Hệ phương trình bài tập + giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 54 trang )
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
GIÁO VIÊN: NGUYỄN BÁ TUẤN
Tài liệu học tập dành cho học sinh lớp 10. Tài liệu trình bày 3 phương pháp giải hệ phương trình bao gồm: phương pháp
biến đổi đại số, phép thế và phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi gặp 1 bài hệ phƣơng trình thì ta có thứ tự ƣu tiên cho các hƣớng giải sau:
+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế
-
-
Phép thế : Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay vào phương
trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số.
Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như bình thường để tìm
mối quan hệ giữa x và y.
Phƣơng pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có
form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử
chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định
(UCT).
Phƣơng pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.
+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:
-
Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x y,( x y) , x y,( x y) ...... thì đặt tổng – tích
2
2
(P=x+y, S=xy).
2
2
k
k
-
Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x , y , x , y .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ.
-
Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.
- Trang | 1 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
PHẦN 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ VÀ PHÉP THẾ
CH
N ĐỀ
Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phƣơng trình tích và phép thế
1.1 Phép rút - thế
4
3
3
2 2
x x y 9 y y x x y 9 x (1)
Bài 1. Giải hệ phƣơng trình:
3
3
(2)
x y x 7
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x y
Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử
chung:
(1) x 4 xy 3 x 3 y x 2 y 2 9 x y 0
x y x x 2 xy y 2 x 2 y 9 0
2
x y x x y 9 0
x x y 9 0 (do x y )
2
x x y 9 (3)
x 0
2
(2) y 3 x3
7
7
y 3 x3
x
x
Thay vào (3) ta được:
2
7
x x 3 x 3 9
x
2
7 3 3 7
2
3
3
x x 2 x. x x 9 0
x
x
2
7
7
x 2 x . x x. 3 x 3 9 0
x
x
3
2 3
3
x3 2 x. 3 x 6 7 x 2 3 x x 4 7 9 0 (4)
2
Xét hàm số: f ( x) x3 2 x 3 x6 7 x2 3 x x4 7
2
6 x 6 14 x 2
f '( x) 3x 2 3 x 6 7 x 2
2
3 3 x6 7 x2
2
9, x 0
8
4
1 9 x 70 x 49
.
0, x 0
3
2
2
3 x x4 7
Suy ra f ( x) đồng biến trên 0; mà: f (1) 0
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x 1 y 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x; y 1;2
- Trang | 2 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x 2 y 2 xy x 3
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x 1 4 xy y 1 8 x
Giải
Bình phương 2 vế của phương trình (1): x y x y
2
2
2
2
x 3
2
Hệ phương trình tương đương với:
xy x 3 0
xy x 3 0
2
2 2
2
2
2
2 2
x y x y x 3 x y x 3 0
2
2
2
3 2
2 2
2
2
2 2
x y x y x 3
x y 4 x y 8 x y
x 0
xy x 3 0
x 0; y 0
2 2
2
y 0
x y x 1 0
x 1
x 1; y 5
2
2
2
2 2
5
x y x y x 3
x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 2
xy 2 y x 2 2
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
2
y 2 x 1 x 2 x 3 2 x 4 x
1
2
Giải
Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do
x2 2 x x 2 x x x 0 x ¡ x 2 2 x 0 x ¡
Nên ta có (1) y
Thế y
x2 2 x 2 y
2
x 2x
2
x2 2 x
x 2 2 x vào phương trình (2) ta có:
2
x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 x 3 2 x 2 4 x
