BỘ ĐỀ THI HSG TỈNH MÔN TOÁN LỚP 12_CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN-ĐỀ CHÍNH THỨC
( Hướng dẫn chấm có : 2 trang )
Bài 1 ( 4 điểm)
Gọi M(a;-3a +2) và (d) là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k. Phương trình của (d)
là: y = k(x – a) -3a +2.
1đ
 x 3  3x  2  k(x  a)  3a  2

2
(2)

3x  3  k

(d) tiếp xúc với ( C)  

(1)

1đ

Thay k từ (2) vào (1) ta:
 x  0(kep)

x  3x  2  (3x  3)(x  a)  3a  2  x (2x  3a)  0  
3a
x



2
3

2

2

1đ

Biện luận: - Nếu a=0, có một tiếp tuyến ( khi đó (d) trùng với (D) và M là điểm uốn của ( C))
- Nếu a khác 0, qua M có hai tiếp tuyến.
1đ
Bài 2 (4 điểm)
Đẳng thức đã cho  2cos2 A  1  2 3 cos(B  C).cos(B  C) 

5
0
2

 4cos2 A  4 3 cos A.cos(B  C)  3  0

1đ
1đ

2

 2cos A  3 cos(B  C)  3sin 2 (B  C)  0

1đ

sin(B  C)  0
B  C  0
0


 A  30





3
3
0
cos(B  C) cos A 

 B  C  75
cos A 


2
2

1đ

Bài 3 ( 4 điểm )
Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a . O nhìn các cạnh AB , BC, CD
, DA một góc bằng 600 suy ra AB = BC = CD = DA = a

1đ
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD ta có MN  AC , BD  (NAC)
1
3

Đặt AC = x , BD = y ta có VABCD  S NAC BD 

1
xy 4a 2  x 2  y 2
12

1đ

Áp dụng bất đẳng thức Cau Chy ta có:
3

VABCD

3
1
1
1  4a 2  x 2  y 2  x 2  y 2 
2a
 S NAC BD 
(4a 2  x 2  y 2 ) x 2 y 2 



3
12

12 
3
9 3


Dấu = xảy ra khi x  y 

2a
3

1

1,5đ


Vậy tứ diện thoả đề bài là tứ diện có AB = BC = CD = DA = a , AC = BD =

2a
3

0,5đ

Bài 4 ( 4 điểm)
 V1  6

Đặt Vn  3u n . Ta có: 

1đ

3

 Vn 1  Vn  3Vn
x  x  6
Chọn x1 , x 2 sao cho:  1 2
 x1x 2  1
11

11

+/ Với n = 1, ta có: V1  6  x1  x 2  x13  x 32
k 1

1đ

k 1

+/ Với n = k, giả sử: Vk  x13  x 32



k 1

k 1

+/ Với n = k+1, ta có: Vk1  Vk3  3Vk  x13  x 32
k 1

 x13  x 32  3(x1x 2 )3
k

k

  3 x
3

x

3k 1
1

3k 1
1

k 1

 x 32

k 1

 x 32

  3x



3k 1
1

k 1

 x 32

x

3k
1

Suy ra, theo nguyên lý quy nạp thì: Vn  x13  x 32 ; n  N*
n

1

n

 x 32

k

1,5đ

Vậy: u n  (3  10)3  (3  10)3  ( vì x1 , x 2 là nghiệm của pt x 2  x  1  0) 0,5đ
3
Bài 5 ( 4 điểm)
Trong 1) cho y = 2 ta có: f  x.f (2)  .f (2)  f (x  2)  f (x  2)  0; x  0.
1đ
n 1

n 1

Vì f (x)  0, x  0;2   t  x  2  2 . Do đó f (t)  0, t  2 hay f (x)  0, x  2.
Vậy:

  0 neu 0  x  2
f (x)  
0 neu x  2

1đ

Bây giờ ta chỉ cần tìm hàm f(x) với x  0;2  . Khi đó: 2-x > 0 nên:
f  (2  x)f (x)  f (x)  f (2  x  x)  f (2)  0
 f  (2  x)f (x)   0  (2  x)f (x)  2 

1
2x

f (x)
2

1đ

Do f  (y  x)f (x)   0  (y  x).f (x)  2 . Ta cho x cố định, còn y  2 (do tính liên tục)
thì ta có:
2x
1
2x
2


 f (x) 
.
2

f (x)
2
2x
 2
, x  0;2 

Tóm lại: f (x)   2  x
0
x  2;  


1đ

LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Thí sinh có lời giải đúng trong phạm vi kiến thức của chương trình (khác với đáp án)
thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2


