Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.3 KB, 18 trang )
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái khèi 10
Tìm tham số m để hàm số xác định trên tập D đã được chỉ ra
Bài 1.
2x + 1
, trên D = ¡ .
x - 6x + m - 2
3x + 1
, trên D = ¡ .
b/ y = 2
x - 2mx + 4
a/ y =
2
c/ y = x - m + 2x - m - 1, trên D = ( 0; +¥ ) .
d/ y = 2x - 3m + 4 +
x- m
, trên D = ( 0; +¥ ) .
x + m- 1
x + 2m
, trên D = ( - 1;0) .
x - m+1
1
+ - x + 2m + 6, trên D = ( - 1;0) .
f/ y =
x- m
1
g/ y = 2x + m + 1 +
, trên D = ( 1; +¥ ) .
x- m
Cho hàm số
.
y = f ( x) = 2 - x + 2 1- x
e/ y =
Bài 2.
ĐS: m > 11.
ĐS: - 2 < m < 2 .
ĐS: m £ 1.
ĐS: 1 £ m £
4
.
3
ĐS: m £ 0 hoặc m ³ 1.
ĐS: - 3 £ m £ - 1.
ĐS: - 1 £ m £ 1.
a/ Tìm tập xác định của hàm số.
b/ Xét tính đơn điệu của hàm số.
é1 1ù
; ú
c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ê
ê4 2ú.
ë û
Cho hàm số
.
y = f ( x) = 5 + x + 2 x + 4
Bài 3.
a/
b/
c/
d/
Bài 4.
Tìm tập xác định của hàm số.
Xét tính đơn điệu của hàm số.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.
1 .
Cho hàm số y = f x =
( )
x- 1
a/ Tìm tập xác định của hàm số.
b/ Chứng minh hàm số giảm trên từng khoảng xác định của nó.
c/ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 5.
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = f x = x x3 - 2 + 2m + 1 là hàm số lẻ.
( ) (
)
Bài 6.
Tìm tham số m để hàm số y = f x = x4 - m m - 1 x3 + x2 + mx + m2 là hàm số
( )
(
)
chẵn.
Bài 7.
Cho đồ thị hàm số y = 3 - 2x .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b/ Xác định các giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng y =
Vẽ đồ thị của các hàm số sau
Bài 8.
1
x + 1.
2
d/ y = - x - 2 .
ìï 2x - 1 khi x ³ 1
ïï
b/ y = í 1
ïï x + 1khi x < 1
ïî 2
f/ y = x + 2x .
g/ y = - 2x - 2x .
h/ y = x + 2 + 1.
j/ y = x - 1 - 5 - x .
k/ y = x - 2 - 3x - 4 + 6x + 4 . l/
ìï x + 2 khi x > 2
ï
a/ y = í
.
ïï 1
khi x £ 2
î
Bài 9.
c/ y = 2x - 3 .
i/ y = - x - 3 + 2x + 1 .
y = 11x - 8 + 2 + 9x - 2x - 9 .
Cho hàm số y = 2 - x + 2x + 1 .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b/ Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 - x + 2x + 1 = m.
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau
Bài 10.
2
a/ y = x - 2 x + 1.
(
)
2
b/ y = - 3x - 6 x + 4 .
c/ y = x x - 2 .
2
d/ y = x - 2 x - 1 .
ìï - x2 - 2
khi x < 1
ï
e/ y = í 2
.
ïï 2x - 2x - 3 khi x ³ 1
ïî
ìï 2x
khi x < 0
ï
g/ y = í 2
.
ïï x - x khi x ³ 0
î
2 2 8
i/ y = x - x + 2 .
3
3
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
ìï - 2x + 1
khi x ³ 0
ï
f/ y = í 2
.
ïï x + 4x + 1 khi x < 0
î
2
a/ x + x x + 2 = m .
2
b/ - x + 3x - 2 = m .
2
h/ y = - 2x - 2x .
j/ y =
1 2
x + 2 x +1 .
2
Bài 11.
(
)
c/ ( x + 2) x - 1 - m = 0 .
2
d/ x - 2 x - 3 - m = 0.
2
e/ x x - 3 - 4 - m = 0 .
f/
(
)
g/ ( x + 1) 1- x - 2m = 0 .
Bài 12.
‘
x2 + 3x - x - 2 - m3 + 5 = 0.
2
h/ 2x - 3 x + 1 - m = 0 .
Tìm GTNN của hàm số: y = x 2 − 3 x + 2 + 2 x − 1
Tìm m để các hàm số:
Bài 13.
1. y = x 2 + (m − 5) x + 4 có GTNN lớn hơn 1
2
2. y = x − x − 2 + 2mx + 3 có GTNN lớn hơn -1
2
3. y = x − 5 x + 4 + mx − 1 có GTNN lớn hơn 2
ĐS −1 < m <
2 2 +1
2
ĐS 3 < m < 7
2
4. y = x − 2 x + m + 1 có GTLN trên đoạn [ −1; 2] đạt giá trị nhỏ nhất.
2
5. y = −2 x + x + m có GTLN trên đoạn [ −1;1] đạt giá trị nhỏ nhất.
2
6. y = ( x − 2) + 2 x − m ≥ 3 với mọi x x ∈ ℜ
Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt
Bài 14.
2
2
a/ ( m - x - x - 1) ( m - x + x) = 0,
k = 4.
2
2
b/ ( x - 2x - m) ( x + 4x + 2 - m) = 0,
k = 4.
4
3
2
2
c/ x - 2x - ( 2m - 1) x + 2( m + 1) x + m + m = 0, k = 4 .
Định các tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm
Bài 15.
)
b/ 2 x + m - 1 = x - m + 3 .
mx2
- m x = 2m + 1.
c/
x- 1
d/
e/
g/
Bài 16.
(
a/ x - 1 + 2x - 3 = m .
3x - m
x +1
+ x +1 =
2x + 5m + 3
x +1
.
f/
( 2m + 1) x + 3 ( 2m + 3) x + m -
a- x x- 1
2a
= 2
,( x ³ 0) .
a- 1 a +1 a - 1
2mx - 1
x- 1
- 2 x- 1=
2
=
.
h/
4 - x2
4 - x2
x2 + x + 2m
x x +1= m x +1.
x +1
x+m x+3
x- m
x- 1
i/
.
j/
=
+
= 2.
x- 1
x- 2
x- 1 x- m
x
x
( m + 1) x + m - 2 = m.
