Giao trinh bai tap bài tập lớn giải tích 1

BÀI TẬP LỚN MÔN GiẢI TÍCH 1 HỌC KỲ 151
1

Hình thức đánh giá

1.1

Phần 1: Viết 1 đoạn code (3điểm)

Yêu cầu:
.
• Đoạn code lưu thành file.m chạy đúng với 2 ví dụ cụ thể
• Gửi file.m trên qua Bkel với tên file có 2 phần: tên lớp - số nhóm. Ví dụ: L35-nhom4
• Bản in gồm 3 phần :
- Trang bìa: Theo mẫu
- Cơ sở lý thuyết: Theo yêu cầu của từng nhóm
- In nội dung file.m và kết quả chụp từ màn hình sau khi chạy 2 ví dụ cụ thể
• Thời hạn nộp bài:
- Nộp file.m qua Bkel : Cô sẽ báo sau
- Nộp bản in: Khi nhóm bắt đầu làm bài trên CW

1.2

Phần 2: Giải bài toán cụ thể bằng các lệnh matlab trên Command
window. (7 điểm)

• Tự chọn loại câu sao cho tổng số điểm ≤ 7.
• Thời gian chuẩn bị: 10 phút

2

Viết 1 đoạn code (3 điểm)

Nhóm 1 Nhập từ bàn phím 2 hàm y = f (x), y = g(x) và 2 giá trị a < b thực. Viết đoạn code tính diện
tích và vẽ miền D giới hạn bởi 2 đường cong y = f (x), y = g(x) phần ứng với a ≤ x ≤ b .Chú ý
trường hợp 1 trong 2 đường cong là đường thẳng song song với trục Ox khi vẽ hình
Yêu cầu:

b

|f (x) − g(x)| dx

1. Chứng minh công thức tính diện tích miền D: S(D) =
a

2. Không sử dụng hàm abs của Matlab trong đoạn code
3. Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD dưới đây:
2x2 + 1
2x + 1
,
g
=
, a = −1, b = 4
x4 + 3x2 + 2
x4 + x + 2
x−2
2x2 − 2
D2 : f = 4
,
g
=

, a = −1, b = 3
x + 2x3 + 5
3x4 − x3 + 1
x+3
D3 : f = 2x2 − 1, g = 2
, a = −2, b = 2
x +1
D1 : f =

1


2x + 1
, a = −3, b = 3
+x+1
= x4 − 3x2 + 1, g = (2x + 1)/(x2 + x + 1), a = −2, b = 1
3
2x + 3
, a = −2, b =
= x4 + x2 − 2, g = 2
x +x+3
2
2x − 3
4
3
, a = −1, b = 2
= x + x − 1, g = 2
x + 2x + 3
= x3 + 2x2 − 5x + 1, g = 0, a = −4, b = 2

D4 : f = x2 − 3, g =
D5 : f
D6 : f
D7 : f
D8 : f

x2

Nhóm 2 Cho 2 hàm α(x), β(x) và giá trị x0 thực nhập từ bàn phím. Viết đoạn code kiểm tra α(x), β(x)
α(x)
là VCB khi x → x0 và tính bậc của α(x), β(x), từ đó suy ra giới hạn lim
x→x0 β(x)
Yêu cầu:
1. Chứng minh lại công thức Taylor với phần dư Peano.
2. Không dùng lệnh limit của MatLab trong đoạn code.
3. Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD dưới đây:
√
x
1. α(x) = sin( 1 − x − 1), β(x) = e 2 − 1, x0 = 0
√
2. α(x) = ln x + 1 + x2 , β(x) = sin x, x0 = 0
√
x2
3. α(x) = x tan x − x2 e 3 , β(x) = x sin 2x − 2x2 3 1 − 2x2 , x0 = 0
Nhóm 3 Nhập từ bàn phím 2 hàm tham số y(t), x(t), số tự nhiên n và 1 số thực x0 . Viết đoạn code
tính đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x = x(t), y = y(t) đến cấp n tại x = x0 .
Yêu cầu:
1. Chứng minh lại công thức tính đạo hàm hàm cho bởi pt tham số đến cấp 2
2. Khi x = x0 mà có tương ứng nhiều giá trị của t thì cho phép chọn 1 giá trị tùy ý
3. Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD cụ thể dưới đây:

