡,

2dx2

2

d (dx

p ◆
⇡
.
2
dy 2 d
8
>
>
>
>
:y

Giá tr‡ cıa df |t=0 là?
a 0

2

2y 2 . Tìm d2 f

b 2dx2

40. Cho f (x, y) = x2

dy)

2
3

b

1
6

c

6

2

2dx2 + 4dy 2

= cos (t) ,
= sin2 (t) .

d dt

41. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy ra t¯ ràng buÎc 2z 2 + xy 3 =
a

dy)

d 1

3xz
. Bi∏t z (1, 1) = 1. Giá tr‡ cıa zy0 (1, 1) là?
y

Phùng TrÂng Th¸c
42. Cho hàm f (x, y, z) , trong ó

8
>
>
>
x
>
>
>
<

= sin (u + 2v) ,

y
>
>
>
>
>
>
:z

= cos (u

v) ,

= u + v.

Bi∏t fx0 (0, 1, 0) = fy0 (0, 1, 0) = fz0 (0, 1, 0) = 2. Giá tr‡ cıa fv0 |u=0,v=0 là?
a 0

b 2

c 6

d 8

43. Cho hàm f (x) , vÓi f 0 (1) = 2. Bi∏t r¨ng x = u2
a 12du

24dv

b 12du

12dv

c 24du

v 3 . Tìm vi phân df (3, 2) .

12dv

d 12du + 24dv

44. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy ra t¯ ràng buÎc
2
z = yz.

⇡

xz 2 + sin (y + z)
⇡
Bi∏t z (0, 0) = . Tìm vi phân dz (0, 0) .
⇣ ⇡ ⌘2
⇣2 ⇡ ⌘2
⇣ ⇡ ⌘3
⇣ ⇡ ⌘3
a
dx
dy b
dx
dy
⇣ ⇡2 ⌘3
⇣ ⇡2 ⌘2
⇣ ⇡2 ⌘2
⇣ ⇡2 ⌘2
c
dx +
dy d
dx
dy
2
2
2
2

45. Cho hàm f (u, v) = u2
a 2 (dy

dx)

2uv. Bi∏t u = sin (x

b 2 (dx

dy)

y) và v = cos (x

c 2 (dx + dy)

d 2 (2dx

2y) . Tìm df |x=0,y=0 .

dy)

46. Cho hàm f (s, t) = sin (s + 2t) . Bi∏t s = sin (u + v) và t = u + v. Tìm df |u=1,v=
a 2 (du + dv)

2 (du + dv)

b

c 3 (du + dv)

47. Cho hàm g : R ! R th‰a g 0 (1) =
a

2 (dx + 3dy)

b

2 (dx

d

48. Cho hàm h : R ! R th‰a h0 (0) =

c

2 (4du + 6dv)

d

1. Xét hàm f (u, v) = h (u
8
>
>
>
>
:v

.

3 (du + dv)

2. Xét hàm f (x, y) = g (x + 3y) . Tìm df |x=

3dy)

1

2,y=1

.

2 ( 2du + 3dv)
2v) . Bi∏t r¨ng

= u (s, t)
= v (s, t)

, thêm n˙a u (1, 1) = 2, v (1, 1) = 1, u0s (1, 1) = 1, u0t (1, 1) = 2, vs0 (1, 1) = 3, vt0 (1, 1) = 4. Tìm
df |s=1,t=
a 3ds

1

.

4dt

b 4ds + 5dt

c 5ds

4dt

d 5ds + 6dt

49. Cho m∞t z = z (x, y) suy t¯ ph˜Ïng trình ràng buÎc

(z

1) sin (z)

yz sin (x

2) + y

1 = 0.


Phùng TrÂng Th¸c
Bi∏t z (2, 1) = 1. Ph˜Ïng trình m∞t phØng ti∏p diªn cıa m∞t z = z (x, y) t§i i∫m M (2, 1, 1) là?
a sin (1) (z

1)

x+y+1=0

b sin (1) (z

1) + x + y

c sin (1) (z

1)

x+y

d sin (1) (z

1) + x

1=0

1=0

y+1=0

50. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy t¯ ràng buÎc

xz

ln (y + z) = z.

Giá tr‡ cıa z”xx (1, 0) là?
a

1

b 0

c 3

d 4

51. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy t¯ ràng buÎc
ex

z
Bi∏t z (1, 0) = 1. Tìm d2 z (1, 0) .
1
1
2
2
a
b
(dx dy)
(dx + dy)
8
8

1
(dx
4

c

dy)

z

y = 0.