1 x x 2 2 2 x x 1 x 2 2 x 3 0
x 1 1
x 1
2
2 x 1
x
2
2 (*)
Xét hàm số f ( x) t 1 t 2 2 ta có:
f '(t ) 1 t 2 2
t2
t2 2
0, t ¡ f (t ) đồng biến trên ¡
(*) f x 1 f x x 1 x x
1
2
1
1
x
x y 1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là
2
2
y 1
x3 4 y y 3 16 x (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
2
2
1 y 5 1 x (2)
Giải
- Trang | 3 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
“Thế hằng số”
PT (2) y 5 x 4 (3)
2
2
Thay vào (1) ta được:
x 0
x3 y 2 5 x 2 y y 3 16 x3 5 x 2 y 16 x 0 2
x 5 xy 16 0
x 0 y2 4 y 2
x 2 16
x 5 xy 16 0 y
5x
2
2
x 2 16
2
4
2
2
5 x 4 124 x 132 x 256 0 x 1
5
x
x 1 y 3
x 1 y 3
2 x 2 y 3xy 4 x 2 9 y
2
7 y 6 2 x 9 x
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
Ta có từ (2) suy ra: y
2x 9x 6
(3)
7
2
Thay (3) vào (1) ta được:
2 x2 9 x 6
2 x 2 9 x 6 7.4 x 2
2 x2 9 x 6
2x2
3
x
9
7
7
7
7
2 x 2 9 x 6 2 x 2 3 x 9 28 x 2
4 x 4 24 x3 31x 2 99 x 54 0
1
x 2
x 2
1
x x 2 4 x 2 18 x 54 0
x 9 3 33
2
4
x 9 3 33
4
Với x
1
1
y suy ra hệ phương trình có nghiệm
2
7
Với x 2 y
1 1
;
2 7
16
suy ra hệ phương trình có nghiệm
7
16
2;
7
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm x; y là:
- Trang | 4 -
Khai test đầu xuân 2016
1 1
; ,
2 7
16
2;
,
7
Tài liệu học tập
9 3 33 9 3 33
;3 ,
;3
4
4
2
x 3y 9
Bài 6. Giải hệ phương trình: 4
2
y 4 2 x 3 y 48 y 48 x 155 0
Giải
Ta có (1)
9 x
y
3
2
Thay vào (2) ta có:
9 x2
y 4 4 2 x 3 y 2 48
48 x 155 0
3
y 4 4 2 x 3 y 2 16 x 2 48 x 11 0
y 2 4 x 11 y 2 4 x 1 0
y 2 4 x 11 (3)
2
y 4 x 1 (4)
9 x2
y
3
Từ (3) và (1) ta được
2 2
9 x 4 x 11 (*)
3
x 2 3 2 x 3 2 0 (6)
2
(*) x 4 18 x 2 36 x 18 x 4 18 x 1
2
x 3 2 x 3 2 0 (7)
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
Ta có (6)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
(7)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
9 x2
y
3
Thay (4) và (1) ta có:
2 2
9 x 4 x 1 (**)
3
- Trang | 5 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
(**) x 4 18 x 2 36 x 72 0
x 2 6 x 12 x 2 6 x 6 0
x 2 6 x 6 0 (do x 2 6 x 12 0, x)
x 3 3 y 1 2 3
x 3 3 y 1 2 3
x3 y 3 4 x 2 y
Bài 7. Giải hệ phương trình: 2
2
x 1 3 1 y
Giải
x 2 1 3 1 y 2 4 x 2 3 y 2
Xét 4 x 0 x 2, y 0 hoặc x 2, y 0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)
2
Xét y 0 suy ra x 2 hoặc x 2 (thỏa mãn HPT)
Xét y 0 và x 2
Ta có:
3
3
2
2
4 x x y 2 y
x 4 x y y 2
(*)
2
2
2
2
4 x 3 y
4 x 3 y
2
y 3xy 2 (1)
2
x 10 9 xy (2)
Suy ra 3xy y 2 2 . Vậy
y2
y
Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y x 6 xy 5 y x 6 xy 0 5 2 6 1 0
x
x
y
y 1
đến đây các bạn tự làm tiếp.
1,
x
x 5
2
2
2
2
2
3
2
2 y x 2 x y y 1 7 y
Bài 8. Giải hệ phương trình: 2
2 y 2 xy 1 7 y
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương:
y 2 y 2 2 y 1 2 x y 3 y 2 1 7 y
2
2 y 2 y 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
2 y 2 xy 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
3
2
2 y y y 6 y 8 y 1 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
4
3
2
y 6 y 10 y 6 y 1 0
2 x y 3 6 y 2 8 y 1 x 2
4
y 1
y 1 0
- Trang | 6 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 2;1
x y 1 1 7 y 1 1
Bài 9. Giải hệ phương trình:
x 2 y x y 1 13 y x 2 12
Giải
ĐK: y 1
Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:
x
2
13 y 1 x y 1 1 0 (*)
Ta thấy x 7 không là nghiệm của hệ.