=
k/
l/
.
x+m
x +1
x+3
Định m để phương trình có nghiệm x , x thỏa:
1
2
2
2
a/ x - 2x - m - 2m = 0
x1 < 2 < x2 .
2
2
b/ 2x - ( m + 3) x - m + 3m - 2 = 0
x1 < x2 < 0 .
2
2
c/ 2x + ( m - 6) x - m - 3m = 0
(
1 £ x1 £ x2 .
)
2
2
d/ mx + 2m - m - 1 x - 2m + 1 = 0
(
x1 £ x2 £ 5.
)
2
2
2
e/ ( m - 1) x + m - m + 1 x + m - m = 0
f/
(m 2
)
(
)
2m x2 + 2 m2 - m - 1 x + m2 - 1 = 0
4 < x1 £ x2 .
x1 £ - 2 £ x2 .
Định m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thỏa đẳng thức theo sau
Bài 17.
2
a/ x + mx + 7 = 0
2
b/ x - 2x + m + 2 = 0
2
c/ x + ( m - 1) x + m + 6 = 0
x12 + x22 = 10 .
x2 - x1 = 2.
x12 + x22 = 10 .
2
d/ ( m + 1) x - 2( m - 1) x + m - 2 = 0
4( x1 + x2 ) = 7x1x2 .
2
e/ x - 4x + m + 3 = 0
x1 - x2 = 2 .
2
f/ x - ( m + 3) x + 2( m + 2) = 0
x1 = 2x2 .
2
g/ x - ( m + 5) x - m + 6 = 0
2x1 + 3x2 = 13.
2
h/ 4x - ( m + 3) x - 24 = 0
x1 + 2x2 = - 1.
2
i/ x - 2mx + 3m - 2 = 0
2x1 - 3x2 = 1.
2
2
j/ x - 2( m + 1) x + m - 2m + 4 = 0
x1 = 2x2 .
m+1
x- 1
.
Tìm tham số m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
Bài 18.
a/ x3 - 3x2 + 2 = mx + m - 2.
3
2
b/ x - ( 2m + 1) x + mx + m = 0.
3
2
c/ x - 2( m + 1) x + ( 7m - 2) x + 4 - 6m = 0 .
d/
mx3 - ( m - 4) x2 + ( 4 + m) x - m = 0.
3
2
2
e/ x + ( 1- m) x - 3mx + 2m = 0.
(
f/
)
x3 - 2mx2 + 4 - 3m2 x + 4m = 0 .
Bài 19.
Cho phương trình: x4 + 1 + 2m x2 + m2 - 1 = 0
(
)
( *)
a/ Tìm tham số m để phương trình ( *) vô nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có 2 nghiệm phân biệt
( )
Cho phương trình: mx - 2 m + 1 x + m - 2 = 0
(
)
( *)
a/ Tìm tham số m để phương trình ( *) vô nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có nghiệm duy nhất.
c/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt.
d/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ba nghiệm phân biệt.
e/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có bốn nghiệm phân biệt.
c/ Tìm tham số m để phương trình * có bốn nghiệm phân biệt.
4
Bài 20.
Cho phương trình:
Bài 21.
( x + 2)
2
4
+ x4 = 82 - m
( *)
a/ Tìm tham số m để phương trình ( *) vô nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có nghiệm duy nhất.
c/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt.
d/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ba nghiệm phân biệt.
Bài 22.
e/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có bốn nghiệm phân biệt.
Cho phương trình: x x + 1 x + 2 x + 3 + 1- m = 0 *
(
a/
b/
c/
d/
Bài 23.
)(
)(
Tìm tham số m để phương trình ( *)
Tìm tham số m để phương trình ( *)
Tìm tham số m để phương trình ( *)
Tìm tham số m để phương trình ( *)
Tìm tham số m để phương trình ( *)
)
( )
vô nghiệm.
có nghiệm duy nhất.
có hai nghiệm phân biệt.
có ba nghiệm phân biệt.
e/
có bốn nghiệm phân biệt.
Cho phương trình: x3 - 2mx2 + 2mx - 1 = 0
( *)
a/ Tìm tham số m để phương trình ( *) vô nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có nghiệm duy nhất.
c/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có hai nghiệm.
d/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ba nghiệm phân biệt.
Bài 24.
Bài 25.
e/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ít nhất hai nghiệm.
Tìm tham số m để phương trình 3
có ba nghiệm phân biệt
x + 3mx2 - 3x - 3m + 2 = 0
x1, x2, x3 sao cho biểu thức P = x12 + x22 + x23 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình: x2 + 2mx - 3m2 x2 - 1 = 0
*
(
)(
)
( )
a/ Tìm tham số m để phương trình ( *) chỉ có đúng hai nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ba nghiệm phân biệt.
c/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
4
2
2
Cho PT : x − 3 x + 2(m − 1) x − m + 2m = 0 Tìm m để PT có 4 nghiệm Thoả mãn :
Bài 26.
p = x1 x2 x3 x4 lớn nhất
Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm
Bài 27.
1
ĐS: − < m < 1
3
ĐS: 4
1. x 4 − (3m − 2) x 2 + 3m + 1 = 0; sao cho x < 2
4
2
4
4
4
4
2. x − 2(m − 1) x + 2m + 1 = 0; x1 + x2 + x3 + x4 < 84
3. x(x-2)(x+2)(x+4)=m
4. x 4 − 4 x 3 + 8 x = m
2
2
5. 2 x − 5 x + 4 = x − 5 x + m
2
2
6. 2 x − (3m + 2) x − 12 4 x − (9m − 2) x + 36 = 0
2
7. ( x − 1) = 2 x − m
ĐS: 1/2
8. ( x + 1) = 2 x + m
Giải các phương trình sau
2
ĐS: ½
Bài 28.
2
a/ x - 3 x + 2 = 0 .
2
b/ x - 2x + x - 1 - 1 = 0.
2
c/ x - 2x - 5 x - 1 - 5 = 0 .
