Giao trinh bai tap levnu0002 05

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-20
Lấy mẫu (Sampling)
Lý thuyế
thuyết lấy mẫu
Biế
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
Biế
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

f (t ) =

1
2π

∞

∫−∞

F (ω )e jωt d ω

F (ω ) = ∫

−∞

fk =

1
N0

f (t )e − jωt dt

N0 mẫu

N0 mẫu

Ω0 = 2π / N 0
N 0 = T0 / T
f k = Tf (kT )

∞

N 0 −1

∑

r =0

Fr e jrΩ0 k Fr =

N 0 −1

∑

f k e − jrΩ0k

k =0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2
Giảm khối lượng tính toán: N 02 → N 0 log N 0
N −1

N −1

fk =

0
1 0
jrΩ0 k
F
e
F
=
∑ r
∑ fk e− jrΩ0k
r
N 0 r =0
k =0

Nhân: N0

Cộng: N0-1

Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
− j 2π / N 0 )
Đặt: WN 0 = e (
= e − jΩ0

Các biểu thức DFT được viết lại:
N 0 −1

Fr =

∑

N −1

1 0
fk =
FrWN−0kr
∑
N 0 r =0

f kWNkr0

k =0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:

f 0 , f 4 , f 6 ,..., f N 0 −2 f1 , f 3 , f5 ,..., f N 0 −1
sequence g k

sequence h k

Biểu thức DFT được viết lại:
N0
2

Fr =

−1

∑

f 2 kWN20kr +

k =0

N0
2

−1

∑

f 2 k +1WN(2 k +1) r
0

k =0

Ta có: W N0 = WN2
0
2

⇒ Fr =

N0
2

−1

∑

k =0

kr

f 2 kW N 0
2

+ WNr 0

N0
2

−1

∑

k =0

f 2 k +1W Nkr0 = G + W r H
2
r
N0 r

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

⇒ Fr =

N0
2

−1

∑

kr

f 2 kW N 0
2

+ WNr 0

k =0

N0
2

−1

∑

f 2 k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr 0 H r
2

k =0

(0 ≤ r ≤ N 0 − 1)
Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:

Gr + N20 = Gr & H r + N20 = H r
N0

N0

Mặt khác: W r + 2 = W 2 WNr = e − jπ WNr = −WNr
N0
N0
0
0
0
N0

⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + 2 H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r
2
2
2
0
0
2
Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr +

N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1

Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr +

N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0

2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:
Số phép toán nhân: N 0 log 2 N 0
2
Số phép toán cộng: N 0 log 2 N 0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

Bài tập
Bài 1. Tín hiệu f(t)=sinc(200πt) được lấy mẫu bởi chuỗi xung đơn vị
tuần hoàn với các tốc độ lần lượt như sau: (a) 150Hz, (b) 200Hz, (c)
300Hz. Vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu tương ứng với các
trường hợp trên? Có thể khôi phục lại tín hiệu gốc f(t) từ tín hiệu
được lấy mẫu không, giải thích? Cho tín hiệu đã được lấy mẫu đi
qua bộ lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 100Hz, vẽ phổ của tín
hiệu ngõ ra bộ lọc?
Bài 2. Tín hiệu f(t)=sinc(200πt) được lấy mẫu bởi tín hiệu xung tuần
hoàn pT(t) như hình vẽ. Hãy tìm và vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy
mẫu? Cho tín hiệu đã được lấy mẫu đi qua bộ lọc thông thấp lý tưởng
có băng thông bằng 100Hz, hãy xác định tín hiệu ngõ ra của bộ lọc?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bài tập

Bài 3. Tín hiệu f(t)=5sinc2(5πt) được lấy mẫu (tốc độ lớn hơn tốc độ
Nyquist) như hình vẽ:
T/4

T

Hãy xác định và vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu? Từ đó giải
thích có thể khôi phục tín hiệu gốc từ tín hiệu này hay không?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5