=> x 7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
x
y 1 1 7 y 1 1
7 x y 1 x 1
Thế
y 1
y 1
x 1
7x
x 1
vào (*) ta được:
7x
x 1 x x 1
13
1 0
7x
7x
x 4 x3 5 x 2 33x 36 0
x
Với x 1 , ta được
Với x 3 , ta được
2
x 1
x 1 x 3 x 2 5 x 12 0
x 3
1
9
y 1 y
3
8
y 1 1 y 0
8
9
Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm x; y 1; , 3;0
3 3
3
2
16 x y 9 x 2 xy y 4 xy 3
Bài 10. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
4 x y 2 xy y 3
Giải
Với y 0 không là nghiệm hệ.
Với y 0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y , phương trình thứ hai cho y ta được
3
2
- Trang | 7 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
3
3
16 x 9 2 x 1 4 x 2 (1)
y
4 x 2 2 x 1 3 (2)
y2
Thế (2) vào (1) ta được:
16 x3 9 2 x 1 4 x 4 x 2 2 x 1 x3 1 x 1
3
3 y 1
y2
Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1
x
6 y 2 3 x y 3 y
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2 3 x 3 x y 6 x 3 y 4
Giải
Phương trình (1): 3 y 2 3x y
y
3 y 2 3x y 0 (3)
3x y 0
y 3x y 0 (4)
Thế phương trình (3) vào phương trình (2):
1
x 6
y 1
6 x 3 y 8
6 x 3 y 8
3
2
3 y 2 3 x y 0
3 y 16 10 y 0
x 1
6
y 1
3
13
73
5
73
13
73
5
73
Thế phương trình (4) vào phương trình (2)
x 4
y 4
y 3x y 0
y 3x y 0
x 1
2
4
6 x 5 y 4
2 y 4 7 y 0
1
y
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x; y
1
1
1
1
1 1
13 73 ; 5 73 ; 13 73 ; 5 73 ; 4; 4 ; ;
3
3
6
6
4 2
- Trang | 8 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.2 Biến đổi đại số
x 4 y 4 240
Bài 1. Giải hệ phương trình: 3
3
2
2
x 2 y 3 x 4 y 4 x 8 y
Giải
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:
(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)
x 4 8 x3 24 x 2 32 x 16 y 4 16 y 3 96 y 2 256 y 256
x 2 y 4 x 2 y 4 x 2 4 y x y 2 x 6 y
4
4
Thay vào phương trình đầu ta được:
1 8 y3 24 y 2 32 y 16 240
y 3 3 y 2 4 y 28 0
y 2 y 2 5 y 14 0
y 2 x 4
2 24 y 3 216 y 2 864 y 1296 240
y 3 9 y 2 36 y 44 0
y 2 y 2 7 y 22 0
y 2 x4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x; y 4; 2 , 4;2
4
x 5 y 6 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình: 2 2
x y 5 x 6 (2)
Giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 x2 y 2 5 y x 0
x2 x2 y 2 5 x y 0
x 2 x y x y 5 x y 0
x y x 2 x y 5 0
x y
2
x x y 5 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
x 2 y 2
x 4 5 x 6 x3 x 3 x 2 x 1 0
x 1 y 1
- Trang | 9 -
Khai test đầu xuân 2016
Nếu x 2 x y 5 0 y
Tài liệu học tập
5
x thay vào (1) ta được:
x2
5
x 4 5 2 6 x6 5 x3 6 x 2 25 0
x
Từ (2) ta có: 5 x 6 x 2 y 2 6 x
3
6
5
2
6
6 432
Do đó: 5 x 6 x 5. 6.