2
d/ 4x - 4x - 2x - 1 - 1 = 0 .
e/ 1- 2x - x + 1 = x + 2 .
f/ x - 2 + x - 3 = 4.
g/ x + 3 + 7 - x = 10 .
2
h/ 2x - 5 + 2x - 7x + 5 = 0 .
Giải các phương trình sau
Bài 29.
a/ x - 1 + 2x + 1 = 3x .
b/ x - 1 + x + 2 + x - 3 = 14 .
c/ x - 1 - x + 2x + 3 = 2x + 4 .
d/ 2x - 3 =
e/
3
= x+3.
x- 4 - 1
f/
1
.
x
3x
x- 2
=
.
x
x- 1
Giải các phương trình sau (đưa về tích)
Bài 30.
Ngoài cách đưa về tích thông thường, ta còn sử dụng một số hằng đẳng thức sau
( 1) u + v = 1+ uv Û ( u - 1) ( v - 1) = 0
( 2)
au + bv = ab + vu Û ( u - b) ( v - a) = 0
x2
a/
3x - 2
-
3x - 2 = 1- x .
b/
x + x +1-
x2 + x = x .
c/
x2 + 10x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 - 6.
d/
x2 - x - 2 - 2 x - 2 + 2 = x + 1 .
e/
x2 - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x2 + 2x - 3 .
f/
x ( x - 1) + x ( x + 2) = 2 x2 .
g/
x2 - 8x + 15 + x2 + 2x - 15 = x2 - 9x + 18 . h/
i/
k/
3
x + 1 + 3 x + 2 = 1+ 3 x2 + 3x + 2 .
j/
x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3 . l/
2x2 + 8x + 6 + x2 - 1 = 2x + 2 .
x + 1 + 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x . Chia x.
4x
x+3+
= 4 x chia x + 3 .
x+3
3
Giải các phương trình sau
Bài 31.
a/
3
c/
3
3
x + 34 3
1 + x + 1-
x - 3 = 1.
3
x = 2 24 + x -
3
5 + x = 1.
b/
3
2 + x + x2 + 3 2 - x - x2 = 3 4 .
d/
4
18 - x + 4 x - 1 = 3 .
e/ 2x + 4 x - 1 = 0 .
f/ x + 2 x - 1 = 0.
g/ - 5x + 2 x + 3 = 0 .
h/
i/ 6x + 3 - 3 2 2x + 1 - 5 = 0 .
j/ 25x - 5 + 5 1- 5x - 3 = 0.
2 x - 1 - 3 - x + 1 = 0.
Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ)
Bài 32.
x = 1.
3x - 1
x
=
+ 1.
x
3x - 1
d/ 3 2 - x = 1- x - 1 .
x = 1.
f/
a/ x2 + x2 + 11 = 31.
c/
3
x+7-
e/
x +3-
3
b/ 2
g/ 2( 1- x) x2 + 2x - 1 = x2 - 2x - 1.
( x + 4) ( x + 1) = 3
3x2 + 5x + 8 -
k/
3x2 + 6x + 16 + x2 + 2x = 2 x2 + 2x + 4 .
3
3x2 + 5x + 1 = 1.
2x
1
1
+3 +
= 2.
x +1
2 2x
o/ ( x - 3) ( x + 1) + 4( x - 3)
( x - 1) ( x + 2) + 2( x - 1)
h/
j/
x2 - 3x + 3 + x2 - 3x + 6 = 3.
2
l/ 1 +
x - x2 = x + 1- x .
3
n/
x +1
= - 3.
x- 3
p/
r/ x + 17 - x2 + x 17 - x2 = 9 .
x - 1 + x + 3 + 2 ( x - 1)( x + 3) = 4 - 2x . t/
x + 4 + x - 4 = 2x - 12 + 2 x2 - 16 .
u/
3+ x
1 1 4 2
.
=
+
+
3x
9 x 9 x2
x +2
= 8.
x- 1
q/ x + 4 - x2 = 2 + 3x 4 - x2 .
s/
x2 + 3x .
x2 + 5x + 6 + 4 .
i/
m/
( x + 5) ( 2 - x) = 3
2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x2 + 5x + 3 - 16.
3x - 2 + x - 1 = 4x - 9 + 2 3x2 - 5x + 2 .
v/
Giải phương trình (nhân lượng liên hiệp)
Bài 33.
4x + 1 -
a/
c/
1
1-
x+3
.
5
3x - 2 =
=
1 + 1- x
5
x2 + 1 - x =
.
2 x2 + 1
e/
1- x
1
-
x + x2 + x
1
-
1
x + x +1 =
4
2
x+ x +x
-
x
x2 + 16
3x - 2
k/ 2x + 4 - 2 2 - x =
.
3
Giải các phương trình sau (bình phương hai vế)
3x
j/
l/
3x + 10
(
=
3
.
x
=
3
.
x
.
1
x-
2
x +x
)
h/ 2x2 = ( x + 9) 2 -
.
x2 + x
x-
(
2
3 + 2x .
40
4
d/
)
g/ 4( x + 1) = ( 2x + 10) 12
i/ x + x + 16 =
3
.
x
f/
(
2
b/
2
9 + 2x .
= 3x + 1 - 1.
)(
1+ x - 1
)
1- x + 1 = 2x .
Bài 34.
a/
x-
b/
2x2 - 1 + x2 - 3x - 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 - x + 2 .
c/
x2 + 2 + x2 + 7 = x2 + x + 3 + x2 + x + 8 .
x +1-
x + 4 + x + 9 = 0.
d/ 3x2 - 7x + 3 - x2 - 2 = 3x2 - 5x - 1 Giải các phương trình sau (không mẫu mực)
Bài 35.
a/ 4x - 1 + 4x2 - 1 = 1.
b/
x2 - 3x + 4 .
x - 2 + 4 - x = x2 - 6x + 11.
c/ x + x + 1 + x + 1 = 2 .
2
4
d/
e/
f/
x - 1 - 3 + x = 2( x - 3) + 2( x - 1) .
g/ x - 2 x - 1 - ( x - 1) x + x2 - x = 0 . h/
x2 + 2x + 2x - 1 = 3x2 + 4x + 1 .
3
x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.
3
2 - x = 1-
x - 1.