1. x = ln t, y = t3 , n = 3, x0 = 0
2. x = et , y = te−t , n = 4, x0 = 0
3t2
t
,y = 3
, n = 4, x0 = 0
3. x = 3
t +2
t +1
t2 − 1
2t
4. x = 2
,y = 2
, x0 = 3, n = 3
t +1
t +1
Nhóm 4 Cho hàm y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] (f (x), a, b. Viết đoạn code để tìm GTLN, GTNN
của hàm trên đoạn [a, b] và vẽ đường cong trên đoạn [a, b], có đánh dấu GTLN, GTNN.
Yêu cầu:
1. Trình bày quá trình tìm GTLN, GTNN của hàm y = f (x) trên đoạn [a, b]
2. Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD cụ thể duới đây
x2 + x
1 − x + x2
1. f (x) =
, a = −1, b = 1 ]item f (x) =
, a = −1, b = 2
x+3
1 + x − x2
√
2. f (x) = x2 + 4x + 5, a = −2, b = 1

(3
3. f (x) =
− 2x2)
x
2


Nhóm 5 Cho hàm y = f (x) và giá trị x0 nhập từ bàn phím. Viết đoạn code tìm tiếp tuyến của hàm
tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến vừa tìm. Chú ý trường hợp tiếp tuyến là
đường thẳng song song với 1 trong 2 trục Ox, Oy
Yêu cầu:
1. Chứng minh công thức: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) là :
y = (x − x0 )f (x0 ) + f (x0 )
2. Không dùng lệnh diff của Matlab
3. Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD cụ thể dưới đây:
x

1. f (x) = x2 , x0 = 1
2. f (x) = sqrt(x + sqrt(x)), x0 = 1
√
1
3. f (x) = 2x − x2 , x0 =
2
4. f (x) = |x|x, x0 = 0
at2 + bt + c
,m =
mt + n
0, a2 + b2 + c2 = 0 nhập từ bàn phím. Viết đoạn code tìm tiệm cận, sau đó vẽ đường cong cùng
tiệm cận vừa tìm. Chú ý vẽ TCĐ, TCN
Yêu cầu:

1. Trình bày cách tìm tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số
2. Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD dưới đây:

Nhóm 6 Cho hàm y = f (x) xác định từ phương trình tham số y = y(t), x = x(t) có dạng

t2 + 1
,y =
2t − 1
2t + 3
2. x =
,y =
t+1
t2 + t
,y =
3. x =
3t + 2
1. x =

t
2t − 1
t2
t+1
t+1
3t + 2

ax2 + bx + c
Nhóm 7 Cho hàm f (x) =
với a, b, c, p, q ∈ R, p = 0, a2 + b2 + c2 = 0 nhập từ bàn phím.
px + q
Viết đoạn code tìm cực trị, tiệm cận và vẽ đồ thị của y = f (x) với điểm cực trị và các đường

tiệm cận trên đồ thị.
Yêu cầu:
1. Trình bày cách tìm TCX bằng cách dùng công thức Taylor cho hàm f (x) ở trên
2. Đoạn code tính đúng với 2 VD cụ thể

Nhóm 8 Cho dãy số un xác định bởi un =

a+

a+

a + ... +

√

a, a ≤ 0 . Viết đoạn code tính giới

hạn dãy và vẽ đường cong biểu diễn các phần tử của dãy để minh hoạ cho kết quả giới hạn
vừa tìm với 1 giá trị a và số các phần tử là m nhập từ bàn phím.
Yêu cầu:
1. Trình bày cách tính lim un để so sánh với kết quả chạy đoạn code.
n→∞

2. Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cho 2 giá trị a, m khác nhau

3


Nhóm 9 Cho 2 hàm số f (x) và g(x) nhập từ bàn phím sao cho: 2 đường cong y = f (x), y = g(x) cắt
nhau tại 2 điểm x = a, x = b. Viết đoạn code để loại trường hợp miền D nằm ở 2 phía trục

Ox và không đối xứng; sau đó tính thể tích vật thể tạo ra khi cho miền D quay quanh trục
Ox và vẽ miền D.
Yêu cầu:

b

|f 2 (x) − g 2 (x)| dx

1. Chứng minh lại công thức Sx = π
a

2. Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cụ thể
Pn (x)
, với Qm (x) = (x − α)(x − β)k (ax2 + bx + c), α, β, a, b, c, k
Qm (x)
nhập từ bàn phím thỏa điều kiện : b2 − 4ac < 0.Viết đoạn code để phân tích hàm thành tổng
các phân thức đơn giản loại 1, 2.