25 x 6 5 x3 6 x 2 25 0
25
5
5
3
2
Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x; y 2; 2 , 1;1
x x y 1 1 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
y x 2 y x y x 0 (2)
Giải
x 0
x y 1 0
ĐK:
(1) x x y 1 1
x x y 1 2 x y 1 1
y 2 x y 1
y 2 4 x y 1
y 2 4x
2
y22 x
(2) y x
2
xy 2 y x y x
1
y 2 2 x
x 4
y 2 2 x
y 2 2 x
x
(I )
2
4
y x y x
y 1 y 2
y y 2 0
2 y y 2 y y 2
y xy 2 3x 2 (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2
2
y x y 2 x 0 (2)
Giải
y xy 2 3 x 2 (1)
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
y y x 2 x (2)
- Trang | 10 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Suy ra:
xy 2 3x
4 3x3
y
(3)
y x2
2
5x
Thế (3) vào (1), ta được
4 3x3 4 3x3
2 3x 2
x.
5x
5x
4 3x3 10. 4 3 x3 75 x3 0
2
9 x 6 69 x3 24 0
t 8
Đặt x t , ta được 9t 69t 24 0
t 1
3
2
3
Với t 8 suy ra x 2 dẫn đến y 2
Với t
1
suy ra x
3
3
1
1
1
2
dẫn đến y 3 y 2 3 0
3
9
3
2
1
1
Phương trình này vô nghiệm do 3 8. 3 0
9
3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y duy nhất là 2; 2
2
4
3
4 x y 4 xy 1 (1)
2
2
4 x 2 y 4 xy 2 (2)
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
Trừ vế theo vế được:
y 4 2 y 2 4 xy 1 y 2 1
y 2 1 4 xy y 2 1
2
y 2 1 y 2 1 4 xy 0
Với y 1 y 1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)
2
Với y 1 4 xy , thay vào (2), ta được 4 x y 1 y 1 4 x (3)
2
2
Lại thay (3) vào (1) ta có: 1 4 x 2
2
2
2
2
4 xy 1 4 x 2 1 4 x 2
Nếu 1 4 x 2 0 thì y 0 không thỏa hệ. Vậy 1 4 x 4 xy 1 x xy 0
2
2
Với x 0 y 1
Với x y thay vào hệ được x
1
5
- Trang | 11 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1 1 1
1
;
;
,
5
5 5
5
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1),
x y 4 13x 4
(1)
Bài 6. Giải hệ phương trình:
x y 3x y 2 (2)
Giải
Ta có:
x y 3x y 2
x y 3x y 2
x y 3x y 2
4 x 2 4 x 1 3 x 2 2 xy y 2 , x
1
2
x y 4x 1
2
5
16
x 1
Thay vào (1) ta được: 4 x 1 13x 4
2
Do x 1
x
1
5
3
nên loại nghiệm này. Vậy x
. Suy ra y
.
2
16
16
5 3
;
16 16
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
y 3 x3 9 x3 (1)
2
2
(2)
x y y 6 x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
Giải
Xét trường hợp x 0 dẫn đến y 0
Xét trường hợp x, y 0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
x 2 y x 4 x 2 y 2 9 x3 (1)
2
6x
(2)
x y
y
Lấy (2) thế vào (1), ta được:
(1) 2 x 4 x 2 y y 2 3x 2 y
2 x4 2 x2 y y 2 9 x2 y
x2 y
2
9 2
x y (3)
2
Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:
- Trang | 12 -
Khai test đầu xuân 2016
(2) x 2 y
2
Tài liệu học tập
36 x 2
(4)
y2
Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 8 y 2
3
Với y 2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x 2 và x 1
Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)
2
2
3
x y 2 xy 3 y 4 x y 0
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2
2
2
xy x y 1 3xy x y
Giải
+Phương trình thứ nhất tương đương:
x2 y xy 2 3xy 2 3 y3 4 x y 0
x y 3 y 2 xy 4 0
y x
2
3 y xy 4 0 (*)
Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:
x 1
2x x 1 0
x 2
2
4
2
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 ,
2 2 2 2
;
;
,
là bốn nghiệm của hệ đã cho.
2 2 2 2
+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
xy 1
xy 1 x 2 y 2 1 0
2
2
x y 1 0 (**)
Thế xy 1 vào (*), ta được: y 1 y 1 .
2
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho.
