Tổng hợp công thức toán cơ bản giải tích 1 đầy đủ

REFERENCE PAGES

Algebra

Geometry

Arithmetic Operations

Geometric Formulas
a
c
ad ϩ bc
ϩ ෇
b
d
bd
a
d
ad
a
b
෇ ϫ ෇
c
b
c
bc
d

a͑b ϩ c͒ ෇ ab ϩ ac
aϩc
a

c
෇ ϩ
b
b
b

Formulas for area A, circumference C, and volume V:
Triangle
A ෇ 12 bh
෇ 12 ab sin ␪
a

Exponents and Radicals

Circle
A ෇ ␲r 2
C ෇ 2␲ r

Sector of Circle
A ෇ 12 r 2␪
s ෇ r ␪ ͑␪ in radians͒

r

h

¨

xm
෇ x mϪn

xn
1
xϪn ෇ n
x

x m x n ෇ x mϩn
͑x m͒n ෇ x m n

ͩͪ
x
y

͑xy͒n ෇ x n y n

n

෇

ͱ

n
n
n
xy ෇ s
xs
y
s

n

¨

b

r

Sphere
V ෇ 43 ␲ r 3

xn
yn

Cylinder
V ෇ ␲ r 2h

Cone
V ෇ 13 ␲ r 2h

A ෇ 4␲ r 2

n
n
x m͞n ෇ s
x m ෇ (s
x )m

n
x 1͞n ෇ s
x

s

r

A ෇ ␲ rsr 2 ϩ h 2
r

n
x
x
s
෇ n
y
sy

r

Factoring Special Polynomials

r

x Ϫ y ෇ ͑x ϩ y͒͑x Ϫ y͒
2

2

x 3 ϩ y 3 ෇ ͑x ϩ y͒͑x 2 Ϫ xy ϩ y 2͒
x 3 Ϫ y 3 ෇ ͑x Ϫ y͒͑x 2 ϩ xy ϩ y 2͒

Distance and Midpoint Formulas

Binomial Theorem

Distance between P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒:

͑x ϩ y͒2 ෇ x 2 ϩ 2xy ϩ y 2

͑x Ϫ y͒2 ෇ x 2 Ϫ 2xy ϩ y 2

d ෇ s͑x 2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2

͑x ϩ y͒3 ෇ x 3 ϩ 3x 2 y ϩ 3xy 2 ϩ y 3
͑x Ϫ y͒3 ෇ x 3 Ϫ 3x 2 y ϩ 3xy 2 Ϫ y 3
͑x ϩ y͒n ෇ x n ϩ nx nϪ1y ϩ
ϩ иии ϩ

ͩͪ

n͑n Ϫ 1͒ nϪ2 2
x y
2

Midpoint of P1 P2 :

ͩͪ

n nϪk k
x y ϩ и и и ϩ nxy nϪ1 ϩ y n
k

ͩ

x1 ϩ x 2 y1 ϩ y2
,
2
2

ͪ

Lines

n
n͑n Ϫ 1͒ и и и ͑n Ϫ k ϩ 1͒
where
෇
k
1 ؒ 2 ؒ 3 ؒ иии ؒ k

Slope of line through P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒:
m෇

Quadratic Formula
If ax 2 ϩ bx ϩ c ෇ 0, then x ෇

Ϫb Ϯ sb 2 Ϫ 4ac
.
2a

y2 Ϫ y1
x 2 Ϫ x1

Point-slope equation of line through P1͑x1, y1͒ with slope m:
y Ϫ y1 ෇ m͑x Ϫ x1͒

Inequalities and Absolute Value
If a Ͻ b and b Ͻ c, then a Ͻ c.

