Một số bài tập lượng giác lớp 10 ( sưu tầm)

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 3600.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng

πR
và có số đo 10.
180

*. Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng

πaR
.
180

*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
a0
α
= .
*. Cung có số đo bằng a ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:
0
180
π
0

*. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α.
y
*. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ
z
Ox đến Oy.
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn
O
x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn
tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều
ngược kim đồng hồ.
*. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất
định từ A đến C.
*. Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π.
sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = α + k2π.
y
B

*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).

S
M

A’

P

T

O

Q A

B’
1

x

+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

Ta có: cos α = OQ = x, sin α = OP = y, tan α = AT , cot α = BS .
Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1,

- 1 ≤ cosα ≤ 1.

cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.
tanα =

sin α
π
cos α
xác định khi α ≠ + kπ , cotα =
xác định khi α ≠ α ≠ kπ
cos α
2
sin α

sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1.
1 + tan 2 α =

1
1
, 1 + cot 2 α =
.
2
cos α
sin 2 α

*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

TS .

0

π
6

π
4

π
3

π
2

2π
3

3π
4

5π
6

π

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

1
2

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

−

tan

0

3

3

1

3



− 3

cot



3

1

3
3

0

−

3
3

1
2

−

2
2

−

3
2

-1

-1

−

3
3

0

-1

− 3



3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
*. Cung đối nhau: - α và α:

cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα.
*. Cung bù nhau: π - α và α:
sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα.
*. Cung hơn kém π: π + α và α:
sin(π + α) = - sinα, cos(π α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα.

π
- α và α:
2
π

π

π

π

sin  − α  = cosα, cos  − α  = sinα, tan  − α  = cotα, cot  − α  = tanα.
2

2

2

2

π π
*. Cung hơn kém : + α và α:
2 2
π

π




π

π

sin  + α  = cosα, cos  + α  = - sinα, tan  + α  = - cotα, cot  + α  = - tanα.
2

2

2

2


*. Cung phụ nhau:

2


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

4. Các công thứ lượng giác khác:
*. Công thức cộng:

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ,
cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ,
tan α + tan β

tan(α + β) = 1 − tan α tan β ,
*. Công thức nhân đôi:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ.
tan α − tan β

tan(α– β) = 1 + tan α tan β .

cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 – 2sin2α;
sin2α = 2sinαcosα;
*. Công thức hạ bậc:
sinαcosα =

tan2α =

2 tan α
.
1 − tan 2 α

1
1 + cos 2α
1 − cos 2α
sin 2α ; cos 2 α =
; sin 2 α =
.

2
2
2

*. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]; sin α cos β = 1 [ sin(α + β ) + sin(α − β )];
2
2
1
sinαsinβ = - [ cos(α + β ) − cos(α − β )].
2

cosαcosβ =

*. Công thức biến đổi tổng thành tích:
α +β
α −β
cos
;
2
2
α +β
α −β
cos
;
sinα + sinβ = 2 sin
2
2

cosα + cosβ = 2 cos

α +β
α −β
sin
;
2
2
α +β
α −β
sin
.
sinα – sinβ = 2 cos
2
2

cosα – cosβ = − 2 sin

B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 450, 12000, - 8300.
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
cung AM có số đo bằng:

π
π
π
π
+ k ; − + k ; 450 + kπ .
3

2
6
4

c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b).
2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5. Tìm miền
giá trị của sinα, tanα và cotα.
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x;

b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;

1 - cosx
sinx
=
;
d) (tan2x - tanx)(sin2x - tanx) = tan 2 x;
sinx
1 + cosx
2
sin x − cos 2 x + cos 4 x
6 + 2cos4x
e)
= tan 4 x; g) tan 2 x + cot 2 x =
;
2
2
4
cos x - sin x + sin x
1 - cos4x

c)

3


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;

π 
π
π   2π



i) sin  2x +  cos x −  - cos 2x + cos − x  = cosx.


3



6



3

 3



4. Rút gọn các biểu thức sau:
2cos 2 x - 1
cos3x + cos2x + cosx + 1
; B = sin 2 x(1 + cotx) + cos 2 x(1 + tanx) ; C =
;
sinx
2cos 2 x + cosx - 1
1 + cosx  (1 - cosx) 2 
1 + cosx + 1 - cosx
D=
E=
;
1 +
;
2
sinx 
sin x 
1 + cosx − 1 - cosx
A=

F=

sina + sin2a + sin3a + sin4a
sin(a + )sin(a - )
;
G=

;
cos a + cos2a + cos3a + cos4a
cosa + cosb
1 + cosx
x
1
2 sin 2520 0 cos(-1880 )
I=
tan 2 .
H=
+
;
0
0
0
1 - cosx
2
tan368
2cos638 + cos98

5. Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.
6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
π
π 
3π 
 π 


