Giải tích 1 ĐH KHTN ĐHQGHN

1

Giải tích toán học
Tập 1
Lê Văn Trực
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm
gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm
số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới,
vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi
phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không
xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích,
Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều
biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi
phân, Sự hội tụ.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 1 Tập hợp và số thực ............................................................................................... 7
1.1
1.2
1.3
1.4

Khái niệm về tập hợp ................................................................................................. 7
Số thực........................................................................................................................ 9
Ánh xạ ...................................................................................................................... 14
Bài tập chương 1 ...................................................................................................... 16

2

Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số .......................................................................... 19
2.1
Giới hạn của dãy số .................................................................................................. 19
2.1.1 Định nghĩa dãy số................................................................................................. 19
2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ ................................................................................. 21
2.1.3 Giới hạn vô hạn .................................................................................................... 24
2.2
Tiêu chuẩn hội tụ...................................................................................................... 25
2.2.1 Các định lý ........................................................................................................... 25
2.2.2 Số e....................................................................................................................... 26
2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại ........................... 27
2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn ..................................................................................... 28
2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số ................................................... 29
2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới ............................................................................. 30
2.3
Khái niệm về hàm số một biến số ............................................................................ 32
2.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................ 32
2.3.2 Đồ thị của hàm số................................................................................................. 32
2.3.3 Hàm số hợp .......................................................................................................... 34
2.3.4 Hàm số ngược ...................................................................................................... 34
2.3.5 Các hàm lượng giác ngược................................................................................... 36
2.3.6 Các hàm số hypebol ............................................................................................. 38
2.3.7 Các hàm hypebol ngược....................................................................................... 39
2.4
Giới hạn của hàm số................................................................................................. 41
2.4.1 Lân cận của một điểm .......................................................................................... 41
2.4.2 Các định nghĩa giới hạn........................................................................................ 42

2.4.3 Giới hạn một phía................................................................................................. 45
2.4.4 Giới hạn vô cùng .................................................................................................. 46
2.4.5 Các tính chất của giới hạn .................................................................................... 47
2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số................................................................ 47
2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn...................................................................................... 48
2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ.......................................................................................... 51
2.5
Bài tập chương 2 ...................................................................................................... 54
Chương 3 Hàm liên tục một biến số .................................................................................... 61
3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm .......................................................... 61
3.1.1 Các định nghĩa...................................................................................................... 61
3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín.......................... 62
3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục ......................................... 63
3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số ................................................................................. 65
3.2
Các tính chất của hàm liên tục ................................................................................. 68
3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm ......................................................... 68
3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn ................................................ 68
3.3
Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược ..................................... 72
3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu.................................................................... 72
3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược ................................................................................ 73
3.4
Khái niệm liên tục đều ............................................................................................. 74
3.4.1 Mở đầu ................................................................................................................. 74
3.4.2 Định nghĩa ............................................................................................................ 74
3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp ............................................................................ 76
3.5
Bài tập chương 3 ...................................................................................................... 77

3

Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến ................................................................ 81
4.1 Đạo hàm và cách tính ..................................................................................................... 81
4.1.1 Định nghĩa đạo hàm ................................................................................................ 81
4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số ...................................................................... 81
4.2 Các qui tắc tính đạo hàm ................................................................................................ 82
4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm ......................................................................................... 82
4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp ........................................................................................ 82
4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược .................................................................................... 84
4.2.4 Đạo hàm theo tham số............................................................................................. 85
4.2.5 Đạo hàm một phía ................................................................................................... 85
4.2.6 Đạo hàm vô cùng..................................................................................................... 87
4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp .................................................................................... 87
4.3 Vi phân của hàm số ........................................................................................................ 88
4.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................... 88
4.3.2 Các qui tắc tính vi phân........................................................................................... 89
4.3.3 Vi phân của hàm số hợp .......................................................................................... 89
4.3.4 Ứng dụng của vi phân ............................................................................................ 90
4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi ................................................................................. 90
4.4.1 Cực trị địa phương................................................................................................... 90
4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao........................................................................................... 96
4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao ................................................................................... 96
4.5.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n ..................................................... 97
4.5.3 Vi phân cấp cao ....................................................................................................... 97
4.6 Công thức Taylor ........................................................................................................... 98
4.6.1 Công thức Taylor .................................................................................................... 99
4.6.2 Khai triển Maclaurin ............................................................................................. 101
4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định ....................................................................... 103

4.7.1 Dạng vô định ......................................................................................................... 103
4.7.2 Dạng vô dịnh ......................................................................................................... 105
4.8 Khảo sát hàm số ........................................................................................................... 108
4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện ....................................... 108
4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số ..................................................................... 110
4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực.................................................................. 114
4.9 Bài tập chương 4 .......................................................................................................... 117
Chương 5 Tích phân không xác định ............................................................................... 123
5.1
Tích phân không xác định ...................................................................................... 123
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm ..................................................................................... 123
5.1.2 Các tính chất....................................................................................................... 123
5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định................................................................. 123
5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định....................................................... 123
5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản.................................................................................. 124
5.2
Cách tính tích phân không xác định ....................................................................... 125
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản.................................................................... 125
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến....................................................................... 126
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần............................................................... 127
5.2.4 Công thức truy hồi.............................................................................................. 129
5.3
Tích phân các phân thức hữu tỉ .............................................................................. 130