3


SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN-ĐỀ CHÍNH THỨC
( Hướng dẫn chấm có : 2 trang )
Bài 1 ( 4 điểm)
Gọi M(a;-3a +2) và (d) là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k. Phương trình của (d)
là: y = k(x – a) -3a +2.
1đ
 x 3  3x  2  k(x  a)  3a  2

2
(2)

3x  3  k

(d) tiếp xúc với ( C)  

(1)

1đ

Thay k từ (2) vào (1) ta:
 x  0(kep)

x  3x  2  (3x  3)(x  a)  3a  2  x (2x  3a)  0  
3a
x


2

3

2

2

1đ

Biện luận: - Nếu a=0, có một tiếp tuyến ( khi đó (d) trùng với (D) và M là điểm uốn của ( C))
- Nếu a khác 0, qua M có hai tiếp tuyến.
1đ
Bài 2 (4 điểm)
Đẳng thức đã cho  2cos2 A  1  2 3 cos(B  C).cos(B  C) 

5
0
2

 4cos2 A  4 3 cos A.cos(B  C)  3  0

1đ
1đ

2

 2cos A  3 cos(B  C)  3sin 2 (B  C)  0

1đ

sin(B  C)  0

B  C  0
0


 A  30





3
3
0
cos(B  C) cos A 

 B  C  75
cos A 


2
2

1đ

Bài 3 ( 4 điểm )
Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a . O nhìn các cạnh AB , BC, CD
, DA một góc bằng 600 suy ra AB = BC = CD = DA = a
1đ
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD ta có MN  AC , BD  (NAC)
1

3

Đặt AC = x , BD = y ta có VABCD  S NAC BD 

1
xy 4a 2  x 2  y 2
12

1đ

Áp dụng bất đẳng thức Cau Chy ta có:
3

VABCD

3
1
1
1  4a 2  x 2  y 2  x 2  y 2 
2a
 S NAC BD 
(4a 2  x 2  y 2 ) x 2 y 2 



3
12
12 
3
9 3



Dấu = xảy ra khi x  y 

2a
3

1

1,5đ


Vậy tứ diện thoả đề bài là tứ diện có AB = BC = CD = DA = a , AC = BD =

2a
3

0,5đ

Bài 4 ( 4 điểm)
 V1  6

Đặt Vn  3u n . Ta có: 

1đ

3
 Vn 1  Vn  3Vn
x  x  6
Chọn x1 , x 2 sao cho:  1 2

 x1x 2  1
11

11

+/ Với n = 1, ta có: V1  6  x1  x 2  x13  x 32
k 1

1đ

k 1

+/ Với n = k, giả sử: Vk  x13  x 32



k 1

k 1

+/ Với n = k+1, ta có: Vk1  Vk3  3Vk  x13  x 32
k 1

 x13  x 32  3(x1x 2 )3
k

k

  3 x
3

x

3k 1
1

3k 1
1

k 1

 x 32

k 1

 x 32

  3x



3k 1
1

k 1

 x 32

x

3k
1

Suy ra, theo nguyên lý quy nạp thì: Vn  x13  x 32 ; n  N*
n

1

n

 x 32

k

1,5đ

Vậy: u n  (3  10)3  (3  10)3  ( vì x1 , x 2 là nghiệm của pt x 2  x  1  0) 0,5đ
3
Bài 5 ( 4 điểm)
Trong 1) cho y = 2 ta có: f  x.f (2)  .f (2)  f (x  2)  f (x  2)  0; x  0.
1đ
n 1

n 1

Vì f (x)  0, x  0;2   t  x  2  2 . Do đó f (t)  0, t  2 hay f (x)  0, x  2.
Vậy:

  0 neu 0  x  2
f (x)  

0 neu x  2

1đ

Bây giờ ta chỉ cần tìm hàm f(x) với x  0;2  . Khi đó: 2-x > 0 nên:
f  (2  x)f (x)  f (x)  f (2  x  x)  f (2)  0
 f  (2  x)f (x)   0  (2  x)f (x)  2 

1
2x

f (x)
2

1đ

Do f  (y  x)f (x)   0  (y  x).f (x)  2 . Ta cho x cố định, còn y  2 (do tính liên tục)
thì ta có:
2x
1
2x
2


 f (x) 
.
2
f (x)
2
2x

 2
, x  0;2 

Tóm lại: f (x)   2  x
0
x  2;  


1đ

LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Thí sinh có lời giải đúng trong phạm vi kiến thức của chương trình (khác với đáp án)
thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2


3