C = cos x - cos x +  + cos x + cos x +

3 
4
6 
3 



2π 
sin 8 x - cos8 x


2  2π
D = cos x + cos  x +
- x ; E =
;
 + cos 
3 
sin 2 x - cos 2 x 1 − 2 sin 2 x cos 2 x

 3

cos 2 x - sin 2 y
8
8
6
6
4
G

=
- cot 2 xcot 2 y
F = 3(sin x – cos x) + 4(cos x – 2sin x) + 6sin x;
2
2
sin xsin y
1
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin 8 x. Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
8
π
3π
5π
A = sin60.sin420.sin660.sin780; B = cos .cos .cos .
7
7
7
3
và 1080 < x < 270 0. Tính sinx, tanx và cotx.
8. a) Cho cosx = 5
a
tana - sina
;
b) Biết tan = m. Tính
2
tana + sina
π
c) Biết tana + cota = m, 0 < a < , tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
2
d) Cho sina + cosa = m với - 2 ≤ m ≤ 2 . Tính sin2a, sina, cosa.
2

2

(

)(

9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
A = sin

11π
5π
.cos ;
12
12

B = sin

C = cos100.cos500.cos700;

π
5π
7π
11π
.sin
.sin
.sin
.
24
24

24
24

D = cos200.cos400.cos800.

E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400.
4

)


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

F = sin100.sin500.sin700;

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
G = tan 2

π
5π
+ tan 2
. H = tan50tan550tan650.
12
12

H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300. . . cos800.
K = cos

π
2π

3π
- cos
+ cos ;
7
7
7

M = cos

5π
7π
5π
π
sin
sin
sin .
12
12
24
24

10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
A-B
tan
a-b
2 ;
=
A
a + b tan + B
2

B-C
tan
b-c
2 ;
=
B
+
C
b + c tan
2

C-A
tan
c-a
2 .
=
C
+
A
c + a tan
2

11. Chứng minh các đẳng thức sau:

sin(a + b + c)
;
cosa.cosb.cosc
sin(a + b)sin(a - b)
tan 2 2a - tan 2 a

2
2
.
= tana.tan3a; c) tan a - tan b =
b)
2
2
cos 2 acos 2 b
1 - tan 2a.tan a
1
3
cos2a
cosa - sina
3 1
d) 4cos 4 x - 2cos2x - cos4x - = 0; e)
=
; f) sin 4 x + cos 4 x = + cos4x
2
2
1 + sin2a cosa + sina
4 4
π
5π
7π
3
g) cos + cos
+ cos
= 0; h) sin20 0.sin40 0.sin80 0 =
.
9

9
9
8

a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc =

12) Chứng minh rằng:
cos(x + y) 1
1
a) Nếu cos(x - y) = 2 thì tanxtany = . b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
3

π
2

điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì x + 2y = .
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
A
B
C
2
2
2
A
B
C
b) cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin ;
2

2
2

a) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos ;

c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC;
h) cot

g) bcosB + ccosC = acos(B – C)

A
B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot .cot .cot ;
2
2
2
2
2
2

i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
C
A

B
+ (b - c) cot + (c - a) cot = 0;
l) S = 2R2sinAsinBsinC;
2
2
2
A
B
C
A
B
B
C
C
A
m) r = 4Rsin sin sin ;
n) tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k) (a - b) cot

5

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI
o) a =

p.sin
cos

r) r =

A
2

B
C
.cos
2
2

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

;

p)

B
C
.sin
2
2;
A

sin
2

asin

a 2 - b 2 sin(A - B)
=
;
c2
sinC
p

s) R =
4cos

A
B
C
.cos .cos
2
2
2

q) r = p.tan

;

t)

A

B
C
.tan .tan ;
2
2
2

r
A
B
C
= sin sin sin ;
4R
2
2
2

r
2pr
= cosA + cosB + cosC; v)
= acosA + bcosB + ccosC;
R
R
4R + r
A
B
C
w)
= tan + tan + tan ; x) (b 2 - c 2 )cotA + (c 2 - a 2 )cotB + (a 2 - b 2 )cotC = 0;
p

2
2
2
2
2
(a - b )sinAsinB
1
y) S =
; z) S = a 2sin2B + b 2 sin 2A .
2sin(A - B)
4

u) 1 +

(

)

15. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:

(a

)

+ b2 + c2 R
;
b) p < p - a + p - b + p - c ≤ 3p;
abc
1
1

1
1 1 1
c)
+
+
≥ 2 + + ; d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
p-a p-b p-c
a b c
a) cotA + cotB + cotC =