Slope-intercept equation of line with slope m and y-intercept b:

If a Ͻ b, then a ϩ c Ͻ b ϩ c.

y ෇ mx ϩ b

If a Ͻ b and c Ͼ 0, then ca Ͻ cb.
If a Ͻ b and c Ͻ 0, then ca Ͼ cb.
If a Ͼ 0, then

ԽxԽ ෇ a
ԽxԽ Ͻ a
ԽxԽ Ͼ a

means

x෇a

or

Circles

x ෇ Ϫa

Equation of the circle with center ͑h, k͒ and radius r:

means Ϫa Ͻ x Ͻ a
means

h

h

xϾa

or

͑x Ϫ h͒2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 ෇ r 2

x Ͻ Ϫa

❙❙❙❙

1

❙❙❙❙


REFERENCE PAGES

Trigonometry
Angle Measurement

Fundamental Identities

␲ radians ෇ 180Њ
1Њ ෇

␲
rad
180

1 rad ෇

s

r

180Њ
␲

r

͑␪ in radians͒

Right Angle Trigonometry

cos ␪ ෇
tan ␪ ෇

hyp
csc ␪ ෇
opp

adj
hyp

sec ␪ ෇

opp
adj

cot ␪ ෇

1
sin ␪

sec ␪ ෇

1
cos ␪

tan ␪ ෇

sin ␪
cos ␪

cot ␪ ෇

cos ␪
sin ␪

cot ␪ ෇

1
tan ␪

sin 2␪ ϩ cos 2␪ ෇ 1

¨

s ෇ r␪

opp
sin ␪ ෇
hyp

csc ␪ ෇

hyp

hyp
adj

opp

¨
adj

adj
opp

1 ϩ tan 2␪ ෇ sec 2␪

1 ϩ cot 2␪ ෇ csc 2␪

sin͑Ϫ␪͒ ෇ Ϫsin ␪

cos͑Ϫ␪͒ ෇ cos ␪

tan͑Ϫ␪͒ ෇ Ϫtan ␪

sin

␲
Ϫ ␪ ෇ cos ␪
2

tan

␲
Ϫ ␪ ෇ cot ␪
2

cos

ͩ ͪ
ͩ ͪ

ͩ ͪ

␲
Ϫ ␪ ෇ sin ␪

2

Trigonometric Functions
y
sin ␪ ෇
r

r
csc ␪ ෇
y

cos ␪ ෇

x
r

sec ␪ ෇

r
x

tan ␪ ෇

y
x

cot ␪ ෇

x
y

sin A
sin B
sin C
෇
෇
a
b
c

(x, y)

C
c

¨

The Law of Cosines

x

b 2 ෇ a 2 ϩ c 2 Ϫ 2ac cos B
y

A

c 2 ෇ a 2 ϩ b 2 Ϫ 2ab cos C

y=tan x

y=cos x

1

1
π

b

a 2 ෇ b 2 ϩ c 2 Ϫ 2bc cos A

y
y=sin x

a

r

Graphs of Trigonometric Functions
y

B

The Law of Sines

y

2π

Addition and Subtraction Formulas

2π
x

_1

π

2π x

sin͑x ϩ y͒ ෇ sin x cos y ϩ cos x sin y

x

π

_1

sin͑x Ϫ y͒ ෇ sin x cos y Ϫ cos x sin y

y

cos͑x Ϫ y͒ ෇ cos x cos y ϩ sin x sin y

cos͑x ϩ y͒ ෇ cos x cos y Ϫ sin x sin y
y

y=csc x

1

y

y=sec x

y=cot x

1
π

2π x

_1

π

2π x

2π x

π

tan͑x ϩ y͒ ෇

tan x ϩ tan y
1 Ϫ tan x tan y

tan͑x Ϫ y͒ ෇

tan x Ϫ tan y

1 ϩ tan x tan y

_1

Double-Angle Formulas
sin 2x ෇ 2 sin x cos x

Trigonometric Functions of Important Angles

cos 2x ෇ cos 2x Ϫ sin 2x ෇ 2 cos 2x Ϫ 1 ෇ 1 Ϫ 2 sin 2x

␪

radians

sin ␪

cos ␪

tan ␪

0Њ
30Њ
45Њ
60Њ
90Њ

0
␲͞6
␲͞4

␲͞3
␲͞2

0
1͞2
s2͞2
s3͞2
1

1
s3͞2
s2͞2
1͞2
0

0
s3͞3
1
s3
—

tan 2x ෇

2 tan x
1 Ϫ tan2x

Half-Angle Formulas
sin 2x ෇

❙❙❙❙

2

❙❙❙❙

1 Ϫ cos 2x
2

cos 2x ෇

1 ϩ cos 2x
2


REFERENCE PAGES

Differentiation Rules
General Formulas
1.

d
͑c͒ ෇ 0
dx

2.

