PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE LAMINATE SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG_Lương Văn Hải, Phạm Hùng

PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE LAMINATE SỬ
DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG
STATIC AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE PLATES
USING MOVING ELEMENT METHOD
Lương Văn Hải, Phạm Hùng
laminate dưới tác động của các loại tải trọng trên các loại nền
thường được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng dân dụng
và cầu đường như: tính toán kết cấu móng, dầm, sàn của các tòa
nhà; thiết kế, tính toán kết cấu áo đường giao thông hay sân
bay,....
Trên thế giới có rất nhiều nghiên cứu về phân tích ứng xử
của kết cấu tấm composite laminate trong những thập kỷ gần
đây. Vào năm 1963, Thompson [1] đã nghiên cứu ứng xử của
kết cấu đường chịu tải trọng di chuyển bằng cách giả định
đường là tấm mỏng dài vô hạn tựa trên nền đàn hồi (resting
elastic foundation). Kim và Roesset (1998) [2] đã nghiên cứu
tấm vô hạn tựa trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng di
chuyển sử dụng phép biến đổi Fourier. Wu và cộng sự (1987)
[3] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng
xử của tấm phẳng chịu tải trọng di chuyển. Pan và Atluri (1995)
[4] đã phân tích ứng xử của đường băng có kích thước hữu hạn
trên nền đàn hồi chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp
FEM/BEM kết hợp. Musharraf Zaman và cộng sự (1991) [5] đã
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bốn nút để phân tích ứng
xử động của tấm dày trên nền đàn nhớt (viscoelastic foundation)
chịu tải trọng di chuyển. Như vậy, phương pháp phần tử hữu
hạn FEM truyền thống đã được sử dụng phổ biến để giải quyết
nhiều bài toán phức tạp. Trong phương pháp này, tất cả các ma
trận kết cấu sẽ được thực hiện trên một hệ trục tọa độ cố định.
Khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì
vectơ tải trọng phải được cập nhật sau mỗi bước thời gian. Do

đó, đối với những phần tử có chiều dài khác nhau thì việc tính
toán lập trình sẽ khó khăn và mất thời gian. Đồng thời, tải trọng
có thể tiến tới biên và vượt ra khỏi biên nên cần phải thiết lập
điều kiện biên cập nhập. Tất cả các nhược điểm trên được minh
họa ở Hình 1.
Để giải quyết những khó khăn của các phương pháp truyền
thống gặp phải, việc phân tích ứng xử của tấm composite
laminate dựa trên phương pháp phần tử chuyển động (Moving
Element Method-MEM) đang là hướng nghiên cứu mới được
quan tâm (thể hiện trên Hình 2). Người đi tiên phong của
phương pháp này là Koh (2003) [6] đã đề xuất sử dụng phương
pháp phần tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của
tàu cao tốc. Vào năm 2006, Koh và cộng sự [7] đã phát triển
phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động
của nền bán không gian đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di
động. Chen và Huang (2000) [8] đã xét một tải không đổi di
chuyển với vận tốc không đổi dọc theo một dầm Timoshenko
dài vô hạn trên nền đàn nhớt. Các ma trận độ cứng động lực cho
các dầm bán vô hạn thu được trong lúc số bước sóng phức tạp
và các hình dạng chuyển vị phức tạp. Ngoài ra, Ang và cộng sự
(2013) [9] đã phân tích động lực học của hệ thống tàu cao tốc
trên nền đàn nhớt hai thông số. Nghiên cứu này sử dụng phương
pháp phần tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của
tàu cao tốc. Năm 2009, Xu và cộng sự [10] sử dụng phương
pháp phần tử chuyển động để phân tích dao động ngẫu nhiên
của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử
dụng phần tử tứ giác.

TÓM TẮT
Trong bài báo này, phương pháp phần tử chuyển động MEM

(Moving Element Method) được phát triển nhằm phân tích ứng
xử tĩnh và dao động tự nhiên của tấm composite laminate dựa
trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tấm sẽ được chia nhỏ
thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử này không
phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động
giả tưởng cùng với lực tác động di chuyển trên kết cấu tấm. Do
đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật vectơ tải trọng
so với mô hình tấm truyền thống. Các phương trình chuyển
động cũng như các ma trận của phần tử tấm được xây dựng trên
một hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi. Các kết
quả số trong phân tích tấm composite laminate cho thấy phương
pháp MEM đạt độ tin cậy cao so với các kết quả khác đã được
công bố trước đây.
Từ khóa: Phương pháp phần tử chuyển động, tấm composite
laminate, phân tích tĩnh, dao động tự do.
ABSTRACT
This paper develops a recently new method, namely moving
element method (MEM), for predicting the static and free
vibration response of laminated composite plates based on the
first shear deformation theory. In this method, the plate is
discretized into a number of elements called “the moving
elements”. These moving elements are not physical elements
fixed to the plate, but are conceptual elements that “flow” with
the moving load through the plate. Thus, the proposed method
eleminates the need of keeping track the location of moving
load relative to the element mesh. The governing equations of
motion as well as structural matrices of moving element are
formulated in a relative coordinate system travelling at a
constant speed. Numerical results for analysis of laminated
composite plates show that the MEM performs quite well