2
é
3
3ù
1+ 1- x2 ê ( 1+ x) - ( 1- x) ú= 2 + 1- x2 . j/ x + 1- x - 2 x ( 1- x) + 1 = 24 x ( 1- x) .
ê
ú
ë
û
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2
.
x + 3x + 13 x + 2 - 36 = 0
Bài 36.
Định m để
có nghiệm duy nhất.
x + 1- x + 2m x ( 1- x) - 24 x ( 1- x) = m3
Bài 37.
Định tham số m để các phương trình sau có nghiệm
Bài 38.
i/
( 7 - x) ( x + 2) = m .
( 1+ x) ( 8 - x) = m.
( x - 1) ( 3 - x) = m .
a/
7- x + 2+ x -
b/
1+ x + 8 - x +
c/
x - 1 + 3- x -
d/
5 - x + x - 1 + - x2 + 6x - 5 = m .
e/
3
( 2 - x)
2
2
+ 3 ( 7 + x) -
3
( 7 + x) ( 2 - x) = m .
Cao đẳng Hải Quan Tp. Hồ Chí Minh năm 1999
Bài 39.
Cho phương trình:
( *) .
x+4 x- 4 +x+ x- 4 = m
1/ Giải phương trình ( *) khi m = 6 .
2/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có nghiệm.
2/ m ³ 6. Áp dụng phương pháp hàm số.
ĐS: 1/ x = 4 .
Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001
Bài 40.
Giải phương trình: x2 + x + 7 = 7 .
Cao đẳng Sư Phạm Thể Dục TWII năm 2002
Bài 41.
Cho phương trình: x2 -
( *) .
4 - x2 + m = 0
1/ Giải phương trình ( *) khi m = 2.
2/ Định m để phương trình ( *) có nghiệm.
Cao đẳng Xây dựng số 3 năm 2002
Bài 42.
Giải phương trình: 3 x + 3 = 1 + x .
Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002
Bài 43.
Giải phương trình:
x + 2 + 5- x +
( x + 2) ( 5 - x) = 4.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2004
Bài 44.
Giải phương trình:
x +2 x- 1 +
( x - 2)
x- 1 =
x+3
.
2
Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005
Bài 45.
Giải phương trình: x2 - 4x + 5 + x2 - 4x + 8 = 4x - x2 - 1.
Cao đẳng Sư Phạm Quảng Nam năm 2005
Bài 46.
Giải phương trình: ( x + 2) x2 + 3 = x2 + 2x + 3.
Cao đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm 2005
Bài 47.
Giải phương trình: ( x - 3) x2 - 5x + 4 = 2x - 6 .
Đại học khối D năm 2005
Bài 48.
Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 Dự bị 2 khối D Đại học năm 2002
x + 1 = 4.
Bài 49.
Giải phương trình: x + 4 + x - 4 = 2x - 12 + 2 x2 - 16 .
Dự bị 1 Đại học khối D năm 2004
Bài 50.
æ 2 5ö
2
÷
m - ÷
x2 + 4 + 2 - m3 = 0 . Chứng minh rằng với mọi
ç
Cho phương trình: x + ç
÷
ç
÷
3ø
è
m ³ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Cao đẳng Truyền Hình Tp. Hồ Chí Minh năm 2007
Bài 51.
Giải phương trình:
7 - x2 + x x + 5 = 3 - 2x - x2 .
ĐS: x = - 1.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001
Bài 52.
Xác định tham số m để phương trình: x2 - 6x + m +
( x - 5) ( 1- x) = 0 có nghiệm.
Đại học Dược Hà Nội năm 1999 – 2000
Bài 53.
Giải phương trình: ( x + 3) 10 - x2 = x2 - x - 12.
ĐS: x = - 3.
Đại học Y Dược Tp. HCM hệ trung cấp năm 1999 – 2000
Bài 54.
Giải phương trình:
2
x - 1 - 3 + x = 2( x - 3) + 2( x - 1) .
ĐS: x = 5. Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki.
Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1999 – 2000
Bài 55.
Giải phương trình: 3x - 2 + x - 1 = 4x - 9 + 2 3x2 - 5x + 2 .
ĐS: x = 2 . (Có thể giải theo phương pháp hàm số).
Đại học Nông Nghiệp I năm 1999 – 2000
Bài 56.
Giải phương trình: x2 - 2x + 5 + x - 1 = 2 .
ĐS: x = 1. VT ³ 2 nên dấu " = " xảy ra khi x = 1.
Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001
Bài 57.
(
)
Giải phương trình: 3 2 + x - 2 = 2x + x + 6 .
Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001
Bài 58.
Giải phương trình: x + 4 - x2 = 2 + 3x 4 - x2 .
Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 2001
Bài 59.
x+3
.
5
Đại học Ngân Hàng khối D – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D năm 2001
Giải phương trình:
4x + 1 -
3x - 2 =
Bài 60.
Giải phương trình: 4x - 1 + 4x2 - 1 = 1.
Học Viện Ngân Hàng khối A – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 2001
Bài 61.
Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = ( x + 3) x2 + 1 .
Đại học Bách Khoa Hà Nội khối A, D năm 2001
Bài 62.
Giải phương trình: 2x2 + 8x + 6 + x2 - 1 = 2x + 2 .
Đại học Thủy Sản Hà Nội năm 2001
Bài 63.
Giải phương trình:
x + 2 + 2 x + 1 + x + 2- 2 x + 1 =
Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1998 – 1999
Bài 64.
Giải và biện luận phương trình:
x + 1 + 1- x = m .
x+5
.
2
ìï
1
ïï 2 £ m £ 2
¾¾® x = ±
4m2 - m4
2
ĐS: í
ïï
m
<
2
Ú
m
>
2
¾¾®
VN
ïïî
Đại học Huế khối A, V năm 1998 – 1999
Bài 65.
Giải phương trình: x2 - 1 = x + 1 .
ĐS: x = - 1 Ú x = 1 + 5 .
2
Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 – 1999
Bài 66.
Cho phương trình 1+ x + 8 - x =
( 1+ x) ( 1- 8) = m ( *) .
1/ Giải phương trình ( *) khi m = 3 .
2/ Tìm tham số m để phương trình ( *) có nghiệm.
ĐS: 1/ x = - 1 Ú x = 8
2/ 3 £ m £
9
+ 3 2.
2
Đại học Thương Mại năm 1998 – 1999
Bài 67.