4

5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất ................................................... 130
5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ.................................................................... 132
5.4

Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol ...................... 134
5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác................................................... 134
5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol ....................................................... 136
5.5
Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ ............................................................................ 137
5.5.1
5.5.2
5.5.3

Tích phân dạng

I = ∫ R( x, m

ax + b
)dx
cx + d

............................................................................ 137

⎡ ax + b p ax + b r ⎤
I = ∫ R ⎢ x,(
) q ,(
) s ⎥ dx,
cx + d ⎥
⎢⎣ cx + d
⎦

Tích phân dạng
.................................................................... 138
Tích phân các nhị thức vi phân .......................................................................... 138

5.6
Tích phân các biểu thức dạng R( x, ax + bx + c ) với a ≠ 0 ...................................... 139
5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất ..................................................................................... 140
5.6.2 Phép thế Euler thứ hai ........................................................................................ 140
5.6.3 Phép thế Euler thứ ba ......................................................................................... 141
5.6.4 Tích phân eliptic................................................................................................. 142
5.7
Bài tập chương 5 .................................................................................................... 143
2

Chương 6 Tích phân xác định........................................................................................... 145
6.1
Định nghĩa tích phân xác định................................................................................ 145
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong..................................................................... 145
6.1.2 Bài toán tính khối lượng..................................................................................... 146
6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định............................................................................ 146
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định ........................................................... 148
6.2
Điều kiện khả tích .................................................................................................. 148
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích ........................................................................... 148
6.2.2 Các tổng Darboux............................................................................................... 149
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux ......................................................... 150
6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định ............................................................. 151
6.3
Các lớp hàm khả tích.............................................................................................. 152
6.4
Các tính chất cơ bản của tích phân......................................................................... 154
6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định.................................................................. 154
6.4.2 Các định lí giá trị trung bình .............................................................................. 158

6.5
Nguyên hàm và tích phân xác định ........................................................................ 159
6.5.1 Các định nghĩa.................................................................................................... 160
6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên.......................................................... 160
6.6
Tính tích phân xác định.......................................................................................... 162
6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định .............................................................. 162
6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần ............................................................................. 164
6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định ...................................................................... 168
6.7
Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định...................................... 172
6.7.1 Tính diện tích hình phẳng................................................................................... 172
6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng........................................................................... 177
6.7.3 Tính thể tích vật thể............................................................................................ 180
6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay...................................................................................... 183
6.8
Tích phân suy rộng................................................................................................. 186
6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1................................................................................... 186
6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2................................................................................... 195
6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng ............................................................... 199


5

6.9

Bài tập chương 6 ..................................................................................................... 200

Chương 7
7.1

Hàm số liên tục trong

Tập hợp trong

n

n

............................................................................... 206

.................................................................................................. 206
n

7.1.1 Khoảng cách trong
...................................................................................... 206
7.1.2 Lân cận của một điểm ........................................................................................ 207
7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp ...................................................... 208
7.1.4 Tập mở, tập đóng................................................................................................ 210
7.1.5 Tập liên thông..................................................................................................... 210
n

7.2
Sự hội tụ trong
, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số................... 211
n
7.2.1 Sự hội tụ trong
............................................................................................. 211
7.2.2 Dãy cơ bản.......................................................................................................... 212
7.2.3 Nguyên lí Canto ................................................................................................. 213

7.2.4 Chú ý .................................................................................................................. 213
7.2.5 Tập hợp compact ................................................................................................ 214
7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số............................................................................ 214
7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số .................................................................. 214
7.2.8 Đường mức và mặt mức..................................................................................... 215
n
7.3
Giới hạn của hàm số trong
............................................................................... 216
7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm...................................................................... 216
7.3.2 Giới hạn lặp ........................................................................................................ 217
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp ...................... 218
7.3.1 Chú ý .................................................................................................................. 219
7.4
Hàm số nhiều biến số liên tục ................................................................................ 221
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm ............................................................................. 221
7.4.2 Hàm số liên tục đều............................................................................................ 222
7.4.3 Liên tục theo từng biến....................................................................................... 223
7.5
Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số .......................................................... 224
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một..................................................................... 224
7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao............................................................................... 230
7.6
Đạo hàm của hàm số ẩn.......................................................................................... 233
7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số ................................................................. 233
7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số ................................................................. 235
7.7
Đạo hàm theo hướng .............................................................................................. 237
7.7.1 Đạo hàm theo hướng .......................................................................................... 237
7.7.2 Gradien ............................................................................................................... 238

7.8
Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số ............................................. 239
7.8.1 Công thức Taylor ............................................................................................... 239
7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số............................................................................ 241
7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac ...................... 244
7.9
Cực trị có điều kiện ................................................................................................ 245
7.9.1 Định nghĩa:......................................................................................................... 245
7.9.2 Phương pháp tìm cực trị ..................................................................................... 245
7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học .................................................... 250
7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong ............................................................................ 250
7.10.2
Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong................................................................... 251


6

7.10.3
Độ cong .......................................................................................................... 253
7.10.4
Bao hình của một họ đườngcong ................................................................... 255
7.11 Bài tập chương 7 .................................................................................................... 258
7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số ........................................................................... 262
Tài liệu tham khảo............................................................................................................ 302


7

Chương 1
Tập hợp và số thực

1.1 Khái niệm về tập hợp
1.1.1 Tập hợp
Cho tập hợp M, để chỉ x là phần tử của tập M ta viết x ∈ M (đọc là x thuộc M), để chỉ x
không phải là phần tử của tập M ta viết x ∉ M (đọc là x không thuộc M).
Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là {a} .
Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ .

Cho hai tập A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con
của B và ta viết A ⊆ B .
Nếu A là tập con của B và A ≠ B ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và
viết là A ⊂ B . Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là
phần tử của A. Ví dụ như tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỷ .
Cho A, B, C là ba tập hợp. Khi đó có tính chất sau:

a)

∅ ∈A

(1.1.1)

b) A ⊆ B vµ B ⊆ A ⇒ A = B
c) A ⊂ B vµ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

1.1.2

(1.1.2)
(1.1.3)

Một số tập hợp thường gặp

Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp các
số tự nhiên
={ 0,1,2,…, n,…}

(1.1.4)

*={1,2,… n,…}.

(1.1.5)

Để xét nghiệm của phương trình x+n = 0 trong đó n ∈

ta đưa thêm tập các số nguyên

:

tỷ

= {0, ±1, ±2,..., ± n,...} .

(1.1.6)

Để xét nghiệm của phương trình mx + n = 0 trong đó m, n ∈

ta đưa thêm tập các số hữu


8

m

⎧
⎫
= ⎨ x | x = , n ≠ 0, m,n ∈ ⎬ .
n
⎩
⎭

(1.1.7)

Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp
chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai). Tổng
a
(b ≠ 0) của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với
a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương
b
các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn
đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy. Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là
tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2. Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà
bình phương của nó bằng 2. Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng
p2
p
phân số tối giản , trong đó p và q chỉ có ước số chung là ±1 . Khi đó 2 = 2; p 2 = 2q 2 cho
q
q
2
nên p là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó
4m2=2q2, 2m2=q2 cho nên q2 là số chẵn và vì thế q là số chẵn. Như vậy p,q là các số chẵn,
điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là ±1 . Mâu thuẫn nhận được chứng
minh khẳng định trên.
Từ nguyên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô tỷ. Ví

dụ vể số vô tỷ là 2, 3, lg3, π , sin20o…

Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là
có bao hàm thức:
⊂

1.1.3

⊂

. Như vậy ta

⊂ .

(1.1.8)

Các phép toán trên tập hợp

a) Hợp A ∪ B của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B” là tập hợp được định nghĩa
bởi:
A ∪ B = {x | x ∈ A hoÆc x ∈ B} .

(1.1.9)

b) Giao A ∩ B của hai tập hợp A và B, đọc là “A giao B” là tập hợp định nghĩa bởi:
A ∩ B = {x | x ∈ A vµ x ∈ B } .

c) Hiệu A | B = { x| x ∈ A vµ x ∉ B } .

(1.1.10)

(1.1.11)

Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A ∩ B = Φ .
d) Bổ sung CAB của B trong A ( B ⊆ A ) là tập hợp định nghĩa bởi
CA B = { x| x ∈ A vµ x ∉ B }

(1.1.12)

Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:
i) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

(1.1.13)

ii) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

(1.1.14)

iii) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )

(1.1.15)

iv) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

(1.1.16)


9

1.1.4

v) A \ ∅ = A, ∅ \ A=∅

(1.1.17)

vi) CA ( B1 ∪ B2 ) = CA B1 ∩ CA B2

(1.1.18)

vii) CA ( B1 ∩ B2 ) = CA B1 ∪ CA B2 .

(1.1.19)

Tích Đề các

Cho hai tập hợp A,B không rỗng. Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A × B là
tập hợp các cặp (x,y) trong đó x ∈ A, y ∈ B , đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y =
b.
Như vậy
A × B ={(x,y)| x ∈ A, y ∈ B }

(1.1.20)

Thay cho A × A ta viết là A2
Ví dụ: {1,2} × {2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}
Ngoài ra {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}.

1.1.5

Các kí hiệu lôgic

Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M.
Nếu phần tử x ∈ M có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập
M có tính chất t:
c(t) ={ x ∈ M |x có tính chất t}

(1.1.21)

hay
c(t) ={ x ∈ M |t(x)}

(1.1.22)

khi đó nếu
c( t ) = M

thì mọi phần tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x ∈ M , x có tính chất t” và ta
viết ∀x ∈ M : t(x) hay ∀ t ( x ) .
x∈M

Ký hiệu ∀ gọi là ký hiệu phổ biến.
Nếu c( t ) ≠ ∅ , thì có ít nhất một phần tử x ∈ M , x có tính chất t” và viết

∃x ∈ M : t ( x ) hay ∃ t ( x )
x∈M

Ký hiệu ∃ gọi là ký hiệu tồn tại.