compared to several other published results in the literature.
Keywords: Moving element method, composite laminate plate,
static analysis, free vibration.
PGS. TS. Lương Văn Hải
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học
Quốc Gia TP.HCM
Email:
Điện thoại: 0944 282 090
KS. Phạm Hùng
Học viên Cao học, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Quốc Gia TP.HCM
1. Giới thiệu
Kể từ khi ngành khoa học về vật liệu composite ra đời, đã
có rất nhiều nghiên cứu được thực hiện để ứng dụng loại vật
liệu này trong xây dựng dựa trên mô hình phần tử dầm, tấm hay
vỏ. Đặc biệt là những nghiên cứu về ứng xử của tấm composite
1


Hình 1. Mô hình phương pháp FEM

Hình 4. Phần tử Q9 trong tọa độ vuông góc (tổng thể)

Hình 2. Mô hình phương pháp MEM

Tất cả các phần tử Q9 trong tọa độ thông thường được quy

Trong bài báo này, phương pháp MEM được sử dụng để
phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm composite laminate
tựa trên nền đàn hồi chịu các loại tải trọng. Các phương trình

chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu cũng được thiết lập
trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc của lực.
Mô hình tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền
được khảo sát để xét ảnh hưởng của nền. Đồng thời, các thông
số như tỉ số module đàn hồi, tỉ số cạnh/bề dày và các dạng dao
động ảnh hưởng đến tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm
cũng được phân tích. Các kết quả thu được sẽ là tài liệu hữu ích
cho việc nghiên cứu và thiết kế các kết cấu tấm composite
laminate trong thực tiễn.
2. Cơ sở lý thuyết
Xét tấm composite laminate chịu biến dạng uốn bởi các lực
vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn
sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình

về hệ tọa độ tự nhiên (ξ ,η ) như Hình 5.

Hình 5. Phần tử Q9 trong tọa độ tự nhiên
Các hàm dạng của phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên
được cho bởi (Ghafoori, 2010 [12]):

Ω ⊂ R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm. Theo lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Reddy, 1997 [11]), trường
chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm được biểu diễn thông
qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên mặt trung hòa
như sau:
u (=
x , y , z ) uo ( x , y ) + z β x ( x , y )

 h h
=

v
x
 ( , y, z ) vo ( x, y ) + z β y ( x, y ) ( x, y ) ∈ Ω, z ∈  − , 
 2 2

 w ( x, y, z ) = w ( x, y )

1
(ξ − 1)(η − 1) ξη ,
4
1
N 3 = (ξ + 1)(η + 1) ξη ,
4
1
N 5 = (1 − ξ 2 ) (η − 1)η ,
4
1
N 7 = (1 − ξ 2 ) (η + 1)η ,
4
1
N 9 = (1 − ξ 2 )(1 − η 2 )
2

1
(ξ + 1)(η − 1) ξη
4
1
N 4 = (ξ − 1)(η + 1) ξη
4
1

N 6 = (1 − η 2 ) (ξ + 1) ξ
4
1
N8 = (1 − η 2 ) (ξ − 1) ξ
4

N1 =

(1)

trong đó u , v , w là các thành phần chuyển vị theo phương x, y,
z; β x , β y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung
hòa quanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với quy
ước chiều dương cho ở Hình 3, Ω là mặt trung hòa của tấm và
h là bề dày của tấm.

N2 =

(2)

Bằng cách sử dụng các hàm dạng, vectơ chuyển vị tại một
điểm bất kì u = u v w β x

dạng và chuyển vị của các nút

T

β y  sẽ được nội suy từ hàm

(1)

u = Nd
trong đó N là ma trận các hàm dạng chuyển vị và được xác
định bởi:

N
0

N=0
0

 0

1

Hình 3. Quy ước chiều dương của chuyển vị u , v , w và 2
chuyển vị xoay β x , β y của tấm composite laminate
Phần tử tứ giác 9 nút ( Q9 ) được sử dụng trong nghiên cứu
này. Tất cả các phần tử đều được gắn vào hệ trục cố định ( x, y )

0

0

0

0

...

