Giao trinh bai tap chương 6 cơ lượng tử ( lý thuyết)

CHƯƠNG VI

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ


Cơ học cổ điển khảo sát dạng vận động cơ của
các vật vĩ mô. Tuy nhiên, khi đi sâu vào thế giới
vi mô nghĩa là khi nghiên cứu sự vận động của
vật chất trong phạm vi kích thước phân tử,
nguyên tử trở xuống, qui luật vận động của nó về
bản chất khác hẳn qui luật vận động của các vật
vĩ mô. Do đó, cơ học cổ điển bị hạn chế, không
thể áp dụng cho các hạt vận động trong thế giới
vi mô. Vì lẽ đó môn cơ học lượng tử đã ra đời.
Trong chương này chỉ nêu lên những điểm cơ
bản, khái niệm mở đầu của cơ học lượng tử để
giúp chúng ta hiểu được một cách khái quát về sự
vận động của vật chất trong thế giới vi mô.


I. Lưỡng tính Sóng – Hạt của vật chất.
1. Lưỡng tính sóng hạt của AS
Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu
lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết
này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt
c
mang năng lượng:   h  h
Và động lượng:


 h

p  mc  
c 

Từ các biểu thức này ta thấy rõ những đại lượng
đặc trưng cho tính chất hạt ( , p ) và cho tính
chất sóng ( ,  ) của AS liên hệ trực tiếp với nhau


2. Hàm sóng phẳng ánh sáng:
Xét một chùm AS đơn sắc song song. Các mặt
sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sóng
Nếu dao động sáng tại O là a cos 2 t thì dao
động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua M,
cách mặt sóng đi qua O một đoạn d là:
d
d
a cos 2 (t  )  a cos 2 ( t  )
c



r
O
d

M


n

 
Mà : d  r cos   r . n

n là vecto pháp tuyến đơn vị nằm theo phương
truyền sóng AS
Như vậy biểu thức dao động ở trên có thể viết
 
dưới dạng:
r .n
a cos 2 ( t 
)

gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng.
Trong phép biểu diễn phức hàm này có dạng:

  ae

 

r .n 
2 i  t 

 



• Khi biểu diễn ν và λ qua ε và p tương ứng, ta có :



  h   
h
 h 
h
p  p n


   ae

 
2 i

( t  p .r )
h

 ae

h
34

 1, 05.10 J .s
2

 
i
  t  p .r







• Khi biểu diễn theo vectơ sóng


k

với:

 2  

k
n  p  k

Khi đó hàm sóng phẳng đơn sắc còn có thể viết:

  ae
 ae

 
i
  t  p.r






 ae

 
2
 i ( h t  k . r )
h

  
i ( t k .r )


 ae

 
 i t  k . r






• Tóm lại hàm sóng phẳng ánh sáng đơn sắc có thể
 
biểu diễn :
r .n
  a cos 2 ( t 
)

• Hoặc dưới dạng phức:
 
 

i
  t  p .r
 i t  k . r


  ae

• Với:





 ae



 h   2 
  h ; p  n ; k 
n






3.Giả thuyết De Broglie
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, De
Broglie đã suy rộng tính chất đó cho mọi đối
tượng vật chất khác.

Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động
lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn
sắc xác định.
Năng lượng và động lượng của vi hạt liên hệ với
tần số và bước sóng của sóng theo các hệ thức:

E  h  2   


h 2 
p 
 p  k




Chú ý: Đối với photon, vì ta có   c /  nên chỉ
cần một hệ thức là có thể suy ra bước sóng và tần
số từ các tính chất hạt là năng lượng và động
lượng. Còn đối với các vi hạt khác thì phải có hai
hệ thức để suy ra bước sóng (   h / p ) và tần số
(   / h )
• Ví dụ: Tính bước sóng cho vật với khối lượng 1g
chuyển động với vận tốc 1m/s.
34
Ta có: h
h 6.625.10
34



p



mv



3

1.10 .1

 6.625.10

m

Bước sóng này quá nhỏ nên ta không thể quan sát
được tính chất sóng của vật.


4.Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie.
a)Thí nghiệm nhiễu xạ điện tử do Davisson và
Germer thực hiện năm 1927. Hai ông cho một
chùm điện tử có năng lượng 54 eV đập vào một
đơn tinh thể Ni và nghiên cứu sự
phụ thuộc vào góc phản xạ của
cường độ chùm tia phản xạ.
Các ông đã thu được bức tranh nhiễu
xạ điện tử. Bước sóng tính theo công thức về cực

đại nhiễu xạ Vulf-Bragg rất phù hợp với bước
sóng De Broglie.
2

1




Hình a và b là hình ảnh nhiễu xạ chụp được khi
cho chùm tia X tán xạ trên bột đa tinh thể, và
chùm electron đi qua cùng vật liệu đó.