Nhóm 10 Cho phân thức hữu tỷ dạng

Yêu cầu:
1. Trình bày cách tính tích phân

mx + n
dx
ax2 + bx + c
2. Không dùng hàm residue của Matlab
3. Đoạn code tính đúng với 2 VD

———-

3

Các bài tập cụ thể
• Chọn số các câu để tổng là 7 điểm
• Dưới đây là các dạng bài và 1 số bài cụ thể tương ứng, khi làm trên lớp có thể có các bài cùng
dạng nhưng khác số đã cho.

3.1

Câu 1 điểm: Không có

3.2

Câu 2 điểm

Dạng 1 : Tính đạo hàm các hàm f(x) tại x0
2.1.1 f (x) =

sin x
,x = 0
, x0 = 0
x
1, x = 0

2.1.2 f (x) =

ex − 1
,x = 0
, x0 = 0

x
1, x = 0


 1 − cos(x − 1)
,x = 1
2.1.3 f (x) =
, x0 = 1
x
−
1
 0, x = 1

√
 ex − 1 + 2x
,x = 0 ,x = 0
2.1.4 f (x) =
0
 x, x = x0
Dạng 2: Tìm TCX của các đường cong sau
4


x2
2.2.1 f (x) =
|x − 1|

2.2.6 f (x) =
2.2.7 f (x) =

2

x + 3x
2.2.2 f (x) =
x−2
2.2.3 f (x) = xe

√

x2 + 2x

√
3

2x3 + x + 1

2.2.8 f (x) = x +

−1
x

2.2.4 f (x) = (2x + 1)e

−2
x

1

2.2.5 f (x) = (2 − x)e x

2.2.9 f (x) =

√
3

√

x2 + 1

2x3 + x2 + x

2.2.10 f (x) = 3x +

2
1
− 2
x x

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm cho bởi pt tham số tại x0 , chọn 1 giá trị của t tương ứng
với x = x0
2.3.1 x = 2t − t2 , y = 3t − t3 , x0 = 0
2.3.2 x = 2(t − sint), y = (1 − cost), x0 = 0
2.3.3 x =

t3

t
2
,y = 3
+1

t +1

2.3.4 x = 1 −

1
2
1
, y = 1 − 2 + 4 , x0 = 0
2
t
t
t

2.3.5 x = et , y = te−t , x0 = 0
2.3.6 x = ln t, y = t3 , x0 = 0

3.3

Câu 3 điểm

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm f(x) trên đoạn [a,b] tương ứng
3.1.1 f (x) =

1 − x + x2
, a = 0, b = 1
1 + x − x2

3.1.2 f (x) =

x2 + x

, a = 1, b = 4
2x − 1

Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát viết dưới dạng ma trận cột A và nghiệm riêng viết dưới
dạng ma trận cột B của các hpt vi phân sau

 x =x−y+z
y = x + y − z , x(0) = z(0) = 0, y(0) = 1
3.2.1

z = 2x − y

 x = x − 3y + 3z
y = 3x − 5y + 3z , x(0) = y(0) = 1, z(0) = 0
3.2.2

z = 6x − 6y + 4z

 x = 3x + 3y + 2z
y = x + y − 2z
3.2.3
, x(0) = 0, y(0) = z(0) = 0

z = −3x − y + z

3.4

Câu 4 điểm

Dạng 1: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính diện tích

5


4.1.1 D :

ABC, A(1, 1), B(2, 3), C(−1, 2).

4.1.11 D : y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π.

4.1.2 D : −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex .

4.1.12 D : y = x2 − 2x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 3.

4.1.3 D : y = cos x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π.

4.1.13 D : y =

4.1.4 D : x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 2y

4.1.14 D : y 2 = 4x, x2 = 4y

4.1.5 D : y = ln x, y = −1, x = e

4.1.15 D : y = ex − 1, y = e3x − 3, x = 0

4.1.6 D : x2 + y 2 ≤ 2x, x2 + y 2 ≤ 2
√
4.1.7 D : x2 + y 2 ≤ 2y, 0 ≤ x ≤ 3y

4.1.16 D : x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 − 2y = 1

4.1.8 D : y = sinh(x), y = 0, x = 3

4.1.18 D : x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 + 2y = 1

√

4.1.9 D : y =

3
,y = 4 − x
x

4.1.10 D : y = arcsin x, x = 0, y =

x
,y
x3 +1

= 0, 0 ≤ x ≤ +∞.