N9

0

0

0

N1

0

0

0

...

0

N9

0

0

0

N1

0

0

...

0

0

N9

0

0

0

N1

0

...

0

0

0

N9

0

0

0

N1

...

0

0

0

0

và d là vectơ chuyển vị nút:

và được đánh số từ 1-9 như được thể hiện trên Hình 4.

2


0 

0 


0

N 

0

9

(2)


[

d = u 01

v01

β x1

w01

β y1

...

u 09

v09

β y9 ]

βx9

w09

T

(3)

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng màng, uốn và biến
dạng cắt. Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công
thức sau:

ε

ε
ε


x

y

xy

  u
  β
 
 
=

 v
+ z β
 u + v   β + β
 
 
0,x

x, x

0,y

y, y

0,y

0,x

x, y

γ   w
=
 
γ   w

=
γs

xz

,x

yz

,y



ε + zκ
(4)
=



σ
σ

τ
τ

 τ









xx

yy

xy

xz

yz

Q
Q

= Q
0

 0

y, x

0

0

21

Q22

Q26

0

0

61

Q62

Q66

0

0

0

0

Q55

Q54

0

0

Q45

Q44

n zk +1

yy

xy

xz

yz

(k )

Q
Q

= Q
0

 0









11

Q12

Q16

0

0

21

Q22

Q26

0

0

61

Q62

Q66

0

0

0

0

Q55

Q54

0

0

Q45

Q44

T

Ω′

s

(k )

ε
ε

γ
γ

γ

xx

yy

xy

xz

yz









N w = [ 0 0 N1 0 0 ... 0 0 N 9









∫

∫

Ω′

(k )

ε
ε

γ
γ

γ

xx

yy

xy

xz

yz

trong đó

ε p = [ε m

(k )

(8)

12

2

12

)

∂ 2 u ( x, t )
∂ 2u ( r , t )
∂ 2u ( r , t ) ∂ 2u ( r , t )
 = 2
u
=
V2
−
2
V
+
∂t
∂r 2
∂r ∂t
∂t 2

(18)

∂w ( x, t )
∂w ( r , t ) ∂w ( r , t )
w ==

−V
+
∂t
∂r
∂t

(19)

[Vt a + Vt ] × [ 0 b ] . Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển
động ( r , s ) thì miền này là
=
Ω [ 0 a ] × [ 0 b ] , trong đó

=
Ω′
(9)

a , b là kích thước tấm, và d Ω= dr × ds .

lại:


Sau khi biến đổi hệ trục tọa độ, phương trình (11) được viết

d  ∫ B D1Bd Ω + ∫ mV 2 N T N , rr d Ω + ∫ N Tw k f N w d Ω − V ∫ N Tw c f N w , r d Ω

q ( x , y ) là tải phân bố, m là ma trận hằng số khối lượng bao
gồm khối lượng riêng ρ và bề dày h của tấm.
,h

(16)

∂ 2 w ( x, t )
∂2 w ( r, t )
∂2 w ( r, t ) ∂2 w ( r, t )
(20)
 = 2
w
=
V2
− 2V
+
2
∂t
∂r
∂r ∂t
∂t 2
trong đó
T
 = u0 v0 w
0 βx βy 
u = u0 v0 w 0 βx β y  T , u
Tại thời điểm t , miền bài toán trong hệ tọa độ cố định là

T

2

(15)

hệ tọa độ chuyển động; V và t lần lượt là vận tốc và thời gian
di chuyển của tải.
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa
độ chuyển động được biểu diễn như sau:
∂u ( x, t )
∂u ( r , t ) ∂u ( r , t )
(17)
−V
+
u ==
∂t
∂r
∂t

κ ] ; q = [ 0 0 q ( x , y ) 0 0 ] , với

(

(14)

trong đó ( x, y ) lần lượt là hệ tọa độ cố định; ( r , s ) lần lượt là

Ω′

m = ρ hdiag 1,1,1, h

0 0]

r= x − Vt
y=s

(7)









(13)

giữa hai trục tọa độ được xác định như sau:

T

Ω′

(12)

Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không
đổi V . Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, một hệ tọa độ
( r , s ) gắn liền với tải trọng di động được thiết lập. Mối quan hệ

(6)

∫ δ u q d Ω′

=
+ δ w k f wd Ω′ + δ w c f wd

Ω′

(i, j =
1, 2,6)

trong đó N w là ma trận chứa các hàm dạng.