(hình a)

(hình b)


b)Thí nghiệm 2
Cho một chùm electron qua một khe hẹp. Sau khi
qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi
phương và trên màn huỳnh quang
cũng thu được các vân
nhiễu xạ giống như trường
hợp nhiễu xạ của chùm sáng qua
khe hẹp. Kết quả thí nghiệm không thay đổi nếu
ta cho lần lượt các electron qua khe trong thời
gian dài.
e

II. Hàm sóng phẳng De Broglie
1. Hàm sóng:
Theo giả thuyết của De Broglie, chuyển động của
hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng tương tự
như sóng phẳng ánh sáng đơn sắc, được gọi là
hàm sóng De Broglie:  

   0e

i
 Et  p . r






  0e

 
 i t  k . r





Trong đó  0 là biên độ của hàm sóng được xác
2
2

*
định bởi:
 0     .

 là liên hiệp phức của 
*


2. Ý nghĩa xác xuất của sóng De Broglie:
Trước khi có giả thuyết De Broglie, người ta chỉ
biết hai loại sóng cơ và sóng điện từ. Hàm sóng
mô tả các các loại sóng này biểu diễn sự biến
thiên theo thời gian và không gian của các đại
lượng đặc trưng cho chúng. Ví dụ độ lệch khỏi vị
trí cân bằng trong sóng cơ, hay vecto cường độ
điện trường, từ trường trong sóng điện từ. Sóng
De Broglie không phải là sóng cơ và sóng điện từ.
Để hiểu được ý nghĩa vật lý của sóng De Broglie,
ta trở lại lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng.


• Ý nghĩa xác xuất đối với photon: Xét một chùm
hạt photon chuyển động trong không gian qua
một phần tử có thể tích V bất kỳ bao quanh điểm
M. Theo thuyết sóng AS thì cường độ sáng tại M
tỉ lệ với bình phương biên độ của biểu thức dao
động sáng I  . *   2 . Theo thuyết hạt thì CĐ
sáng tại M tỉ lệ với số photon mang năng lượng
hν đi qua một đơn vị thể tích bao quanh điểm M.
2

Vậy  tỉ lệ với số photon trong2 một đơn vị thể
tích bao quanh điểm M. Nếu  càng lớn thì số
hạt photon trong một đơn vị thể tích càng nhiều
nên xác xuất tìm thấy hạt photon càng lớn.


• Ý nghĩa xác xuất đối với các hạt vi mô
Dựa trên kết quả của thí nghiệm tương tự về
nhiễu xạ các hạt vi mô trên màng kim loại. Max
Born đã đưa ra giả thuyết cho rằng trong biểu
thức biểu diễn sóng De Broglie, bình phương biên
độ sóng tại một vị trí nào đó trong không gian sẽ
tỉ lệ với xác xuất tìm thấy hạt tại vị trí đó.
2
*
   . gọi là mật độ xác xuất (xác xuất
thấy hạt trong một đơn vị thể tích). Như vậy hàm
sóng  không mô tả một sóng thực nào trong
không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý
cổ điển mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt
tại một trạng thái nào đó.


Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích bất kỳ dV là
2

 dV
• Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: khi tìm hạt trong
toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy
hạt, nghĩa là xác xuất tìm hạt trong toàn không

gian bằng 1:
2
  dV  1 (1)
(1) gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm sóng


• Cần chú ý một điểm khác nhau giữa cơ học
lượng tử và vật lý phân tử. Trong vật lý
phân tử, qui luật thống kê có quan hệ với
tập hợp nhiều hạt (phân tử, nguyên tử) còn
từng hạt riêng rẽ không có tính thống kê.
Nhưng trong Cơ học lượng tử qui luật thống
kê có quan hệ ngay cả với từng vi hạt riêng
biệt, cũng như đối với tập hợp hạt.


• Điều kiện của hàm sóng:
a) Hàm sóng phải giới nội, vì nếu hàm sóng không
giới nội thì tích phân (1) không thể giới nội
b) Hàm sóng phải đơn trị, vì nếu không đơn trị thì
ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất tìm hạt.
Điều này trái với lý thuyết xác xuất.
2
c) Hàm sóng phải liên tục, vì  không thể thay
đổi nhảy vọt.
d)Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục


Ví dụ: Hàm sóng của điện tử trong nguyên
tử hydro ở trạng thái cơ bản có dạng :

 (r )  Ae

 r / a0

trong đó a0 = 0,529. 10-10 m là bán kính quỹ
đạo Bohr thứ nhất. Xác định A qua điều
kiện chuẩn hóa.


• Điều kiện chuẩn hóa:
2


2 2 r / a0


(
r
)
dV

1

A
e


0

1
 A
 a0

2

4 r dr  1


3)Sóng phẳng và vận tốc pha:
Xét một sóng đơn sắc truyền dọc theo trục x:

   oe

 i (t  kx )

Đại lượng:  t  kx gọi là pha của sóng
Giả sử tại một điểm x nào đó pha có giá trị xác
định  . Tọa độ của điểm này được xác định từ
phương trình:    t  kx
Theo thời gian điểm có pha  dịch chuyển với
một vận tốc vf được xác định từ điều kiện không
đối của pha, được gọi là vận tốc pha


t  kx  const
dx
dx 
  k
 0  vf 


dt
dt k
Áp dụng cho sóng De Broglie ta có:

  E mc
c
vf  
 

k k
p mv
v
2

2


Theo TTĐ vận tốc hạt v của hạt không thể lớn
hơn c, do vận tốc pha vf lớn hơn c. Điều này
chứng tỏ vận tốc pha vf của sóng De Broglie
không đặc trưng cho tốc độ truyền hạt, truyền
năng lượng hay truyền tín hiệu.
Chú ý: đối với hạt cổ điển chuyển động với v <<
2
E mv
v
c, thì :

vf 

p



2mv

Đối với photon ta có:



2 E mc 2
vf  
c
p mc

Vậy vận tốc pha của sóng De Broglie có thể lớn
hơn, bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc AS