bai tap chuong 1 vecto lop 10

BÀI TẬP VỀ VECTƠ
1/ Chứng minh:

uur uur

uuu
r uur

uur uur

a / AB + CD = AD + CB

uuu
r uur uur

uur uur uur

uur uur ur
u

c/ AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE

uuur

uur uur

b/ AB + CD + EA = ED + CB

uur uur uur uur

uur uur uur

d/ AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF

2/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác . D là điểm đối
xứng của A qua O
uur uuu
r
a/ Chứng minh: BD = HC

uuur

uur

b/ K là trung điểm của AH, I là trung điểm của BC. C/m: OK = IH
3/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường chéo
uuur uuur uuur
BD lần lượt cắt AF và CE tại M, N. Chứng minh: DM = MN = NB .

uuu
r uur

uuu
r uur

4/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng AD = GC . Chứng minh: DG = GB .
uur uur
5/ Chứng minh rằng: AB = CD ⇔ trung điểm của hai đoạn tẳng AD và BC trùng nhau.
6/ Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) .

a)

b)

uuur uur

uuur

Xác định các điểm M, N, P sao cho: OM = OA + OB ;

uuur uuu
r uur

r

uuur uur

uuuur

uur uur

uuur

ON = OB + OC ; OP = OC + OA

Cmr: OM + ON + OP = 0
7/ Cho hai tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C
qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C.Cmr: với một điểm O bất kì ta có :

uur uur uur

OA + OB + OC

uuur uuur uuur

= OA ' + OB ' + OC '

8/ Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm O tùy ý . Qua O kẻ các đường
thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC
uur uuu
r uuur
tại E và F. Chứng minh: BD = ME + FN
9/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE =
uur uur uuu
r uuur
EF = FC, gọi N là giao điểm của AM và BE. Tính tổng: AE + AF + AN + MN .

uuur uuur uuur r
uuur uur uur r
11/Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
AM + BN + CP = 0
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
10/Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm . Chứng minh: AA ' + BB ' + CC ' = 0

12/ Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. C/m: MA + MC = MB + MD .
13/Cho bốn điểm A, B, C, D, . Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. Chứng minh:
uur uur uuu
r uur uur
uur uur uur uuu

r r
uur uur uuu
r uuu
r
a) AC + BD = AD − CB = 2 EF b) GA + GB + GC + GD = 0
c) AB + AC + AD = 4 AG
14/ Cho tam giác ABC, bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. C/mr:

uur uu
r uur r

RJ + IQ + PS = 0

uur uur

uur uur uur uur

uur uur

15/Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G.Tính: AB + AC ; AB + CB ; GB + GC ; AB − AC .
16/Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = m. Tính:
2 uur 3 uur
AB − AC .
3
2

uur uur

AB + AC ;

1 uur uur
AB + AC ;
2

uur

uur

3 AB + 2 AC ;

uur uur uur uur

17/Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , trọng tâm G. Tính: AB + AC ; GB + GC .
18/Cho tứ giác ABCD, I, J, K lần lượt là trung điểm của AC, BD, IJ . Chứng minh: với mọi M ta có:
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
MA + MB + MC + MD = 4 MK .
19/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G nội tiếp đường tròn (O).M là trung điểm của BC.
Chứng minh:
uuu
r uuur
uur uur uuu
r uuu
r
uur uur uur uuu
r
a) AH = 2OM
b) HA + HB + HC = 2 HO
c) OA + OB + OC = OH .

Suy ra: Ba điểm H, O và G thẳng hàng.
20/ Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm nằm trong tam giác, H, K, L lần lượt là hình chiếu
uuur uuur uur 3 uuur
vuông góc của M trên AB, BC, CA. Chứng minh: MH + MK + ML = MO
2
21/ Cho tứ giác ABCDvà O là điểm bất kì. Chứng minh:
uur uur uur uuu
r
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì: OA + OC = OB + OD .
Nguyễn Thị Tờ - THPT Lê Quý Đôn


uur uur

uur uuu
r

b) Nếu OA + OC = OB + OD thì ABCD là hình bình hành .

22*/ Cho tam giác ABC: AB = c , BC = a, CA = b .CM là phân giác trong của góc C .
a) Biểu thị CM theo các vectơ CA , CB .
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh:

uu
r

23/ Cho tam giác ABC. I, J là các điểm thoả CI =

uu
r 3 uur uur

a) BI =

4

AC − AB

uu
r

uu
r

uu
r r

aIA + bIB + cIC = 0

r uur 1 uur 2 uur
1 uu
CA; BJ = AC − AB . Chứng minh:
2
3
4

b) Ba điểm B, I, J thẳng hàng.

c) Dựng điểm J thoả điều kiện trên.

uur

24/Cho tam giác ABC có trung tuyến BM, I là trung điểm của BM, J là điểm thoả: BJ = −

r
1 uu
CJ .
2

Biểu thị AI, AJ theo các vectơ CA , CB . Suy ra ba điểm A, I, J thẳng hàng.