(k )

Ω′

T

(k )

w = N wd

s

Ω′

T

n

Chuyển vị đứng w được nội suy từ chuyển vị nút phần tử:

T

s

(k )

z

∫ δ ε Dε d Ω′ + ∫ δ γ D γ dΩ′ + ∫ δ u mud Ω′
p

(11)

n zk +1

1997 [11]).
Phương trình dạng yếu Galerkin cho phân tích ứng xử động
lực học của tấm composite laminate trên nền đàn nhớt có dạng:
p

)

Dmb =
∑

trong đó Qij là hằng số vật liệu biến đổi của lớp thứ k (Reddy,

T

6

k 1=
k 1

=
zk

Quan hệ ứng suất biến dạng của tấm tại lớp thứ k (lớp bất
kỳ so với mặt phẳng tham chiếu) có dạng:









5

s

− h/2

Dm =
∑ ∫ Qij dz =
∑ ( zk +1 − zk )Qij

=
Q=
G12 , Q=
G13 , Q=
G23 , Q
Q=

Q=
0
66
55
44
16
26
45

xx

=
=
; i , j 4,
5 κ

n k +1
(k ) 2
(i )
1 n 3
( zk +1 − zk3 )Q ij (i, j =
1, 2,6)
Db =
Q
z
dz
=
∑
∑
ij

∫
3k 1
k 1=
=
zk

E1
v12 E2
E2
=
=
, Q12
, Q22
1 − v12 v21
1 − v12 v21
1 − v12 v21

σ
σ

τ
τ

 τ

ij

trong đó:

trong đó các hằng số vật liệu được tính như sau:

Q11

∫ Q dz

(5)

y

Q16

(

2

s

(k )
(i )
1 n 2
( zk +1 − zk2 )Q ij (i, j =
1, 2,6)
Q
zdz
=
∑
ij
∫
2k1
k 1=

=
zk


+β 

Q12

Db



h

=
; Ds κ

m

+ βx 

11

D mb 

m

mb

Trong lý thuyết tấm trực hướng, ứng suất tại lớp thứ k được

đưa ra từ định luật Hook:
(k )

D
 D

=
D

T

Ω
Ω
Ω
Ω

  T
T
T
dΩ
+ d  ∫ −2mVN N , r d Ω + ∫ N w c f N w d Ω  + d
=
∫ N mN
Ω
 Ω
Ω

(10)





(21)

∫ N q dΩ
T

Ω

Từ phương trình (23), các ma trận khối lượng, ma trận cản,
ma trận độ cứng của phần tử tấm và vectơ tải trọng lần lượt
được cho bởi:

và D , D s là ma trận hằng số vật liệu được cho bởi:

3


∫ N mNd Ω

(22)

T
T
∫ −2mVN N,r d Ω + ∫ c f N wN wd Ω

(23)

=
Me

T

Ω

Ce =

Ω

=
Ke

Ω

∫B

Ω

T
b

Db Bb d Ω + ∫ BTs Ds B s d Ω
Ω

(24)

T
∫ mV N N,rr d Ω − ∫ c f VN N w,r d Ω + ∫ k f N w N wd Ω
2

Bảng 1. Thông số vật liệu tấm
Loại vật liệu
Module
M1
M2
M3
E 11 (GPa)
25.0 40.0 20.0
E 22 (GPa)
1.0
1.0
1.0
G 12 (GPa)
0.5
0.6
0.6
G 13 (GPa)
0.5
0.6
0.6
G 23 (GPa)
0.2
0.5
0.5
ν=
ν
=
ν
0.25 0.25 0.25
12

23
13

T

T
w

Ω

Ω

P=

Ω

∫ N q dΩ
T

(25)

Ω

trong đó

( ),r là đạo hàm bậc nhất theo

r và

( ),rr

là đạo hàm

Bảng 2 thể hiện kết quả chuyển vị tại tâm tấm thu được
bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM9, được so sánh
với kết quả của phương pháp CS-DSG3 và các kết quả đã được
công bố trong các bài báo. Hình 7 và Hình 8 cho thấy kết quả
của phương pháp MEM là gần như trùng khớp với kết quả của
Reddy (1997) [11]. Chứng tỏ phương pháp phần tử chuyển
động MEM là đáng tin cậy. Ngoài ra, việc sử dụng phần tử tứ
giác 9 nút giúp cho phân tích đạt độ chính xác rất cao.
Bảng 2. Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm

bậc hai theo r .
Sau khi tổng hợp các ma trận kết cấu và vectơ tải trọng cho
toàn bộ tấm, phương trình động lực học của hệ trên có dạng:
(26)
 + Cu + Ku = P
Mu
trong đó M , C và K lần lượt là các ma trận khối lượng, cản
và độ cứng tổng thể của hệ và P là vectơ tải trọng tổng thể của
hệ.
Phương trình phân tích tĩnh của tấm composite laminate cho
bởi:
(27)
Ku = P
trong đó vectơ tải trọng được xác định :
P
=

∫qN

T

dΩ

(

w = 100 E2 wh / qa
*

3

Góc
hướng sợi

(28)

a/h

Ω

2

(29)

0

0

0 /90 /0

Giải hai phương trình (29) và (31) ta thu được bài toán tĩnh
và dao động tự do của hệ.

