Ôn tập và kiểm tra môn toán hk1 dành cho lớp 8

Chủ đề 1: Nhân đa thức.
A. Mục tiêu:
Nắm được quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo các cách khác nhau.
B. Thời lượng: 3 tiết (từ 1 đến 3)
C. Thực hiện:
Tiết 1:
Câu hỏi
1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức.
* Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.
a. (-2x2).(x3 - 3x2 - x + 1)
b. (-10x3 + 2/5 y - 1/2 z).(-1/2 xy)
Giải:
a. (-2x2).(x3 - 3x2 - x + 1) = -2x5 + 6x4 + 2x3 - 2x2
b. (-10x3 + 2/5 y - 1/2 z).(-1/2 xy) = 5x4y - 1/5 xy2 + 1/6 xyz
Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức không phụ thuộc vào biến.
a. x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3)
b. 4(x - 6) - x2(2 + 3x) + x(5x - 4) + 3x2(x - 1)
Giải:
a. x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3) = 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 3 = 3
Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
b. 4(x - 6) - x2(2 + 3x) + x(5x - 4) + 3x2(x - 1) = 4x - 24 - 2x2 - 3x3 + 5x2 - 4x + 3x3 - 3x2 = -24
Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán
a. 3x(10x2 - 2x + 1) - 6x(5x2 - x - 2) với x = 15
b. 5x(x - 4y) - 4y(y - 5x) với x = -1/5; y = -1/2
c. 6xy(xy - y2) - 8x2(x - y2) + 5y2(x2 - xy) với x = 1/2; y = 2
Giải:
a. 3x(10x2 - 2x + 1) - 6x(5x2 - x - 2)

= 30x3 - 6x2 + 3x - 30x3 + 6x2 + 12x = 15x
Thay x = 15 ta có 15x = 15.15 = 225
b. 5x(x - 4y) - 4y(y - 5x)
= 5x2 - 20xy - 4y2 + 20xy
= 5x2 - 4y2
Thay x = -1/5; y = -1/2 ta có 5.(-1/5)2 - 4(-1/2)2 = 1/5 - 1 = -4/5
c. 6xy(xy - y2) - 8x2(x - y2) + 5y2(x2 - xy)
= 6x2y2 - 6xy3 - 8x3 + 8x2y2 + 5x2y2 - 5xy3
= 19x2y2 - 11xy3 - 8x3
Thay x = 1/2; y = 2 ta có: 19.(1/2)2.22 - 11.(1/2).23 - 8.(1/2)3 = 19 - 44 -1 = -26
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng.
a. 36x3y4 - * = *(4x2y - 2y3)
b) -2a3b.(4ab2 + *) = * + a5b2
Giải:
a. Vì *.4x2y = 36x3y4 = 9xy3.4x2y nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3
Vì * ở vế trái là tích của 9xy3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu thức 9xy3.2y3 = 18 xy6 vậy ta có đẳng thức đúng.
b. Lý luận tương tự câu a.

Đẳng thức đúng là:
Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac.
b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
= ab - ac - ab - bc + ac - bc
= -2bc = VP đpcm
b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
= a - ab + a3 - a
= a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm.

c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
= ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP đpcm
Bài 6: Tìm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100


b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
↔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
↔ 50x = - 100
→x=-2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
↔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
↔ - 0,6x = 0,138
↔ x = 0,138 : (- 0,6)
↔ x = - 0,2

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2√xy +5√x - 10y = [(√x)2 – 2 y√x] + (5√x - 10y)
= √x(√x- 2y) + 5(√x- 2y)
= (√x- 2y)(√x + 5)
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức: AB + AC = A(B + C)
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12√xy = 3√x(√x + 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3


(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 = (x - 2)2
2. x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. (x + y)2 - (x - y)2 = [(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = 2x.2y = 4xy
Cách khác: (x + y)2 - (x - y)2 = x2 + 2xy + y2 - (x2 - 2xy + y2) = 4xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y)
= x(x – 2y) + 5(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 5)
2. x - 3√x + √xy – 3y = (x - 3√x) + (√xy – 3y)
= √x(√x - 3) + y(√x - 3)

= (√x - 3)(√x + y)
d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng:

Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1)
= (x - 1)(2x - 1)
b) y - 3√y + 2 = y - √y - 2√y + 2
= √y(√y - 1) - 2(√y - 1)


= (√y - 2)(y - 1)
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x
= (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - (2√x)2
= (x - 2√x + 2)(x + 2√x + 2)
g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
= (a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)
b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 - x)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0


Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)

b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - (√8a)2 = (a2 + 4 + √8a)( a2 + 4 - √8a)
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6) : (x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)
b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2) : (x - 3) = (x - 2)