1.2 Số thực
1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực
Xét tập hợp các số thực . Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và

b. Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép


10

nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các
tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a) a+b = b+a (tính chất giao hoán),
b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),
c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ),
d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),
e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),
f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀a ∈

,

g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (− a) = 0,
h) Tồn tại duy nhất số 1 ≠ 0 sao cho a.1 = a ∀a ∈
i)

,

Với mọi số a ≠ 0, tồn tại số a-1 sao cho a.a-1= 1, số a-1 còn được kí hiệu là

1
.
a

Chú ý: Số (− a) và số a-1 nói trong tính chất g) và i) là duy nhất. Thật vậy, ví dụ như nếu tồn tại
số b ≠ − a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (− a)= − a, từ đây a+ (− a)+b=− a hay 0+b = −

a và b= − a, mâu thuẫn.

1.2.2 So sánh hai số thực a và b
Cho hai số thực bất kì a và b. Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a).
Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c.
Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a) Nếu a > b và b > c thì a > c
b)

Nếu a > b thì a+c > b+c.

c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0.
Mệnh đề a ≥ b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b.
Các mệnh đề a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b được gọi là các bất đẳng thức. Các bất đẳng thức
a < b, a > b được gọi là các bất đẳng thức thực sự.
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương.
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm.

1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực
Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:

x ≤ y ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y .

(1.2.1)

Khi đó tồn tại một số c sao cho

x ≤ c≤ y

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y .

(1.2.2)


11

Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này. Ví dụ như, giả sử
X = {x hữu tỉ | x <

2 } và

Y = {y hữu tỉ | y >

2 }.

Khi đó đối với mọi x ∈ X với mọi y ∈ Y thoả mãn x ≤ y, nhưng không tồn tại số hữu tỉ c
nào sao cho x ≤ c ≤ y . Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là
hữu tỉ.

2 , nhưng

2 không phải là số

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α, β trong
đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó (và
thành thử có một tập vô số các số vô tỉ như vậy nằm giữa α và β ).

1.2.4

Cận của tập hợp số

Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập hợp
M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho
x≤k

∀x ∈ M .

(1.2.3)

Số k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là bị
chặn trên nếu có ít nhất một cận trên. Nếu tập M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi
vì nếu số k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên. Một câu hỏi được đặt ra là liệu
có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M. Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng
của tập M và kí hiệu là sup M.
Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:

∀ε > 0, ∃x ∈ M sao cho x > supM - ε .
Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM − ε cũng là cận trên và khi đó số
supM không phải là cận trên đúng của tập M. Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM
là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M.
Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập

1 1
1
M = {1, , ,..., ,...}.
2 3
n
1
≤ 1 ∀n ∈ * , vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận

n
trên. Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M. Thật vậy ∀ε > 0 , ta phải tìm được số
1
tự nhiên n sao cho > 1 − ε . Số n này, ví dụ là n = 1.
n
Giải: Ta thấy 0 <

Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1.

Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:
Số supM được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu
a) x ≤ sup M

∀x ∈ M

b) ∀ε > 0, ∃x ∈ M sao cho x > supM - ε

(1.2.4)
(1.2.5)


12

Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho
x≥ g

∀x ∈ M .

(1.2.6)

Mọi số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M. Do đó tập M bị chặn dưới, nếu
nó có ít nhất một cận dưới.
Số lớn nhất trong các cận dưới của tập M gọi là cận dưới đúng của M và được kí hiệu là
inf M.
Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)

Hiển nhiên số a và số bất kì bé hơn a là cận dưới của M. Hiển nhiên số a là cận dưới
đúng của tập M, tức là a= inf M.
Tương tự như đối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:

∀ε , ∃x ∈ M sao cho x < inf M + ε .

(1.2.7)

1 1
1
Ví dụ 4: Xét tập M = {1, , ,..., ,...}
2 3
n

Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M.
Thật vậy, ∀ε > 0 , ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho
1
1
1
< 0 + ε , hay < ε ⇒ n > .
ε
n
n

Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập M, tức là inf M = 0.
Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0.

Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M.
Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng.

Chứng minh: Giả sử X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tập hợp Y các số là
cận trên của tập X không rỗng. Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì x ∈ X
và bất kì y ∈ Y ta có bất đẳng thức.
x ≤ y.

Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một số c sao cho

x ≤ c≤ y

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y .

(1.2.8)

Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức
thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của
tập X.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên

X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…}
không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới, tức là
supX= + ∞ và inf X= − ∞ .
Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn trên. Khi đó theo định lí trên, nó có cận trên
đúng

13

c = sup X.

Theo tính chất của cận trên đúng, đối với ε = 1 , ta tìm được một số nguyên x ∈ X sao
cho
x>c–1

nhưng khi đó x+1> c. Bởi vì x + 1 ∈ X , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng
của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.
Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu Y ⊂ X thì supX ≥ supY.