d
͓cf ͑x͔͒ ෇ c f Ј͑x͒
dx

3.

d
͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒ ෇ f Ј͑x͒ ϩ tЈ͑x͒
dx

4.

d
͓ f ͑x͒ Ϫ t͑x͔͒ ෇ f Ј͑x͒ Ϫ tЈ͑x͒
dx

5.

d
͓ f ͑x͒t͑x͔͒ ෇ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒f Ј͑x͒ (Product Rule)
dx

6.

d
dx

7.

d
f ͑ t͑x͒͒ ෇ f Ј͑ t͑x͒͒tЈ͑x͒ (Chain Rule)
dx

8.

d
͑x n ͒ ෇ nx nϪ1 (Power Rule)
dx

ͫ ͬ
f ͑x͒
t͑x͒

෇

t͑x͒f Ј͑x͒ Ϫ f ͑x͒tЈ͑x͒
͓ t͑x͔͒ 2

(Quotient Rule)

Exponential and Logarithmic Functions
9.

d
͑e x ͒ ෇ e x
dx

10.

d
͑a x ͒ ෇ a x ln a
dx

11.

d
1
ln x ෇
dx
x

12.

d
1
͑log a x͒ ෇
dx
x ln a

Խ Խ

Trigonometric Functions
13.

d
͑sin x͒ ෇ cos x
dx

14.

d
͑cos x͒ ෇ Ϫsin x
dx

15.

d
͑tan x͒ ෇ sec 2x
dx

16.

d
͑csc x͒ ෇ Ϫcsc x cot x
dx

17.

d
͑sec x͒ ෇ sec x tan x
dx

18.

d
͑cot x͒ ෇ Ϫcsc 2x
dx

Inverse Trigonometric Functions
19.

d
1
͑sinϪ1x͒ ෇

dx
s1 Ϫ x 2

20.

d
1
͑cosϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx
s1 Ϫ x 2

21.

d
1
͑tanϪ1x͒ ෇
dx
1 ϩ x2

22.

d
1
͑cscϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx
x sx 2 Ϫ 1

23.

d

1
͑secϪ1x͒ ෇
dx
x sx 2 Ϫ 1

24.

d
1
͑cotϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx
1 ϩ x2

Hyperbolic Functions
25.

d
͑sinh x͒ ෇ cosh x
dx

26.

d
͑cosh x͒ ෇ sinh x
dx

27.

d
͑tanh x͒ ෇ sech 2x

dx

28.

d
͑csch x͒ ෇ Ϫcsch x coth x
dx

29.

d
͑sech x͒ ෇ Ϫsech x tanh x
dx

30.

d
͑coth x͒ ෇ Ϫcsch 2x
dx

Inverse Hyperbolic Functions
31.

d
1
͑sinhϪ1x͒ ෇
dx
s1 ϩ x 2

32.

d
1
͑coshϪ1x͒ ෇
dx
sx 2 Ϫ 1

33.

d
1
͑tanhϪ1x͒ ෇
dx
1 Ϫ x2

34.

d
1
͑cschϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx
x sx 2 ϩ 1

35.

1
d
͑sechϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx
x s1 Ϫ x 2

36.

d
1
͑cothϪ1x͒ ෇
dx
1 Ϫ x2

Խ Խ

❙❙❙❙

3

❙❙❙❙


REFERENCE PAGES

Table of Integrals
Basic Forms
1.

y u dv ෇ uv Ϫ y v du

2.

yu

3.

y

4.

ye

u

du ෇ e u ϩ C

5.

ya

u

du ෇

6.

n

du ෇

y csc u cot u du ෇ Ϫcsc u ϩ C
12. y tan u du ෇ ln Խ sec u Խ ϩ C
13. y cot u du ෇ ln Խ sin u Խ ϩ C
14. y sec u du ෇ ln Խ sec u ϩ tan u Խ ϩ C

15. y csc u du ෇ ln Խ csc u Ϫ cot u Խ ϩ C
11.

u nϩ1
ϩ C, n
nϩ1

Ϫ1

du
෇ ln u ϩ C
u

Խ Խ

au
ϩC
ln a

y sa

17.

ya

18.

y u su

y sin u du ෇ Ϫcos u ϩ C

2

7.

y cos u du ෇ sin u ϩ C

8.

y sec u du ෇ tan u ϩ C

9.

y csc u du ෇ Ϫcot u ϩ C

19.

ya

2

y sec u tan u du ෇ sec u ϩ C

20.

yu

2

10.