4.1.17 D : y = ln(x + 2), y = 2 ln x, x =

1
e

4.1.19 D : x2 + y 2 = 8, y 2 = 2x
π
2

4.1.20 D : y =

27
x2
,
y
=
x2 + 9
6

Dạng 2: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính diện tích mặt cong tạo ra khi quay miền D
quanh trục tương ứng
4.2.1 Sx : y =

x3
, x = 0, x = 1
3

4.2.6 Sx :

x2 y 2
+
=1
4
9

4.2.2 Sx : y = x2 , y = x

4.2.7 Sx : y = x2 , y = 4

4.2.3 Sx : y = x, y = 5x + x2

4.2.8 Sy : y = x2 , y = 4

4.2.4 Sx : 2y = x2 , 2x = y 2
4.2.5 Sy :

x2 y 2
+
=1
4
9

4.2.9 Sy : x = 4 − y 2 , x = 0
4.2.10 Sx : x = 4 − y 2 , x = 0

Dạng 3: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính thể tích vật thể tạo ra khi quay D quanh trục
tương ứng.
√
4.3.5 Vy : y = x, y = x + sin2 x, 0 ≤ x ≤ π
4.3.1 Vx : y = 1 − x2 , y = 0, −1 ≤ x ≤ 1.
x2
+ 2x + 2
2

4.3.2 Vy : y = 2x − x2 , y = 3, 0 ≤ x ≤ 3.

4.3.6 Vy : y = 2, y =

4.3.3 Vx : y = e−x sin x, y = 0, x ≥ 0.

4.3.7 Vx : x = 0, y = e−x + 1, y = e−2x − 1

4.3.4 Vx : 2y = x2 , 2x + 2y − 3 = 0

4.3.8 Vy : y = x2 + 1, y = 5

Dạng 4: Giải phương trình vi phân. Sau đó vẽ đường cong tích phân vừa tìm
x
4.3.1 y − xy = y ln , y(1) = 1
y

4.3.5 (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 , y(0) = 1

4.3.2 (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = 1

4.3.6 y =

π
4.3.3 y − y cot x = sin x, y( ) = 1
4

4.3.7 (x2 + 1)y + 4xy = 3, y(1) = 0

4.3.4 y − y tan x + y 2 cos x = 0, y(0) = 0

3
2
4.3.8 y + y = 3 , y(1) = 0

x
x
6

2x − y + 1
, y(0) = 1
x − 2y + 1


4.3.9 x3 y = y(x2 + y 2 ), y(1) = 1
π
4.3.10 ydx + cot xdy = 0, y( ) = −1
3
y
4.3.11 y +
+ y 2 = 0, y(0) = 1
x+1
√
4.3.12 xy − y = (x2 + y 2 ), y( 2) = 1
√
√
4.3.13 ( xy + x)y − y = 0, y(1) = 1

4.3.14 xy + y = y 2 ln x, y(1) = 1
4.3.15 y” + 2y = 3x, y(1) = 1, y (1) = 0
4.3.16 y” − 3y + 2y = 3e2x , y(0) = 1, y (0) = 1
4.3.17 y” + 2y + 5y = x + cos x, y(1) = 1, y (0) = 0
4.3.18 y” + y + 4y = sin2 x, y(0) = 1, y (1) = 0
4.3.19 5y” − 6y + 5y = xex , y(0) = 1, y (0) = 0

Dạng 5: Phân tích các hàm sau thành tổng các phân thức đơn giản
4.5.1 f (x) =
4.5.2 f (x) =

3.5

2x − 1
.
+ x2 − 8x + 5

4.5.3 f (x) =

x4 − 2
.
2x3 + x2 − 8x + 5

4.5.4 f (x) =

2x3

3x2 − 2
.
x3 + 2x2 − 2x + 3
x4

x+1
.
+ 5x2 − 36

Câu 5 điểm

Dạng 1: Tìm tham số để hàm liên tục tại x = x0 và vẽ đường cong minh hoạ (đánh dấu
điểm đặc biệt (x0 , f (x0 ))

x + 1, x ≤ 1
 a − x2 , x ≤ 0
5.1.1 f (x) =
, x0 = 1
2
b
, x0 = 0
5.1.5 f (x) =
3 − ax , x > 1

,x > 0
x+1

x − 1, x ≤ 1
1
5.1.2 f (x) =
, x0 = 1

2
ax − 2, x > 1
1 ,x ≥ 3
5.1.6 f (x) =
, x0 = 3
x−3
x
+

e
 2
x + ax, x < 3

 ax + 1, x ≤ π
π
x
2
5.1.3 f (x) =
, x0 =
3 4−x2 , x ≥ 2
 sin x + b, x > π
2
5.1.7 f (x) =
, x0 = 2
−x2 + ax − 4, x < 2
2