2

1
2
(dx + dy)
4

d

52. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy t¯ ràng buÎc

sin (z)

sin (x + z)

yz = 0.

Bi∏t z (0, 1) = 0. Tìm d2 z (0, 1) .
a (dx

dy)

2

b (dx + dy)

2

c 2dxdy

4dxdy

d

53. Cho z = z (x, y) là hàm ©n suy t¯ ràng buÎc

ln (cos (sin (y + z)))
⇣⇡ ⌘
⇣⇡ ⌘
Bi∏t z
, 0 = 0. Tìm d2 z
,0 .
2
2
1
1
2
2
a
(dx + 2dy)
b
(dx 2dy)
8
8
54. Cho hàm t (x, y) = 3xy
a 4dy 2 + 6dxdy

dy)

2

d Ph˜Ïng án khác

4dy 2

c

6dxdy

d

dy 2 + 6dxdy

55. Cho hàm f (s, t) = sin (s + 2t) . Bi∏t s = sin (u + v) và t = u + v. Tìm d2 f
a 0

b 2 (du + dv)

2

z.

2y 2 . Tìm d (dt) (1, 1) .
4dy 2 + 6dxdy

b

1
(dx
8

c

arctan (cos (x + z)) =

c 2 (du

dv)

2

d

2 (du + dv)

u=1,v= 1

.

2

p
56. Cho hàm z (x, y) = f
x + 2y . Bi∏t hàm f : R ! R tho£ f 0 (2) = 0 và f ” (2) = 1. Tìm d2 z (2, 1) .
1
1
1
2
2
2

a
(dx + 2dy)
b
(dx + 2dy)
c
(2dx dy)
d Ph˜Ïng án khác
16
8
4


Phùng TrÂng Th¸c
57. Cho hàm z = f (u, v) , bi∏t u = 3x

y; v = x2 + y. Khi ó d2 z (x, y) là?

2

2

dy) (2xdx + dy)

2

2

dy) (2xdx + dy) + 2fv0 (dx)

2

2

dy) (2xdx + dy)

a f ”uu (3dx

dy) + f ”vv (2xdx + dy) + 2f ”uv (3dx

b f ”uu (3dx

dy) + f ”vv (2xdx + dy) + 2f ”uv (3dx

c f ”uu (3dx

dy) + f ”vv (2xdx + dy) + 2f ”uv (3dx

2fv0 (dx)

d Ph˜Ïng án khác

58. Tìm khai tri∫n Maclaurint cıa hàm sË
f (x, y) =

x

y

1

x

⇣
f (x, y) = ln (1 + 2x

y)

2y

tÓi cßp 3.
a x

y + x2 + 2y 2 + xy + 3x3

4y 3 + 3x2 y

b x

y + x2

2y 2 + 2xy + x3

y 3 + 3x2 y

c x

y + x2

2y 2 + xy + x3

4y 3 + 3x2 y

d 2x

2y + x2

2y 2 + xy + x3

4y 3 + 3x2 y

59. Tìm khai tri∫n Maclaurint cıa hàm sË
6

⌘p
3
1

x

tÓi cßp 2.
a 12x

6y + 8xy

b 12x

6y + 10xy

c 2x

6y + 10xy

16x2 + y 2
16x2
16x2

y2
2y 2

d Ph˜Ïng án khác

60. Tìm khai tri∫n Maclaurint cıa hàm sË
f (x, y) = ey cos (xy)
tÓi cßp 3.
1 2 1 3
y + y
2
6
1
b 1 + y + xy + y 2 +
2
2
c 1 + y + y + 2x2 y
a 1+y+

1 3
y
6
1 3
y

6

d Ph˜Ïng án khác

61. Tìm khai tri∫n Maclaurint cıa hàm sË

f (x, y) = arctan (x)

p
4

1

xy

y

2

2


Phùng TrÂng Th¸c
tÓi cßp 3.
x3
a x
3

x2 y
4

x3
x2 y
3
4
x3
x2 y
c x+
3
6
d Ph˜Ïng án khác
b x

y

62. Tìm khai tri∫n Maclaurint cıa hàm sË
⇣ 2
f (x, y) = ex

1

⌘p
1+y

tÓi cßp 2.
1 y
y2
a
+
2 4 16

1
y
x2
y2
+
+
b
e 2e
e
8e
c
e x x2 xy + y 2
d Ph˜Ïng án khác

63. Tìm khai tri∫n Taylor t§i i∫m M (1, 2) cıa hàm
f (x, y) = x2

(x

1) (y + 2)

2 (y + 2)

2

(x

1) (y + 2)

2 (y + 2)

3 (x

1) (y + 2)

2 (y + 2)

1) + (x

1) + 2 (y + 2)

b 4 + 8 (x

1) + (x

1) + 5 (y + 2)
2

1) + (x

2y + 1.