Giải phương trình: x2 - 3x + 3 + x2 - 3x + 6 = 3 .
ĐS: x = 1 Ú x = 2 .
Đại học Ngoại Thương năm 1998 – 1999
Bài 68.
Với giá trị nào của m thì phương trình: 3 1- x + 3 1 + x = m .
ĐS: 0 < m £ 2.
Đại học Dân lập Tôn Đức Thắng năm 1998 – 1999
Bài 69.
Giải phương trình:
x2 + x + 7 + x2 + x + 2 = 3x2 + 3x + 19 .
ĐS: x = - 2 Ú x = 1. Đặt t = x2 + x + 2 .
Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1998 – 1999
Bài 70.
Giải và biện luận phương trình: x - a + x + a = a (với a là tham số).
Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A đợt 2 năm 1997 – 1998
Bài 71.
Với giá trị nào của m thì phương trình
3 + x + 6- x -
( 3 + x) ( 6 - x) = m có
nghiệm ?
ĐS: 6 2 - 9 £ m £ 3 . Dùng phương pháp hàm số.
2
Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998
Bài 72.
Giải phương trình: x2 + 15 = 3x - 2 + x2 + 8 .
ĐS: x = 1. Phương pháp hàm số.
Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998
Bài 73.
Cho phương trình:
x + 9 - x = - x2 + 9x + m
1/ Giải phương trình ( *) khi m = 9 .
2/ Xác định tham số m để phương trình ( *) có nghiệm.
( *) .
9
ĐS: 1/ x = 0 Ú x = 9 Ú x = 9 ± 65
2/ £ m £ 10 .
2
4
Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1991 – 1992
Bài 74.
x +1
=m
x- 3
Cho phương trình: ( x - 3) ( x + 1) + 4( x - 3)
( *)
1/ Giải phương trình m = - 3 .
2/ Với giá trị nào của m thì phương trình ( *) có nghiệm ?
x +1
, 1/ x = 1x- 3
Đại học khối D năm 2005
ĐS: t = ( x - 3)
5 Ú x = 1-
33
2/ m ³ - 4 .
Bài 75.
Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 ĐS: x = 3.
Đại học khối B năm 2006
x + 1 = 4.
Bài 76.
Tìm tham số m để phương trình:
x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
9
.
2
Đại học khối D năm 2006
ĐS: m ³
Bài 77.
Giải phương trình:
2x - 1 + x2 - 3x + 1 = 0.
ĐS: x = 1; x = 2 -
2.
Dự bị 2 Đại học khối D năm 2006
Bài 78.
Giải phương trình: x + 2 7 - x = 2 x - 1 + - x2 + 8x - 7 + 1.
ĐS: x = 5, x = 4 . Đưa về PT tích
(
)(
x - 1- 2
x - 1-
)
7 - x = 0.
Đại học khối A năm 2007
Bài 79.
Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x - 1 + m x + 1 = 24 x2 - 1 .
1
x- 1
. Đặt t = 4
, 0 £ t < 1. PT ⇔ - 3t2 + 2t = m . Dùng PP hàm số.
3
x +1
Đại học khối B năm 2007
ĐS: - 1 < m £
Bài 80.
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt: x2 + 2x - 8 = m( x - 2) .
ìï x ³ 2
ïí
Û
ĐS: PT
. Dùng phương pháp hàm số.
ïï ( x - 2) x3 + 6x2 - 32 - m = 0
ïî
Dự bị 1 Đại học khối D năm 2007
(
)
Bài 81.
Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:
x - 3- 2 x - 4 + x - 6 x - 4 + 5 = m.
ĐS: 2 < m £ 4. Đặt t = x - 4 ³ 0 .
ai hoc khụi A nm 2009
Bai 82.
Giai phng trinh: 23 3x - 2 + 3 6 - 5x - 8 = 0 .
S: x = - 2.
ai hoc khụi B nm 2010
Bai 83.
Giai phng trinh: 3x + 1 - 6 - x + 3x2 - 14x - 8 = 0.
S: x = 5.
Toan Hoc Tuụi Tre Thang 3 nm 2005
Bai 84.
ổ
Giai phng trinh: x = 2004 + x ỗ
1ỗ
ố
(
)
1-
2
ử
ữ
xữ
ữ.
ứ
S: x = 0ơắắ t y = 1- x .
Toan Hoc Tuụi Tre Thang 9 nm 2007
Bai 85.
Giai phng trinh:
x - x2 - 1 + x + x2 - 1 = 2.
Tuyờn chon hoc sinh gioi tinh Quang Binh 21/12/2004
Bai 86.
Giai phng trinh: 2x2 - 6x - 1 = 4x + 5 .
Tuyờn sinh vao lp 10 chuyờn Toan ai hoc S Pham Ha Nụi I nm 1997 1998
Bai 87.
Giai phng trinh:
x + 1 + 2( x + 1) = x - 1+ 1- x + 3 1- x2 .
HD: a phng trinh vờ hờ co mụt phng trinh tich sụ:
u + 2u2 = - v2 + v + 3uv u - v + v2 - 3uv + 2v2 = 0
u - v + ( v - u) ( v - 2u) = 0 .
Giai va biờn luõn cac hờ phng trinh sau
Bai 88.
Bai 89.
Bai 90.
ỡù mx + ( m - 2) y = 5
ỡù mx + (m - 1)y = m + 1
ù
ù
a/ ớ
b/ ớ
ùù ( m + 2) x + ( m + 1) y = 2
ùù 2x + my = 2
ợ
ùợ
ỡù ( m - 1) x + 2y = 3m - 1
ỡù ( m + 4) x - ( m + 2) y = 4
ù
ù
c/ ớ
d/ ớ
ùù ( m + 2) x - y = 1- m
ùù ( 2m - 1) x + ( m - 4) y = m
ùợ
ùợ
ỡù ( m + 1) x - 2y = m - 1
ỡù mx + 2y = m + 1
ù
ù
e/ ớ 2
f/ ớ
ùù m x - y = m2 + 2m
ùù 2x + my = 2m + 5
ợ
ùợ
inh tham sụ m ờ cac hờ phng trinh sau co nghiờm x, y sao cho biờu thc
(
)
P = x2 + y2
co gia tri nho nhõt
ỡù 2x + y = 5
ỡù x - 2y = 4 - m
ù
ù
a/ ớ
b/ ớ
ùù 2y - x = m
ùù 2x + y = 3m + 3
ợ
ợ
inh tham sụ m nguyờn m ẻ Â ờ cac hờ sau co nghiờm nguyờn
(
)
ỡù 2mx + 3y = m
ù
a/ ớ
ùù x + y = m + 1
ợ
ỡù mx + y = 3
ù
b/ ớ
ùù x + my = 2m + 1
ợ
Bài 91.
