Phương pháp gắn tọa độ không giản giải HHKG

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Hình học không gian lớp 12
----------

PH NG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

Tác giả : Ph

ng Nguyễn


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LỜI NÓI ĐẦU
Nh các bạn đều biết , môn Toán là một môn rất quan trọng và có
tầm ảnh h ởng rất lớn tới việc xét tuyển vào Đại Học hay Cao Đẳng
sau này. Do đó để có đ ợc số điểm cao trong môn này , ta cần phải có
1 vốn kiến thức cần thiết và hiểu rõ những khái niệm , bản chất toán
học. Và trong chuyên đề ngày hôm nay mình sẽ đề cập đến 1 trong 3
câu hình học luôn xuất hiện trong đề thi đại học. Đó chính là các bài
toán về hình học không gian thuần túy (cổ điển) với ph ng pháp gắn
hệ trục Oxyz và giải nh một bài toán giải tích bình th ờng. Đa số
trong các bài toán này, mình th ờng thấy các bạn chỉ làm đ ợc 1/2
yêu cầu đề bài (giống mình lúc tr ớc hihi :v).Các câu hỏi còn lại nh
tìm khoảng cách giữa 1 điểm đến đ ờng thẳng hay tìm khoảng cách
giữa 2 đ ờng thẳng hoặc chứng minh song song,vuông góc v.v..... các
bạn đều bỏ (và mình cũng vậy :v ). Lý do là bởi vì bạn đã quên 1 số
kiến thức về hình học ở lớp 11 và các cách t duy dựng hình. Vì thế
mình sẽ giúp các bạn v ợt qua các bài toán ấy bằng ph ng pháp tọa

độ hóa này 
u điểm :

 Dễ hiểu
 Dễ làm
 Công việc chính là chỉ tính toán
 Không cần chứng minh nhiều
 Phù hợp với các bạn học hình yếu
Nh ợc điểm :

 Tính toán dễ sai
 Đôi khi sẽ chậm h n so với cách cổ điển
 Ít đ ợc sử dụng
 Đôi khi nhìn rất dễ lộn


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phần đầu tiên
Các kiến thức quan trọng ( cần nhớ hết :v )
1.Các công thức về hình học
 Diện tích các hình:
 Tam giác th ờng (hoặc vuông nh trong hình)



SABC 

1
1

1
1
AB. AC.BC
AD.BC  AB. AC.sin A  AB.BC.sin B  AC.CB.sin C 
 pr
2
2
2
2
4R

( với AD là đ ờng cao,R là bán kính
đ ờng tròn ngoại tiếp, p là nửa chu vi , r là bán kính
đ ờng tròn nội tiếp )

A

* Mở rộng :
- Hệ thức l ợng trong tam giác vuông
( nh hình vẽ )
AC 2  CD.CB
AB 2  BD.BC
BC 2  AB 2  AC 2
1
1
1
AB. AC
 2
 AD 
2

2
AD
AB AC
AB 2  AC 2
AD 2  BD.CD
AB. AC  AD.BC

B

D

C

A

- Hệ thức l ợng trong mọi tam giác :
(ví dụ tam giác th ờng nh hình vẽ )

AB 2  BC 2  AC 2  2 BC. AC.cos C
AB
BC
AC


sin C sin A sin B
1
1
AE 2  ( AB 2  AC 2 )  BC 2
2
4

B

E

C


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

 Hình thang ( th ờng , cân , vuông)

S ABCD 

B

A

( AB  CD). AH
2

AH  DC  AH .DC  0
D

C

H

 Hình bình hành

A

B

S ABCD  AB. AH  2S ABC  2S ADC
AB  BC  CD  DA

K

AH  DC  AH .DC  0

D

C

H

A

 Hình thoi

1
AC.BD
2
AC  BD  AC.BD  0
AB  BC  CD  DA

S ABCD 

B

D
C

 Hình chữ nhật

A

B

D

C

S ABCD  AB.BC
AB  DC
AD  BC


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

B

A
 Hình vuông

S ABCD  AB 2  BC 2  CD 2  AD 2

E

AB  BC  CD  DA

D

C

2.Các công thức tính thể tích các hình

S

 Thế tích khối chóp
Cách tính : Lấy đ ờng cao nhân diện tích đáy
rồi chia 3
Ví dụ như hình vẽ thì :