2

a 3 + 4 (x

c 4 + (x

2y 2 + 4x

xy

1) + 2 (y + 2)

2
2

2

d Ph˜Ïng án khác

64. Tìm khai tri∫n Taylor tÓi cßp hai t§i i∫m M (1, 0) cıa hàm

f (x, y) = 1

a

3 (x

b

(x

c

3 (x

1) + 3y
1) + y

3 (x
3 (x

1) + 3y + 3 (x

2

1) + 6 (x
2

1) + 6 (x
2

1) + (x

1) y

(x

3

y) .

3y 2

1) y

3y 2

1) y

3y 2

d Ph˜Ïng án khác

65. Tìm khai tri∫n Taylor tÓi cßp ba t§i i∫m M (1, 2) cıa hàm

f (x, y) = cos (x

1) x2

2x

y+1 .


Phùng TrÂng Th¸c

2

a

2 + 2 (x

1)

(y

b

2

2 (x

1) + (y

c

2 + 2 (x

1) + (y

2

2

1
(x
2
1
2) + (x
2
1
2) + (x
2
2) +

1) (y

2

2)

1) (y

2

2)

2

2)

1) (y

d Ph˜Ïng án khác

66. Tìm khai tri∫n Taylor tÓi cßp hai t§i i∫m M (1, 1) cıa hàm

f (x, y) =

(y + 1)

y

1 + 4 (x

1)

2 (x

b

4 + 4 (x

1)

2 (y + 1) + 2 (x

1) (y + 1)

(y + 1)

c

4

1)

2 (y + 1)

1) (y + 1)

(y + 1)

2 (x

1

.

2

a

4 (x

1) (y + 1)

8x

2

2

d Ph˜Ïng án khác

67. Tìm

@9f
(0, 0) cıa hàm sË
@x6 @y 3

p

10

f (x, y) =
15

a

68. Tìm

72

b

112

c

1 + x3 sin (xy) .

d 0

@4f
(0, 0) cıa hàm sË
@x3 @y
f (x, y) = ln (1 + xy) ex

a 4

69. Tìm

b 6

c 12

y

.

d 24

@3f
(1, 0) cıa hàm sË
@x2 @y
f (x, y) =

a 4

2

b 16

c 32

arctan (1 x 2y)
.
2 x+y

d 60

70. Tìm i∫m d¯ng cıa hàm sË
f (x, y) = x2
a

✓

2
,
3

1
9

◆

b

✓

2
,
3

4
9

71. Hàm sË f (x, y) = x2 + y 2 e
a 1

b 2

c 3

◆
x y

✓

c

b 2

b 2

c Vô sË

c 3

◆

d

✓

1
,
3

1
9

1.
◆

d Không có

y + xy 2

1 có bao nhiêu i∫m d¯ng?

d Không có

73. Hàm sË f (x, y) = 2x4 + x2 y 2
a 1

4
9

2y

có bao nhiêu i∫m d¯ng?

72. Hàm sË f (x, y) = sin (x) + sin (y) + x
a 1

1
,
3

3xy

xy

d Không có

x + 2 có bao nhiêu i∫m d¯ng?

Phùng TrÂng Th¸c
74. Tìm i∫m d¯ng cıa hàm sË
f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 2 + x + y

a (0, 0, 0)

75.

b (0, 0, ⇡)

⇣

c

0, 0,

i∫m c¸c ti∫u ‡a ph˜Ïng cıa hàm

⇡⌘
2

a

✓

1
,
2

3
2

◆

b

✓

1
,
2

3
2

◆

c

✓

(x + y) sin (z) .

d Không tÁn t§i

f (x, y) = 3x2
là?