2

2

Forms Involving sa 2 ϩ u 2 , a Ͼ 0
u
a2
ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
sa 2 ϩ u 2 ϩ
2
2

y

sa 2 ϩ u 2 du ෇

22.

y

u 2 sa 2 ϩ u 2 du ෇

23.

y

a ϩ sa 2 ϩ u 2
sa 2 ϩ u 2
du ෇ sa 2 ϩ u 2 Ϫ a ln
u

u

24.

y

sa 2 ϩ u 2
sa 2 ϩ u 2
du ෇ Ϫ
ϩ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
2
u
u

25.

y sa

21.

u 2
a4
͑a ϩ 2u 2 ͒ sa 2 ϩ u 2 Ϫ
ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
8
8

Ϳ

du

ϩ u2

2

u 2 du

26.

y sa

27.

y u sa

28.

y u sa

29.

y ͑a

ϩ u2

2

෇

ϩ u2

du

2

2

2

ϩC

෇ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C

du
2

Ϳ

ϩ u2

u
a2
ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
sa 2 ϩ u 2 Ϫ
2
2

෇Ϫ

Ϳ

1
sa 2 ϩ u 2 ϩ a
ln
a
u

෇Ϫ

Ϳ

ϩC

sa 2 ϩ u 2
ϩC
a 2u

du
u
෇ 2
ϩC
ϩ u 2 ͒3͞2
a sa 2 ϩ u 2

❙❙❙❙

4

du

16.

❙❙❙❙

2

Ϫu

2

෇ sinϪ1

u
ϩC
a

du
1
u
෇ tanϪ1 ϩ C
ϩ u2
a
a
du
2

Ϫ a2

෇

1

u
secϪ1 ϩ C
a
a

Ϳ
Ϳ

du
1
uϩa
෇
ln
Ϫ u2
2a
uϪa
du
1
uϪa
෇
ln
Ϫ a2
2a
uϩa

Ϳ
Ϳ

ϩC
ϩC

REFERENCE PAGES

Table of Integrals
Forms Involving sa 2 Ϫ u 2, a Ͼ 0
Ϫ u 2 du ෇

u
a2
u
sinϪ1 ϩ C
sa 2 Ϫ u 2 ϩ
2
2
a

30.

y sa

31.

y u sa

32.

y

a ϩ sa 2 Ϫ u 2

sa 2 Ϫ u 2
du ෇ sa 2 Ϫ u 2 Ϫ a ln
u
u

33.

y

1
u
sa 2 Ϫ u 2
du ෇ Ϫ sa 2 Ϫ u 2 Ϫ sinϪ1 ϩ C
u2
u
a

2

2

u
a4
u
͑2u 2 Ϫ a 2 ͒ sa 2 Ϫ u 2 ϩ
sinϪ1 ϩ C
8
8
a

Ϫ u 2 du ෇

2

Ϳ

u 2 du

34.

y sa

35.

y u sa

36.

y u sa

37.

y ͑a

38.

y ͑a

Ϫ u2

2

෇Ϫ

du

du

2

2

Ϳ

1
a ϩ sa 2 Ϫ u 2
ln
a
u

෇Ϫ

Ϫ u2

Ϳ

ϩC

1
sa 2 Ϫ u 2 ϩ C

a 2u

Ϫ u 2 ͒3͞2 du ෇ Ϫ

2

ϩC

u
a2
u
sinϪ1 ϩ C
sa 2 Ϫ u 2 ϩ
2
2
a

෇Ϫ

Ϫ u2

2

Ϳ

u
u
3a 4
͑2u 2 Ϫ 5a 2 ͒sa 2 Ϫ u 2 ϩ
sinϪ1 ϩ C

8
8
a

du
u
෇ 2
ϩC
Ϫ u 2 ͒3͞2
a sa 2 Ϫ u 2

2

Forms Involving su 2 Ϫ a 2, a Ͼ 0
39.

y su

2

Ϫ a 2 du ෇

u
a2
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C
su 2 Ϫ a 2 Ϫ
2
2

Խ

Խ

u
a4
͑2u 2 Ϫ a 2 ͒ su 2 Ϫ a 2 Ϫ
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C
8
8