ìï mx + y = 2m
ï
c/ í
ïï x + my = m + 1
î
ìï mx - y = 1
ï
e/ í
ïï x + 4( m + 1) y = 4m
ïî
ìï mx - 2y = m - 2
ï
g/ ïí
2
ïï ( m - 1) x - y = m2 - 1
ïî
Định tham số m để hệ sau có nghiệm
ìï mx + 2y = m
ï
d/ í
ïï ( m - 1) x + ( m - 1) y = 1
ïî
ìï mx + 2y + 3 = 0
ï
f/ í
ïï 3mx + y - 4m = 0
î
ìï ( m + 1) x + ( 3m + 1) y = 2 - m
ï
h/ í
ïï 2x + ( m + 2) y - 4 = 0
ïî
ìï x2 + y2 = m
ï
a/ í
ïï xy = 1
ïî
ïìï x + y = 1
c/ í 3
ïï x + y3 = 1- 3m
ïî
ìï x2 + y2 - 2x - 2y = 11
ï
e/ í
ïï xy( x - 2) ( y - 2) = m
ïî
Định tham số m để hệ có nghiệm duy nhất
ìï x2 + y2 = m
ï
b/ í
ïï x + y = 2
ïî
ìï x + y = 1
ï
d/ ïí
ïï x x + y y = 1- 3m
ïî
ìï xy ( x + 4) ( y + 4) = m
f/ ïí 2
ïï x + y2 + 4( x + y) = 5
ïî
Bài 92.
ìï x y
ìï x + y + xy = 3
ïï + = m
ï
a/ í y x
b/ í 2
ïï x + y2 = m
ïï
x
+
y
=
1
ïî
ïïî
ìï
ïï x + y + 1 + 1 = 2m - 4
ìï x + y + 2 = 2( x + 1) ( y + 1)
ï
x y
ï
c/ ïí
d/ í
ïï x + y + xy = m
ïï 2
1
1
2
ïî
ïï x + y + 2 + 2 = m
x
y
ïî
ìï x + xy + y = m
ïìï x2 + xy + y2 = m + 6
ï
e/ í
f/ í 2
ïï 2x + xy + 2y = m
ïï x y + y2x = m - 1
ïî
ïî
ìï xy + x2 = m( y - 1)
ìï x + xy + y = m
ï
ï
g/ í
h/ í 2
2
ïï x + y2 + xy = 1- 2m
ïï xy + y = m( x - 1)
ïî
ïî
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ đối xứng loại 2
Bài 93.
Bài 94.
Bài 95.
a/
2 - x = 2 - x2 .
b/
c/
x3 - 4 = 3 x2 + 4 .
d/ x3 + 2 = 33 3x - 2 .
e/
5-
5+ x = x .
4-
4+ x = x.
f/ x3 + 1 = 23 2x - 1 .
g/ x2 - 2x = 2 2x - 1
h/ x3 = 43 4x - 3 - 3 .
ì
Cho hệ phương trình ïï x + y + xy = m
í 2
( *)
ïï x y + y2x = 3m - 8
ïî
7
a/ Giải hệ ( *) khi m = .
2
b/ Tìm m để hệ ( *) có nghiệm.
ì
Tìm tham số m để hệ phương trình ïï x + xy + y = m
có đúng hai nghiệm.
í 2
ïï x + y2 + xy = 1- 2m
ïî
Bai 96.
ỡ
Cho hờ phng trinh ùù x + my - m = 0 *
ớ 2
( )
ùù x + y2 - x = 0
ùợ
a/ Tim tham sụ m ờ hờ phng trinh ( *) co hai nghiờm phõn biờt.
b/ Gi ( x1;y1) ,( x2;y2 ) la cac nghiờm cua hờ. Chng minh: ( x2 - x1) + ( y2 - y1) Ê 1.
2
Bai 97.
2
ỡù 2
Cho hờ phng trinh ùù x + y = 2( 1 + m)
ớ
( *)
ùù ( x + y) 2 = 4
ùợ
a/ Chng minh rng nờu ( xo, yo ) la mụt nghiờm cua hờ phng trinh ( *) thi ( - xo, - yo )
cung
la nghiờm. T o tim iờu kiờn cõn cua m ờ hờ phng trinh ( *) co nghiờm duy nhõt.
b/ Th li cac gia tri cua m tim cõu a ờ co kờt luõn cuụi cung.
ai hoc S Pham Vinh nm 1999 2000
Bai 98.
ỡù x3 = y2 + 7x2 - mx
ù
Tim tham sụ m ờ hờ ớ 3
co nghiờm duy nhõt.
ùù y = x2 + 7y2 - my
ùợ
m
>
16
S:
.
D bi 1 ai hoc khụi A nm 2006
Bai 99.
ỡù x2 + 1 + y ( y + x) = 4y
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ 2
ùù x + 1 ( y + x - 2) = y
ùợ
S:
(
S = {( 1;2) ,( - 2;5) } .
)
D bi 2 ai hoc khụi D nm 2007
Bai 100.
ỡù 2x - y - m = 0
ù
Tim m ờ hờ phng trinh sau co nghiờm duy nhõt: ớ
ùù x + xy = 1
ùợ
ỡù x Ê 1
ù
S: m > 2. PT ớ 2
. Dung tam thc bõc hai.
ùù x + ( 2 - m) x - 1 = 0
ùợ
ai hoc khụi A nm 2008
Bai 101.
ỡù 2
ùù x + y + x3y + xy2 + xy = - 5
4
Giai hờ phng trinh: ùớ
ùù 4
5
2
ùù x + y + xy ( 1 + 2x) = 4
ùợ
ùỡ ổ
ùỹ
ổ 3ử
5
25ử
ữ
ỗ
ữ
ù
ùý. t
ỗ
ữ
3 ;- 3
ỗ
ữ
S
=
,
1
;
ỗ
ữ
S:
ớỗ
u = x2 + y; v = xy .