⇡z

1 3
,
2 2

◆

2xy

y

1

d Không tÁn t§i

76. C¸c §i ‡a ph˜Ïng cıa hàm
f (x, y) = x
§t ˜Òc t§i i∫m nào?
✓
◆
✓
◆
3 1
3
1
a
,p
b
, ±p

8
8
8
8
77. Hàm sË f (x, y) = x2 + 2y 2
a 1

b 2

c 3

78. Hàm sË f (x, y) =
3
2

a p
3

3
4

c

xy + 2x3 y

✓

p
1 + y2

3 1
,p
8
2

◆

y

d Không tÁn t§i

1 có bao nhiêu i∫m c¸c tr‡ ‡a ph˜Ïng?

d Không có

c 1

79. Hàm sË f (x, y) = 2
✓
◆
1
a
x = 0, y =
2

d Không có

2x2 + y + x2 y y 2 có c¸c §i ‡a ph˜Ïng t§i i∫m nào d˜Ói ây?
p
p

b x = 3, y = 2
c x=
d Không có i∫m c¸c §i ‡a ph˜Ïng
3, y = 2

80. Tìm c¸c tr‡ ‡a ph˜Ïng cıa hàm
f (x, y) = x2

2y 2

2y = 1.

a C¸c ti∫u b¨ng -1
c C¸c ti∫u b¨ng 2

b C¸c §i b¨ng -1
d C¸c §i b¨ng 2

81. Phát bi∫u nào sau ây úng v∑ c¸c tr‡ ‡a ph˜Ïng cıa hàm
f (x, y) = 7x3 + xy
vÓi ràng buÎc x

1

1 + x2 + y
có c¸c ti∫u t¸ do b¨ng bao nhiêu?
p
3 y

b p

3

vÓi ràng buÎc x

3xy

3y = 1.

a Hàm có mÎt c¸c §i và mÎt c¸c ti∫u
b Hàm chø có mÎt c¸c §i


Phùng TrÂng Th¸c
c Hàm chø có mÎt c¸c ti∫u
d Hàm có hai c¸c §i

82. Tìm c¸c tr‡ ‡a ph˜Ïng cıa hàm
f (x, y) = 4x
vÓi ràng buÎc x2

2y

y2

y = 1.

a C¸c ti∫u b¨ng -1
c C¸c ti∫u b¨ng 0

b C¸c §i b¨ng 4

d C¸c §i b¨ng 0

x2
+ y 2 = 1 s≥ có?
4
a MÎt c¸c §i và mÎt c¸c ti∫u ‡a ph˜Ïng

83. Hàm f (x, y) = 4x + 6y vÓi ràng buÎc

b Hai c¸c §i ‡a ph˜Ïng
c MÎt c¸c ti∫u ‡a ph˜Ïng
d Không có c¸c tr‡ ‡a ph˜Ïng
2
2
2
84. Phát bi∫u nào sau ây úng
r v∑!c¸c tr‡ có i∑u kiªn cıa hàm f (x, y) = xy , vÓi i∑u kiªn x + y = 1.
1
2
i∫m x = p , y =
là i∫m c¸c ti∫u
a
3
3
r !
1
2
i∫m x = p , y =
là i∫m c¸c §i
b

3
3
r !
1
2
i∫m x = p , y =
không là i∫m d¯ng
c
3
3
!
r
1
2
p
i∫m x =
,y =
không là i∫m c¸c tr‡
d
3
3

85. Giá tr‡ lÓn nhßt cıa hàm f (x, y) = 7x2 + 8xy + y 2 trên mi∑n (x, y) 2 R2 : x2 + y 2  1 là?
a

1

b 0

c 6

d 9

86. Giá tr‡ nh‰ nhßt cıa hàm f (x, y) = 5x4 + 2xy 2
˜Òc t§i i∫m?
✓
◆
✓
◆
1 1
1
p
a
,
b
,
0
3
2 2
10

c

✓

1
p
,0
3
20

◆

2x + 1 trên mi∑n (x, y) 2 R2 : x
d Ph˜Ïng án khác

87. Giá tr‡ lÓn nhßt và nh‰ nhßt cıa hàm sË f (x, y) = x2 + y 2 trên mi∑n
D = (x, y) 2 R2 : x2 + y 2 + xy  1
là?
a 1;

2
3

b 2;

2
3

c 2; 0

d 3;

2
3

0, y

0, x + y  1

§t


Phùng TrÂng Th¸c
88. Tính tích phân
ˆ

p

x

x+

p

y dxdy.

