Giao trinh bai tap gải chi tiết đề thi gt đề 1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

Nguyễn Hồng Lộc
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2016.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

1 / 22


Câu 1
Cho hàm số f (x, y , z) = x 3y 2 + 2xy + z 3 và điểm
M0(1, −1, 1).
a) Tính đạo hàm của hàm f theo hướng véc-tơ
→
−
= (1, 2, −2) tại M0
−−→ →
−
5
f→
− (M0 ) = grad f . I = −
3

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

2 / 22


Câu 2
Cho S là mặt phía trong của mặt x 2 + y 2 + z 2 = 3.
Tìm pháp vecto đơn vị tại điểm (1,1,1).
Ta có mặt S có phương trình
F (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0. S là mặt
hướng vào trong,tại điểm (1,1,1) mặt hướng xuống
so với Oz.(có thể cho x=1, vẽ mặt chiếu Oyz để
nhìn thấy). Do đó pháp vecto đơn vị
−(Fx , Fy , Fz )
(−1, −1, −1)
−
√
=
n→
=
SI
2
2
2
3
Fx + Fy + Fz
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

3 / 22


Câu 3
Tính
x 2 + y 2 + z 2dxdydz, V giới hạn bởi
V
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z; z ≤ x 2 + y 2, y ≥ 0
Chú ý hàm dưới dấu tích phân,ở đây chỉ dùng
được tọa độ cầu
Tọa độ cầu:
x = rcosϕsinθ; y = rsinϕsinθ; z = rcosθ
Thay vào hình cầu r 2 ≤ 2rcosθ, mặt nón
rcosθ ≤ rsinθ. Điều kiện y = rsinϕsinθ ≥ 0
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

4 / 22


Trên TXĐ [0, π]: cosθ ≤ sinθ → π4 ≤ θ ≤ π2 ,
y = rsinϕsinθ ≥ 0 → sinϕ ≥ 0

0 ≤ ϕ ≤ π; π4 ≤ θ ≤ π2 ; 0 ≤ r ≤ 2cosθ
π
π
2cosθ √
2
I = dϕ dθ
r 2.r 2sinθdr = ... Tính
0

π
4

0

tích phân nhờ đổi biến t = sinθ

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

5 / 22


Câu 4
Tính I = (y 5e x − 5y )dx + (5y 4e x − 5)dy với
C

C :x =

1 − y 2 đi từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1).

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

6 / 22


C : x = 1 − y 2 là nữa bên phải của đường tròn
x2 + y2 = 1
Qx = 5y 4e x ; Py = 5y 4e x − 5: thêm vào đường đi
từ B đến A để được đường kín và áp dụng Green
− = − (Qx − Py )dxdy −
I =
C +BA

BA

D

BA
1

I =−
x 2 +y 2 ≤1;x≥0

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

(5y 4 − 5)dy =

5dxdy −
−1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

−5π
2

TP. HCM — 2016.

+8

7 / 22


Câu 5
Tìm diện tích mặt xung quanh giới hạn bởi
z = x 2 + y 2 và mặt z = 9
Vật thể này có 2 mặt: S1 :mặt z = x 2 + y 2 giới
hạn bởi mặt z=9, S2 : mặt z=9 giới hạn bởi mặt
z = x2 + y2
Tính S1: Mặt chính: z = x 2 + y 2. Dxy : khử z,
x2 + y2 ≤ 9
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

8 / 22


S1 =

1 + (2x)2 + (2y )2dxdy

dS =
S
2π

=

Dxy
3

dϕ
0

0
12
2π 8 3 (1

√

1 + 4r 2rdr
3

4r 2) 2 |30

√

π
6 (37

+
37 − 1)
=
=
Tính S2: Mặt chính:√
z = 9. Dxy : x 2 + y 2 ≤ 9
1 + 02 + 02dxdy
S2 =
dS =
S

Dxy

= 9π
S = S1 + S2
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

9 / 22

Câu 6
Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∞ (2n + 1)! ln(1 + 1 )
3n
3n .(n!)2
n=1
an+1
D = lim
n→∞ an
1
)
(2n + 3)!
3n .(n!)2 ln(1 + 3n+1
D = lim n+1
n→∞ 3
.((n + 1)!)2 (2n + 1)! ln(1 + 31n )
1
(2n + 2)(2n + 3) 3n+1
D = lim
. 1 = 4/9 < 1
n→∞
3(n + 1)2
3n
Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này hội tụ.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

10 / 22


Câu 7
Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
n2
n
∞
n+1
3n + 1
2n + 3
n=1 n + 3
n2

n

n+1
3n + 1
an =
n+3
2n + 3
1
C = lim |an | n = e −2. 23 < 1
n→∞

Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi này hội tụ.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