Từ x y 1 ta được y 0 . Do đó (*) x
2
Thế x
2
3y2 4
y
3y2 4
4
2
vào (**), ta được: 10 y 25 y 16 0 (vô nghiệm)
y
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x; y 1;1, 1; 1 ,
2 2 2
2
;
, ;
2 2 2
2
- Trang | 13 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x
x 2y 6y 2
Bài 9. Giải hệ phương trình: y
x x 2 y x 3y 2
Giải
Điều kiện: y 0
Phương trình thứ nhất tương đương:
2
x 2 y 3y
y
25 y 2
x
2
y
2
4
x 2 y 2 y
+ Với
x 2 y 3 y thay vào PT(2) ta được:
x 3y x 3y 2
x 3y 1
x 3y 2
x 3y 2
x 3 y 4
4 5 y 3 y y
+ Với
4
8
x
9
3
x 2 y 2 y y 0 thay vào PT(2) ta được:
x 2 y x 3y 2 x 2 y x 2 y 5y 2
y 2
2 y 2 y 5 y 2
y 2 x 12
y 1 L
4
2
8 4
3 9
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ; , 12; 2 .
x x2 y 2 9x
(1)
5
x x2 y 2
Bài 10. Giải hệ phương trình:
5 3x
x
y 6 5 y (2)
Giải
y 0
Điều kiện: x 2 y 2 0
(*)
2
2
x x y 0
Ta biến đổi phương trình (2):
(2) 30 x 6 xy 5 y 3xy
x 5 9x
10 x 5
x
(**)
y
30
3y 9
Trục căn thức ở (1) ta được:
- Trang | 14 -
Khai test đầu xuân 2016
x
(1)
x2 y 2
y2
2
Tài liệu học tập
2
2
x
9x
x
9x
1
y
5
5
y
2
2
2
x
x
x x
9x
x
xx
0
2 2
1
1
6
1
1
3
y y
5
y
y y
y
y
x
y 0
2
x
x
1 3 0
y
y
x 0
x
Với: 0
5 (vô nghiệm)
y
x
9
2
x
x
Với: 1 3 0
y
y
2
x
x
1 3
y
y
x
y 3
2
2
x 1 9 6 x x
y
y y
x 5
y 3
Từ
x 5
thay vào (**) ta được
y 3
x 5
. Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa.
y 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;3
2
4
( x y )( x 4 y y ) 3 y 0
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 1 y y 1 0
HD
Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm x y , y xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặt tạm
2
a x y, b y 2 (1) : a a b 3b2 0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa a và b
đó là a 3b 0, a b 0 . Vậy ta có lời giải sau:
- Trang | 15 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
PT 1 ( x y ) 2 y 4 x y 4 y 2 4 y 4 0
x y y 2 x y y 2 4 y 2 x y y 2 0
x y 3 y 2 x y y 2 0
x y 3y2
2
x y y
) x y 3 y 2
PT 2 : y 3 y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y 2 1 y 2 y 1 *
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 y 0
y y 1 y 2 y 1 0
y 0, y 1
y 1 5 , y 1 5
2
2
L
) x y y 2
PT 2 : y y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y2 1 y2 y 1
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 2 y 2 3 y 0
y 0 L
y 1
y 1 13
2
y 1 13
2
1 13
ĐS : 4 13;
2
1 13
4 13;
; (2; 1)
2
- Trang | 16 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.3 Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2
1
y 2 x
2 (1)
y
Bài 1. Giải hệ phương trình: x x
y x 2 1 1 = 3 x 2 3 (2)
Giải
x 0
y 0
ĐK:
(1) y x y 2 2 x x 2 xy
y2
=
x 2 x y 2 x 0 (3)
2
x 2 x 8x x
x 2x
2
0
y x
(3)
y 2x
Nếu y x , thay vào (2) ta được:
Ta có: x
x
x 2 1 1 3x 2 3
x 2 1 1 0 3x 2 3 nên phương trình này vô nghiệm
Nếu y 2 x , thay vào (2) ta được:
2x
x 2 1 1 3x 2 3
x2 1 2 x 3 2 x
x2 1
(vì x
3
không thỏa phương trình)
2
Xét 2 hàm số: f ( x)
f '( x)
x
x 1
2
2x
2x 3
x2 1, x 0; và g ( x)
0, x 0; ; g '( x)
2x
, x 0;
2x 3
2 3
, x 0;
2x 3
Suy ra f(x) đồng biến trên 0; và g(x) nghịch biến trên 0;
Ta thấy x 3 là nghiệm của (4)