[0,1]⇥[0,4]

a

272
15

b

112
15

c

256
16

d Ph˜Ïng án khác

89. Tính tích phân

⇡

ˆ⇡ ˆ2
0

⇡
3

sin (y)
1 + (cos x)

0

2 dxdy.

⇡
⇡
c
d 0
2
2
¨

90. Tính tích phân
e x ln (y) dxdy, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi 0  x  2, 1  y  ex .
a p

b p

D

a 1

e2

b 1+e

2

c 1

e

2

d 2

2

e

91. Tính tích phân
¨

p

D

1
dxdy
2 x

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi các ˜Ìng x = 1 và x =
p
2
2
a 1
b
c 2
d

y 2 + 2y + 1.

92. Tính tích phân
¨

2xydxdy

D

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi các ˜Ìng y = 0, y = x, x = 2, xy = 1.
1
1

1
a ln (2) +
b ln (2) +
c ln (2)
d ln (3)
4
2
4
93. Tính tích phân
¨

xdxdy

D

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi y
1
2
3
1
a
b
c
d
2
3
4
4

1 + (x

2

1) , x2 + (y

2

1)  1.

94. Tính tích phân
¨

2xdxdy

D

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi các ˜Ìng x =
3
8
3
1
a
b
c
d
5
3
4
4

p
3

y2 , x =

95. Tính tích phân
¨

D

2ydxdy

p
1 + y2 .


Phùng TrÂng Th¸c
1
, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi y +  0, 16x2 + 9y 2  1.
5
1234
2314
1
a
b
c
d Ph˜Ïng án khác
3173
3375
122

96. Tính tích phân
¨

dxdy

D

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi các ˜Ìng x =
1
1
4 ⇡
⇡
2⇡
a
b 2⇡
c
d
3
3
3
4

p

y

1, y =

p

1

x2 , x = 1.

97. Tính tích phân
¨

2xdxdy

D

, trong ó D là mi∑n giÓi h§n bi |x|
a

2

b 0

1, x2 + y 2  5.

|y|

d Ph˜Ïng án khác

c 2

98. Tính tích phân
ˆ1 ˆ1
y

0

a

e+1
2

b

e

1

c

3

e

1

d

2

e

2

ex dxdy.

1
4

99. Tính tích phân
ˆ1 ˆ1
0

a

sin2
2

1
2

b

sin2
2

1
4

c

p
3

sin y 4 dydx.

x

d Ph˜Ïng án khác

1

100. Tính tích phân
ˆe ln(x)
ˆ
(2x
1

a cos (1)

cos (e)

e sin (1)

d sin (1) + cos (1)

cos (e)

e) cos (ey ) dydx.

0

b sin (1)

cos (e)

e sin (1)

e sin (1)

101. Tính tích phân
ˆ1 ˆ1
0

a

102.

e+1
2

b

e

1
2

c e

1

d

e

x

e y dydx.

x

1
3

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau
ˆ3
1

dy

4
ˆ y

f (x, y) dx.

1

c sin (1) + cos (1)

cos (e)


Phùng TrÂng Th¸c

a

ˆ3

4
ˆ x

dx

f (x, y) dy

1

103.

b

1

ˆ4

dx

1

3
ˆ x

f (x, y) dy

p

p

a

0

ˆ2

c

1

104.

p

0

p

1 y

p

b

p

0

1

p

p

y 1

dx

q

ˆ1

0

105.

dy
2

p

f (x, y) dx

ˆ2

b

2

dy

0

1 y2

p
ˆ1

B
dy @

p

ˆ1

p

1
ˆ1+y
C
f (x, y) dx +
f (x, y) dxA
p

y

p

1+y

1 y

x2
4

f (x, y) dy.

y2

f (x, y) dx

ˆ1

c

1 y

2

dy

0

p
ˆ1

y2

f (x, y) dx

d Ph˜Ïng án khác

2 2y

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau
ˆ0

dy
p

1

a

ˆ0

dx

1

106.

0

x
2 +1

0

a

3

y 1

ˆ2

2ˆ 2y

d Ph˜Ïng án khác

d Ph˜Ïng án khác

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau

ˆ1

f (x, y) dy

f (x, y) dy.