B

A

VSABC

1
 SA.S ABCD
3
D

C

Chú ý :
- Hình chóp tam giác đều thì có đáy là tam giác đều và có các cạnh bên

bằng nhau nh ng không bằng cạnh đáy (tức là các mặt bên là tam giác cân)
- Hình chóp đều thì có đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau và bằng
với cạnh đáy (các mặt bên cũng là tam giác đều).
- Còn hình chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên không bằng nhau
thì đề bài sẽ ghi là "Cho hình chóp có đáy là tam giác đều" và không nói gì
thêm.


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

C'

B'

 Thể tích khối lăng trụ
A'

Cách tính : Giống nh hình chóp nh ng
không có chia 3
Ví dụ như hình vẽ thì :

VSABC  BB '.S ABC

B

Chú ý :

C

A

- Với lăng trụ thì có 2 loại : Lăng trụ đứng và lăng trụ xiên . Nh hình vẽ
ở trên thì đó là lăng trụ đứng và đối với loại này thì các cạnh bên đều là
đường cao và vuông góc với đáy, loại này rất dễ làm. Vậy còn lăng trụ xiên
thì sao? Lăng trụ xiên là loại lăng trụ mà các bạn nhìn nó khác xa hoàn toàn
so với lăng trụ đứng, méo méo, và chỉ có 1 đ ờng cao :D. Ví dụ nh hình vẽ
kế bên :D
Vậy khi nào chúng ta biết đó là lăng trụ đứng
S
B'
hay xiên để mà vẽ? Rất dễ, hãy theo quy tắc sau
 Khi đề bài không nói gì  lăng trụ đứng
 Khi đề bài có yếu tố hình chiếu
của 1 điểm lên đáy lăng trụ xiên

A'

B

H

A

C

C'


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

3.Các công thức về hệ trục tọa độ OXYZ
 Vect trong không gian:
Cho a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 )

a 

Độ dài vect :
Tổng hiệu 2 vect

a12  a2 2  a3 2

a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

Nhân một số với 1 vect :
Hai vect bằng nhau

a cùng ph

a1  b1

a  b  a2  b2
a  b
 3 3

ng b 

Ba vect đồng phẳng
Tích vô h ớng

k.a  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1 a2 a3
 
b1 b2 b3

 a, b  .c  0
 

a.b  a1b1  a2b2  a3b3

Tích có h ớng  a, b   (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 )
Góc tạo bởi 2 vect

 

cos a, b 

a.b
a.b

1



a1b1  a2b2  a3b3

a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32

VABCD   AB, AC  . AD
Thể tích tứ diện ABCD

6
(đôi khi nhiều bài cần dùng )


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

 Ph

ng trình đ ờng thẳng

Ph ng trình tham số của đ ờng thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
và có vtcp a  (a1; a2 ; a3 ) với a1.a2 .a3  0

 x  x0  a1t
 d  :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

Từ đó có thể suy ra ph

d  :
 Ph

t  R 
ng trình chính tắc của d :

x  x0 y  y0 z  z0



a1
a2
a3

ng trình mặt phẳng

Ph ng trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
có vect pháp tuyến n  ( A; B; C )

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
 Ph

ng trình mặt cầu :

Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Dạng 1 : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2