Խ

40.

y

u 2su 2 Ϫ a 2 du ෇

41.

y

a
su 2 Ϫ a 2
du ෇ su 2 Ϫ a 2 Ϫ a cosϪ1
ϩC
u
u

42.

y

su Ϫ a
su Ϫ a
du ෇ Ϫ
ϩ ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C
u2
u

43.

y su

44.

y su

Խ Խ

2

2

du
2

Ϫ a2

u 2 du

2

Ϫ a2

2

Խ

෇

du

2

2

2

2

Խ

Խ

Խ

෇ ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C

y u su Ϫ a
du

46. y
͑u Ϫ a ͒
45.

Խ

2

2 3͞2

u
a2
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C
su 2 Ϫ a 2 ϩ
2
2

Խ

Խ

su 2 Ϫ a 2
ϩC
a 2u
u
ϩC
෇Ϫ
2
2 Ϫ a2
su

a
෇

❙❙❙❙

5

❙❙❙❙


REFERENCE PAGES

Table of Integrals
Forms Involving a ϩ bu
1

u du

(a ϩ bu Ϫ a ln Խ a ϩ bu Խ) ϩ C

47.

y a ϩ bu ෇ b

48.

u du
1
y a ϩ bu ෇ 2b [͑a ϩ bu͒

49.

y u͑a ϩ bu͒ ෇ a ln

50.

y u ͑a ϩ bu͒ ෇ Ϫ au ϩ a

51.

y ͑a ϩ bu͒

52.

y u͑a ϩ bu͒

53.

y ͑a ϩ bu͒

54.

y u sa ϩ bu du ෇ 15b

55.

y sa ϩ bu ෇ 3b

56.

y sa ϩ bu ෇ 15b

57.

y u sa ϩ bu ෇ sa ln

2

2

2

3

du

Ϳ

1

du

1

b

du

2

u 2 du

2

2

ϩC

Ϳ

ln

3

Խ

ϩC

͑3bu Ϫ 2a͒͑a ϩ bu͒3͞2 ϩ C

2

2

Ϳ

Ϳ

sa ϩ bu Ϫ sa
ϩ C, if a Ͼ 0

sa ϩ bu ϩ sa

ͱ

tanϪ1

sϪa

a ϩ bu
ϩ C,
Ϫa

58.

y

sa ϩ bu
du ෇ 2 sa ϩ bu ϩ a
u

59.

y

b
sa ϩ bu
sa ϩ bu
du ෇ Ϫ
ϩ
u2

u
2

60.

y u sa ϩ bu du ෇ b͑2n ϩ 3͒

61.

y sa ϩ bu ෇

62.

y u sa ϩ bu ෇ Ϫ a͑n Ϫ 1͒u

if a Ͻ 0

du

y u sa ϩ bu

ͫ

2

du

ͪ

Խ

͑8a 2 ϩ 3b 2u 2 Ϫ 4abu͒ sa ϩ bu ϩ C

1

෇

ϩC

͑bu Ϫ 2a͒ sa ϩ bu ϩ C

2

2

du

Ϳ

a2
Ϫ 2a ln a ϩ bu
a ϩ bu

a ϩ bu Ϫ

2

u 2 du

Խ

Ϳ

ͩ

1
b3

෇

u du

n

ϩC

1
1
a ϩ bu
Ϫ 2 ln
a͑a ϩ bu͒
a
u

2

u n du

Ϳ

a ϩ bu
u

Խ

෇

n

Խ] ϩ C

1
a
ϩ 2 ln a ϩ bu ϩ C
b 2͑a ϩ bu͒
b

෇

2

Ϳ

u
a ϩ bu

2

u du

Խ

Ϫ 4a͑a ϩ bu͒ ϩ 2a 2 ln a ϩ bu

du

y u sa ϩ bu

u n͑a ϩ bu͒3͞2 Ϫ na

2u nsa ϩ bu
2na
Ϫ
b͑2n ϩ 1͒
b͑2n ϩ 1͒
sa ϩ bu
nϪ1

Ϫ

yu

nϪ1

ͬ

sa ϩ bu du

u nϪ1 du

y sa ϩ bu

b͑2n Ϫ 3͒
2a͑n Ϫ 1͒

yu

du
sa ϩ bu

nϪ1

❙❙❙❙

6

❙❙❙❙


REFERENCE PAGES

Table of Integrals
Trigonometric Forms
63.