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x 3 y 2 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y
3; 2 3
- Trang | 17 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
2
2
xy x y x 2 y (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình
x 2 y y x 1 2 x 2 y (2)
Giải
Điều kiện: x 1; y 0 . Phương trình (1) x x y 1 2 y y 0
2
2
Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có
y 1 4 2 y 2 y 3 y 1
2
2
x y
x 2 y 1
Do có x + y > 0, nên tâ được: x 2 y 1
Thay vào phương trình (2) ta được:
(2 y 1) 2 y y 2 y 2(2 y 1) 2 y
2 y ( y 1) 2( y 1)
( y 1)( 2 y 2) 0 y 2
( Do y 0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
y 2 (5 x 4)(4 x)
Bài 3. Giải hệ phương trình: 2
2
y 5 x 4 xy 16 x 8 y 16 0
(1)
(2)
Giải
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
y 2 (4 x 8) y 5 x 2 16 x 16 0
y 5x 4
' 9 x2
y 4 x
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)
4
4
x, y ; 0
x
5
5
x, y 0, 4
x 0
Với y = 4 - x thay vào (1) ta được:
x 4 y 0
(4 x)2 (5 x 4)(4 x)
x 0 y 4
Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (-
4
; 0).
5
- Trang | 18 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x 2 y 4 9 y x(9 y y 3 )
Bài 4. Giải hệ phương trình:
3
x 1 1 y 2
HD
PT 1 x x(9 y y ) y 9 y 0
2
3
4
x (9 y y 3 ) 4 y 4 36 y y 3 y 9
2
9 y y3 y3 y 9
x
9 y3
2
3
9 y y y3 y 9
x
y
2
+ Với x 9 y thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm
3
+Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số:
ĐS :
0;0 , 11 6
11 6
3; 11 6 3
3; 11 6 3
(Sử dụng phương trình bậc 2 kết hợp vi-et)
2 x 2 xy 1
(1)
2
Bài 4. Giải hệ phương trình: 9 x
3xy
2 1 x 4 1 2 1 x 2 (2)
Giải
Xét phương trình bậc hai: 2t yt 1 0 (3)
2
(1) 2 x2 yx 1 0
Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3)
(2) 2.
Cho thấy t
9x2
2 1 x
3x
2 1 x
2
4
y.
3x
2 1 x
2
1 0
là một nghiệm của phương trình (3)
Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà x
định lý Vi- et ta có: x.
3x
2 1 x
2
3x
nên áp dụng
2 1 x 2
1 3
y2
x
1
2
2
1 3
y2
x
2
1 3 1 3
2 ; 2 , 2 ; 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( x; y )
- Trang | 19 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.4 Hệ đồng bậc
A B
có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau
C D
Nếu thấy hệ
và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B. Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia
để đưa về PT bậc 2, 3.... Khi đó giải phương trình bậc 2, 3.. ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y.
2 x 3 y x 2 3xy y 2
Bài 1. Giải hệ phương trình: 2
2
x 2 y x 2 y
Giải
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được:
(2 x 3 y )( x 2 2 y 2 ) ( x 2 y )( x 2 3xy y 2 ) x 3 4 y 3 3xy 2 2 x 2 y 0
x y
( x y )( x xy 4 y ) 0
x 1 17 y
2
2
2
x 0 x y 0
x 1
x y 1
Với y = x thay vào phương trình thứ hai suy ra 3x 2 3x
1 17
y
x
2
x2 2 y 2 x 2 y
1 17
Với x
y khi đó ta có hệ:
2
2 y 2 x 2 1
1
Bài 2. Giải hệ phương trình 3
3
2 x y 2 y x 2
Giải
Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc
2 x3 y 3 2 y 2 x 2 2 y x x3 2 x 2 y 2 xy 2 5 y 3 0 x y x 2 3xy 5 y 2 0
x y
2
2
x 3xy 5 y 0 3
Với x y thay vào (1) ta được y 1 y 1 .