1 uur
1 uur uur
AC ; AF = AB .
2
3
uuur uuuu
r
uur uur
’
Biểu thị B ' E , B ' F theo các vectơ AB , AC . Suy ra ba điểm B , E, F thẳng hàng.

uur

25/Cho tam giác ABC. B’ đối xứng với B qua C. E, F được xác định bởi: AE =

uuu
r 3 uur 1 uur

26/Cho tam giác ABC. I, K lần lượt là trung điểm của BC, BI và H thoả: AH =

2

AB +

2

AC

Chứng minh: A, H, K thẳng hàng.
27/Cho tam giác ABC, trọng tâm G. M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AB và AG, M’ đối xứng
với M qua B.
uuuu
r uur
uur uur
Biểu thị M ' I , NI theo các vectơ AB , AC . Suy ra ba điểm M’, N, I thẳng hàng.

uu
r 1 uur uu
r

28/Cho tam giác ABC, trọng tâm G. I, J thoả: BI =

4

BC ; JA = −

r
2 uu
JC . Phân tích các vectơ IG, IJ
3

theo các
uur uur
vectơ BA , BC . Suy ra ba điểm I, J, G thẳng hàng.
29/Cho tam giác ABC, I là trung điểm của AB, D đối xứng với A qua C, J là điểm thoả:
uu
r
uu
r
uu
r ur
uur uur
JB = −2 JC . Phân tích các vectơ ID, IJ theo các vectơ BA , BC . Suy ra ba điểm I, J, D
thẳng hàng.
30/ Cho tam giác ABC,trọng tâm G. I, J lần lượt là trung điểm của AG, AB ,D là điểm thoả:
uur
1 uur
BD = − BC ;
2
uu
r ur
uur uur
Phân tích các vectơ ID, IJ theo các vectơ AB , AC . Suy ra ba điểm I, J, D thẳng hàng.

uuu
r
1 uur uur
2 uur
31/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. M, N là các điểm thoả: MC = − CB; NA = − AC ,G’ đối
3

3
uuur uuuur
uur uur
xứng với A qua G.
Biểu thị MN , G ' M theo các vectơ CA , CB . Suy ra ba điểm M, N, G’
thẳng hàng.
32/ Cho tam giác ABC.Dựng các điểm:
a) I thoả: IA + 2 IB = 0
b)K thoả: KA + 2 KB = CB
33/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. Dựng điểm M thoả: MA + 2 MB + 3MC = 3MG .
34/Cho tam giác ABC.Dựng các điểm M, N, P thoả:
a) MA + MB − MC = 0
b) MA + MB + 2 MC = 0
c) 3MA + MB − 2MC = 0
35/ Cho hình bình hành ABCD tâm O, Dựng các điểm M, N thoả:
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur r
a) MA + MB + MC = 4 MD
b) MA + 2 MB + 3MC − 4 MD = 0
36/Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho:

uuu
r uuu
r uuu
r

a) MA + MB + MC nhỏ nhất.

uuu
r uuu
r

uuu
r

b) MA + MB + 2 MC nhỏ nhất.

uuu
r uuu
r uuur uuur r

37/ Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC + MD = 0
38/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. Dựng các điểm I, J, K thoả: AI = AB + AC , BJ = BA + BC ,
Nguyễn Thị Tờ - THPT Lê Quý Đôn


uur

uur uur

CK = CA + CB . Chứng minh G là trọng tâm của tam giác IJK.

uur uuu
r

uur uur

uur uuu
r

39/ Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: AB + AD , AB + AC , AB − AD

40/ Cho nửa lục giác đều ABCD tâm O, đường kính AD, bán kính R .Tính:

uur uuu
r

AB − AD ,

uur uuu
r

AB + AD ,

uur uuu
r

AC + AD ,

uur uuu
r

OC + AD

41/Cho hai điểm A, B phân biệt. Có thể tìm được bao nhiêu điểm M thoả một trong các điều kiện
sau:

uuu
r uuu
r r
uuu
r uuu
r uur
uuu
r uuu
r uur
a) MA − MB = BA
b) MA − MB = AB
c) MA + MB = 0

Nguyễn Thị Tờ - THPT Lê Quý Đôn