y sin u du ෇

1
2

64.

y cos u du ෇

1
2

65.

y tan u du ෇ tan u Ϫ u ϩ C

2

2

u Ϫ 4 sin 2u ϩ C

Ϫ1

76.

y cot u du ෇ n Ϫ 1 cot

77.

y sec u du ෇ n Ϫ 1 tan u sec

78.

y csc u du ෇ n Ϫ 1 cot u csc

2

79.

y sin au sin bu du ෇

1

u ϩ 14 sin 2u ϩ C

n

uϪ

nϪ1

y cot

nϪ2
nϪ1

y sec

nϪ2

uϩ

nϪ2
nϪ1

y csc

nϪ2

nϪ2

Ϫ1

nϪ2

u du

2

n

66.

y cot u du ෇ Ϫcot u Ϫ u ϩ C

67.

y sin u du ෇ Ϫ ͑2 ϩ sin u͒ cos u ϩ C

68.

y cos u du ෇

1

3

͑2 ϩ cos 2u͒ sin u ϩ C

80.

y cos au cos bu du ෇

69.

y tan u du ෇

1
2

tan 2u ϩ ln cos u ϩ C

Խ

81.

y sin au cos bu du ෇ Ϫ

70.

y cot u du ෇ Ϫ

82.

y u sin u du ෇ sin u Ϫ u cos u ϩ C

71.

y sec u du ෇

83.

y u cos u du ෇ cos u ϩ u sin u ϩ C

72.

y csc u du ෇ Ϫ

84.

yu

n

sin u du ෇ Ϫu n cos u ϩ n

85.

yu

n

cos u du ෇ u n sin u Ϫ n

86.

y sin u cos u du ෇ Ϫ

73.

u du

uϩ

1

n

nϪ2

2

1
3

3

3

3

3

3

1
2

Խ

Խ

cot 2u Ϫ ln sin u ϩ C

Խ

Խ

1
2

1
2

sin͑a Ϫ b͒u
sin͑a ϩ b͒u
ϩ
ϩC
2͑a Ϫ b͒
2͑a ϩ b͒
cos͑a Ϫ b͒u
cos͑a ϩ b͒u
Ϫ
ϩC
2͑a Ϫ b͒

2͑a ϩ b͒

Խ

Խ

csc u cot u ϩ ln csc u Ϫ cot u ϩ C
1
2

1
nϪ1
sin nu du ෇ Ϫ sin nϪ1u cos u ϩ
n
n
1

74.

y cos u du ෇ n cos

75.

y tan u du ෇ n Ϫ 1 tan

n

sin͑a ϩ b͒u
sin͑a Ϫ b͒u
Ϫ

ϩC
2͑a Ϫ b͒
2͑a ϩ b͒

sec u tan u ϩ ln sec u ϩ tan u ϩ C

3

y

1
2

Խ

u du

1

n

u sin u ϩ

nϪ1

uϪ

nϪ1

nϪ1

n

y tan

y sin

y cos

yu

nϪ1

cos u du

nϪ2

u du

nϪ2

u du

n

m

෇

nϪ2

u du

yu

nϪ1

sin u du

sin nϪ1u cos mϩ1u
nϪ1
ϩ
nϩm
nϩm

sin nϩ1u cos mϪ1u
mϪ1
ϩ
nϩm
nϩm

y sin

nϪ2

u cosmu du

y sin u cos
n

mϪ2

u du

Inverse Trigonometric Forms
Ϫ1

u du ෇ u sinϪ1u ϩ s1 Ϫ u 2 ϩ C

87.

y sin

88.

y cos

89.

