Đáp án học sinh giỏi toán vòng 2 quận đống đa

Bài 3:
a,
do 0  a,b,c  2 nên (a  2)(b  2)(c  2)  0
=> abc  2(ab  bc  ca)  4  0
=>abc+4<=2(ab+bc+ca)
do 0  a,b,c  2 nên 2(ab+bc+ca)>=4+abc>=4 nên ab+bc+ca>=2
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0,b=1,c=2 và hoán vị của nó
b,
Quy đồng nhân chéo thu được
(*)
Tương đương :
3(ab  bc  ca)(a  b)(b  c)(c  a)  2 (ab(b  c)(c  a)  bc(b  a)(c  a)  ca(a  b)(b  c)
VT  3(ab  bc  ca)(a  b)(b  c)(c  a)

do (a  b)(b  c)(c  a)  (ab  bc  ca)(a  b  c)  abc
nên
(a  b)(b  c)(c  a)  (ab  bc  ca)  abc
 VT= 3(ab  bc  ca)(ab  bc  ca)  3abc(ab  bc  ca)
 VT= 3(a 2b2  b2c2  c2 a 2  2(abc(a  b  c)))  3(ab  bc  ca)abc
VP= 2 (ab(b  c)(c  a)  bc(b  a)(c  a)  ca(a  b)(b  c)

 VP= 2 (ab(ab  bc  ca  c 2 )  bc(ab  bc  ca  a 2 )  ca (ab  bc  ca  b 2 ) 
 VP=2.3.(abc(a+b+c)+2( a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 )
 VP=6abc(a+b+c)+2( a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 )
 VT>=VP
 a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 >= 3abc(ab+bc+ca)
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
 3(ab  bc  ca)

abc
Mà a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 >=abc(a+b+c)

(*) 1  3(ab+bc+ca)
2
  a  b  c  >=3(ab+bc+ca) dpcm