2

16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)

sinA
= 2;
sinBcosC

3

sinBsinC = 4
c) 
.
3
3
3
a 2 = a + b - c

a -b-c

 b 3 + c3 - a 3
= a2

b)  b + c - a
;
cos(A + C) + 3cosB = 1


1

cosBcosC = 4
e) 
;
3
3
3
a 2 = a - b - c

a −b-c
sinB + sinC
C
g) sinA =
; h) tanA + tanB = 2cot ;
cosB + cosC
2
2bcosC = a

d)  b 3 + c 3 - a 3
;

= a2

 b+c-a

(

2
f) S = R 2 sin 3A + sin 3 B + sin 3C
3

1
i) cosAcosBcosC = ;
8
sinA + sinB + sinC
= 3.
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; l)
cosA + cosB + cosC

17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1;

b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;

c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.
18. Chứng minh ∆ABC vuông khi:

b
c
a
B a+c

sinA + cosB
+
=
; b) cot =
; c)
= tanA.
cosB cosC sinBsinC
2
b
sinB + cosA
2bc
1
B
C
d) cos(B - C) = 2 ; e) S = a 2sin2B; f) h a = 2p 2sin sin .
a
4
2
2
a)

19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
c-b
C-B
a)
= tan
;
c+b
 2 

6

b2 - c2
b) sin(B - C) =
.
a2

)


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

20. Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:
A+B
; b) 2tanB + tanC = tan 2 BtanC;
2
sinA + sinB 1
cos 2 A + cos 2 B 1
c)
= tan(A + B); d)
= (cot 2 A + cot 2 B);
2
2
cosA + cosB 2
sin A + sin B 2
2
2
sin A sin B

C
C 2sinAsinB
e)
= (sinA + sinB)cot ; f) cot =
;
cosA cos
2
2
sinC
A
B
B
A
C
B
g) sin cos3 = sin cos 3 ; h) (p - b) cot = ptan ;
2
2
2
2
2
2
1 + cosB
2a + c
C
i)
=
; k) a + b = tan (atanA + btanB); l) asin(B - C) + bsin(C - A) = 0
sinB
2

4a 2 - c 2
a) a.tanA + b.tanB = (a + b)tan

21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
sin 2 B tanB
b)
=
;
a) (b + c )sin(C - B) = c – b )sin(C + B);
sin 2 C tanC
2cosA + cosC sinB
(b - c) 2
1 - cos(B - C)
c)
+
; d)
= 2.
.
2
2cosB + cosC sinA
b
1 - cos2B
2

2

2

2

22. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
d) b + c =

c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2);

a
+ h a 3.
2

23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0;
c) a3 = 3 + c3;

b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;

d) sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2;

f) (1 + cotA)(1 + cotB) = 2;

e) c = c.cos2B + b.sin2B

g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
x
2

h) A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan =

2 3

.
3

24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx cosx + cosx sinx .
(ĐH An ninh 1998)
25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ∆ABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998)
26. Cho ∆ABC có các góc thỏa tan

A
B
3
C
+ tan = 1 . CMR: ≤ tan < 1.
2
2
4
2

(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
27. Cho ∆ABC. CMR: 2b = a + c ⇔ cot
1998)

7

A
C
+ cot = 3.
2
2

(ĐH Cần thơ


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất.
(ĐH Công đoàn 1998)
30. Cho ∆ABC. CMR:
a 2 + b2 + c2
.
4S

(ĐH Dược hà nội 1998)

M = 3cosA + 2(cosB + cosC).

(ĐH Luật Hà nội

cotA + cotB + cotC =

31. Cho ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1998)
32. Cho ∆ABC. CMR:

sin(A - B) a 2 - b 2
=

.
sinC
c2

(ĐH Ngoại ngữ 1998)

33. CMR: trong mọi ∆AC ta đều có:

1
1
1
1
A
B
C
A
B
C
+
+
=  tan + tan + tan + cot .cot .cot .
sinA sinB sinC 2 
2
2
2
2
2
2

(ĐH Ngoại thương 1998)

b + c ≤ a
. Tính các góc của ∆ABC.
sinA + sinB + sinC = + 2
2

2

2

34. Cho ∆ABC sao cho: 

(ĐH Ngoại thương 1998)

35. CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có:
cos 3

A
B
C 3 3
A
B
C
+ cos 3 + cos 3 ≤ +  cos + cos + cos .
3
3
3 8 4
3
3
3

(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
.
cosA cosB cosC sin A sin B sin C CMR: ∆ABC đều.
2
2
2

b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức:

sinB
= 2cosA .
sinC

(ĐH An ninh 1999)
37. CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC đều là có hệ thức:
1
1
1

+
+
- ( cotA + cotB + cotC) = 3.
sinA sinB sinC

(ĐH Bách khoa Hà nội 1999).

38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0.

(ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).

39. ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC).
CMR: ∆ABC là tam giác đều.

(ĐH Dược Hà nội 1999).

40. CMR: nếu ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) tan

A+B
thì ∆ABC cân.
2

(ĐH Hàng hải 1999).
8


BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).

9