ˆ1

1 y

ˆ y+1

ˆy+1
C
f (x, y) dx +
f (x, y) dxA

B
dy @

dx

x2 |

|1

2

1

p

ˆ1

dx

ˆ 1+y
ˆ1+y
B
C
dy @
f (x, y) dx +

f (x, y) dxA
p

4
ˆ x

1

ˆ2
ˆ1

c

1

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau

0

ˆ4

ˆ0
(x+1)

f (x, y) dy

ˆ1

b

1

2

ˆ0

dx

ˆ2

ˆ1
b
dx
2

1

1

2ˆ x2

dy

p

f (x, y) dy +

1

1 x2

ˆ 1 1ˆ x
ˆ0
B
dx
f (x, y) dy + dx @
c
2

0

d Ph˜Ïng án khác

1

0

B
dx @

0

2

p
ˆ2y
p

1

p

ˆ1
0

2ˆ x2

p
1+ 1 x2

1 x2

x2

(x 1)

f (x, y) dy
2

f (x, y) dx.

f (x, y) dy +

p

dx

y2

x2

p
1+ ˆ 1 x2

ˆ0

2 y

0

ˆ0

c

ˆ1
1

0

0

y 1

2

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau

2

f (x, y) dx.

f (x, y) dy

(x+1)

0 p
2
1 ˆ1
ˆ 1 2ˆ x
ˆ0
B
dx
f (x, y) dy + dx @
a

ˆ0

1

C
f (x, y) dy A

f (x, y) dy +

2ˆ x2

p
1+ 1 x2

1

C
f (x, y) dy A

1

C
f (x, y) dy A

d Ph˜Ïng án khác


Phùng TrÂng Th¸c
107.

Íi th˘ t¸ lßy tích phân sau
ˆ2

dy

0

a

ˆ2
0

b

ˆ1

0

c

|1
ˆ x|

dx

0

p

1

f (x, y) dx.

2y y 2

f (x, y) dy

p
1+ 2x x2

0

B
dx @

p

1

ˆ1

|y
ˆ 1|

0

B
dx @

p

1

1+x
ˆ

f (x, y) dy +

x 1

2x x2

1
ˆ x
2x x2

f (x, y) dy +

1

p
1+ ˆ2x x2
p
1+ ˆ2x x2

C
f (x, y) dy A
1

C
f (x, y) dy A

x+1

d Ph˜Ïng án khác

108. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = r sin (') ,
¨

f (x, y) dxdy.

x2 +y 2 1
1 xy

⇡

a

ˆ4

d'

0

c

⇡

ˆ1

rf (r cos (') , r sin (')) dr

b

0

ˆ1

d'

ˆ1

d'

0

1
cos(')+sin(')

ˆ⇡

ˆ2

rf (r cos (') , r sin (')) dr

1
cos(')+sin(')

d Ph˜Ïng án khác

rf (r cos (') , r sin (')) dr

1
cos(')+sin(')

109. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = r sin (') ,
ˆ2

p
dx

p

0

a

ˆ0

d'

⇡
2

c

ˆ0
⇡
2

ˆ2

⇡

rf (r cos ', r sin ') dr +

0

d'

ˆ2

d'

0

2ˆ
cos '

rf (r cos ', r sin ') dr +

0

1 (x 1)2

ˆ

f (x, y) dy.

4 x2

2ˆ
cos '

rf (r cos ', r sin ') dr

⇡
2

0
⇡

ˆ2
0

d'

b

ˆ0

ˆ2
0

rf (r cos ', r sin ') dr

d'

ˆ2

rf (r cos ', r sin ') dr

2 cos '

d Ph˜Ïng án khác


Phùng TrÂng Th¸c
110. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = r sin (') ,
¨

f (x, y) dxdy.

1xy2
x yp3x
0 p

3

p

2⇡

a

ˆ3

ˆ

d'

⇡
6

p

c

rf (r cos (') , r sin (')) dr

p

b

ˆ3

p

2
sin(2')

ˆ

d'

⇡
6

p

rf (r cos (') , r sin (')) dr

2
sin(2')

1
sin(2')

ˆ

d'

⇡
4

p

⇡

2
sin(2')

p

⇡

ˆ3

1
sin(2')

d Ph˜Ïng án khác

rf (r cos (') , r sin (')) dr

2
sin(2')

111. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = r sin (') ,
¨
|y|x
cos(')
sin2 (')

3⇡

a

ˆ4

d'

⇡
2

ˆ4

rf (r cos (') , r sin (')) dr +

ˆ2

ˆ

d'

rf (r cos (') , r sin (')) dr

0

5⇡
4
1

d'

ˆcos(')

rf (r cos (') , r sin (')) dr

0

3⇡
4

cos(')
sin2 (')

3⇡
2

c

cos(')
sin2 (')

3⇡

0

5⇡

b

ˆ

f (x, y) dxdy.
y2

ˆ

d'

ˆ

rf (r cos (') , r sin (')) dr +

0

5⇡
4

1

5⇡

ˆ4

ˆcos(')

d'

rf (r cos (') , r sin (')) dr

0

3⇡
4

d Ph˜Ïng án khác

112. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = r sin (') ,
¨

f (x, y) dxdy.