Khi đó (S): Dạng 2 : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

2
2
2
2
2
2
 R= a  b  c  d (a  b  c  d  0)
 Góc, khoảng cách
Góc giữa 2 đ ờng thẳng cos  d1 , d 2  

ud1 .ud2
ud1 . ud2

với u d1 và ud 2 lần l ợt là vtcp của d1 và d2


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Góc giữa 2 mặt phẳng

cos  ( ), (  )  

với n , n lần l ợt là vtpt của ( ), (  )
Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng

n .n
n . n

sin  d , ( )  

ud .n
ud . n

Khoảng cách từ điểm I ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz + D = 0

d  I , ( P)  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

Khoảng cách giữa 2 đ ờng thẳng chéo nhau

d d1 ,d2 

ud , ud  .M1M 2
 1 2

ud , ud 
 1 2

với M 1 , M 2 lần l ợt là các điểm bất kì nằm trên

d1 , d2

* Đây là toàn bộ các công thức quan trọng mà các bạn cần

phải ghi nhớ để có thể làm tốt phần hình không gian bằng
phương pháp tọa độ này.Sỡ dĩ cũng đã có nhiều bạn đã
nhớ hết , nhưng để cho chắc chắn mình cũng đã liệt kê lại
nhằm giúp cho các bạn có thể hệ thống lại các kiện thức và
bổ sung những cái mà mình còn thiếu sót .
Nếu các bạn đã đọc đến đây thì chắc các bạn cũng đã nhớ
gần 80% rồi :D, và giờ mình cùng chuyển sang phần chính
nhé :D


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phần 2: Ph ơng pháp giải toán
Với ph ng pháp này , các bạn chỉ cần quan tâm cho mình đó là đáy của nó

là hình gì thôi , không cần quan tâm đến đ ờng cao,không cần biết đó là
lăng trụ hay chóp ( vì 2 hình này đều nh nhau về cách dựng hệ trục nếu 2
đáy giống nhau ) Và sau đây là cách dựng khi gặp 1 số loại hình sau :
- Nếu hình chóp,lăng trụ có đáy là hình vuông,hình chữ nhật,hình thang
vuông,tam giác vuông thì dựng hệ trục với A là gốc tọa độ ( nếu tam giác
vuông ở A thì dựng ở A,vuông ở B thì dựng ở B).
- Nếu hình chóp,lăng trụ có đáy là tam giác cân hoặc đều thì kẻ đ ờng cao
và dùng chân đ ờng cao làm gốc tọa độ
- Nếu hình chóp, lăng trụ có đáy là hình thoi thì chọn giao điểm 2 đ ờng
chéo làm gốc tọa độ.

Phần 3: Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( với đáy là hình vuông) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông độ dài cạnh bằng a ,
SD =

3a
.Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm
2

của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2
đ ờng thẳng SC và BD.


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

z
S (a/2;0;a)

A (0;0;0)

H (a/2;0;0)
B (a;0;0)

x

C (a;a;0)

D (0;a;0)
y

H ớng dẫn : Đầu tiên đi vẽ hình , và chọn A là gốc tọa độ nh trên.Vì hình
vuông có độ dài a nên AB=BC=CD=AC=a, do đó điểm B có tọa độ là
(a,0,0) vì nằm trên trục hoành và mặt khác điểm D có tọa độ là (0,a,0) do
nằm trên trục tung. Tới đây ta có thể dễ dàng tìm đ ợc tọa độ điểm C bằng
cách sử dụng công thức 2 vect bằng nhau ( ở đây là AB  CD )

 xB  xA  xD  xc

AB  CD   yB  y A  yD  yC  C  a; a;0 
z  z  z  z
D
C
 B A
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD) đồng thời là trung điểm AB. Do đó
a



tọa độ của H là  ;0;0  . Và để tìm đ ợc tọa độ điểm S,chúng ta phải có

2

đ ợc độ dài SH, để tính độ dài SH ta sẽ đi tính DH , khi tính đ ợc DH kết
hợp với độ dài SD đề bài cho ta tìm đ ợc SH qua việc sử dụng định lý
pitago trong tam giác SDH vuông tại H


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

-Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông ADH vuông tại A
 DH=

a 5
2

-Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông SDH vuông tại H
 SH=a
a
Từ đó suy ra S  ;0; a  Vì H là hình chiếu của S nên S và H sẽ có cùng tung
2




độ,hoành độ, chỉ khác nhau cao độ và cao độ ở đây của S là độ dài SH=a.
Tìm xong tất cả các đỉnh ta thấy bài toán trở nên dễ dàng h n rất nhiều
Khi đó :

VSABCD

1
1 2 a3
 SH .S ABCD  a.a 
(đvtt)
3
3
3

Và cuối cùng là câu tính khoảng cách giữa 2 đ ờng thẳng SC và BD ( vì đây
là bài đầu tiên nên mình sẽ nói chi tiết hết các cách làm )
Đầu tiên chúng ta sẽ đi tính tích vô h ớng 2 vect
a

SC   ; a; a 
2

BD   a; a;0 

3
 SC , BD    a 2 ; a 2 ; a 2 

 
2 
Sau đó lần l ợt trên 2 vect này chọn lần l ợt 1 điểm có tọa độ đ n giản . Ví
dụ ở đây, mình chọn điểm B trên BD và điểm C trên SC
Từ đó suy ra BC   0; a;0 
Áp dụng công thức khoảng cách 2 đ ờng thẳng

 SC , BD  .BC
a3

a3
2a 17



 2

d ( SC , BD) 
17
17 4 a 17
 SC , BD 


a
4
2


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Một ví dụ khác
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BAD . SA tạo với đáy
một góc  biết tan   2 2 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên SC .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách 2 đ ờng thẳng AI và SD
theo a .

z
S ( a/3;a/3;4a/3 )

I ( 2a/3;2a/3;2a/3 )

α

B ( a;0;0 )

A ( 0;0;0 )

x
G ( a/3;a/3;0 )
O ( a/2;a/2;0 )
D ( 0;a;0 )
C ( a;a;0 )
y


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

H ớng dẫn: Giống nh bài trên vì đây là hình chóp có đáy là hình vuông

nên ta sẽ chọn luôn A làm gốc tọa độ và có SG là đ ờng cao . Từ đó áp dụng
các hệ thức vect bằng nhau nh bài ví dụ vừa nãy ta dễ dàng tìm đ ợc tọa
độ các điểm B,C,D,O.
Vì G là trọng tâm tam giác BAD

x A  xB  xD a



x

G

3
3

y  yB  yD a

a a 
  yG  A
  G  ; ;0 
3
3
3 3 

z A  zB  zD

0
 zG 
3

Ta có : AO 
Mà AG =

AC a 2

2
2

2
2a 2 a 2

AO 

( do G là trọng tâm tam giác ABD )
3
3 2
3

Theo đề bài thì AG là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD)
Suy ra góc  chính là góc SAG và tan   2 2
Tam giác SAG vuông tại G ( gt )

 SG  AG.tan  

4
a 2
.2 2  a
3
3

 a a 4a 

Từ đó suy ra S  ; ;  Vì G là hình chiếu của S nên S và G sẽ có cùng
3 3 3 
tung độ,hoành độ, chỉ khác nhau cao độ và cao độ ở đây của S là độ dài
4
3

SG = a .
Khi đó :

1
1
4
4
VS . ABCD  S ABCD .SG  a 2 . a  a 3 (đvtt)
3
3
3
9


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Và bây giờ chúng ta cùng chuyển sang ý thứ 2 của bài toán . Vì đề bài chỉ
nói I là hình chiếu vuông góc của A lên SC nên chúng ta không thể tìm đ ợc
ngay tọa độ điểm I ( nếu cho I là trung điểm của SC thì chúng ta sẽ dễ dàng
h n ) . Vậy bây giờ làm nh thế nào ? Rất đ n giản , việc tìm tọa độ điểm I
lúc này cũng giống nh làm 1 bài toán OXYZ với yêu cầu tìm hình chiếu
của 1 điểm lên đoạn thẳng . Tr ớc tiên chúng ta hãy viết ph ng trình
đ ờng thẳng SC :

 2a 2a 4a 
; ;

 3 3 3 

Ta có : SC  

3
SC  1;1; 2  ( làm nh vậy để đ n giản a trong vtcp SC

2a
từ đó giúp chúng ta viết ptts trở nên dễ dàng ít xuất hiện a giảm bớt quá trình
tính toán )
 Chọn uSC 

qua C  a; a;0 
VTCP uSC  1;1; 2 

Đ ờng thẳng SC : 

x  a  t

 PTTS dt SC :  y  a  t (t  R)
 z  2t

Vì

I  SC  I  a  t; a  t; 2t 

Vì I là hình chiếu của A lên SC

 SC. AI  0  uSC . AI  0  t 
2 2 2 
 I  a; a; a 
3 3 3 

a
3

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Tìm đ ợc điểm I bài toán coi nh đã đ ợc giải quyết và bây giờ nhiệm vụ
của chúng ta chỉ là đi tính toán

 2a 2a 2a 
 AI   3 ; 3 ; 3 




 a 2a 4a 
 SD   ; ;

 3 3 3 
Ta có : 
 AD   0; a;0 


 4a 2 2a 2 2a 2 
;
;
  AI , SD   

3
3
3 


2a 3

3

2a 3
 AI , SD  . AD
a 6


 d  AI , SD  

 3 
6
2a 6 2a 6
 AI , SD 


3
3

Ví dụ 2 (với đáy là hình chữ nhật )
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,AD=2a
Hình chiếu vuông góc của của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
trùng với giao điểm của AC và BD, A'H=3a.Tính thể tích khối lăng trụ
ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

z

D' (a/2;3a;3a)

A' (a/2;a;3a)

B' (3a/2;a;3a)

C' (3a/2;3a;3a)

A (0;0;0)
B (a;0;0)

H ( a/2;a;0)
D (0;2a;0)
C (a;2a;0)
y

H ớng dẫn : Rõ ràng khi đọc đề bài ta có thể thấy đ ợc đây là hình lăng

trụ xiên do có yếu tố hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên mặt phẳng đáy.
Từ đó ta tiến hành đi vẽ hình, với đáy là hình chữ nhật nên ta chọn A lảm
gốc tọa độ. Khi chọn xong ta có thể xác định đ ợc tọa độ các điểm
A,B,D,C,H,A' và bây giờ nhiệm vụ bây giờ chỉ còn là tính toán.Vì bài này
chúng ta chỉ cần biết tọa độ các điểm A,B,D,C,H,A' nên sẽ khá dễ dàng.
Với nhiều bài thì chúng ta sẽ cần phải biết hết tọa độ các điểm mới có thể
tính toán đ ợc.Vì thế lấy ví dụ nh bài này,mình cũng đã tính hết trên hình
để cho các bạn thấy.Muốn tìm tọa độ các điểm ở trên nh D' chúng ta chỉ
cần sử dụng 2 vect bằng nhau đó là AA '  DD ' và t ng tự với DD '  CC '
CC '  BB ' chúng ta dễ dàng tìm đ ợc tọa độ điểm C', B'.Khi tìm xong các
điểm, bài toán sẽ trở nên dễ dàng
Khi đó :

VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . A ' H  a.2a.3a  6a 3 (đvtt)
Bây giờ chúng ta sẽ đến với ý còn lại của bài toán.Để tìm khoảng cách của
B' đến (A'BD) chúng ta cần phải biết ph ng trình tổng quát của (A'BD)

x


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm vect pháp tuyến của (A'BD):

 A ' B, BD    6a 2 ;3a 2 ;0 


1
 A ' B, BD    6;3;0 
nên chọn n( A ' BD ) 
2 

a

(làm nh thế này để đ n giản a trong tích có h ớng, từ đó chúng ta có thể
viết ph ng trình dễ dàng không dính dáng nhiều tới a trong đó )


a

qua A'  2 ; a;3a 



Ta có ( A ' BD) 
vtpt n
( A ' BD )  (6;3;0)

a

  A ' BD  : 6  x    3  y  a   0
2

  A ' BD  : 6 x  3 y  6a  0

Vậy ta tính đ ợc khoảng cách từ B' đến (A'BD)

d  B ',  A ' BD   

6.

3a
 3a  6a
2
62  32



6a 2 5a

5
3 5

Ví dụ 3 : ( với đáy là hình thang vuông )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( Aˆ  Dˆ  900 )
AD=DC=2a , AB=a.SA vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời SB tạo với
đáy 1 góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa 2 đ ờng
thẳng SB và DC


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

z
S ( 0;2a;a√3 )

C ( 2a;0;0 )
D ( 0;0;0 )

x

60°

B ( 2a;2a;0 )

A ( 0;2a;0 )
y

H ớng dẫn: Với những dữ kiện đề bài cho ta có thể dễ dàng xác định đ ợc
CD là đáy lớn , AB là đáy nhỏ, AD là chiều cao hình thang ABCD và
CD=2AB . Chọn D làm gốc tọa độ và từ đó chúng ta có thể dễ dàng tính
đ ợc tọa độ điểm B bằng hệ thức vect theo dữ kiện đề bài : CD  2 AB . Lúc
này chỉ còn tọa độ điểm S, với việc tìm đ ợc độ dài SA là bài toán sẽ trở nên
dễ dàng.
Nhận thấy : AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD)

Tam giác SAB vuông tại A suy ra SA  AB.tan 600  a 3
Khi đó

1
1  CD  AB 
1  2a  a 
VS . ABCD  S ABCD SA 
AD.SA 
2a.a 3  a 3 3 (đvtt)
3
3
2
3 2


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Ý thứ nhất đã xong, bây giờ chúng ta cùng chuyển sang ý thứ hai của bài
toán. Để tính góc giữa 2 đ ờng thằng SB và DC chúng ta chỉ cần tính 2
vect SB, DC rồi áp dụng công thức mình đã đ a là xong
Ta có

SB  (a;0; a 3)
DC   2a;0;0 
Đặt cos   cos( SB, DC )

 cos  

SB.DC
SB . DC



2a 2
4a 2 4a 2



1
2

   600
Vậy góc giữa 2 đ ờng thẳng SB và DC là 600

Ví dụ 4 ( với đáy là tam giác vuông )
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại
B.AB=a,AA'=2a và A'C=3a . Gọi M là trung điểm của cạnh A'C' , I là giao
điểm của AM và A'C.Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (IBC) theo a


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

z
B' ( 0;0;2a)

C' (2a;0;2a)

M (a;a/2;2a)

A' (0;a;2a)

I (2a/3;2a/3;4a/3)

B (0;0;0)

C (2a;0;0)

x

A (0;a;0)

y

H ớng dẫn : Đọc qua đề bài chúng ta có thể thấy ngay đây là hình lăng trụ

đứng , đáy là tam giác vuông tại B nên ta chọn luôn B làm gốc tọa độ. Với
dữ kiện đề bài chúng ta chỉ có thể xác định đ ợc tọa độ 4 đỉnh A,A',B,B'. Và
bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm các đỉnh còn lại và hóa giải các yêu
cầu bài toán.Đầu tiên chúng ta sẽ dễ dàng tính đ ợc độ dài cạnh AC với tam
giác A'AC vuông tại A
Áp dụng định lí pytago trong tam giác A'AC vuông tại A

 AC  A ' C 2  A ' A2 

3a    2a 
2

2

a 5

Áp dụng định lí pytago trong tam giác ABC vuông tại B

 BC  AC 2  AB 2 





2

a 5  a 2  2a

Vậy C (2a;0;0)  C'(2a;0;2a) do các cạnh bên A'A , B'B , C'C có cùng cao
độ


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Và bây giờ chỉ còn tọa độ điểm I là chúng ta ch a có. Vậy tìm điểm I nh
thế nào ? Rất dễ , nhận thấy I là giao điểm của A'C và AM . Vì thế nếu
chúng ta có đ ợc ph ng trình đ ờng thẳng A'C và AM chúng ta sẽ tìm
đ ợc tọa độ I
qua A  0; a;0 
Đ ờng thẳng AM : 
a
VTCP AM  (a; ; 2a )

2

 x  at

a

 PTTS AM:  y  a  t ( t  R )
2

 z  2at

qua C (2a;0;0)
VTCP A ' C   2a; a; 2a 

Đ ờng thẳng A'C : 

 x  2a  2at1

 PTTS A ' C :  y  at1
 t1  R 
 z  2at
1




Gọi I thuộc AM suy ra I  at; a  t ; 2at 
2
a





Ta có hệ : at  2at1  2a
 2
t
 a

 3
 t  at1  a  
 2
t  2
1
2at  2at1  0
3


2 2 4 
I
  3 a; 3 a; 3 a 
1
4
Khi đó VIABC   IA, IB  .IC  a 3 (đvtt)

6
9

Và giờ chúng ta sẽ đến ý tiếp theo là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)
 8a 2 4 2 
 IB, IC    0;
; a 



3 3 


Nên chọn n IBC  

1
 8 4 



IB
,
IC
  0; 3 ; 3 
a2 


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

qua B(0;0;0)

Ta có : (IBC) : 
 8 4 

VTPT
n
; 
 IBC   0;


 3 3

  IBC  : 8 y  4 z  0
Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là :

d  A,  IBC   

8a

 8

2

 42



8a
2 5a

5
4 5

Một ví dụ khác :
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC=2a ,
Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh AC , đ ờng thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450 . Tính
theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và chứng minh A'B vuông góc B'C
( Trích đề thi ĐH 2016 )

z
B' ( a√2/2;-a√2/2;a )

C' ( 3a√2/2;-a√2/2;a )

A' ( a√2/2;a√2/2;a )

45°

B ( 0;0;0 )

C ( a√2;0;0 )
H ( a√2/2;a√2/2;0 )

A ( 0;a√2;0 )
y

x


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

H ớng dẫn: Rõ ràng khi đọc đề bài ta có thể thấy đ ợc đây là hình lăng

trụ xiên . Với đáy là tam giác vuông cân tại B nên ta chọn B làm gốc tọa
độ và AC là cạnh huyền bằng 2a nên suy ra 2 cạnh còn lại có độ dài là a 2
bằng việc sử dụng định lý pytago đồng thời BH 

AC

a
2

Từ đó ta dễ dàng tìm đ ợc tọa độ các đỉnh còn lại qua việc sử dụng các
vect bằng nhau nh những bài tr ớc.
Nhận thấy : góc giữa đ ờng thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) là góc A'BH
0
Ta có : A ' H  BH tan 45  a

Khi đó :

VABC . A ' B 'C '  S ABC . A ' H 

1
1
BC.BA. A ' H  a 2.a 2.a  a 3 (đvtt)
2
2

Giờ chúng ta cùng chuyển sang ý tiếp theo của bài toán . Đề bài yêu cầu
chúng ta chứng minh A'B vuông góc B'C . Vậy làm nh thế nào đây ? Rất
đ n giản , hãy chứng minh vect A'B vuông góc vect B'C qua tích vô
h ớng của chúng bằng 0
Ta có :
 a 2 a 2

;
; a 
A ' B  
2

 2

a 2 a 2

B ' C  
;
; a 
2
 2


A ' B.B ' C  0  A ' B  B ' C
Vậy A'B vuông góc B'C (đpcm)


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Ví dụ 5 ( với đáy là tam giác cân ) :
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C , AB=
6a , góc ABC = 300 , góc giữa 2 mặt phẳng (C'AB) và mặt phẳng (ABC)
bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai
đ ờng thẳng B'C và AB theo a.

z

A' ( 0;3a;3a )

C' ( -a√3;0;3a )

B' ( 0;-3a;3a )

y

C ( -a√3;0;0 )
A ( 0;3a;0 )
60°

30°

I (0;0;0)

B ( 0;-3a;0 )

x