ĐỀ +ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 9
Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 1 2x x 1 2x x x x
A :
1 x
1 x x 1 x x

+ +

= +
ữ
ữ

+


Với
>
1
x 0; x ; x 1
4
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi
x 17 12 2=
c) So sánh A với
A
.
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
a)
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
< <
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0.
b) Biểu thức
2
2
2
2008 2008
B 1 2008
2009 2009
= + + +
có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình
a)
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3
+ + + = + +

b)

x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ =
.
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đờng tròn (C
khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp
tuyến tại A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn
nhất đó theo R.
Bài 5: (1,5 điểm) Cho
( ) ( )
2008 2008
M 3 2 3 2
= + +
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.
Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng máy tính.
----- Hết -----
Họ tên thí sinh: .
Số báo danh :
Chữ ký giám thị 1: .
Chữ ký giám thị 2: .
hớng dẫn chấm thi
học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010

môn toán lớp 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)

1 1 2x x 1 2x x x x 1
A : x 0;x ;x 1
1 x 4
1 x x 1 x x

+ +


= + >
ữ
ữ
ữ
ữ

+




( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

+
+ +

= +

+ + +

x 2x x 1
x 1 x 2x 2 x x 1
:
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

+ +


= +

+ + +

x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1
2 x 1
:
x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x

( )
( )
2 x 1 1 x

: 2 x 1
1 x 1 x x
x x 1



= +

ữ
ữ
+





( )
( )
( )
( ) ( )
1 x x x 1 x
2 x 1
: 2 x 1 :
x x 1 1 x 1 x x
+ +

=
+

( ) ( ) ( )

1 1 1 x x
:
x
x x 1 1 x 1 x x
+
= =
+

0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
b) Tính giá trị của A khi
x 17 12 2=
(1 điểm).
Tính
( ) ( )
2 2
x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2= = = = =

( ) ( )
1 3 2 2 17 12 2 5 3 2 2
15 10 2
A 5
3 2 2 3 2 2 3 2 2
+

= = = =

0.5
0.5
c) So sánh A với
A
(1 điểm).
Biến đổi
1 x x 1
A x 1
x x
+
= = +
Chứng minh đợc
1
x 2
x
+ >
với mọi
1
x 0;x ;x 1
4
>

( )
1
A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0
x
A A 0 A A
= + > > > >
> >
0.25

0.25
0.5
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
< <
biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều
kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có:
( )
a b 1 a b 1 a b 1= + = >
.
( )
b 1 c 2 b c 1 b c 0 2+ = + = > >
. (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.
Mặt khác
( ) ( )
1 1
a b 1 a b a b 1 a b
a b 2 b
= + = = <
+
(Vì a >b>0)
( )
1
2 a b

b
<
.
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp:
( )
1
2 b c
b
<
.
Vậy
( ) ( )
1
2 a b 2 b c
b
< <
(đpcm).
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
b) Biểu thức
2
2
2
2008 2008
B 1 2008
2009 2009

= + + +
có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).
Ta có :
( )
2 2
2
2
2 2
2008 2008 2008 2008
B 1 2008 1 2008 2.1.2008
2009 2009 2009 2009
= + + + = + + +
.
( )
2
2
2
2
2008 2008 2008 2008 2008
2009 2.2009. 2009
2009 2009 2009 2009 2009

= + + = +
ữ

.
2008 2008 2008 2008
2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009
= + = + =

.
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.
0.5
0.75
0.25
Bài 3 (3điểm) Giải phơng trình
a)
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 + + + = + +
(1.75 điểm)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1 + + = + +
Điều kiện
( ) ( )
( ) ( )
x 1 x 2 0
x 3 0
x 2
x 2 0
x 1 x 3 0



+

+

( )
( ) ( )
1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 + =
( ) ( )
x 1 1 0 x 1 1
x 1 1 x 2 x 3 0 x 2
x 2 x 3 0 x 2 x 3

= =
+ = =

+ = =


x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
b)
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ = (1). (1.25 điểm).
Điều kiện

2
x
3

.
( )
( ) ( )
4x 1 3x 2 . 4x 1 3x 2
x 3 4x 1 3x 2 x 3
1
5 5
4x 1 3x 2 4x 1 3x 2
+ + +
+ + + +
= =
+ + + +
4x 1 3x 2 x 3 x 3 x 3
4x 1 3x 2 5
5 5
4x 1 3x 2 4x 1 3x 2
+ + + + +
= = + + =
+ + + +
(2)
(Vì
2
x
3
nên x + 3 > 0).
Giải tiếp phơng trình (2) ta đợc nghiệm của phơng trình là x = 2.

