Ước lượng và kiểm định

CHƯƠNG III.
ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH


ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH

MỤC
TIÊU

1.Biết cách ước lượng điểm,
ước lượng khoảng các tham
số thống kê
2.Làm được các bài tập kiểm
định giả thuyết thống kê

2


ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH
NỘI DUNG CHƯƠNG
1

Ước lượng điểm

2

Ước lượng khoảng

3

Kiểm định giả thuyết

3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
 Một ước lượng điểm cho một tham số β chưa
biết của biến ngẫu nhiên X là một công thức mà
sẽ cho ra một giá trị ước lượng cá biệt ứng với
mỗi mẫu quan sát của biến ngẫu nhiên X

βµ = f ( X 1 , X 2 ,... X n )
 Một ước lượng cho tham số β được gọi là ước
lượng không chệch nếu

E ( βµ ) = β
4


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
 Ước lượng không chệch cho kỳ vọng

1 n
X= ∑
n i =1

X

i

 Ước lượng không chệch cho phương sai
n
1

2
¶Var( X ) = σµ =
(Xi − X )
∑
n − 1 i= 1
2

 Ước lượng không chệch cho hiệp phương sai
n
1
· ( X ,Y ) =
Cov
( X i − X )(Yi − Y )
∑
n − 1 i =1


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Ước lượng không chệch cho hệ số tương
quan
µp =
XY

∑ ( X − X )(Y − Y )
∑ ( X − X ) (Y − Y )
i

i

2

i

i

2


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các thuộc tính mong muốn của ước lượng điểm

Tính không chệch

E ( βµ ) = β



µ
β
Ước lượng không chệch

E ( βµ ) ≠ β



µ
β
Ước lượng chệch

Độ chệch:

bias( βµ ) = E ( βµ ) − β


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các thuộc tính mong muốn của ước lượng điểm

Tính hiệu quả

βµ 1

µ ) < Var( β¶ )
Var( β
1
2
=>

βµ 1 Hiệu quả hơn βµ 2

βµ 2
β

 Ước lượng cho tham số β được gọi là ước lượng không
chệch hiệu quả nếu phương sai của nhỏ hơn phương
sai của bất kỳ ước lượng không chệch nào khác


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các thuộc tính mong muốn của ước lượng điểm

 Kỳ vọng sai số bình phương cực tiểu

MSE = E ( βµ − β )2 = Var( βµ ) + [bias( βµ ]2
 Tính vững

µ

Ước lượng βcho tham số β được gọi là ước
lượng vững nếu
∀ ε > 0,lim P( βµ − β ≤ ε ) = 1
n→ ∞

hay

p lim( βµ ) = β


3.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Các thuộc tính mong muốn của ước lượng điểm
f

µ
β
n3

µ
β
n2

µ

β
n1
0

Ước lượng vững


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Phương pháp xây dựng ước lượng khoảng
 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác
suất phụ thuộc vào một tham số β chưa biết. Việc xây
dựng ước lượng khoảng với độ tin cậy (1- α) cho tham số
β sẽ được tiến hành theo các bước sau:
 Tìm một hàm G( X 1, X 2, X 3....X n, β ) của mẫu ngẫu nhiên X , X , X ....X
và tham số β sao cho luật phân bố xác suất của hàm G là đã biết
1

 Tìm các giá trị g1 và g2 sao cho:

P( g ≤ G ( X 1, X 2, X 3..., X n, β ) ≤
1

g ) = 1− α
2

2

3

n

3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Phương pháp xây dựng ước lượng khoảng
 Giải bất phương trình xác suất trên cho β để thu được

P[B1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ β ≤ B2 ( x1 , x2 ,..., xn )] = 1 − α
 Khi đó khoảng  B1; B 2  được gọi là khoảng tin cậy ngẫu nhiên
với độ tin cậy (1-α) cho tham số β