2
2
Ta có x 2 3xy 5 y 2 x
3 11 2
y y 0 . Rõ ràng x y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Vậy (3)
2
4
vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 ,
1; 1 .
x3 4 xy 2 8 y 3 1
4
4
2 x 8 y 2 x y
Bài 3: Giải hệ phương trình
Giải
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
2 x y x3 4 xy 2 8 y 3 2 x 4 8 y 4
x3 y 8 x 2 y 2 12 xy 3 0(1)
Với y 0 x 1
- Trang | 20 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Với y 0
3
2
x
x
x
(1) 8 12 0
y
y
y
x
y 2 x 2y
x
6 x 6y
y
x
0 x0 y 0
y
Với x 2 y thay vào phương trình đầu ta được
2y
3
4 8 y3 8 y3 1
8 y3 1
y
3
1
x 1
8
Với x 6 y thay vào phương trình đầu ta được
6 y
3
24 y 3 8 y 3 1
200 y 3 1
y
3
1
216
x 3
200
200
Kết luận: Vậy hệ phương trìn có 4 nghiệm x; y 1;0 , 0;0 , 1;
3
1 3 216
;
,
8 200
3
1
200
x3 8 x y 3 2 y (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình: 2
2
x 3 3 y 1 (2)
Giải
Thế (2) vào (1) ta có:
3 x3 y 3 x 2 3 y 2 4 x y
I 2
2
x 3 y 6
3
2
2
x x 2 xy 12 y 2 0
x x y 12 xy 0
2
2
2
2
x 3 y 6
x 3 y 6
x 0 x 3 y x 4 y
2
2
x 3y 6
x 0
x 3y
x 4 y
2
2
2
2
2
2
x 3y 6 x 3y 6 x 3y 6
4
4
x
78 x
78
x
3
x
3
x 0
13
13
(
VN
)
2
y 1 y 1 y 1 78
3 y 6
y 1 78
13
13
- Trang | 21 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x3 y 3 xy 2 1 1
Bài 5. Giải hệ phương trình: 4
4
4 x y 4 x y 2
Giải
Thay (1) vào (2), ta có:
4 x 4 y 4 4 x y x3 y3 xy 2
xy 3 y 2 4 xy x 2 0
x 0 y 1
x 0 y 1
y 0 x 1
y 0 x 1
3 y 2 4 xy x 2 0
x y
x 3 y
Với x=y thay vào (1), ta có: x y 1
Với x=3y thay vào (1), ta có: x
3
3
1
,y 3
25
25
1
3
;
3 25 3 25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: x; y 0;1 , 1;0 , 1;1 ,
3
2
3
x 5 xy 3 y 2 x y
Bài 6. Giải hệ phương trình 2
x 2 xy 1
Giải
3
2
3
x 5 xy 3 y 2 x y
Hệ
2
x 2 xy 1 (2)
(1)
Nhân chéo 2 vế ta được x 7 xy 3x y 3 y 0 (3)
3
2
2
3
* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm
* Với y 0 ta có
x
y
x
y
(3) ( )3 3( ) 2 7
Đặt t
x
3 0 (4)
y
x
phương trình (4) trở thành
y
t 1
t3 + 3t2 – 7t + 3 = 0 t 2 7
t 2 7
Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (
Với t = 2 7 hệ có nghiệm là (
1
1
1 1
;
), (
)
;
3
3
3 3
2 7
1
2 7
1
;
), (
;
)
7
7
72 7
72 7
- Trang | 22 -
Khai test đầu xuân 2016
Với t = - 2 +
Tài liệu học tập
7 hệ có nghiệm là
7 2
1
,
;
7
7 2 7
x x y y 2(4 x y )
x 3y 6
Bài 7. Giải hệ phương trình:
7 2
1
;
7
7 2 7
(1)
(2)
Giải
Phân tích: trong PT(1) có VT bậc 3/2, VP bậc 1/2
trong PT(2) có VT bậc 1, VP bậc 0
khi đó bậc VT(1) +bậc VP(2) = bậc VT(2) +bậc VP(1)= 3/2
Nên ta có lời giải
x 0
y 0
Điều kiện:
Thay 2
1
( x 3 y) từ (2) vào (1) ta được: 3( x x y y ) ( x 3 y)(4 x y )
3
x ( x xy 12 y ) 0 x ( x 3 y )( x 4 y ) 0
x 3 y 0
x 0
x 9 y x 9; y 1
x 4 y 0
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (9;1)
x 2 xy y 2 3
Bài 8. Giải hệ phương trình x5 y 5 31
x3 y 3 7
Giải
Điều kiện: x y
x 2 xy y 2 3 2
x xy y 2 3
1
5
x y 5 31
5
5
3
3
x3 y 3 7
7 x y 31 x y 2
Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
21 x5 y5 31 x 2 xy y 2 x3 y 3 10 x5 31x 4 y 31x3 y 2 31xy 4 10 y 4 0 3 .