0

3. Các ví dụ số
00/900/900/00

Để chứng minh sự tin cậy của phương pháp được đề xuất,
các ví dụ số về phân tích tĩnh và dao động tự do sẽ lần lượt
được thực hiện thông qua việc so sánh với các phương pháp
khác sử dụng các phần tử như CS-DSG3 (phương pháp phần tử
tam giác hữu hạn trơn), FEM-9 (FEM sử dụng phần tử tứ giác 9
nút) và các kết quả khác đã được công bố trước đây.

Kết quả thực
hiện
CSMEM9
DSG3

Kết quả đã công bố
Reddy

FEMT3

FEMQ4

10

0.6564

0.6616

0.6693

0.6281

0.6458

20

0.4824

0.4852

0.4913

0.4516

0.4666

100

0.4248

0.4269

0.4337

0.3714

0.4073

10

0.6497

0.6550

0.6530

0.6211

0.6387

20

0.4814

0.4843

0.4912

0.4503

0.4655

100

0.4248

0.4269

0.4337

0.3675

0.4073

Tải phân bố (UDL)

00/900/00

3.1 Phân tích tĩnh
Trong phân tích này, mô hình tấm vuông composite
laminate tựa và không tựa trên nền đàn hồi với điều kiện biên là
tựa đơn 4 cạnh (S-S-S-S) và ngàm 4 cạnh (C-C-C-C) được khảo
sát.
3.1.1

)

Tải hình sin (SSL)

Tấm dao động với tần số ϖ thì phương trình cân bằng trở
thành
0
(K − ω M )u =

4

0

0

0

0 /90 /90 /0

0

10

1.0223

1.0116

1.0219

0.9639

0.9874

20

0.7570

0.7480

0.7572

0.6989

0.7195

100

0.6700

0.6608

0.6697

0.5744

0.6307

10

1.0253

1.0138

1.0250

0.9641

0.9883

20

0.7691

0.7593

0.7676

0.7085

0.7302

100

0.6827

0.6735

0.6833

0.5795

0.6430

Tấm vuông chịu tải hình sin và phân bố đều

Kết cấu tấm vuông với biên tựa có các kích thước như sau: cạnh
a và bề dày h . Vật liệu cấu tạo tấm là M1 thể hiện ở Bảng 1.
Tấm chịu tác dụng của tải hình sin (SSL) và tải phân bố đều

(UDL) với q0 = 1N/m tại giữa tấm. Có 2 loại tấm được khảo sát
là tấm 3 lớp (00/900/00), 4 lớp (00/900/900/00). Kết cấu tấm sẽ
được chia thành phần tử có kích thước NxN với N = 16 .

Hình 7. So sánh độ võng không thứ nguyên w giữa các
phương pháp (tải phân bố hình sin SSL)
*

Tải phân bố hình sin (SSL)
Tải phân bố đều (UDL)
Hình 6. Mô hình tấm tựa đơn 4 cạnh

4


Hình 10. Chuyển vị của 3 loại tấm với mức lưới phần tử 20x20

Hình 8. So sánh độ võng không thứ nguyên w giữa các
phương pháp (tải phân bố đều UDL)
*

3.1.2

3.1.3

Tấm vuông chịu tải tập trung trên nền đàn hồi

Trong bài toán này, thông số tấm vẫn được sử dụng tương tự
Ví dụ 3.1.2 và có thêm hệ số nền đàn hồi k f = 107 N/m3 .

Tấm vuông chịu tải tập trung

Kết cấu tấm vuông với biên ngàm có các kích thước như
sau: cạnh a = 20m và bề dày h = 0.5m . Vật liệu cấu tạo tấm là
M3 thể hiện ở Bảng 1, khối lượng riêng tấm ρ = 2550 kg/m3.
Tấm chịu tác dụng của tải tập trung P = 1000N tại giữa tấm.
Có 3 loại tấm được khảo sát là tấm 3 lớp (00/900/00), 4 lớp
(00/900/900/00) và 5 lớp (00/900/00/900/00). Kết cấu tấm sẽ được
chia thành các phần tử có kích thước N × N với
N = 8,10,12,14,16, 20 .
Hình 9 thể hiện sự hội tụ của chuyển vị tại điểm đặt lực với các
lưới chia phần tử của kết cấu tấm. Có thể nhận thấy rằng khi
lưới càng được chia mịn thì các các phương pháp khác nhau cho
nghiệm chuyển vị càng gần nhau và nghiệm dần tiến tới hội tụ.
Cũng từ kết quả này cho thấy nghiệm của MEM và FEM-9 là
hoàn toàn giống nhau vì cùng sử dụng phần tử tứ giác 9 nút.
Đồng thời từ Hình 9 ta thấy rằng sự hội tụ của phương pháp
MEM nhanh hơn phương pháp CS-DSG3 vì MEM sử dụng
phần tử có số nút lớn hơn.