 Cho một mẫu cụ thể của biến ngẫu nhiên X ( x1 , x2 ,...xn ) .
Tính các giá trị của các hàm B1 và B2 cho mẫu cụ thể
này
b1 = B1( x1, x 2....x n)

b = B ( x , x ....x )
2

2

1

2

n

Khi đó b1, b 2  sẽ là một khoảng tin cậy cá biệt với độ tin cậy (1-α)
cho tham số β

3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

Xét bnn X : N (µ ,σ 2 )

với µ , σ 2 chưa biết

 Với một mẫu ngẫu nhiên

X , X , X ....X
1

2

3

n

X −µ
G=
: T (n − 1)
σµ / n

chúng ta có


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy đối xứng

f
T(n-1)

1-α
α/2

g1 = −tα /2

α/2

g 2 = tα /2

 ( n −1)

X −µ
( n −1)
P −tα / 2 ≤
≤ tα / 2  = 1 −α
µ / n
σ




3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy đối xứng
µ

µ 

( n − 1) σ
( n − 1) σ
P  X − tα /2
≤ µ ≤ X + tα /2
 = 1− α
n
n 


hay

µ
µ 

σ
σ
( n − 1)
( n − 1)
X
−
t
;
X
+
t


α /2

α /2
n
n 



3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy bên phải

f
T(n-1)

1-α
α

g1 = −∞

 X −µ

( n −1)
P
≤ tα  = 1 − α
µ
σ / n


g 2 = tα

3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy bên phải

µ


σ
( n − 1)
P  X − tα
≤ µ  = 1− α
n


hay

µ


σ
( n − 1)
; +∞ ÷
 X − tα
÷
n



3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy bên trái

f
T(n-1)

1-α
α

g1 = −tα

 X −µ

( n −1)
P
≥ −tα  = 1 − α
µ
σ / n


g 2 = +∞


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy bên trái

µ


σ
( n −1)
P  X + tα
≥ µ  = 1− α
n


hay

µ 

σ
( n −1)
 −∞ ; X + tα

n 



3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho phương sai của bnn có phân bố chuẩn

Xét bnn X : N (µ ,σ 2 )

với µ , σ 2 chưa biết

 Việc tìm ước lượng khoảng cho phương sai σ 2 có thể
căn cứ vào phân bố xác suất sau:
2

(n − 1)σµ
2
G=
:
χ
(n − 1)
2
σ


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho phương sai của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy đối xứng

2
2 

µ
µ
(
n
−
1)
σ
(

n
−
1)
σ


; 2
2
 χα (n −1) χ1−α (n −1) 
 2
2


f

1-α
α/2
α/2

χ 21−α (n − 1)
2

χ

2
α

2

(n − 1)

χ

2


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho phương sai của bnn có phân bố chuẩn

 Khoảng tin cậy bên phải

 (n −1)σ

µ2
 2
; +∞ ÷
÷
 χα (n −1)

 Khoảng tin cậy bên trái
2

µ
(n −1)σ 
 −∞; 2


χ1−α (n −1) 



3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có quy mô mẫu lớn
 Giả sử X là một bnn bầy kỳ E(X)=μ, Var(X)= σ2
 Theo định luật giới hạn trung tâm, với quy mô mẫu lớn,
chúng ta có:

1 n
σ2
X = ∑ X i : N (µ , )
n i=1
n

X −µ
G=
: N (0,1)
σµ / n


3.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của bnn có quy mô mẫu lớn
 Khoảng tin cậy đối xứng
µ
µ 

σ
σ
; X + zα
 X − zα


2
2
n
n



 Khoảng tin cậy bên phải


σµ
; +∞ ÷
 X − zα
÷
n


 Khoảng tin cậy bên trái


σµ 
 −∞ ; X + zα

n 



3.3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
Giả

Giả thuyết
thuyết
không
không (Ho
(Ho))

là một khẳng định về một hay
nhiều tham số phân bố xác
suất. Nó được coi là chấp
nhận nếu chúng ta không có
đủ bằng chứng để bác bỏ nó

Giả
Giả thuyết
thuyết
đối
đối (H1)
(H1)

là giả thuyết đối lập với giả
thuyết Ho