0.25
0.25
0.25
0.5
Bài 4 (8 điểm)
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn. (2 điểm)
Chứng minh OI

AC.
Suy ra

OIC vuông tại I suy ra I thuộc đờng tròn đờng kính OC.
CH

AB (gt)

CHO vuông tại H

H thuộc đờng tròn đờng kính OC.
Suy ra I, H cùng thuộc đờng tròn đờng kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đờng tròn.
0.75
0.25
0.75
0.25
2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R). (2 điểm)
- Chứng minh
ã
ã
=AOM COM
.

- Chứng minh

AOM =

COM
- Chứng minh
MC CO

MC là tiếp tuyến của (O; R).
0.75
0.75
0.25
0.25
3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm)

MAB có KH//MA (cùng

AB)

KH HB AM.HB AM.HB
KH
AM AB AB 2R
= = = (1)
Chứng minh cho CB // MO

ã
ã
AOM CBH=
(đồng vị).
C/m

MAO đồng dạng với

CHB


MA AO AM.HB AM.HB
CH
CH HB AO R
= = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH

CK = KH

K là trung điểm của CH.
1
0.75
0.25
4) Xác định vị trí của C để chu vi

ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.
K
M
I
C
O
H
B
A
Chu vi tam giác ACB là

ACB
P AB AC CB 2R AC CB= + + = + +
Ta lại có
( )
2
2 2 2 2 2 2
AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB + + + +
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 AC CB AC CB AC CB 2 AC CB AC CB 2AB+ + + + + (Pitago)
2
AC CB 2.4R AC CB 2R 2+ +
.
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB

M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra
( )
ACB
P 2R 2R 2 2R 1 2 + = +
, dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB
Vậy max
( )
ACB
P 2R 1 2= +
đạt đợc khi M là điểm chính giữa cung AB.
0.5

0.75
0.25
0.25
0.25
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm)
Biến đổi
( ) ( )
1004 1004
M 5 2 6 5 2 6= + +
.
Đặt
a 5 2 6= +
;
b 5 2 6=

a b 10 + =
và
a.b 1=
.
Đặt
n n
n
U a b= + với
n N

. Khi đó M = U
1004
Ta có
( ) ( )

n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
n 2
U a b a.a b.b 10 b a 10 a b
+ + + + + +
+
= + = + = +
( ) ( )
n 1 n 1 n n
n 1 n
10 a b ab a b 10U U
+ +
+
= + + =
(vì ab = 1).
n 2 n 1 n
U 10U U
+ +
=
(*).
Ta thấy U
0
= 2

Z ; U
1
= a + b = 10

Z.

( )

2
2 2 2
2
U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z= + = + = =
.
Theo công thức (*) thì
3 2 1
U 10U U=
mà U
1
, U
2

Z
suy ra
3
U Z
.
Lại theo (*)
4 3 2
U 10U U=
cũng có giá trị nguyên.
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra U
n
có giá trị nguyên với mọi n
*
N
.
Suy ra M = U
1004

có giá trị là một số nguyên.
0.25
0.25
0.25
0.25
a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra
n 2 n n 1
U U 10U 10
+ +
+ = M
( ) ( ) ( )
n 4 n n 4 n 2 n 2 n n 4 n 4 k r
U U U U U U 10 U U 10 U
+ + + + + +
= + + M M
và U
r
có chữ số tận cùng giống nhau.
1004 = 4.251 suy ra U
1004
và U
0
có chữ số tận cùng giống nhau.
Mà U
0
có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2.
0.25
0.25
Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tơng đơng.

2. Điểm toàn bài không đợc làm tròn.