ữ
ỗ
ữ
ỗ 4
ố
ứ
ùù ố
ù
ứ
16
2ù
ùợ
ùỵ
ai hoc khụi B nm 2008
Bai 102.
ỡù x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9
ù
Giai hờ phng trinh: ớ 2
ùù x + 2xy = 6x + 6
ùợ
ỡù ổ 17ửỹ
ùù
3
ữ
- 4; ữ
ỗ
S: S = ùớ ỗ
ý. HPT ị x ( x + 4) = 0 ị x = - 4 ( x ạ 0) .
ữ
ỗ
ùù ố
4 ứùùỵ
ợ
ai hoc khụi D nm 2008
Bai 103.
2
ỡù xy + x + y = x2 - 2y2
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ
ùù x 2y - y x - 1 = 2x - 2y
ùợ
ỡù ( x + y) ( x - 2y - 1) = 0
ù
S: S = ( 5;2) . HPT ùớ
. Lu y rng: x + y > 0.
ùù x 2y - y x - 1 = 2x - 2y
ùợ
ai hoc khụi B nm 2009
{
Bai 104.
Bai 105.
}
ỡù xy + x + 1 = 7y
ù
Giai hờ phng trinh: ớ 2 2
ùù x y + xy + 1 = 13y2
ùợ
ùỡ ổ 1ử
ùỹ
ữ
ùý . t u = x + 1 , v = x .
ữ
1
;
,
3;1
ỗ
S: S = ùớ ỗ
(
)
ữ
ỗ
ố
ứ
ùù 3
ùù
y
y
ợ
ỵ
ai hoc khụi D nm 2009
ỡù x ( x + y + 1) - 3 = 0
ùù
Giai hờ phng trinh: ớ
2
ùù ( x + y) - 5 + 1 = 0
ùùợ
x2
ỡù
ùù x + y + 1- 3 = 0
ỡù
ỹ
ổ
ử
ù
3
1
ùý . HPT ùớ
x
ữ
2;- ữ
ỗ
S: S = ùớ ( 1;1) ,ỗ
.
t
.
u
=
x
+
y;
v
=
ữ
ỗ
2
ố 2ứùù
5
ùù
ùù
x
ợ
ỵ
ùù ( x + y) - 2 + 1 = 0
x
ùợ
ai hoc khụi A nm 2010
Bai 106.
ỡù 4x2 + 1 x + y - 3 5 - 2y = 0
(
)
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ 2
2
ùù 4x + y + 2 3 - 4x = 7
ùợ
(
)
2
ỡù ổ
ỹ
ùù
1 ử
ổ
ử
ữ
5
2
2ữ
ữ
ỗ
;2
ỗ
S: S = ùớ ỗ
.
. Dung PP ham sụ.
ý
- 2x ữ
ữ
ữ + 2 3 - 4x - 7 = 0
ố ứ
ùù ỗ
ùù HPT ị 4x + ỗ
ỗ
ố2
ứ
ợ 2 ỵ
ai hoc khụi A nm 2011
Bai 107.
ỡù 5x2y - 4xy2 + 3y3 - 2(x + y) = 0
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ
2
ùù xy x2 + y2 + 2 = ( x + y)
ùợ
(
)
ổ2 2
ửùỹ
ùỡù
2ữ
ù
ỗ
ữ
,
ữ
S: S = ớ ( 1;1) ,( - 1;- 1) ,ỗ
ý.
ỗ
ữ
ùù
ùù
ỗ
ữ
ỗ
5
5
ố
ứ
ù
ợù
ỵ
Tap chi Toan hoc va tuụi tre sụ 379 thang 1 nm 2009
Bai 108.
ỡù x2 ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x2 - 4x + 1
ù
Giai hờ phng trinh: ớ
ùù xy + x + 1 = x2
ùợ
ỡù
ổ
ửỹ
ùù
5ữ
ữ
2;
ỗ
S: S = ùớ ( 1;- 1) ,ỗ
ý . Chia hai vờ cua ( 2) cho x, thay vao ( 1) .
ữ
ỗ
ữ
ùù
ùù
2
ố
ứ
ợ
ỵ
Tap chi Toan hoc va tuụi tre sụ 379 thang 1 nm 2009
Bai 109.
ỡù xy + x + y = x2 - 2y2
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ
ùù x 2y - y x - 1 = 2x - 2y
ùợ
{
}
S: S = ( 5;2) . T PT
( 1)
x2 - xy - 2y2 - ( x + y) = 0 ( x + y) ( x - 2y - 1) = 0 .
Tap chi Toan hoc va tuụi tre sụ 379 thang 1 nm 2009
Bai 110.
ỡù y2 = ( 5x + 4) ( 4 - x)
( 1)
ù
Giai hờ phng trinh: ớ 2
.
2
ùù y - 5x - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0 ( 2)
ùợ
ỡù ổ 4 ử
ỹ
ùù
2
2
ữ
ữ
;0
,
0;4
ỗ
S: S = ùớ ỗ
(
)
ý. PT ( 2) y - ( 4x + 8) y - 5x + 16x + 16 = 0. Xem nh
ữ
ỗ
ùù ố 5 ữ
ù
ứ
ùỵ
ợ
phng trinh bõc hai vi õn y.
Tap chi Toan hoc va tuụi tre sụ 379 thang 1 nm 2009
Bai 111.
ỡù x2 + 1 + y ( y + x) = 4y
ù
Giai hờ phng trinh: ùớ 2
.
ùù x + 1 ( y + x - 2) = y
ùợ
(
)
x2 + 1
, v = y + x - 2.
y
Tap chi Toan hoc va Tuụi tre sụ 379 thang 1 nm 2009
{
}
S: S = ( 1;2) ,( - 2;5) . Chia hai vờ cho y, t u =
Bai 112.
ỡù
3
ùù 4xy + 4 x2 + y2 +
=7
2
ùù
( x + y)
Giai hờ phng trinh: ùớ
ùù
ùù 2x + 1 = 3
ùùợ
x+y
1
u 2 , v = x- y.