11 / 22


Câu 8
Tìm bán kính hội tụ và tính tổng với x = 21
∞ (−1)n .2.5..(3n − 1)
n+1
x
3n+1.(n + 1)!
n=1
an+1
|=
ρ = lim |
n→∞ an
2.5..(3n − 1)(3n + 2) 3n+1.(n + 1)!
lim
= 1. Bán
n→∞
3n+2.(n + 2)!
2.5..(3n − 1)
kính R = 1/ρ = 1
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

12 / 22


Để í số hạng tổng quát có n! dưới mẫu, nhưng
cũng có một tích vô hạng theo n trên tử. Trong
các công thức Maclaurint cơ bản, chú ý công thức
α(α − 1)..(α − n) n+1
x
(1 + x)α = 1 + αx + .. +
(n + 1)!
Với α = 13 , số hạng tổng quát
α(α − 1)..(α − n) n 13 ( 31 − 1)..( 13 − n) n+1
x =
x
=
n!
(n + 1)!
(−1)n 2.5..(3n − 1) n+1
x
chính là số hạng trong
3n+1(n + 1)!
tổng đã cho.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

13 / 22

Số hạng đầu trong (1 + x)α bậc 0, do đó thiếu 2 số
∞ (−1)n .2.5..(3n − 1)
1
3
n+1
(1
+
x)
−
1
−
x
=
x
3
n+1 .(n + 1)!
3
n=1
Thay x = 12 ta có kết quả

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

14 / 22

Câu 9
∞

(n − 1)! + 1 n
x
n!
n=1
∞ 1
∞ 1
∞ 1
∞ 1
n
n
n
S=
x +
x =
x +(
x n − 1)
n=1 n
n=1 n!
n=1 n
n=0 n!
S = −ln|1 − x| + e x − 1
Tính tổng S =

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

15 / 22


Câu 10
Sử dụng tính tích phân I =

ydx − zdy + xdz,
C

trong đó C là giao tuyến của 2 mặt
x2 + z2
+ y 2 = 2, z = x lấy theo chiều kim đồng
2
hồ hướng lên so với trục Oz.
P = y , Q = −z, R = x
I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx +
S

(Qx − Py )dxdy
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

16 / 22

I =−

(0 + 1)dydz + (0 − 1)dzdx + (0 − 1)dxdy
S

Chọn S là phần mặt z=x nằm trong elipsoid hướng
lên so với Oz. Dxy : y 2 + x 2 ≤ 2(sau khi khử z)
P1 = 1, Q1 = −1, R1 = −1, zx = 1, zy = 0
I = (+)(−) Dyz (−P1zx − Q1zy + R1)dxdy
I = − Dxy (−1.1 − (−1).0 + (−1))dxdy = 4π

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

17 / 22


Câu 11
Tính I =

(2x + 1)dydz − ydzdx + (z + 2)dxdy
S

với S là mặt phía trong của hình trụ x 2 + y 2 = 4,
giới hạn bởi z=1,z=2.
Mặt trụ không chứa z, không thể chiếu lên mặt
Oxy như thông thường

Có thể vẽ mặt chiếu lên Oyz (x=0)
→ y = 2, y = −2, hướng vào trong
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

18 / 22


Để được mặt kín thêm vào 2 mặt
S1 : z = 1, x 2 + y 2 ≤ 4 hướng lên so với Oz
S2 : z = 2, x 2 + y 2 ≤ 4 hướng xuống so với Oz
I =
− −
= I0 − I1 − I2
S+S1 +S2

I1 =

S1

=+
S1

(z = 1) + 2dxdy = 3.4.π = 12π

Dxy

=−

I2 =
S2

S2

(z = 2) + 2dxdy = −16π

Dxy

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

19 / 22


I0 = −

(Px + Qy + Rz )dxdydz = −
V

(2 −
V

2π

1 + 1)dxdydz = −

2

dϕ
0

2

2rdz = −8π

dr
0

1

I = −8π − 12π − (−16π) = −4π

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

20 / 22


Câu 11
Tính I =

ydzdx + 2dxdy với S là mặt phía
S

dưới của mặt trụ z = 4 − x 2, giới hạn bởi các mặt
phẳng z = 0, y = 0, y + z = 4.
Mặt S : z = 4 − x 2 → zx = −2x, zy = 0
Hình chiếu xuống Oxy: phương trình chỉ chứa
(x,y): y=0, khử z( giao z trong mặt chính với các
mặt giới hạn): 4 − x 2 = 0, 4 − x 2 = 4 − y
Dxy : {y = 0, x = 2, x = −2, y = x 2}
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

21 / 22


I =−

(−Pzx − Qzy + R)dxdy = −

Dxy

Dxy
x2

2

I =−

2dy = −

dx
−2

2dxdy

0

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

32
3

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

22 / 22