GIAO TRINH 4 đạo HÀM VÀ VI PHÂN p4

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 3
(khai triển Taylor)


KHAI TRIỂN TAYLOR
Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận
(x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có:
n

k

d f ( x0 , y 0 )
f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + ∑
+ Rn
k!
k =1
Cụ thể:
n

k

1 ∂
∂

f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + ∑  ∆ x + ∆ y ÷ f ( x 0 , y 0 ) + Rn
∂y 
k = 1 k ! ∂ x
1
n +1
Rn =

d ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) Phần dư Lagrange
(n + 1)!


Có thể thay Rn bởi o( ρn) (Peano) (là VCB bậc cao
hơn ρn khi ρ→ 0),
2

2

n

ρ = ∆x + ∆y , o ( ρ )
Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin
1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano.
2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm
1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến.
3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo
lũy thừa của ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0)


Ví dụ
1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1),
cho

z = f(x, y) = xy

fx′ = yx y −1, fy′ = x y ln x ⇒ df (1,1) = ∆x + 0.∆y
′′ = y ( y − 1) x
fxx

y

y −2

,

y −1
y −1
′′
fxy = x + yx ln x ,

2

′′ = x ln x
fyy
2

2

⇒ d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x ∆y + 0.∆y

2


df (1,1) = ∆x + 0.∆y
2

2

d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x ∆y + 0.∆y

2

2

df (1,1) d f (1,1)
z = f ( x , y ) = f (1,1) +
+
+ o( ρ 2 )
1!
2!
∆x 2∆x ∆y
z = 1+
+
+ o( ρ 2 )
1!
2!
2

= 1 + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o ( ρ )


Ví dụ
2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho

1
z = f (x, y ) =
1 + x + y − xy
Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2

1
2
2
z=
= 1 − u + u + o (u )
1+ u
2

2

= 1 − ( x + y − xy ) + ( x + y − xy ) + o (u )
= 1 − x − y + x 2 + 3xy + y 2 + o ( ρ 2 )


Ví dụ
3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho

z = f (x, y ) = e

x 2 + xy

Đặt X = x, Y = y – 1,

z=e

X + X 2 + XY
2

= 1 + X + X + XY
2

2

2

3

( X + X + XY ) ( X + X + XY )
3
+
+
+ o( ρ )
2
6


2

z = 1 + X + X + XY
2

2

2

3

( X + X + XY ) ( X + X + XY )
3
+

+
+ o( ρ )
2
6
3 2
7 3
2
3
= 1 + X + X + XY + X + X Y + o ( ρ )
2
6
3 2
7 3
2
3
z = 1 + x + x + x ( y − 1) + x + x ( y − 1) + o ( ρ )
2
6


Ví dụ
4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho

z = f ( x , y ) = x sin( y − 2). Suy ra f”xy(1, 2)
Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành
3

Y
3 
+ o (Y ) ÷

z = ( X + 1)sin Y = ( X + 1) Y −
6


3
Y
= Y + XY −
+ o( ρ 3 )
6
3
( y − 2)
3
= ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) −
+ o( ρ )
6


3

( y − 2)
3
f ( x , y ) = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) −
+ o( ρ )
6
2

d f (1,2)
= ( x − 1)( y − 2) = ∆x ∆y = dxdy
2!
2

⇔

′′ (1,2)∆x + 2fxy
′′ (1,2) ∆x ∆y + fyy
′′ (1,2)∆y
fxx
2
⇒ f”xy(1, 2) = 1

2

= ∆x ∆y