Giải: Giả sử supX = A, supY = B. Ta phải chứng minh B ≤ A. Giả sử ngược lại B > A. Khi
đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ∀ε > 0, ∃y ∈ Y sao cho y > B − ε .
Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy ε = B − A . Ta nhận được y >B − ε = B –B +A, tức là y
> A.
Nhưng y ∈ Y và Y ⊂ X nên y ∈ X , theo định nghĩa sup suy ra y ≤ A . Mâu thuẫn nhận
đựơc chứng tỏ rằng B ≤ A .
Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:
Bởi vì Y ⊂ X nên ∀x ∈ X và ∀y ∈ Y ta có
x ≤ sup X , y ≤ sup X và y ≤ sup Y .

Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên
của Y nên
sup Y ≤ sup X.
Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.
Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là + ∞ ,
sup M = + ∞ . Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là
− ∞ , inf M=− ∞ .

Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = + ∞ , inf(− ∞ ,0)= − ∞ .
Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của
tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM. Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là
minM.
Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,
|x|=max {(–x,x)} ∀x .

1.2.5 Trục số thực
Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.
Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc. Ta chon
một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang
phải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm
ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị.
Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số. Bất kỳ một số thực nào
cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên


14

đường thẳng thực cũng được ứng với một số thực. Số thực a ứng với điểm M trên trục số được
gọi là toạ độ của điểm M. Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường
thẳng thực và số thưc a (là toạ độ của điểm đó).
Tập hợp
không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất
kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1). Vì thế ta hãy bổ
sung vào tập
hai phần tử mới mà ta ký hiệu là + ∞ , − ∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận
của trục thực. Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là *. Như vậy là
*

=

∪ {− ∞ , + ∞ }.

(1.4.2)

Tập hợp R* ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chú ý thêm là

− ∞ < a < + ∞ , ∀a ∈

.

(1.4.3)

1.3 Ánh xạ
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một vài khái niệm về ánh xạ mà nó rất có ích cho
việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau này.

1.3.1 Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật f cho tương
ứng mỗi phần tử x ∈ A với một và chỉ một phần tử y ∈ B .
Ví dụ 1: Cho A = B = .

Qui luật y = x3 cho tương ứng mỗi x ∈
một ánh xạ từ tới .
Ví dụ 2: Cho A = B = {x | x ∈

với một và chỉ một y ∈

, nên qui luật trên là

, x ≥ 0 }.

Qui luật y = x cho tương ứng mỗi x ∈ A với một và chỉ một y ∈ B , nên là một ánh xạ
từ A tới B
Để diễn tả f là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết
A là tập xác định của ánh xạ f.

f
f: A → B hay A ⎯⎯
→ B và gọi

Phần tử y ∈ B tương ứng với x ∈ A bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là
nghịch ảnh của y và ta viết:

y = f ( x ) hay x

y = f ( x) .

Ta gọi tập
f ( A ) = { y| y = f ( x ), x ∈ A }

(1.3.1)

f ( A ) = { y| ∃x ∈ A, y = f ( x )}

(1.3.2)

hay
là ánh xạ của tập A qua ánh xạ f.

Chú ý rằng ta luôn có f ( A ) ⊆ B . Nếu f(A)=B, ta nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp A lên tập
hợp B hay ánh xạ f : A → B là một toàn ánh.


15

Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật f ( x ) = sin x, x ∈ là ánh xạ tập
ánh xạ tập lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho −1 ≤ y ≤ 1 .

Nếu như M ⊂

tới tập

và đồng thời

⊂ A thì f ( M ) ⊆ f ( ) .

(1.3.3)

1.3.2 Đơn ánh, song ánh
Ánh xạ f : A → B gọi là ánh xạ đơn ánh nếu

f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
ví dụ như ánh xạ được cho bởi sinx là đơn ánh từ tập hợp { x ∈ | 0 < x <

(1.3.4)

π
2

} lên tập hợp

{ y ∈ | 0 < y < 1} .
Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật y = x2 . Vì phương trình y = x2 , y ∈ có hai nghiệm
khác nhau x1 và x2 nếu y > 0, có nghĩa là f(x1) = f(x2) nhưng x1 ≠ x2 , vậy ánh xạ này không
phải là đơn ánh.

Ánh xạ f : A → B gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ 5: Ánh xạ f :

→

cho bởi qui luật y = x3 là một song ánh

Ví dụ 6: Ánh xạ f : → + cho bởi qui luật y = x2 không phải là song ánh, nhưng ánh xạ
f : + → + cho bởi qui luật y = x2 là một song ánh.
Ví dụ 7: Cho x ∈ , [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không
lớn hơn x chẳng hạn [−4,5] = −4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2). Ta có [x] ≤ x ≤ [x]+1.

Ánh xạ f :

→

cho bởi qui luật y=[x] không phải là song ánh.

1.3.3 Ánh xạ ngược
Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B. Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ
một x ∈ A sao cho y = f ( x ) . Ánh xạ cho tương ứng phần tử y ∈ B với phần tử x ∈ A sao
cho y = f ( x ) gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f kí hiệu là f −1 .
Như vậy f −1 : B → A

f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x ) = y (với x ∈ A , y ∈ B ).

(1.3.5)


16

Hình 1.3.1

Ví dụ 8: Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán
kính của vòng tròn x, khi đó f là ánh xạ đơn trị tập A lên tập các số thực dương. Khi đó ánh xạ
ngược f −1 tương ứng một số thực dương x với vòng tròn nằm trong tập A mà bán kính của nó
là x.