S: S = ( 0;1) . Biờn ụi va t u = x + y +
x+y
(
{
)
}
(
)
Bi 109.Tìm m để hệ PT sau có nghiệm duy nhất:
1+ x + y + 2 = m
a.
x + y = 3m
xy + x + y = m + 2
b.
2
2
x y + x. y = m + 1
1+ x + 6 y = m
c.
6 x + 1 + y = m
Bài 110: Cho a,b,c >0; a+b+c 3 . CMR:
1. a+b+c ab + bc + ca
2. a + b + c ab + bc + ca
Bài 111: Cho a,b,c >0 thoả mãn: ab+bc+ca = abc CMR:
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
3
ab
bc
ca
Bài 112. Cho a,b,c>0 CMR:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b
1 1 1
1
1
1
2. + + 2(
+
+
)
a b c
a+b b+c c+a
1.
Bi 113. Cho a,b,c >0; ab+bc+ca=abc. CMR
1
1
1
3
+
+
<
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16
bc
ca
ab
1
+
+
a + bc
b + ca
c + ab 2
bc
ca
ab
+
+
1
Bi 115. Cho a,b,c>0; a+b+c=2. CMR
2a + bc
2b + ca
2c + ab
ab
bc
ca
+
+
1
Bi 116. Cho a,b,c>0; a+b+c=4. CMR
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b
ab
bc
ca
a +b+c
+
+
Bi 117. Cho a,b,c>0; CMR
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6
Bi 114. Cho a,b,c>0; a+b+c=1. CMR
Bi 118. Cho a,b,c >0; CMR:
1
1
1
27
1. a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) 2(a + b + c) 2
2.
1
1
1
27
+
+
a (a + b) b(b + c ) c(c + a ) 2(a + b + c) 2
Bi 119. Tỡm GTNN ca biu thc sau theo a,b,c: bit a,b,c>0
a
b
c
a
b
c
+
+
+
+
; m > 2; m N
2. p =
b + 2c c + 2a a + 2b
b + mc c + ma a + mb
Bi 120. Cho a,b,c>0; a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tỡm GTNN ca biu thc sau
1
p = a+b+c+
abc
1. p =
Bi 121. Cho a,b,c>0 ; a+b+c=1. Tỡm GTNN ca Biu thc
p=
a
b
c
+
+
1+ b a 1+ c b 1+ a c
1 ( x + y ).(1 xy ) 1
2 (1 + x 2 ).(1 + y 2 ) 2
1 1
1
1 1
Bài 123: Cho 0< x y z CMR: y.( x + z ) + y .( x + z ) ( x + z ).( x + z )
Bi 122.: Chứng minh rằng:
Bài 124: Cho x,y,z >0 chứng minh:
a.
b.
1
1
1
x+ y+z
+ 2
+ 2
x + yz y + zx z + xy
2 xyz
1
1
1
1
+ 3
+ 3
3
3
3
3
x + y + xyz y + x + xyz z + x + xyz xyz
2
Bài 125: Cho a,b,c là 3 số thuộc [ 0; 1 ] CMR:
a
b
c
+
+
+ (1 a ).(1 b).(1 c) 1
b + c +1 a + c +1 a + b +1
Bài 126 Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác CMR:
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
b+ca c+a b a+bc a b c
a
b
c
+
+
a+ b+ c
b.
b+ca
c+ab
a+bc
1 1 1
Bài 127.Cho x,y,z >0 ; xyz=1, x+y+z > + +
x y z
a.
Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 số x, y, z lớn hơn 1
x2 + y 2 + z 2 = 8
xy + yz + zx = 4
Bài 128 .Cho x; y; z thoả mãn hệ :
Bài 129
CMR:
8
8
x,. y,.x
3
3
a.
Cho x2+y2 >0
x 2 ( x 4 y)2
2+2 2
x2 + 4 y 2
CMR: 2 2 2
b. Cho x2 +4y2 = 2 F = x2 +(x-4y)2
CMR: 2.(3 5 ) F 2.(3 + 5 )
x
y
2
P 1
Cho x 0 ; y 0 ; x+y =1 ; P = y + 1 + x + 1 CMR:
3
Bài 130Cho x, y, z >0 ; x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhất của BT sau:
c.
P=
x
y
z
+
+
x +1 y +1 z +1
Bài 131.Cho x, y, z >0 ; x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của BT sau: F =
x+ y
xyz
Bài 132.Cho 3 số dơng a,b,c thoả mãn abc=1 tìm giá trị nhỏ nhất của BT:
P=
bc
ac
ab
+ 2
+ 2
a (b + c ) b (a + c ) c (a + b)
2
Bài 133: Cho x 3 ; y 2 ; z 1 Tìm giá trị lớn nhất của BT :
F=
xy. z 1 + xz y 2 + yz x 3
xyz
Bài 134: Cho x 0 ; y 0 và x+y 6 Tìm giá trị lớn nhất của BT :
F=x2.y.(4-x-y)
Bài 135: Cho x+y=1 Tìm giá trị lớn nhất của BT : A = x 1 + y + y 1 + x
Bài 136 Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
a.
a 3 + b3 + c 3 + 2.abc < a 2 .(b + c) + b 2 .(c + a ) + c 2 .(a + b)
b.
p < p a + p b + p c 3p
c.
d.
( p a).( p b).( p c)
abc
8
1
1
1
1 1 1
+
+
2.( + + )
pa pb p c
a b c
Bài 137: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
a.
b.
c.
a
b
c
+
+
3
b+ca c+a b a+bc
ha2 hb2 hc2
(9.r ) 2
+
+
bc ca ab ab + bc + ca
1
1
1
3
+ 2
+ 2
2
a .ma b .mb c .mc abc
Bài 138: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
a.
b.
c.
a2
b2
c2
+
+
a+b+c
b+ca c+ab a+bc
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
b+ca c+ab a+bc a b c
a + b + c b+ca + c+a b + a +bc
Bi 139. Cho tam giác ABC ( các kí hiệu thờng qui ớc) CMR:
a. OA
+ OB + OC = OH ;
HA+ HB + HC = 2. HO
b. O; G; H Thẳng hàng và OH = 3. OG
c. gọi I là đờng tròn đi qua trung điểm các cạnh CMR: OH
= 2 OI
