Tài liệu ĐỀ THI + DAP AN HỌC SINH GIỎI TOAN 9

1
a b c d+ + +
PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
------------------------------------------------ NĂM HỌC 2009-2010
-------------------------
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/01/2010
Bài 1(4đ)
a) Tính tổng:
b) Cho a, b, c, d là các số dương và
a c
b d
=
. Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:
Bài 2: (4đ)
a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
b) (2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên
abc
có 3 chữ số sao cho :

( )
2

2
1
2
abc n
cba n

= −


= −


với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:
M =
1xxx1x7
23
−+−−−
với
1x
≥
b) (2đ) Giải phương trình

83xx326x
3 2
=++++
Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:
( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = −
a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).

b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 5: (2 đ)
Cho
∆
ABC đều điểm M nằm trong
∆
ABC sao cho AM
2
= BM
2
+ CM
2
. Tính số đo góc BMC ?
Bài 6 : (4,0 đ )
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường
tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB.
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB
2

b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất
đó theo R.
----HẾT----
1
2 2 2 2
...
15 35 63 399
P
= + + + +
ĐỀ CHÍNH THỨC

a d b c
a d b c
+ − −
=
+ − −
ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)
a)
2 2 2 2
...
15 35 63 399
P = + + + +
2 2 2 2
...
3.5 5.7 7.9 19.21
= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
...
3 5 5 7 7 9 19 21
= − + − + − + + −
1 1
3 21
= −
2
7
=
b)
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)

.

2 2
a c
do ad bc ad bc
b d
 
= ⇒ = ⇒ =
 ÷
 
(0.5
điểm)
Bài 2: ( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
a b ab a b
a b
a b
a b a b a b a b
− + − +
+
= = = − +
− − − −
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương

Ta có :
( ) ( )
2 2
2a b a b
a b a b
− + ≥ − ×
− −
Vậy
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
( 1đ )
1) ( 2 đđiểm )
Viết được
2
2
100 10 1
100 10 4 4
abc a b c n
cba c b a n n

= + + = −


= + + = − +



Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
M
99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100
2 2
1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
39 4 5 119n⇔ ≤ − ≤
(4) ( 0,75đđ )
2
(0,5 điểm)
(0,75 điểm)
(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a d b c
a d b c a d b c
+ − +
=
   
+ + + + − +
   
1
( ) ( )a d b c
=
+ + +
2 ( 2 )
a d b c
a d ad b c bc

+ − −
=
+ + − + +
2 2
a d b c
a d ad b c bc
+ − −
=
+ + − − −
1
a b c d
+ + +
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm
675abc =
( 0,5 đ )
Bài 3( 4đ)
a) (2 điểm) M =
1xxx1x7
23
−+−−−
với
1x
≥
)1xx7(1x
−+−−=
(0,25đ)
)
4
25

4
1
1x1x(1x
−+−−−−−=
(0,5đ)








−






−−−−=
4
25
2
1
1x1x
2
(0,5đ)
( )( )
21x31x1x

+−−−−−=
(0,5đ)
( )( )
21x1x31x
+−−−−=
(0,25đ)
b) (2đ) Giải phương trình
83xx326x
3 2
=++++
(1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ)
Với
1x0
<≤
thì:
831132613xx326x
3 23 2
=++++<++++
Nên PT vô nghiệm với
1x0
<≤
(0,5đ)
Với x >1 Thì:
831132613xx326x
3 23 2
=++++>++++
Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ)
Bài 4: (2 điểm)

a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên
( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ =
(0,5 điểm)
b) Gọi
( )
0 0
;x y
là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua
Ta có:
0 0
( 2) ( 3) 8m x m y m m+ + − = − ∀
. (0,5đ)
( )
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
( 1) 2 3 8 0 .
1 0 1
2 3 8 0 2
x y m x y m
x y x
x y y
⇔ + − + − + = ∀
+ − = = −
 
⇒ ⇔
 
− + = =
 
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)

Bài 5:
Vẽ tam giác đều CMN

(1 điểm)

mà
2 2 2
AM BM CM= +
2 2 2
BN BM MN⇔ = +
BMN⇔ ∆
vuông tại M.
·
·
·
0 0 0
90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + =
. (1 điểm)
Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB
2

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)
3
BCN ACM
BN AM
⇒ ∆ = ∆
⇒ =
AB . EB = HB
2

AC . EH = AC . AD = AH
2
=> ĐPCM (1 điểm)
b) S
(ADHE
)= AD.AE
≤

2 2 2 2
2 2 2
AD AE DE AH+
= =
(0,75 đ)
⇒
S
(ADHE)

≤
2 2 2
2 2 2
AH AO R
≤ =
(0,75 đ)
Vậy Max S
(ADHE
)=
2
2
R

Khi AD = AE
Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ)
4
O
B
C
A
H
D
E