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ
Cho hai ánh xạ:

g : M → A vµ f : A → B .
Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp B được xác định như sau:

x ∈ M → z = f ( g( x )) ∈ B .
Ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh xạ f (hay tích của g và f ), ký hiệu là f

(1.3.6)

g

Như vậy

f

g: M → B

f

g( x ) = f ( g( x )), x ∈ M .

(1.3.7)

Ví dụ 9: Ánh xạ cho bởi qui luật sinx2, x ∈ R là hợp của ánh xạ trong cho bởi qui luật x2,
x ∈ và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny, y ∈

Ánh xạ sin2x, x ∈
y2 , y ∈ .

là hợp của ánh xạ trong cho bởi sinx, x ∈

và ánh xạ ngoài cho bởi

1.4 Bài tập chương 1
1.1 Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng a+r và a− r là các số vô tỉ
a r
2) Giả sử r ≠ 0 hãy chứng minh rằng các số ar , , là các số vô tỉ.
r a

1.2 Cho a,b ∈

, gọi số

17

d ( a, b) =| a − b| là khoảng cách giữa hai điểm a và b của trục số

Hãy chứng minh rằng
1) d(a,a) = 0
2) d(a,b)>0 khi a ≠ b
3) d(a,b) =d(b,a)
4) d(a,b) + d(b,c) ≥ d ( a, c) .
1.3 Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp M ⊂
sao cho: |x| ≤ r ∀x ∈ M .
1.4 Cho X ⊂

là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số thực r>0

. Định nghĩa: (−X) = {−x|x ∈ X}

Hãy chứng minh:
1) inf(−X) = −sup X
2) sup(−X)= −inf X
1.5 Cho X , Y ⊂

. Định nghĩa
X+Y = { a ∈ R| ∃x ∈ X , ∃y ∈ Y , a = x + y }
XY = { a ∈ R| ∃x ∈ X , ∃y ∈ Y , a = xy }

Nghĩa là X+Y là tập hợp các số thực có dạng x+y với x ∈ X , y ∈ Y , còn XY là tập hợp
các số thực có dạng xy với x ∈ X , y ∈ Y .

1) Giả sử X,Y bị chặn trên, chứng minh:
sup(X+Y) = supX+ supY
2) Giả sử X, Y bị chặn dưới, chứng minh:
inf(X+Y) = inf X + inf Y
3) Giả sử X, Y bị chặn trên, X ⊂

+

,Y ⊂

+

.

Chứng minh: sup(XY)= (sup X)(sup Y)
4) Giả sử X, Y bị chặn dưới, X ⊂

+

,Y ⊂

+

.

Chứng minh: inf(XY) = (inf X)(inf Y).
1.6 Giả sử φ ≠
inf M ≤ inf

⊂M ⊂

≤ sup

*

. Chứng minh rằng:

≤ sup M .

1.7 Cho A ⊂ và F = { f | f : A → A } . Chứng minh rằng nếu f,g,h ∈ F và i là ánh xạ đồng
nhất trên tập A, tức là i(x) =x, ∀ x ∈ A thì:

1) ( f

g) h = f ( g h ) ,

2) f i = f .
1.8 Cho F là tập hợp nói trên và


18

F * = { f | f : A → A và f là đơn ánh}
Chứng minh rằng nếu f,g ∈F* thì
1) f

g ∈ F*

2) f

f −1 = i

19

Chương 2
Giới hạn của dãy số và hàm số
2.1 Giới hạn của dãy số
2.1.1 Định nghĩa dãy số
Cho * ={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f: * →
một dãy số thực. Nếu đặt xn= f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:
x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...

được gọi là
(2.1.1)

Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số.
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {xn}. Chỉ số n trong số hạng xn chỉ vị trí của số
hạng này trong dãy (2.1.1).
Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

1
1
1
1
⎧1 ⎫
⎨ ⎬ : x1 = 1, x2 = , x3 = , x4 = ,..., xn = ,...
2
3
4
n

⎩n ⎭

(2.1.3)

1
2
n
⎧ n ⎫
,...
⎨
⎬ : x1 = , x2 = ,..., xn =
2
3
n +1
⎩n + 1⎭

(2.1.4)

1 ⎫
1
1
1
1
⎧1
, x2 n =
,...
⎨ ,
⎬ : x1 = , x2 = 1, x3 = ,..., x2 n −1 =
2
4

2n
2n − 1
⎩ 2 n 2n − 1 ⎭

(2.1.5)

Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số
hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có giới hạn
0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1.
Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy.
Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ
ý đều tìm được một số p ∈ * sao cho ∀n > p, n ∈ * ta đều có:

|xn − a|< ε , tức là a− ε < xn < a+ ε .

(2.1.6)

Nếu a là giới hạn của dãy {xn} thì ta viết:
lim xn = a hay xn → a khi n → ∞ .
n →∞

(2.1.7)

Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε . Để nhấn mạnh điều đó
đôi khi thay cho p ta sẽ
viết pε .


20

Khoảng mở (a− ε , a+ ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để a
là giới hạn của dãy {xn} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử xn của dãy
bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ
có thể có một số hữu hạn các phần tử xn).