Hình 11 thể hiện chuyển vị của tấm tại điểm đặt lực. Tương
tự như kết quả đạt được từ Ví dụ 3.1.2, khi tấm đặt trên nền đàn
hồi thì phương pháp MEM trùng khớp với các phương pháp
FEM-9 vì đều cùng sử dụng phần tử tứ giác 9 nút.
Hình 12 thể hiện sự so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực giữa
tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi. Ta
thấy rằng chuyển vị tấm trên nền đàn hồi nhỏ hơn tấm không
trên nền đàn hồi 4.39 lần, chuyển vị giảm từ -3.29x10-5m xuống
còn -0.75x10-5m. Khảo sát trên cho thấy được ảnh hưởng quan
trọng của hệ nền đối với ứng xử của tấm khi chịu tải trọng bên

ngoài tác dụng. Kết quả này có thể áp dụng trong thực tế thiết
kế và thi công: muốn giảm ứng xử của tấm thì ta cần phải gia cố
nền với độ cứng thích hợp.

Hình 11. Chuyển vị tấm tại điểm đặt lực

Hình 9. Chuyển vị của tấm 5 lớp theo các mức lưới phần tử
Ngoài ra, dựa vào kết quả chuyển vị của từng dạng tấm
trong Hình 10 cho thấy: tấm có cùng bề dày h và cấu tạo bởi
cùng loại vật liệu nhưng tấm có nhiều lớp hơn thì độ võng cũng
như chuyển vị ở tâm tấm cũng nhỏ hơn. Nguyên nhân là khi các
lớp tấm có các hướng sợi khác nhau được ghép đan xen với
nhau thì sự liên kết các phần tử giữa các lớp tấm càng trở nên
chặt chẽ hơn và khăng khít hơn, tạo nên một kết cấu tổng thể
vững chắc và khó bị phá vỡ hơn.

Hình 12. So sánh giữa chuyển vị tại điểm đặt lực của tấm trên
nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi
3.2 Phân tích dao động tự do
Trong mục này, việc khảo sát tính chính xác và sự hữu dụng
của phương pháp MEM trong việc phân tích tần số dao động tự
nhiên của kết cấu tấm được thực hiện. Hai điều kiện biên được
áp dụng cho tấm là bốn biên tựa đơn (S-S-S-S) và bốn biên
ngàm (C-C-C-C). Tấm được chia với nhiều hệ lưới khác nhau.
Kết quả của phương pháp MEM sẽ được so sánh với phương
5


pháp khác sử dụng các phần tử như FEM-9 và kết quả được
công bố trong bài báo của tác giả Reddy (1997) [11] và phương

pháp p-Ritz [13]. Đồng thời việc phân tích ảnh hưởng của tỉ số
module E 1 /E 2 , tỉ số chiều dài/bề dày của tấm đến tần số dao
động tự nhiên của tấm cũng được thực hiện.

chia nhỏ hơn và khả năng liên kết các phần tử cũng trở nên chặt
chẽ hơn giúp cho mô hình càng gần với kết cấu ở ngoài thực tế.
3.2.2
Sự ảnh hưởng của tỉ số cạnh và bề dày tấm đến tần
số dao động tự nhiên
Trong bài toán này, thông số tương tự như Ví dụ 3.2.1 với tỉ
số module E 1 /E 2 =40. Tiến hành khảo sát tần số dao động tự
nhiên của tấm theo sự thay đổi tỉ số cạnh và bề dày tấm a/h
(thay đổi từ 5, 10, 20, 25, 50, 100) với mức lưới phần tử khảo
sát là 15x15. Bảng 4 và Hình 14 thể hiện tần số dao động tự
nhiên không thứ nguyên ứng với tỉ số cạnh và bề dày tấm là a/h
khác nhau. Kết quả thu được cho thấy rằng kết quả sử dụng
phương pháp MEM rất gần với kết quả của p-Ritz với sai số rất
nhỏ 0.03% thể hiện qua Hình 15.
Bảng 4. Tấm composite laminate (00/900/900/00): tần số dao