1

1
,x ≥ 1
1
x arctan( ), x = 0
5.1.8 f (x) =
, x0 = 1
x−1 + 1
5.1.4 f (x) =
, x0 = 0
2

x
 2
ax + 1, x < 1
a, x = 0
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0 , f (x0 ))

 arctan 1 , x = 0
x2
5.2.1 f (x) =
, x0 = 0
 π,x = 0
2
5.2.2 f (x) =

0, x = 0
x
, x0 = 0
1 ,x = 0
2
x
1+e

5.2.3 f (x) =

x2 ln x2 , x = 0
, x0 = 0
0, x = 0

Dạng 3: Tính đạo hàm trái, phải tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0 , f (x0 ))
 x

 e − 1, x > 0
x
5.3.1 f (x) =
, x0 = 0
 x + 1, x ≤ 0
2
7


x, x ≤ 1
, x0 = 1
x2 − x, x > 1

5.3.2 f (x) =

5.3.3

5.3.4

5.3.5
5.3.6

 1
 ex
,x ≤ 0 ,x = 0
f (x) =
0
 x2
x ,x > 0



 x − 1, x > 1
ln x
f (x) =
, x0 = 1
 (1 − x)2 + x + 1 , x ≤ 1

2
√
f (x) = |x2 − 2|3 , x0 = 2
√
f (x) = |x2 − 2|3 , x0 = − 2

Dạng 4: Tính bậc của VCB
Tìm a, b để α(x) ∼ axb

5.4.1 Khi x → 0 : α(x) =

sin(ax2 )
3
+ (1 + ax)(1/a) − ex ∼ xb
2
2

5.4.2 Khi x → 0 : α(x) = ln(1 + ax) +

sin(a2 x2 )
21
− axcosx ∼ xb
2

2

5.4.3 Khi x → 0 : α(x) = etan(ax) − eax −

sin(a3 x3 )
xb
∼
3
3

√
5.4.4 Khi x → 0 : α(x) = xex − sinx − x2 3 1 + 2x ∼ axb

Dạng 5: Tìm cực trị của hàm f (x) và vẽ hình minh họa (có đánh dấu các điểm cực trị )
5.5.1 f (x) = √

x2
x2 − 1

5.5.4 f (x) =

1
1 − ex
x

x−2
5.5.2 f (x) = √
x2 + 1
5.5.3 f (x) =

3.6

√
3

5.5.5 f (x) =
0

t3 −1
2 dt
et

trong (0, 3).

x

5.5.6 f (x) =

1 − x3

0

arctan
√ t−t dt
1+t2

Câu 6 điểm

Dạng 1: Tìm tiệm cận của hàm f (x) và vẽ hình minh họa ( có vẽ các tiệm cận):
x3

6.1.1 f (x) =
2(x2 + 1)

6.1.3 f (x) = (2x − 1)e x

x3
6.1.2 f (x) = √
x4 + 1

x2
6.1.5 f (x) = √
1 + x2

2

1

6.1.4 f (x) = e x − x

8

2

6.1.6 f (x) = x2 e x
6.1.7 f (x) = (2x − 1)e1/x


Dạng 2: Tính đạo hàm trái, phải tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0 , f (x0 ))
6.2.1 f (x) =

ex − x − 1
,x > 0
, x0 = 0
x
x2 − 2x, x ≤ 0

6.2.2 f (x) =

,x = 0
, x0 = 0
e +1
0, x = 0

6.2.3 f (x) =

x−1
,x > 1
, x0 = 1
ln
x
2
x ,x ≤ 1

x

1
x

6.2.4 f (x) = |x|(x + 2), x0 = 0
 √

 1 + 2x − 1
− 1, x ≤ 0 , x = 0
6.2.5 f (x) =
0
 √x, x x> 0
6.2.6 f (x) = x|x − 2|, x0 = 2

3.7

Câu 7 điểm

1. Tìm cực trị hàm y = (x + 2) |x − 3| + 2x + 3
2. Tìm cực trị hàm y = |x − 3| (2x + 5) +

x2
+3
2

3. Tìm cực trị hàm y = |x − 1| (2x + 1) + x2 + x
4. Tìm cực trị hàm y = |x + 1| + |x2 − x − 2|

9