Hình 2.1.1

Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 1

⎧ n ⎫
Hãy chứng minh dãy ⎨
⎬ có giới hạn là 1.
⎩n + 1⎭

Ta có: | xn − 1| =

1
1
. Với mọi ε cho trước
<ε
n +1
n +1
⇔ n +1 >

1

ε

⇔n>

1

ε

−1 .

1
⎡1
⎤
Nếu ta lấy pε = ⎢ − 1⎥ + 1 (phần nguyên của ( − 1 )) thì ∀n > pε ta có: |xn− 1|< ε .
ε
⎣ε
⎦

Do đó lim
n →∞

n
= 1.
n +1

Ví dụ 2

Hãy chỉ ra rằng dãy:
{( −1)n } : −1,1, −1,...,

(2.1.8)

không có giới hạn.
Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn –
a|< ε =1.
Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên
|xn+1 – a|<1.
Từ đó ta suy ra với n>p
|xn – xn+1|= |(xn − a)+ ( a −xn+1)| ≤ | xn − a|+| xn+1 − a|n< 1+1 = 2
điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | xn – xn+1|= 2 ∀n ∈

*

.


21

2.1.2

Các tính chất của dãy hội tụ

a) Tính duy nhất
Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b
1
2

Ta lấy số ε = ( b − a ) > 0 . Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p1 sao cho

với n> p1 ta có:
|xn– a|< ε
a – ε < xn < a+ ε

tức là

(2.1.9)

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p2 sao cho với
n>p2 ta có:
|xn– b|< ε
b – ε < xn < b+ ε

tức là

(2.1.10)

Nếu lấy n > max(p1, p2) thì b – ε < xn < a+ ε ⇒ b – ε < a+ ε ⇒ b–a < 2 ε , điều này mâu
thuẫn với giả thiết b – a = 2 ε .
Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh:

Giả sử lim xn = a . Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho với
n →∞

mọi số tự nhiên n ≥ p, ta có:
xn − a < 1. Do x n − a ≤ xn − a nên xn < a + 1

Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1}. Khi đó|xn| ≤ k ∀ n=1,2,3,…, tức là dãy {xn } bị chặn.

Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.
Ví dụ:

Dãy có số hạng tổng quát xn= (–1)n là dãy bị chặn nhưng không hội tụ vì:
xn → 1 khi n = 2k → ∞; xn → −1 khi n = 2k + 1 → ∞;

Tuy nhiên |xn |=1, ∀ n.
b) Dãy con
Định nghĩa 2 Giả sử { kn } là dãy tăng các chỉ số, tức là

k1 < k2 < k3 < ...

Khi đó dãy với các số hạng
xk1 , xk2 , xk3 ,...

(2.1.12)


22

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của
dãy (2.1.1).
Ta chú ý rằng
kn ≥ n ∀ n ∈

*

.

(2.1.13)

Thật vậy k1 ≥ 1, cho nên k2>1 và do đó k2 ≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên.
Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được kn ≥ n, ta nhận được kn +1 > n và do đó
kn +1 ≥ n + 1 . Các ví dụ về dãy con là:
x2 , x4 , x6 , x8 ,...,( k1 = 2, k2 = 4,..., kn = 2n )

(2.1.14)

x1 , x3 , x5 , x7 ,...( k1 = 1, k2 = 3,..., kn = 2n − 1)

(2.1.15)

x1 , x4 , x9 , x16 ,...( k1 = 1, k2 = 4,..., kn = n 2 )

(2.1.16)

x1 , x3 , x5 , x7 , x11 , x13 , x17 ,...( xn = pn , pn là số nguyên tố)

(2.1.17)

Định lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

Chứng minh:
Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và { xk } là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy
n

chứng minh dãy { xk } cũng có giới hạn là a. Đặt yn= xkn .
n

Giả sử cho trước ε >0 vì lim xn = a, nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có

n →∞

| xn − a| < ε .

Mặt khác với n>p thì kn>p (vì kn ≥ n) và do đó
| yn − a| =| xkn − a| < ε

Cho nên lim yn = a , điều phải chứng minh.
n →∞

c) Các phép toán về giới hạn
Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ lim xn = a, lim yn = b
n →∞

n →∞

Khi đó:
(i) lim( xn + yn ) = a + b
n →∞

(2.1.18)

(ii) lim( c xn ) = ca ; lim( c + xn ) = c + a với c là hằng số

(2.1.19)

(iii) lim( xn yn ) = ab .

(2.1.20)

n →∞

n →∞

n →∞

(iv) lim(

1
1
) =
với yn ≠ 0, b ≠ 0.
yn
b

(2.1.21)

(v) lim(

xn
a
) = với yn ≠ 0, b ≠ 0.
yn
b

(2.1.22)

n →∞

n →∞

23

Chứng minh:

(i) Vì xn → a, yn → b nếu với ε >0 ta tìm được p1 và p2 sao cho: khi n>p1 thì |xn –

ε

|yn −b|<

a|< , khi n>p2 thì
2

ε
2

. Gọi p = max(p1 , p2) thì khi n>p ta có:

| ( xn + yn ) − ( a + b)| ≤ | xn − a| +| yn − b| < ε .