3.2.1
Sự ảnh hưởng của tỉ số module E 1 /E 2 đến tần số
dao động tự nhiên
Tấm composite laminate 4 lớp (00/900/900/00) tựa đơn bốn
cạnh (SS-SS-SS-SS) được khảo sát. Thông số của tấm
a / h = 5 , vật liệu cấu tạo tấm là M2 thể hiện ở Bảng 1. Tỉ số
module E 1 /E 2 thay đổi từ 10, 20 đến 40. Kết cấu tấm sẽ được
chia thành các phần tử có kích thước N × N với
N = 7,9,11,13,15 để khảo sát trong bài toán.
Bảng 3 thể hiện kết quả tần số dao động thứ nhất giữa các

phương pháp. Phương pháp MEM cho lời giải hoàn toàn giống
với FEM-9 và lời giải chính xác của Reddy (1997) [11]. Điều
này chứng tỏ rằng phương pháp MEM tỏ ra hiệu quả trong việc
phân tích tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm.

*

Phương
pháp
MEM9
ES-DSG3
MISQ20
HSDT
p-Ritz
RBF
HOIL
theory
Local
theory
Global
theory

Bảng 3. Bảng so sánh tần số dao động không thứ nguyên

(

ω = ωa / h
*

2

)

ρ / E giữa các phương pháp
2

E 1 /E 2

Phương pháp

Chia
lưới

10

20

40

MEM9

7x7

8.2990

9.5679

10.8546

9x9

8.2985

9.5674

10.8542

11x11

8.2983

9.5672

10.8541

13x13

8.2982

9.5672

10.8540

15x15

8.2982

9.5671

10.8540

15x15

8.2982

9.5671

10.8540

ES-DSG3

FEM9

8.3295

9.5849

10.8465

MISQ20

8.3094

9.5698

10.8471

MLSDQ

8.2924

9.5613

10.8490

RBF

8.3101

9.5801

10.8640

Giải tích
(Reddy)

8.2982

9.5671

10.8540

(

động không thứ nguyên ω = ω a / h
2

)

ρ / E2

a/h
5
10.85
10.85
10.85
10.99
10.86
10.81

10
15.14
15.14
15.17
15.27
15.14
15.10

20
17.66
17.65
17.72
17.67
17.66
17.63

25
18.07
18.06
18.14

18.05
18.07
18.05

50
18.68
18.66
18.75
18.46
18.67
18.66

100
18.84
18.82
18.92
18.76
18.84
18.82

10.67

15.07

17.54

18.05

18.67

18.84

10.68

15.07

17.64

18.06

18.67

18.84

10.69

15.07

17.64

18.06

18.67

18.84

Hình 14. So sánh tần số dao động không thứ nguyên ω giữa
các phương pháp
*

Hình 13. Sự ảnh hưởng tỉ số E 1 /E 2 trong phương pháp MEM so
với kết quả giải tích của Reddy
Hình 15. Sai số của tần số dao động không thứ nguyên ω các
phương pháp đối với phương pháp p-Ritz
Đồng thời, kết quả trên Hình 14 còn cho thấy nếu tấm càng
mỏng thì dao động tự nhiên của tấm càng lớn và điều này hoàn
toàn phù hợp với thực tế khảo sát.
*

Đồng thời từ Hình 13 cho thấy nếu tỉ số E 1 /E 2 càng lớn thì
sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên càng chính xác và khi
lưới được chia càng mịn thì phương pháp MEM càng cho lời
giải tiến đến gần lời giải chính xác đưa ra trong bài báo của
Reddy (1997) [11]. Vì lưới càng mịn thì các phần tử sẽ được
6


3.2.3
Khảo sát các dạng dao động của tấm
Trong bài toán này, tấm composite laminate 3 lớp
(00/900/00) biên ngàm bốn cạnh (C-C-C-C) được khảo sát.
Thông số vật liệu tương tự Ví dụ 3.2.1, tỉ số module E 1 /E 2 =40,
tỉ số a/h =10. Tấm được khảo sát trong bài toán có hệ lưới phần
tử 15x15. Tần số các dạng dao dộng được so sánh với phương
pháp p-Ritz [13] để chứng tỏ tính đúng đắn của MEM.
Bảng 5 thể hiện tần số dao động tự nhiên ứng với 5 mode
dao động đầu tiên của phương pháp MEM và các phương pháp
đã công bố. Kết quả thu được cho thấy kết quả sử dụng phương
pháp MEM rất gần với kết quả của p-Ritz (sai số ở mode 5 là
0.47%). Điều này chứng tỏ tính chính xác của MEM trong phân

tích dao động tự do. Các dạng dao động của tấm với các tần số
dao động tự nhiên khác nhau được thể hiện trong Hình 16.

LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu được tài trợ bởi Đại học Quốc gia Thành phố Hồ
Chí Minh (ĐHQG-HCM) trong khuôn khổ Đề tài mã số C201520-17: “Phân tích động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tải
trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động ”.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Thompson WE, “Analysis of dynamic behavior of roads
subject to longitudinally moving loads”, HRB, vol.39, pp. 124, 1963.
2. Kim SM, Roesset JM, “Moving loads on a plate on elastic
foundation”, Journal of Engineering Mechanics, vol. 124,
pp. 1010–1017, 1998.
3. Wu JS, Lee ML, Lai TS, “The dynamic analysis of a flat
plate under a moving load by the finite element method”,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering, vol.24, pp.743–762, 1987.
4. Pan G, Atluri SN, “Dynamic response of finite sized elastic
runways subjected to moving loads: a coupled BEM/FEM
approach”, International Journal for Numerical Methods in
Engineering, vol. 38, pp. 3143–3167, 1995.
5. Zaman M, Taheri MR, Alvappillai A, “Dynamic response of
a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads”,
International Journal for Numerical and Analytical Methods
in Geomechanics, vol. 15, pp. 627-647, 1991.
6. C. G. Koh, J. S. Y. Ong, D. K. H. Chua and J. Feng,
“Moving element method for train-track dynamics”,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering, vol. 56, pp. 1549–1567, 2003.
7. C.G. Koh, G.H. Chiew, C.C. Lim “A numerical method for

moving load on contiuum”, International Journal of
Mechanical Sciences, vol. 300, pp. 126-138, July.2006.
8. Chen YH, Huang YH, “Dynamic stiffness of infinite
Timoshenko beam on viscoelastic foundation in moving
coordinate”, International Journal for Numerical Methods
in Engineering 2000; 48:1-18.
9. Tran Minh Thi, Ang Kok Keng, and Luong Van Hai (2013).
Dynamic analysis of high-speed rail system on twoparameter elastic damped foundation. International
Conference on Advanced Computing and Applications
ACOMP, 23-25/10/2013, Ho Chi Minh City , Vietnam.
10. W.T. Xu, J.H. Lin, Y.H. Zhang, D. Kennedy and F.W.
Williams, “2D moving element method for random
vibration analysis of vehicles on Kirchho plate with Kelvin
foundation”, Latin American Journal of Solids and
Structures 6, pp. 169-183, 2009.
11. Reddy JN, “Mechanics of laminated composite plates –
Theory and Analysis”, New York: CRC Press, 1997.
12. E. Ghafoori, M. Asghari. “Dynamic analysis of laminated
composite plates traversed by a moving mass based on a
first order theory”, Composite structure, vol. 92, pp. 18651867, 2010.
13. H. H. Phan Dao, H. Nguyen Xuan, C. Thai Hoang and T.
Nguyen Thoi, “An Edge-Based Smoothed Finite Element
Method for Analysis of Laminated Composite Plates”,
International Journal of Computational Methods, vol. 10,
No.1, 2013.

Bảng 5. Các tần số dao động tự nhiên của tấm biên ngàm C-CC-C (a/h =10)
Modes
Phương pháp
1

2
3
4
5
MEM9
7.44 10.43 13.99 15.49 15.88
ES-DSG3
7.48 10.65 14.08 16.00 16.35
p-Ritz
7.41 10.39 13.91 15.43 15.81
Global-local theory
7.48 10.21 14.34 14.86 16.07
Galerkin method
7.45 10.45 13.99 15.53 15.90
MLSDQ
7.43 10.40 13.96 15.47 15.84

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Mode 4

Mode 5
Mode 6
Hình 16. Hình dáng 6 dạng dao động đầu tiên của tấm biên
ngàm với a/h =10
4. Kết luận

Trong bài báo này việc phân tích ứng xử tĩnh và dao động tự
nhiên của tấm composite laminate sử dụng phương pháp phần
tử chuyển động MEM đã được thực hiện. Thông qua các kết
quả nghiên cứu, một số kết luận quan trọng có thể rút ra như
sau:
 Phương pháp MEM có tính khả thi cao trong việc phân tích
tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite laminate.
Các kết quả thu được từ MEM đã được kiểm chứng với
FEM và các kết quả đã công bố.
 Phương pháp MEM cho nghiệm chính xác và hội tụ nhanh
hơn so với phương pháp FEM truyền thống hay phương
pháp CS-DSG3.
7