Rõ ràng x y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x ty thay vào (3) ta được:
y 5 10t 5 31t 4 31t 3 31t 10 0 10t 5 31t 4 31t 3 31t 10 0
t 1 0
t 1 10t 4 21t 3 10t 2 21t 10 0 4
3
2
10t 21t 10t 21t 10 0
Với t 1 0 t 1 hay x y x y 0 (loại).
Với 10t 21t 10t 21t 10 0 3 . Vì t 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương
4
3
2
trình cho t 2 ta được: 10 t 2
1
t
1
1
21 t 10 0 ,
2
t
t
Đặt u t u 2; u 2 t 2
1
1
2 t 2 2 u 2 2 . Khi đó (3) trở thành
2
t
t
- Trang | 23 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
2
u (loại)
5
10u 2 21u 10 0
u 5
2
t 2
1
5
5
2
Với u ta có t 2t 5t 2 0
t 1
t
2
2
2
Với t 2 ta có x 2 y thế vào (1) ta có 3 y 3 y 1 y 1 tương ứng x m2 .
2
Với t
2
1
ta có y 2 x thế vào (1) ta có 3x2 3 x2 1 x 1 tương ứng y m2 .
2
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là 1; 2 ,
1;2 , 2; 1 , 2;1.
3
4
x y y 7
Bài 9. Giải hệ phương trình 2
2
3
x y 2 xy y 9
Giải
y x3 y 3 7 1
x3 y y 4 7
2
2
3
2
x y 2 xy y 9
y x y 9 2
Từ hệ suy ra x.y 0; x y, y 0 .
Nhận xét: nếu để nguyên hệ dạng trên thì chưa có dạng đồng bậc nhưng khi ta lũy thừa 3 PT(1) và lũy thừa 4 PT(2)
ta sẽ đưa đc về hệ có dạng đồng bậc.
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn.
Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:
t
được phương trình:
3
1
3
t 1
Xét
t
f t
3
1
3
73
. Đặt x ty ta
94
3 . Từ phương trình này suy ra t 1 .
9t 2 t 3 1 t 1 8 t 1 t 3 1
8
7
t 1
8
1 t 1 t 3 9t 2 8
2
8
; t 1.
8
2
t
73
94
y4 x y
3
3
t 1
f' t
8
y 3 x3 y 3
3
t
3
1 t 1 9t 3 9t 2 8t 3 8
2
7
t 1
8
7
t 1
8
0 t 1
Vậy f(t) đồng biến với mọi t 1 . Nhận thấy t 2 là nghiệm của (3). Vậy t 2 là nghiệm duy nhất. Với t 2 ta có
4
x 2 y thế vào (1) ta được y 1 y 1 (vì y 0 ) suy ra x 2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 2;1 .
x y x y 2 y 1
Bài 10. Giải hệ phương trình
x 5 y 3
2
Giải
- Trang | 24 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Điều kiện của phương trình x y 0
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc
2 y x 0
x y x y 2 y 2x+2 x 2 y 2 4 y x 2 y 2 2 y x 2
2
2
x y 2 y x
2 y x
2 y x
2
y 0
5 y 4 xy 0
5 y 4 x 0
Với y 0 thay vào (2) ta suy ra x 9 (loại)
Với 5 y 4 x 0 thay vào (2) ta có
x 1 x 1 y
4
(thỏa mãn).
5
4
5
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1; .
- Trang | 25 -