1+|x|y0

a

1
sin(')+cos(')

⇡
2

ˆ

d'

⇡

b

d'

c

⇡

cos(')

ˆ

rf (r cos (') , r sin (')) dr +

1
sin(')+cos(')

d'

ˆ
0

1
sin(')

d'

ˆ0

rf (r cos (') , r sin (')) dr +

ˆ0
⇡
2

cos(')

ˆ

rf (r cos (') , r sin (')) dr

0
1
sin(')+cos(')

d'

⇡
2

0

⇡
2

ˆ0
⇡
2

1
sin(')

⇡

ˆ

rf (r cos (') , r sin (')) dr +

0
⇡
2

ˆ

ˆ

ˆ

rf (r cos (') , r sin (')) dr

0
1
cos(')

d'

ˆ
0

sin(')

rf (r cos (') , r sin (')) dr


Phùng TrÂng Th¸c
d Ph˜Ïng án khác

113. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = r cos (') , y = 1 + r sin (') ,
¨

f (x, y) dxdy.

1+x2 y2 (x 1)2
sin(')
cos2 (')

⇡

a

ˆ4

d'

0

d'

0

ˆ

ˆ

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr +

d'

0

0

ˆ

d'

⇡
4

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr +

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr

2 cos(')
cos2 (')

⇡
2

0

ˆ

ˆ

d'

⇡
4

sin(')
cos2 (')

⇡
4

c

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr +

0

ˆ

2 cos(') sin(')
cos2 (')

⇡

ˆ2

sin(')
cos2 (')

⇡
4

b

ˆ

ˆ

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr

0

arctan(2)
ˆ

2 cos(') sin(')
cos2 (')

ˆ

d'

⇡
4

0

rf (r cos (') , 1 + r sin (')) dr

0

d Ph˜Ïng án khác

114. Chuy∫n tích phân sau sang tÂa Î c¸c x = 1 + r cos (') , y =
¨
2

f (x, y) dxdy.
2

1 (y+2) (x 1) 4 (y+3)

a

ˆ0

b

ˆ⇡

c

ˆ2⇡

d'

⇡

d'

0

1 + r sin (') ,

2

4ˆsin(')

rf (1 + r cos (') , 1 + r sin (')) dr

2 sin(')
4 sin(')
ˆ

rf (1 + r cos (') , 1 + r sin (')) dr

2 sin(')
4 sin(')
ˆ

d'

⇡

rf (1 + r cos (') , 1 + r sin (')) dr

2 sin(')

d Ph˜Ïng án khác

115. Tìm th∫ tích mi∑n giÓi h§n bi các m∞t z = 1
⇡

a 3⇡ 2
b
c ⇡2
d 2⇡ 1
2

x2 + y 2 và z = 0.

116. Tìm th∫ tích mi∑n giÓi h§n bi các m∞t z = x2 + y 2 và z = 36
a 27⇡ 2

b 49⇡

c 152⇡

3 x2 + y 2 .

d 162⇡

117. Tìm diªn tích mi∑n phØng giÓi h§n bi các ˜Ìng xy = 3 và x + y = 4.
a 2

3 ln (3)

b 4

3 ln (3)

c 5 + 3 ln (3)

d 3 + 3 ln (3)


Phùng TrÂng Th¸c
118. Tìm diªn tích mi∑n phØng giÓi h§n bi các ˜Ìng y 2 = 2x + 6 và y = x
a 12

b 16

c 18

d 20

119. Tìm th∫ tích mi∑n giÓi h§n bi các m∞t z = x2 + y 2 và x2 + y 2 = 2x.
3⇡
a 3⇡ 2
b
c ⇡2
d ⇡ 1
2
120. Tìm th∫ tích mi∑n giÓi h§n bi các m∞t z 2 = 1 + x2 + y 2 và z = 2.
2⇡
3⇡
⇡
4⇡
a
b
c
d
3

4
3
3

1.