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
(ii) Chứng minh tương tự như trên
(iii)

Ta có đẳng thức:
xn yn − ab = ( xn − a )( yn − b) + a( yn − b) + b( xn − a ) .

Vì xn → a, yn → b , nên với ε > 0 cho trước, tìm được p1, p2

sao cho:
khi n>p1 thì |xn − a|< ε , khi n>p2 thì |yn −b|< ε .
Gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có:
| xn yn − ab| < ε + | a| . ε + | b| . ε , từ đó lim( xn yn − ab) = 0.
n →∞

1
(iv) Do y → b , nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì | yn − b |< | b| . Ngoài ra do
n
2
1
||yn| −|b|| ≤ | yn − b |< | b| ,
2
1
1
suy ra − | b| <|yn| −|b|< | b|
2
2

Từ bất đẳng thức trên suy ra khi n >m thì
|yn| >

1
| b| .
2

(2.1.23)

Mặt khác, cũng do yn → b nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p ta
có

1
| yn − b |< | b| 2 ε
2

(2.1.24)

Do vậy khi n>p ta có:
1 1
−
=
yn b

yn − b
2
1
1
→ khi n → ∞ .
<
| yn − b| < ε , điều này chứng tỏ rằng
2
byn
yn
b
| b|

(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv
d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức
Định lý 2.1.5 Giả sử lim xn < lim yn . Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì xn < yn .
n →∞

n →∞


24

1
2

Chứng minh: Đặt lim xn = a, lim yn = b và ε = ( b − a ) . Do đó a+ ε = b − ε . Theo giả thiết
n →∞

n →∞

tìm được p1,p2 sao cho khi:
n > p1 thì a − ε < xn < a + ε và khi n > p2 thì b − ε < yn < b + ε .

Nếu gọi p =max( p1 , p2 ) thì bất đẳng thức:
xn < a + ε = b − ε < yn , ∀n > p được thoả mãn.

Do đó: xn < yn , ∀n > p .
Chú ý:
Trường hợp đặc biệt khi yn = b, ∀n ∈

*

ta có khẳng định sau:

Nếu như lim xn = a < b , thì ∃p sao cho ∀n > p ta có xn < b .
n →∞

Một cách tương tự nếu lim yn = b > a , thì ∃p sao cho ∀n > p ta có yn > a.
n →∞

Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {xn} và {yn}. Khi đó:

(i)

Nếu xn ≥ yn vµ lim xn = a, lim yn = b t h×a ≥ b

(ii)

Nếu {zn} là một dãy thoả mãn

n →∞

n →∞

xn ≤ yn ≤ zn ∀n vµ lim xn = lim zn = a t h× lim yn = a.
n →∞

n →∞

n →∞

Chứng minh:
(i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng. Giả sử a < b, khi đó tồn tại số r
thoả mãn a< r Mặt khác vì xn → a và a < r nên tồn tại p1 sao cho khi

n > p1 thì xn < r.

Tương tự ta tìm được p2 sao cho khi n > p2 thì yn> r.
Nếu gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có xn <r và yn>r, nghĩa là xnthuẫn với giả thiết.
(ii) Vì xn → a nên với ε > 0 cho trước tìm được p1 sao cho khi n >p1 thì:
| xn − a| < ε hay a − ε < xn < a + ε .

Tương tự, vì zn → a , ta tìm được p2 sao cho khi n>p2 ta có a − ε < zn < a + ε .
Từ đây, đặt p = max(p1,p2), thì khi n > p ta có
a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε .

Suy ra a − ε < yn < a + ε , tức là yn → a , điều phải chứng minh.

2.1.3 Giới hạn vô hạn
Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn}. Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p
sao cho ∀n > p, ta có xn>M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là


25

lim xn = +∞ .
n →∞

Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ∀n > p, ta có xn< –
M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là
lim xn = −∞ .
n →∞

Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn. Dãy có
giới hạn là ±∞ không được xem là dãy hội tụ.

2.2

Tiêu chuẩn hội tụ

2.2.1 Các định lý
Định nghĩa 1 Dãy x1 , x2 , x3 ,... gọi là tăng nếu

(2.2.1)

xn ≤ xn +1 ∀n ∈

*

(2.2.2)

Nếu
xn < xn +1∀n ∈

*

(2.2.3)

ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng. Tương tự, nếu như
xn ≥ xn +1 ∀n ∈

*

(2.2.4)

dãy (2.2.1) là giảm.
Nếu như
xn > xn +1 ∀n ∈

*

(2.2.5)

thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm.
Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu. Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp
dãy rất quan trọng. Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau.
Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm. Nếu như dãy không bị chặn trên thì
lim xn = +∞ .

(2.2.6)

n →∞

Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
lim xn = sup xn .
n →∞

n =1,2,...

(2.2.7)

Chứng minh:
(i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên. Khi đó ∀M > 0 lớn tuỳ ý, ta đều tìm được
một số tự nhiên p sao cho xp>M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M). Bởi vì,
dãy là không giảm, nên khi n>p, ta có: xn ≥ x p và do đó xn>M, cho nên

lim xn = +∞ .
n →∞

(ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt