Giai bai tap dai so dai cuong nguyen tien thịnh

MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Chương 1
1

Xét tập hợp các số nguyên  và tập * các số tự nhiên khác 0. Gọi S là quan hệ trong

  * xác định bởi (a, b) S (c, d) khi và chỉ khi ad = bc. Chứng minh:
a) S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng của các phần tử: (0; 1), (-1; 1); (1; 2)
Đáp án

2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+ (a; b)    * ta có: ab = ba  (a; b)S (a; b) (tính phản xạ)
+ (a; b),(c; d )    * thỏa mãn:

(a; b)S (c; d )  ad  bc  cb  da  (c; d )S (a; b) (tính đối xứng)
*

1

+ (a; b),(c; d );(e; f )     thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f )

ad  bc
a c e
    af  be  (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu)

b d f
cf  de

 S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện)


 

 (0; b) : b   
C (1;1)  (a; b)     : (a; b) S (1;1)  (a; b)     : a  b
 (b; b) : b   
C (1;2)  (a; b)     : (a; b) S (1;2)  (a; b)     : a.2  b
 (a;2a) : a   

C (0;1)  (a; b)    * : (a; b) S (0;1)  (a; b)    * : a  0
*

*

*

1

*

*

*

*

2

Giả sử C là một quan hệ hai ngôi xác định trong tập hợp các số nguyên Z bởi các cặp
(x, y) với x, y nguyên và x + y chẵn. Chứng minh:
a) S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng của các phần tử: -1; 1; 2
Đáp án

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

2

Page 1


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+ x  , luôn có: x  x  2 x chẵn  xCx (tính phản xạ)
+ x, y  mà xCy  x  y chẵn  y  x chẵn  yCx (tính đối xứng)
+ x, y, z  mà xCy, yCz  x  y, y  z chẵn  x  2 y  z chẵn

1

Mà 2y chẵn  x  z chẵn  xCz (tính bắc cầu)

 C là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện)

C (1)   x   : x  1 2  { x lẻ}

C (1)   x   : x  1 2  { x lẻ}

1

C (2)  x   : x  2 2  { x chẵn}
3

Cho X là không gian ba chiều thông thƣờng và O là một điểm cố định của X. Trong
X-{O} ta xác định quan hệ S nhƣ sau: PSP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng (cùng
thuộc một đƣờng thẳng). Chứng minh:
a) S là quan hệ tƣơng đƣơng trong X-{O}.
b) Xác định các lớp tƣơng đƣơng.
Đáp án

2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+ P  X  {O} ta luôn có O, P, P thẳng hàng  PSP (tính phản xạ)
+ P, P '  X  {O} mà PSP’  O, P, P’ thẳng hàng  O, P’, P thẳng hàng
nên P’SP (tính đối xứng).

1

+ P, P ', P ''  X  {O} mà PSP’ và P’SP’’  O, P, P’ thẳng hàng và O, P’,
P’’ thẳng hàng  O, P, P’’ thẳng hàng  PSP’’ (tính bắc cầu)
Vậy S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b)

P  X  {O} , ta có:
C ( P)  P '  X  {O}: P ' SP  {P '  X  {O} sao cho O, P, P’ thẳng hàng}

1

= đƣờng thẳng OP - {O}
Vậy các lớp tƣơng đƣơng là các đƣờng thẳng qua O (loại điểm O)

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 2


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
4

Giả sử ƒ là đơn ánh từ một tập hợp X đến tập hợp các số tự nhiên N và S là một quan
hệ trong X xác định nhƣ sau : xSx’ khi và chỉ khi ƒ(x)  ƒ(x’).
a) Chứng minh S là một quan hệ thứ tụ toàn phần.
b) S có phải là một quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao?
Đáp án

2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu)
+ x  X , taluôncó : f ( x)  f ( x)  xSx (tính phản xạ)

 f ( x)  f ( y )
+ x, y  X , mà xSy, y Sx  
 f ( x)  f ( y )
 f ( y )  f ( x)

Do f là đơn ánh nên x = y (tính phản đối xứng)

 f ( x)  f ( y )
+ x, y, z  X , mà xSy, y Sz  
 f ( x)  f ( z )  xSz
 f ( y)  f ( z)

1

(tính bắc cầu)
Vậy S là một quan hệ thứ tự.

 f ( x)  f ( y )  xSy
+ x, y  X  f ( x), f ( y )    

 f ( y )  f ( x)  ySx
Vậy S là một quan hệ thứ tự toàn phần.
b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu nó là một quan hệ thứ tự và tồn tại
phần tử tối đại hoặc tối tiểu)

A  X  f ( A)   .
Do  là quan hệ thứ tự tốt nên tồn tại n0  min  f ( A)  

1

 x0  A : f ( x0 )  n0  f ( x0 )  f ( x) x  A  x0Sx x  A

 x0 là phần tử tối tiểu trong A
Vậy S là một quan hệ thứ tự tốt.

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 3


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
5

Cho ánh xạ : E  F. xét quan hệ R trên tập E xác định nhƣ sau:
xSx’  (x) = (x’)
a) Chứng minh S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Xét trƣờng hợp E = F =  (  là tập hợp các số nguyên), (x) = x2 x   . Xác
định các lớp tƣơng đƣơng của S trên  .
Đáp án

2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+ x  E :  ( x)   ( x)  xSx (tính phản xạ)
+ x, y  E mà xSy   ( x)   ( y)   ( y)   ( x)  ySx (tính đối xứng)
 ( x)   ( y )
+ x, y, z  E mà xSy, ySz  
  ( x)   ( z )  xSz
 ( y )   ( z )
(tính bắc cầu)
Vậy S là một quan hệ tƣơng đƣơng trên E.
b)

1

Với  :   , x  x 2



C ( x)   y   : ySx   y   :  ( x)   ( y )  y   : x 2  y 2



1

  y   : x   y   x, x
Vậy các lớp tƣơng đƣơng là : {0},{1, 1},{2, 2}....
6

Với N là tập hợp các số tự nhiên. Trên N  N, định nghĩa quan hệ  nhƣ sau:
(a,b) S (c, d)  a + d = b+c.
a) Chứng minh S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b) Xác định các lớp tƣơng đƣơng của (0, 3), (5,8), (8,3).
Đáp án

2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+ (a; b)     ta có: a + b = b+ a  (a; b)S (a; b) (tính phản xạ)
+ (a; b),(c; d )     thỏa mãn:

(a; b)S (c; d )  a  d  b  c  c  b  d  a  (c; d )S (a; b) (tính đối xứng)

1

+ (a; b),(c; d );(e; f )     thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f )

a  d  b  c
 a+f  b  e  (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu)

c  f  d  e
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 4


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
 S là một quan hệ tƣơng đƣơng.
b)

C (0;3)  (a; b)     : (a; b) S (0;3)  ( a; b)     : a  3  b
 (a; a  3) : a  
C (5;8)  (a; b)     : (a; b) S (5;8)  ( a; b)     : a  8  b  5

1

 (a; a  3) : a  
C (8;3)  (a; b)     : (a; b) S (8;3)  ( a; b)     : a  3  b  8
 (a; b)     : a  b  5  (b  5; b) : b  
7

Giả sử ƒ : X → Y là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận
của Y. Chứng minh:

a) ƒ(A∪ B ) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
b) ƒ - 1(C ∪ D ) = ƒ - 1(C) ∪ ƒ - 1(D)
Đáp án

2

a)

y  f ( A  B)  x  A  B : y  f ( x)
 x  A : y  f ( x)  y  f ( A)


 y  f ( A)  f ( B)
 x  B : y  f ( x)  y  f ( B)

1

 f ( A  B)  f ( A)  f ( B)
Chứng minh tƣơng tự ta có: f ( A)  f ( B)  f ( A  B)
Vậy f ( A)  f ( B)  f ( A  B)
b)

x  f 1 (C  D)  f ( x)  C  D
 x  f 1 (C )
 f ( x)  C


 x  f 1 (C )  f 1 ( D)

1

 f ( x)  D  x  f ( D)

f

1

(C  D)  f

1

(C )  f

1

( D)

1

Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C )  f 1 ( D)  f 1 (C  D)
Vậy f 1 (C )  f 1 ( D)  f 1 (C  D)

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 5


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
8

Giả sử ƒ : X → Y là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận
của Y. Chứng minh:
a) ƒ(A∩ B ) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B)
b) ƒ - 1(C ∩D ) = ƒ - 1(C) ∩ ƒ - 1(D)
Đáp án

2

a)

y  f ( A  B)  x  A  B : y  f ( x)
 x  A : y  f ( x)  y  f ( A)


 y  f ( A)  f ( B)
 x  B : y  f ( x)  y  f ( B)

1

 f ( A  B)  f ( A)  f ( B)
b)

x  f 1 (C  D)  f ( x)  C  D
1

 f ( x)  C
 x  f (C )


 x  f 1 (C )  f 1 ( D)

1
 f ( x)  D 
 x  f ( D)

1

 f 1 (C  D)  f 1 (C )  f 1( D)
Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C )  f 1 ( D)  f 1 (C  D)
Vậy f 1 (C )  f 1 ( D)  f 1 (C  D)
9

Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y và g, g’ : U → X. Chứng minh:
a) Nếu ƒ là đơn ánh và ƒg = fg’ thì g = g’.
b) Nếu với mọi g, g’, với mọi U mà ƒg = g’ kéo theo g = g’ thì ƒ là một đơn ánh.
Đáp án

2

a) x U , ta có: fg ( x)  fg '( x)  f ( g ( x))  f ( g '( x))
Do f là đơn ánh nên g ( x)  g '( x) x U  g  g '

1

b) Giả sử f không là đơn ánh  x1  x2  X : f ( x1 )  f ( x2 )
Xét U = {1; 2} và 2 ánh xạ:

g :U  X
1  x1

g ' :U  X

1  x1

2  x2

2  x1

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

1

Page 6


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Ta có:

fg (1)  f ( x1 )

fg '(1)  f ( x1 )

fg (2)  f ( x2 )

fg '(2)  f ( x1)  f ( x2 )

 fg  fg ' theo giả thiết thì g = g’. Nhƣng theo trên ta có g  g ' (Mâu thuẫn)
Vậy f là một đơn ánh.
10

Cho A, B là hai bộ phận của tập hợp X. Chứng minh công thức Đờ moóc - găng:

a) X - (A ∪ B) = (X - A) ∩ (X - B),
b) X - (A ∩ B) = (X - A) ∪ (X - B).
Đáp án

2

a)

x  X  ( A  B)
x  X
x  X
x  X  A


 x  A  
 x  ( X  A)  ( X  B)
x  A  B x  B
x  X  B


 X  ( A  B)  ( X  A)  ( X  B)
x  ( X  A)  ( X  B)

1

x  X
x  X  A 
x  X

 x  A  

 x  X  ( A  B)
x  X  B x  B
x  A  B


 ( X  A)  ( X  B)  X  ( A  B)
Vậy X  ( A  B)  ( X  A)  ( X  B)
b)

x  X  ( A  B)
 x  X
x  X

x  X
x  X  A

x  A

  x  A  

 x  ( X  A)  ( X  B)
 x  X
 x  A  B 
x  X  B
 x  B 
  x  B

1

 X  ( A  B)  ( X  A)  ( X  B)

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 7


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
x  ( X  A)  ( X  B)
 x  X
x  X

 x  X  A  x  A
x  X



  x  A  
 x  X  ( A  B)
x

A

B
 x  X  B  x  X


 xB



  x  B

 ( X  A)  ( X  B)  X  ( A  B)
Vậy X  ( A  B)  ( X  A)  ( X  B)
11

Giả sử S là một quan hệ tƣơng đƣơng trong X và a ∈ X.
C(x) là lớp tƣơng đƣơng của x đối với quan hệ trong tƣơng đƣơng S.
Chứng minh:
a) C(x)  
b) Nếu xSy thì C(x) = C(y)
c) Với hai phần tử bất kỳ x và y, ta đều có hoặc C(x)∩C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y)
Đáp án
a) Vì S là một quan hệ tƣơng đƣơng nên xSx  x  C ( x)  C ( x)  

2
0.5

b)

z  C ( x)  zSx 
  zSy  z  C ( y )
mà xSy 
 C ( x)  C ( y )
+ Chứng minh tƣơng tự, ta cũng có:  C ( y)  C ( x)
Vậy C ( x)  C ( y)
c) x, y  X , ta có các trƣờng hợp sau:
hoặc x có quan hệ S với y, nghĩa là xSy  C ( x)  C ( y)
hoặc x không có quan hệ S với y  C ( x)  C ( y)  
Thật vậy, giả sử C ( x)  C ( y)    z  C ( x)  C ( y)

 z  C ( x)  zSx  xSz


 xSy Mâu thuẫn với x không có quan hệ S
z

C
(
y
)
zSy


với y.
Trên    , định nghĩa quan hệ “  ” nhƣ sau:
+

12

1

0.5

x  x '
( x; y )  ( x '; y ')  
y  y'
a) Chứng minh “  ” là một quan hệ thứ tự trên    .
b) Quan hệ này có là một quan hệ thứ tự toàn phần không? Tại sao?
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 8


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Đáp án
a)

2

+ ( x, y)     , ta luôn có:

x  x
 ( x; y )  ( x; y ) (tính phản xạ)

y

y

+ ( x, y),( x ', y ')     mà ( x; y)  ( x '; y ') và ( x '; y ')  ( x; y) thì:

x  x '
x '  x
x  x '



 ( x, y )  ( x ', y ') (tính phản đối xứng)
y


y
'
y

y
'


 y '  y

1.5

+ ( x, y),( x ', y '),( x '', y '')     mà ( x; y)  ( x '; y ') và ( x '; y ')  ( x ''; y '')

 x  x '  x ''
 x  x ''


 ( x, y)  ( x '', y '') (tính bắc cầu)
 y  y '  y ''  y  y ''
Vậy  là một quan hệ thứ tự.

b) Quan hệ  không phải là một quan hệ thứ tự toàn phần vì (1;2),(2;1) không
so sánh đƣợc với nhau.

13

0.5

Trên  , định nghĩa quan hệ đồng dƣ mod 5: Hai số nguyên m, n gọi là đồng dƣ mod 5

( kí hiệu m  n(mod5) ) nếu m - n chia hết cho 5.
Kí hiệu: m  n(mod5)  m  n5
a) Chứng minh quan hệ  là một quan hệ tƣơng đƣơng trên  .
b) Tìm các lớp tƣơng đƣơng.
Đáp án
a)
+ m   : m  m  05  m  m(mod5) (tính phản xạ)
+ m, n   : m  n(mod5)  m  n5  n  m5  n  m(mod5)
(tính đối xứng)
+ m, n, p   : m  n(mod5) và n  p(mod5)

 m  n 5

 m  p5  m  p(mod5) (tính bắc cầu)
n  p5
Vậy quan hệ  là một quan hệ tƣơng đƣơng trên  .
b) m    m  5k  i, i  0,4

m  i  5k  m  i5  m  i(mod5), i  0,4
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

2

1.5

0.5
Page 9


MATHEDUCARE.COM

GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3

14

Vậy các lớp tƣơng đƣơng là C (i)  5k  i, k   , i  0, 4
Giả sử ƒ : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ và h = g.ƒ là ánh xạ tích của ƒ và g.
Chứng minh:
a) Nếu h là đơn ánh thì ƒ là đơn ánh.
b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh.
b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Đáp án

2

a) x1, x2  X : f ( x1)  f ( x2 )  g ( f ( x1))  g ( f ( x2 ))  h( x1)  h( x2 )
Do h là đơn ánh nên x1  x2 .

0.5

Vậy f là đơn ánh.
b) y1, y2  Y : g ( y1 )  g ( y2 ) . Do f là toàn ánh nên:

x1, x2  X : y1  f ( x1 ), y2  f ( x2 )  g ( f ( x1))  g ( f ( x2 ))  h( x1)  h( x2 )
Do h là đơn ánh nên x1  x2  y1  y2 .

0.5

Vậy g là đơn ánh.
c) z  Z , do h  g  f : X  Z là một toàn ánh

 x  X : z  h( x)  ( g  f )( x)  g ( f ( x))
Đặt y  f ( x)  Y : g ( y)  z

1

Vậy g là toàn ánh.
15

Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y và h, h’ : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu ƒ là một toàn ánh và hƒ = h’ƒ thì h = h’.
b) Ngƣợc lại nếu với mọi h, h’, với mọi Z mà hƒ = h’ƒ kéo theo h = h’ thì ƒ là một
toàn ánh.
Đáp án

2

a) y  Y , do f là toàn ánh nên x  X : y  f ( x)
Đồng thời từ hf  h ' f  hf ( x)  h ' f ( x)  h( y)  h '( y) y Y

1

Vậy h = h’.
b) Giả sử f không là toàn ánh  y0  Y : f 1 ( y0 )  
Xét Z = {1; 2} và 2 ánh xạ:

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

1

Page 10

MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
h :Y  Z
y 1

h':Y  Z
1 y  y0
h '( y )  
2 y  y0

Rõ ràng h  h ' và hf  h ' f . Theo giả thiết thì h = h’ (Mâu thuẫn)
Vậy f là một toàn ánh.

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 11


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3

Chương 2
1

Cho tập số thực R. xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?
x * y = (x2 + y2)1/2

(x, y R)

Đáp án:

2

x, y, z   : ( x * y) * z  ( x 2  y 2 )1/2  * z  ( x 2  y 2  z 2 )1/2
x *( y * z )  x * ( y 2  z 2 )1/2   ( x 2  y 2  z 2 )1/2
Suy ra: ( x * y)* z  x *( y * z)

1

x, y, z   (thỏa mãn tính chất kết hợp)

x, y   : x * y  ( x 2  y 2 )1/2  ( y 2  x 2 )1/2  y * x (thỏa mãn tính chất giao
hoán)

1

Có đơn vị 0
Vậy: (; *) là một vị nhóm giao hoán.
2

Trong nhóm các phép thế S4, chứng minh rằng các phép thế sau :
A = {e, a = (12)(34), b = (13)(24) và c = (14)(23)}
lập thành lập một nhóm con của S4. Nhóm con đó có là nhóm Abel không? Tại sao?
Đáp án

2

Bảng các phép toán của các phần tử e, a, b, c:

.

e

a

b

C

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

1.5

Từ bảng phép toán, ta thấy: A thỏa mãn tính ổn định, giao hoán, có phần tử
nghịch đảo tuộc A. Suy ra A có tính chất giao hoán. Do đó A là một nhóm con

0.5

giao hoán của S4.
Cho tập số thực R. xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?

a*b = (a3 + b3)1/3

3
Đáp án
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

(a,b R)
2
Page 12


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
x, y, z   : ( x * y) * z  ( x3  y 3 )1/3  * z  ( x3  y3  z 3 )1/3
x *( y * z )  x * ( y 3  z 3 )1/3   ( x3  y 3  z 3 )1/3
Suy ra: ( x * y)* z  x *( y * z)

x   :

1

x, y, z   (thỏa mãn tính chất kết hợp)

x *0  ( x3  03 )1/3  x;0* x  (03  x3 )1/3  x

Suy ra 0 là phần tử đơn vị của *

x   :

x *( x)  ( x3  ( x)3 )1/3  0;( x) * x  (( x)3  x3 )1/3  0

-x là phần tử nghịch đảo của x.

x, y   : x * y  ( x3  y3 )1/3  ( y3  x3 )1/3  y * x (thỏa mãn tính chất giao

1

hoán)
Vậy: (; *) là một nhóm Abel.
4

Cho tập số thực R. Xét xem phép toán sau đây trên R lập đƣợc cấu trúc đại số gì?
x  y = x + y + axy

(x, y R)

trong đó a là một số thực cho trƣớc.
Đáp án

2

x, y, z   : ( x  y )  z  ( x  y  axy )  z  x  y  a xy  z  a ( x  y  a xy ) z
 x  y  z  a xy  a xz  a yz  a 2 xyz
1

Tƣơng tự: x, y, z   : x  ( y  z )  x  y  z  a xy  a xz  a yz  a 2 xyz
Suy ra: ( x  y)  z  x  ( y  z )

x   :

x, y, z   (thỏa mãn tính chất kết hợp)

x  0  x  0  a x.0  x;0  x  0  x  a0. x  x

Suy ra 0 là phàn tử đơn vị của 

x, y   : x  y  x  y  axy  y  x  a yx = y  x (thỏa mãn tính chất giao hoán)

1

Vậy: (; ) là một vị nhóm giao hoán.
 Đặc biệt nếu a=0 thì : x  y = x + y là phép cộng thông thƣờng, trong
trƣờng hợp này ta có một nhóm Abel.
5

Tìm điều kiện đối với các số thực a, b để R với phép toán sau lâ ̣p thành mô ̣t nhóm :
x*y = ax+by
Đáp án

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

2

Page 13


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
x, y, z   : ( x * y) * z  (ax  by) * z  a 2 x  aby  bz
x *( y * z )  x *(ay  bz)  ax  bay  b2 z

(; *) là một nhóm nên * có tính chất kết hợp. Do dó:
( x * y)* z  x *( y * z) x, y, z  

1

 a  0; b  0
 a  0; b  1
a 2  a
a  0 h a  1



2
b  0 h b  1  a  1; b  0
b  b

 a  1; b  1
+ a  0; b  0 không thỏa mãn (do bị hút về phần tử 0)
+

a  0; b  1
không thỏa mãn (do nó bị hút về x hoặc y)
a  1; b  0

1

+ a  1; b  1  x * y  x  y  (,*) có phần tử đơn vị là 0, nghịch đảo của x là
-x. Thỏa mãn. Vậy a = b = 1.
6

Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Chứng minh rằng các điều kiên
sau là tƣơng đƣơng:
a) A là một nhóm con của X.
b) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x -1 ∈ A.
c) Với mọi x, y ∈ A, xy -1 ∈ A
Đáp án

2

Ta chứng minh theo sơ đồ: a  b  c  a
+ " a  b " : Giả thiết A là một nhóm con của X.

x, y  X theo định nghĩa nhóm con  xy  A, x 1  A
+ "b  c " : Giả thiết x, y  A : xy  A, x 1  A

1

y  A : y 1  A

1
Khi đó:
  xy  A
1
x, y  A


+ "c  a " : Giả thiết x, y  A : xy 1  A
Vì A    a  A  e  a a 1  A

1

x  A, e  A  x1  ex1  A
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 14


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3

y  A : y 1  A
1 1
  x( y )  A hay xy  A
x  A 

Vậy A là một nhóm con của X.
Chứng minh rằng các điều kiện sau là tƣơng đƣơng đối với nhóm (G,  , e):
a) G là nhóm Aben
b)  a, b  G: (a  b)2 = a2  b2
c)  a, b  G: (a  b)-1 = a-1  b-1
Đáp án

2

Ta chứng minh theo sơ đồ: a  b  c  a
+ " a  b " : Giả thiết G là một nhóm Abel.

a, b  G : (ab)2  (ab).(ab)  a(ba)b
G giao hoán nên ab  ba  (ab)2  a(ba)b  a(ab)b  a 2b2
7

+ "b  c " : Giả thiết a, b  G : (ab)2  a 2b2

1

 a, b  G : (a 1b1)2  (a 1)2 (b1)2  a 1a 1b1b1
Mặt khác:

(a 1b 1 )2  a 1b 1a 1b 1  a 1b 1a 1b 1  a 1a 1b 1b 1  b 1a 1  a 1b 1
hay (ab)1  a 1b 1 a, b  G
+ "c  a " :
Ta luôn có :
(ab)-1=b-1a-1

( theo định lý 1)

1

Giả thiết a, b  G :(ab)1  a 1b1
Vậy G là một nhóm Abel.
8

Hãy tìm các nhóm thƣơng của:
a) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15.
b) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24.
Đáp án

2

a) (3, ) là nhóm cộng các số nguyên bội của 3

(15, ) là nhóm con các số nguyên bội của 15. (3, ) là một nhóm giao hoán

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

1

Page 15


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
nên (15, ) là nhóm con chuẩn tắc của (3, ) .

 3

15

  x  15 : x  3

x  3  x  3k , k  ;

x 3k k

 dƣ 0, 1, 2,3, 4
15 15 5

 x  15n  3i, i  0, 4  x  3i
 3
 15,3  15,6  15,9  15,12  15

15 
b) (4, ) là nhóm cộng các số nguyên bội của 4

(24, ) là nhóm con các số nguyên bội của 24. (4, ) là một nhóm giao hoán
nên (24, ) là nhóm con chuẩn tắc của (4, ) .

 4

24

  x  24 : x  4

x  4  x  4k , k  ;

1

x 4k k

 dƣ 0, 1, 2,3, 4,5
24 24 6

 x  24n  4i, i  0,5  x  4i
 4
 24, 4  24,8  24,12  24,16  24, 20  24
24 
9

Em haỹ mô tả cấ u trúc nhóm S 3 và tìm các nhóm con thực sự của S 3.
Đáp án

2

Nhóm các phép thế S3 gòm 6 phần tử:

123 
123 
123 
123 
123 
123 
e
; a  
;b  
;c  
; d  
; f  

123 
132 
 213 
 231
 312 
 321

1

a1  a; b1  b; c1  d ; d 1  c; f 1  f
Các nhóm con thực sự của S3:
+ Nhóm con gồm 2 phần tử: {e; a}, {e; b}, {e; f}

1

+ Nhóm con gồm 3 phần tử: {e; c; d}
+ Không có nhóm con thực sự gồm: 4, 5 phần tử theo định lý Lagrange
10 Cho (X, ., e) là một nhóm, A là một nhóm con chuẩn tắc của X. Chứng minh rằng:

a) Quy tắc cho tƣơng ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A  X/A
đến X/A.
b) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 16


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
2

Đáp án
1

 xA  x1 A
 x x1  A
a) ( xA; yA)  ( x1 A; y1 A)  

1
 yA  y1 A

 y y1  A

y 1 ( x 1x1 ) y  A

1 1
Do A là nhóm con chuẩn tắc nên
  y x x1 y1  A
1
y y1  A



1

Hay ( xy)1 ( x1 y1)  A  xyA  x1 y1 A
Vậy quy tắc cho tƣơng ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A
 X/A đến X/A.

b) +) xA; yA; zA  X

A

, ta có:

( xA. yA).zA  xyA.zA  ( xy) zA  x( yz ) A  xA. yzA  xA.( yA.zA)
+) xA  X

A

(có t/c kết hợp)

: xA.eA  xeA  xA; eA.xA  exA  xA

1

Suy ra eA là phần tử đơn vị.
+) xA  X

A

: xA.x 1 A  xx 1 A  eA; x 1 A.xA  x 1xA  eA

Suy ra x 1 A là phần tử nghịch đảo của xA .
Vậy X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm.
11

Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y, A là một nhóm
con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Chứng minh:
a) f(A) là một nhóm con của Y.
b) f -1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X .
Đáp án

2

a) Ta có
+ ey = f(ex)  f(A) nên f(A)  

1

+ y, y1  f(A). Vì y, y1  f(A), nên có x, x1 A sao cho y = f(x) và y1 = f(x1).
Ta có y.y1-1 = f(x)f(x1)-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1).Vì A là nhóm con nên xx1-1  A,
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 17


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
do đó y.y1-1 = f(xx1-1)  f(A).
Suy ra f(A) là một nhóm con của Y.
b) Ta có
+ f(ex) = ey  B nên ex  f1-1(B), f-1(B)  .
+ f(xx1-1) = f(x).f(x1-1) = f(x)f(x1)-1. Nhƣng f(x), f(x1)  B và f(x)f(x1)-1 B
nên f(xx1-1) B tức là xx-1 f-1(B), do đó f-1(B) là nhóm con của X.
1

+ Với mọi a  f-1(B) và x  X.
f(x-1.ax) = f(x-1).f(a).f(x) B vì f(a) B và B là chuẩn tắc. Do đó x-1ax f-1(B)
với mọi a f-1(B) và mọi x X .
Vậy f-1(B) chuẩn tắc .
12

Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y. Chứng minh:
a) f(ex) = ey
b) f(x-1) = [f(x)]-1 với mọi x  X
Đáp án

2

a)

x  X , f ( x)  f ( xeX )  f ( x) f (eX )
mà f ( x)  f ( x)eY

 f ( x)eY  f ( x) f (eX )

1

Y là một nhóm nên có luật giản ƣớc

 eY  f (eX )
b) x  X , f ( x). f ( x1)  f ( xx 1)  f (eX )  eY
1

suy ra  f ( x)  f ( x ) x  X
1

1

13 Giả sử X là một nhóm, ta gọi là tâm của X bộ phận:
C(X) = { a X | ax = xa với mọi x  X }.
Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X)
là một nhóm con chuẩn tắc của X.
Đáp án
Hiển nhiên là C(X) là nhóm con giao hoán của X.
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 18


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Ta cần chứng minh: mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X.

Theo định nghĩa nhóm con chuẩn tắc:
x  X , a  C ( X ) : xét

x.a.x 1  x.x 1.a  a  C ( X )

Vậy C(X) là nhóm con chuẩn tắc của X
14 Cho X là một nhóm và A là một bộ phận khác rỗng của X. Chứng minh A là nhóm con
của X khi và chỉ khi AA-1 = A.
với AB = { ab | a  A, b  B }, A-1 = {a-1 | a  A }
Đáp án
+ Nếu A là một nhóm con của nhóm X.

x  AA1  x  ab1, a, b  A
mà A là nhóm con của X nên ab1  A hay x  A  AA1  A
Mặt khác x  A : x  x.e  AA1  A  AA1
Suy ra: A  AA1
+ Nếu A  AA1

a, b  A  b  A1  ab1  AA1  A  ab1  A
Vậy A là nhóm con của X.
15 Cho A, B là hai bộ phận của một nhóm X. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (A-1)-1 = A
b) (AB)-1 = B-1A-1
c) Nếu A là một nhóm con của X thì A-1 = A
Đáp án
a)
+ a  A  a 1  A1  a  (a 1 )1  (A1 )1 hay a  ( A1 )1  A  ( A1 )1

a  A  a  ( A1 )1  b  A 1 : a  b 1


 a  (c 1 ) 1  c  A

b  A 1  c  A: b = c 1 

+

 ( A1 )1  A

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 19


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Vậy A  ( A1 )1
b)

y  ( AB)1  a  A, b  B : y  (ab)1  b1a 1  B 1A1  ( AB)1  B 1A1
y  B1 A1  a  A, b  B : y  b1a 1  (ab)1  ( AB)1  B 1A1  ( AB)1
 B1A1  ( AB)1
c) Nếu A là một nhóm con của X. Khi đó :

a  A  a 1  A  a  (a 1 )1  A1  A  A1
a  A1  b  A : a  b1
Mà b  A  b1  A  a  A  A1  A . Vậy A1  A
16 Cho X là một nhóm. Ánh xạ :  : X  X , a  a 1 là một tự đẳng cấu của nhóm X
khi và chỉ khi X là một nhóm Abel.
Đáp án

Nếu X là một nhóm Abel.
Xét ánh xạ  : X  X , a  a 1 , ta có:
+ a, b  X :  (ab)  (ab)1  b1a 1 . Do X là Abel nên b1a 1  a 1b1

  (ab)  a 1b1   (a) (b) . Vậy  là một đồng cấu.
+ a, b  X :  (a)   (b)  a 1  b1  a  b suy ra  là một đơn cấu
+ b  X , a  b1 :  (a)  a 1  (b1)1  b suy ra  là một toàn cấu.
Vậy  là một tự đẳng cấu.
Nếu  : X  X , a  a 1 là một tự đẳng cấu, nên:

a, b  X :  (ab)  (a) (b)  (ab)1  a 1b1  ab  (a 1b1)1  ba .
Do đó X là nhóm Abel.
17 Giả sử X, Y là những nhóm. f: X  Y là một đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng:
a) Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X.
b) Đồng cấu nhóm f: X  Y là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = e x.
Đáp án
a) + f (eX )  eY  eX  Kerf  Kerf  
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 20


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
+ a, b  Kerf . f (ab1)  f (a)[f (b)]1  eY  ab1  Kerf . Vậy Ker f là một
nhóm con của X.

x  X , a  Kerf . f ( x 1ax)   f ( x) 

1

+

f (a) f ( x)   f ( x)  eY f ( x)  eY
1

 x 1ax  Kerf

Vậy Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của X.
b) + Nếu f là đơn cấu, x  Kerf : f ( x)  eY  f (eX )  x  eX  Kerf  eX 
+ Nếu Kerf  eX 
1

a, b  X : f (a)  f (b)  f (a)  f (b)  eY  f (ab 1)  eY  ab 1  Kerf
Do Kerf  eX  nên ta có: ab1  eX  a  b . Vậy f là đơn cấu.
18 Giả sử A, B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. Chứng minh:
a) AB là nhóm con chuẩn tắc của X
b) A  B là một nhóm con chuẩn tắc của X và cũng là một nhóm con chuẩn tắc của A.
Đáp án
a) + eX  eX eX  AB  AB  
+

x, y  AB  a1, a2  A; b1, b2  B : x  a1b1; y  a2b2
 xy 1  (a1b1 )(a2b2 )1  a1b1b2 1a2 1

B là nhóm con nên b1b21  B , mặt khác B là chuẩn tắc nên: a2 (b1b21 )a21
Lại do a1a21  A  xy 1  a1a21a2b1b21a21  AB
Vậy AB là nhóm con của X.
+ x  X , ab  AB(a  A, b  B)  x 1abx  x 1ax.x 1bx
Do A là chuẩn tắc  x 1ax  A

Do A là chuẩn tắc x 1bx  B

 x1abx  x1ax.x 1bx  AB . Vậy AB là nhóm con chuẩn tắc của X.
b) + eX  A, eX  B  eX  A  B  A  B  
1

 x, y  A  xy  A
 xy 1  A  B
+ x, y  A  B  
1

 x, y  B  xy  B

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 21


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
Vậy A  B là nhóm con của X.
+ x  X , a  A  B  a  A, a  B
1

 x ax  A
 x 1ax  A  B
Do A, B là chuẩn tắc  
1

 x ax  B

Vậy A  B là nhóm con chuẩn tắc của X.
19 Giả sử G1, G2 là những nhóm với đơn vị là e1, e2 ; G = G1xG2. Trên G trang bị phép
toán : (a1, b1).(a2 , b2 )  (a1a2 , b1b2 )
a) Chứng minh G cùng phép toán trên là một nhóm
b) Giả sử X là một nhóm và f : X  G1, g : X  G2 là những ánh xạ. Xét ánh xạ :

h : X  G , x  h( x)  ( f ( x), g ( x)) .
Chứng minh h là đồng cấu khi và chỉ khi f và g là những đồng cấu.
Đáp án
a) Kiểm tra 3 tiên đề nhóm ( Tính kết hợp, Tồn tại ptđv, Tồn tại ptnđ)
+ (a1, b1),(a2 , b2 ),(a3 , b3 )  G , ta có :

(a1, b1).(a2 , b2 ).(a3 , b3 )  (a1a2 , b1b2 ).(a3 , b3 )  ((a1a2 )a3 ,(b1b2 )b3 )
(t/c kết hợp)
 (a1 (a2a3 ), b1 (b2b3 ))  (a1, b1 ).(a2a3 , b2b3 )  (a1, b1 ).(a2 , b2 ).(a3 , b3 ) 
+ (a, b)  G : (a, b).(e1, e2 )  (ae1, be2 )  (a, b);(e1, e2 ).(a, b)  (e1a, e2b)  (a, b)

(e1, e2 ) là phần tử đơn vị của G.
+

(a, b)  G : (a, b).(a 1, b 1 )  (aa 1, bb 1 )  (e1, e2 )
(a 1, b1 ).(a, b)  (a 1a, b 1b)  (e1, e2 )

Suy ra (a 1, b1 ) là phần tử nghịch đảo của (a, b) .
Vậy G cùng phép toán . là một nhóm
b)

x, y  X
h là đồng cấu  h( xy)  h( x).h( y)  ( f ( xy), g ( xy))  ( f ( x), g ( x)).( f ( y), g ( y))

 ( f ( xy ), g ( xy ))  ( f ( x). f ( y ), g ( x).g ( y ))
 f ( xy )  f ( x). f ( y )

 g ( xy )  g ( x).g ( y )
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 22


MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
 f, g là những đồng cấu.
20 Cho G1, G2 là những nhóm với đơn vị theo thứ tự là e1, e2 và G = G1 x G2 là tích của G1
và G2. A = G1 x {e2} và B = {e1} x G2. Xét các ánh xạ:

p1 : G  G1

p2 : G  G2

( x1, x2 )  x1

( x1, x2 )  x2

Chứng minh p1, p2 là những toàn cấu. Xác định Ker p1, Ker p2?
Đáp án
+ ( x1, x2 ),( y1, y2 )  G , ta có:

p1 (( x1, x2 ).( y1, y2 ))  p1 ( x1y1, x2 y2 )  x1y1  p1 ( x1, x2 ) p1 ( y1, y2 )
suy ra p1 là đồng cấu.

+ x1  G1 , ta có: ( x1, e2 )  G mà p1 ( x1, e2 )  x1 . Vậy p1 là toàn cấu.
+ Kerp1  ( x1, x2 )  G : p1( x1, x2 )  e1  ( x1, x2 )  G : x1  e1

 (e1, x2 )  G  e1  G2  B
+ ( x1, x2 ),( y1, y2 )  G , ta có:

p2 (( x1, x2 ).( y1, y2 ))  p2 ( x1 y1, x2 y2 )  x2 y2  p2 ( x1, x2 ). p2 ( y1, y2 )
suy ra p2 là đồng cấu.
+ x2  G2 , ta có: (e1, x2 )  G mà p2 (e1, x2 )  x2 . Vậy p2 là toàn cấu.
+ Kerp2  ( x1, x2 )  G : p2 ( x1, x2 )  e2  ( x1, x2 )  G : x2  e2

 ( x1, e2 )  G  G1  e2  A
21 Cho G1, G2 là những nhóm với đơn vị theo thứ tự là e1, e2 và G = G1 x G2 là tích của G1
và G2. A = G1 x {e2} và B = {e1} x G2. Xét các ánh xạ:

q1 : G1  G
x1  ( x1, e2 )

q2 : G2  G
x2  (e1, x2 )

Chứng minh q1, q2 là những đơn cấu. Xác định Im q1, Im q2. Từ đó suy ra G1 đẳng cấu
với A, G2 đẳng cấu với B.
Đáp án
+ x1, y1  G1 , ta có: q1( x1. y1)  ( x1 y1, e2 )  ( x1, e2 )( y1, e2 )  q1( x1).q1( y1)
suy ra q1 là đồng cấu.
Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 23

MATHEDUCARE.COM
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3
+ x1, y1  G1 mà q1 ( x1)  q1 ( y1)  ( x1, e2 )  ( y1, e2 )  x1  y1 suy ra q1 là đơn
ánh.
Vậy q1 là đơn cấu.
+ Im q1  q1( x1)  G : x1  G1  ( x1, e2 )  G : x1  G1  G1  e2   A
Do q1 là đơn cấu nên G1  Im q1  A
+ x2 , y2  G2 , ta có: q2 ( x2. y2 )  (e1, x2 y2 )  (e1, x2 ).(e1, y2 )  q2 ( x2 ).q2 ( y2 )
suy ra q2 là đồng cấu.
+ x2 , y2  G2 mà q2 ( x2 )  q2 ( y2 )  (e1, x2 )  (e1, y2 )  x2  y2 suy ra q2 là
đơn ánh.
Vậy q2 là đơn cấu.
+ Im q2  q2 ( x2 )  G : x2  G2  (e1, x2 )  G : x2  G2   e1  G2  B
Do q2 là đơn cấu nên G2  Im q2  B
22 Cho X là một nhóm. Với mỗi phần tử a  X , ta xét ánh xạ:

f a : X  X , x  f a ( x)  a xa 1
a) Chứng minh fa là một tự đẳng cấu của X, gọi là tự đẳng cấu trong xác định bởi phần
tử a.
b) Chứng minh rằng tập hợp các tự đẳng cấu trong của X lập thành một nhóm con của
nhóm của nhóm các tự đẳng cấu của X.
Đáp án

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 24


MATHEDUCARE.COM

GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG ---- CHƢƠNG 1,2,3

Chương 3
1

Cho tập các ma trận cấp hai:

a b 

A  
:
a
,
b




b a 

a) Chứng minh rằng A là vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân
ma trận.

a b 
b) Phần tử A  
 là ƣớc của 0 trong A  Det ( A)  0
b a 
Đáp án
a) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

a b 
c
,
B

+ A  

d
b a 


d
 A,(a, b, c, d  )
c 

a  c b  d 
 ac  bd
 A B  
 A, A.B  

b  d a  c 
bc  ad

bc  ad 
A
ac  bd 

Phép cộng và nhân ma trận ổn định trên A .
+

A, B, C  A : ( A  B)  C  A  ( B  C ); A  B  B  A
A     A

a b 
 a b 
A  
 A  A  

  A : A  ( A)  ( A)  A  
b
a

b

a





 ( A, ) là một nhóm Abel
+ A, B, C  A : ( A.B).C  A.( B.C )
+ A, B, C  A : ( A  B).C  AC
.  B.C; A.( B  C )  A.B  AC
.

a b 
c
A  
,

B


d
b a 


d
 ac  bd

A
:
A
.
B

bc  ad
c 


bc  ad 
 B. A
ac  bd 

1 0 
I 
  A : B  A : I .B  B.I  B
0 1 
Vậy  ( A, ,.) là một vành giao hoán có đơn vị.

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh

Page 25