tinh don dieu ham so va ung dung

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên
* Hàm số được gọi là đồng biến trên
nếu
* Hàm số được gọi là nghịch biến trên
nếu

.
.

Việc xét tính đồng biến, nghịch biến ở các lớp dưới 9, 10,11 ta đi xét tỷ số
.
Ta biết khi
hàm số đồng biến ( nghịch biến).
Sau khi chúng ta đã được học giới hạn và khái niệm đạo hàm chúng ta có một công cụ đạo hàm
để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Mỗi liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và
dấu của đạo hàm được thể hiện bới định lý.
II. Định lý:
Định lý 1:
*Nếu
* Nếu
* Nếu

( dấu
( dấu
thì hàm

xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm đồng biến trên
xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm nghịch biến trên
là hàm hằng trên

.

* Nhận xét
+ Các hàm số đa th c, ph n th c và hàm số ch a căn mà ta xét thư ng ch bằng 0 tại hữu hạn
điểm nên ta ch quan t m đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
+ Các hàm số lượng giác tu n hoàn nên ch c n xét dấu đạo hàm trên một chu kì.
Định lý 2:
* Nếu hàm đồng biến ( nghịch biến) trên
thì
Như vậy từ định lý trên để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên
ta thư ng đi xét
dấu của trên
III. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải: Ta thư ng thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm TXĐ.
Bước 2: Tính
Bước 3: Giải phương trình
, hoặc tìm các giá trị
mà hàm số không có đạo hàm
tại
Bước 3: Sắp xếp các giá trị theo th tự tăng d n. Sau đó lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Dạng 2: Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên .
Bài toán 1: Ch ng minh hàm số
đồng biến ( nghịch biến ) trên
Phương pháp:
*Để ch ng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên
là đi ch ng
minh
* Ta xét dấu của
, hoặc lập BBT để kết luận điều c n ch ng minh.
Ví dụ : Ch ng minh
1. Hàm số
đồng biến trên
2. Hàm số
đồng biến trên
trị
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên
Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số
trên

để hàm số

với mọi giá
.

đồng biến ( nghịch biến )

Phương pháp:
Hàm số
đồng biến ( nghịch biến)
trên
(*)
Vấn đề của chúng ta b y gi là tìm cách giải vài toán (*).
* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thư ng đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thư ng có thể vận dụng điều kiện tam
th c bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam th c bậc 2 không còn
được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trư ng hợp trên ta có thể vận dụng
các hướng sau
* Để giải quyết bài toán (*) ta thư ng đi theo hai hướng
Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.
Hướng 2: Đưa
về tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu.
Ví dụ 1:
1. Tìm
để hàm số
đồng biến trên khoảng
( Đề
thi thử ĐH-Năm 2012)
Giải:
TXĐ
Như ta đã biết, hàm số
đồng biến trên khoảng trên
khoảng
.
Như vậy yêu c u của bài toán đưa về bài toán
tìm để
Bài toán này có hai cách giải thư ng dùng như sau

Cách 1: Cô lập và khảo sát hàm số
Ta có
Xét
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Cách 2: Sử dụng dấu tam th c bậc 2.
.

2. Tìm
trên
Giải:
TXĐ

để hàm số

Hàm số đồng biến trên
Ta dễ thấy trong bài toán này không thể cô lập được
bài toán này được, do đó ta phải dùng cách 2.

đồng biến

nên không thể dùng cách 1 để giải quyết

.

Do đó Hàm số đồng biến trên

Vậy
là các giá trị
c n tìm.
3. Tìm
để hàm số
trên
Giải:
TXĐ
Ta có
Hàm số nghịch biến trên
Ta thấy chưa là tam th c bậc hai nên ta phải xét hai trư ng hợp
TH1:
khi đó
hàm số nghịch biến trên
TH2:
, khi đó là tam th c bậc 2 nên nàm số nghịch biến

nghịch biến

trên

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Vậy
là các giá trị c n tìm.
* Từ các ví dụ trên ta c n lưu ý một số điểm sau
-Nếu trong ch ch a tham số

bậc nhất khi đó ta sẽ cô lập được
nên có thể dùng cách 1
để giải.
_Nếu không cô lập được
và dấu của là dấu của một tam th c bậc hai có ch a tham số thì
chúng ta thư ng dùng cách 2 để giải
-Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 3: Ch ng minh
Phương pháp:
Ch ng minh
Ta lập bảng biến thiên ( hoặc xét dấu của
để kết luận.
Ví dụ 1:
Ch ng minh rằng
Giải:
Xét hàm số

Vậy

đồng biến trên nửa khoảng

Do đó
( ĐPCM).
Kiến thức bổ sung:
* Hàm số đồng biến trên
* * Hàm số nghịch biến trên

thì
thì

.

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1. Tìm
trên
2. Tìm
3. Tìm
3. Tìm

để hàm số
để hàm số
để hàm số
để hàm số

đồng biến
nghịch biến trên
đồng biến trên
nghịch biến trên

.

4. Ch ng minh rằng
5. Ch ng minh rằng

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7