Ϫ1

92.

y u tan

93.

yu

n

94.

yu

n

95.

yu

n

u du ෇

u2 ϩ 1
u
tanϪ1u Ϫ ϩ C
2
2

sinϪ1u du ෇

1
nϩ1

ͫ

cosϪ1u du ෇

1

nϩ1

ͫ

u nϩ1 cosϪ1u ϩ

y s1 Ϫ u

tanϪ1u du ෇

1
nϩ1

ͫ

u nϩ1 tanϪ1u Ϫ

y 1ϩu

Ϫ1

u du ෇ u cosϪ1u Ϫ s1 Ϫ u 2 ϩ C

Ϫ1

y tan

Ϫ1

u du ෇ u tan u Ϫ ln͑1 ϩ u ͒ ϩ C

1
2

2

2u 2 Ϫ 1
u s1 Ϫ u 2
sinϪ1u ϩ
ϩC
u sin u du ෇
4
4
Ϫ1

90.

y

91.

y u cos

Ϫ1

u du ෇

2u 2 Ϫ 1
u s1 Ϫ u 2
cosϪ1u Ϫ
ϩC

4
4

❙❙❙❙

7

❙❙❙❙

u nϩ1 sinϪ1u Ϫ

u nϩ1 du

y s1 Ϫ u

2

ͬ

, n

ͬ

u nϩ1 du

u nϩ1 du
2

, n

2

ͬ

, n

Ϫ1

Ϫ1

Ϫ1


REFERENCE PAGES

Table of Integrals
Exponential and Logarithmic Forms
96.

y ue

97.

yu e

98.

ye

au

99.

ye

au

au

du ෇

n au

1
͑au Ϫ 1͒e au ϩ C
a2
1 n au
n
u e Ϫ
a
a

du ෇

yu

nϪ1 au

e du

sin bu du ෇

e au
͑a sin bu Ϫ b cos bu͒ ϩ C
a ϩ b2

cos bu du ෇

e au
͑a cos bu ϩ b sin bu͒ ϩ C
a ϩ b2

2

100.

y ln u du ෇ u ln u Ϫ u ϩ C

101.

yu

102.

y u ln u du ෇ ln Խ ln u Խ ϩ C

n

ln u du ෇

u nϩ1
͓͑n ϩ 1͒ ln u Ϫ 1͔ ϩ C
͑n ϩ 1͒2

1

2

Hyperbolic Forms

y csch u du ෇ ln Խ tanh u Խ ϩ C
109. y sech u du ෇ tanh u ϩ C
110. y csch u du ෇ Ϫcoth u ϩ C
111. y sech u tanh u du ෇ Ϫsech u ϩ C
112. y csch u coth u du ෇ Ϫcsch u ϩ C

y sinh u du ෇ cosh u ϩ C
104. y cosh u du ෇ sinh u ϩ C
105. y tanh u du ෇ ln cosh u ϩ C
106. y coth u du ෇ ln Խ sinh u Խ ϩ C
107. y sech u du ෇ tan Խ sinh u Խ ϩ C
103.

2

2

Ϫ1

Forms Involving s2au Ϫ u 2 , a Ͼ 0

du ෇

ͩ ͪ

uϪa
a2
aϪu
cosϪ1
s2au Ϫ u 2 ϩ
2
2
a

113.

y s2au Ϫ u

114.

y u s2au Ϫ u

115.

y

aϪu
s2au Ϫ u 2
du ෇ s2au Ϫ u 2 ϩ a cosϪ1
u
a

116.

y

2 s2au Ϫ u 2
aϪu
s2au Ϫ u 2
du ෇ Ϫ
Ϫ cosϪ1
u2
u
a

117.

y s2au Ϫ u

118.

y s2au Ϫ u

119.

y s2au Ϫ u

120.

y u s2au Ϫ u

2

2

du

2

u du

2

u 2 du

2

du ෇

ͩ ͪ
aϪu
a

ͩ ͪ
ͩ ͪ

du

2

ͩ ͪ

ϩC
ϩC

ϩC

ͩ ͪ

෇ Ϫs2au Ϫ u 2 ϩ a cosϪ1
෇Ϫ

ϩC

2u 2 Ϫ au Ϫ 3a 2
a3
aϪu
cosϪ1
s2au Ϫ u 2 ϩ
6
2
a

෇ cosϪ1

aϪu
a

ϩC

ͩ ͪ

͑u ϩ 3a͒
3a 2
aϪu
cosϪ1
s2au Ϫ u 2 ϩ
2
2
a

෇Ϫ

1
2

108.

ϩC

s2au Ϫ u 2
ϩC
au

❙❙❙❙

8

❙❙❙❙

ϩC