Biến đổi Laplace ngược ĐH BK
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.93 KB, 21 trang )
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
1 / 21
NỘI DUNG
1
PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC
2
TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC
3
BÀI TẬP
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
2 / 21
Phép biến đổi Laplace ngược
Định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1.1
Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) thì
f (t) được gọi là biến đổi Laplace ngược của
F(s) và ta viết f (t) = L−1 {F(s)}
VÍ DỤ 1.1
Ta có L{e−3t } =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1
1
nên L−1
= e−3t .
s+3
s+3
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
3 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tuyến tính
ĐỊNH LÝ 2.1
Nếu f1(t) và f2(t) lần lượt là biến đổi Laplace
ngược của F1(s) và F2(s), còn c1, c2 là hằng số
bất kỳ thì
L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)
(1)
VÍ DỤ 2.1
Tính L−1
4
3s
5
− 2
+ 2
.
s − 2 s + 16 s + 4
Đáp số. 4e2t − 3 cos 4t + 5/2 · sin 2t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
4 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
ĐỊNH LÝ 2.2
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{F(s + a)} = e−at f (t)
(2)
L−1{F(s)} = e−at L−1{F(s − a)}.
(3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
5 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
VÍ DỤ 2.2
Tính
1
2
1
.
s2 − 2s + 5
1
Đáp số. et sin 2t.
2
6s − 4
.
L−1 2
s − 4s + 20
Đáp số. e2t (6 cos 4t + 2 sin 4t)
L−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
6 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tính chất dời thứ nhất (dời theo t)
ĐỊNH LÝ 2.3
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{e−as F(s)} = f (t − a)u(t − a).
(4)
VÍ DỤ 2.3
1
2
π
e−πs/3
π
Đáp
số.
sin(t
−
)u(t
−
).
Tìm L
.
3
3
s2 + 1
−s
−2s
)
−1 2(e − e
Tìm L
. Đáp số. 2[e−(t−1) −
(s + 1)(s + 2)
−2(t−1)
e
]u(t − 1) − 2[e−(t−2) − e−2(t−2) ]u(t − 2).
−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
7 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tính chất đổi thang đo
ĐỊNH LÝ 2.4
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
1
a
L−1{F(as)} = · f
t
, (a > 0)
a
(5)
VÍ DỤ 2.4
2s
4s2 + 16
1
Đáp số. cos 2t
2
Tìm L−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
8 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
ĐỊNH LÝ 2.5
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{F (n)(s)} = (−1)nt nL−1{F(s)}
(6)
hay
−1
L {F(s)} =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
L−1{F (n)(s)}
(7)
(−1)n t n
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
9 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
VÍ DỤ 2.5
2 sinh t
s+1
. Đáp số.
t
s−1
1
2[u(t) − cos t]
ln 1 + 2 . Đáp số.
s
t
1
L−1 ln
2
L−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
10 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của tích phân
ĐỊNH LÝ 2.6
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1
∞
F(x)dx
=
s
f (t)
t
(8)
hay
−1
L {F(s)} = t L
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
∞
−1
F(x)dx .
(9)
s
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
11 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của tích phân
VÍ DỤ 2.6
Tìm L−1
1
s
Đáp
số.
t sinh t
.
2
(s2 − 1)2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
12 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Nhân cho sn
ĐỊNH LÝ 2.7
Nếu F(0) = 0 và L{f (t)} = F(s) thì
L−1{sF(s)} = f (t) =
d −1
L {F(s)}
dt
(10)
hay
L−1{G(s)} =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
d −1 G(s)
L
dt
s
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
(11)
TP. HCM — 2016.
13 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Nhân cho sn
ĐỊNH LÝ 2.8
Nếu f (0) = f (0) = . . . = f (n−1)(0) thì
−1
n
L {s F(s)} = f
(n)
dn −1
(t) = n L {F(s)}
dt
(12)
hay
dn −1 G(s)
L {G(s)} = n L
dt
sn
−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
(13)
TP. HCM — 2016.
14 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Nhân cho sn
VÍ DỤ 2.7
Tìm L−1
s
. Đáp số. cos 2t.
s2 + 4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
15 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Chia cho sn
ĐỊNH LÝ 2.9
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1
F(s)
=
s
t
f (x)dx
(14)
L−1{sG(s)}dx
(15)
0
hay
t
−1
L {G(s)} =
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
16 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Chia cho sn
VÍ DỤ 2.8
1
Tìm L−1
2
Tìm L−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 − cos 2t
1
Đáp
số.
.
.
4
s(s2 + 4)
t2
1
. Đáp số. + cos t − 1.
2
s3 (s2 + 1)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
17 / 21
Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Tích chập
ĐỊNH LÝ 2.10
Nếu L−1{F(s)} = f (t) và L−1{G(s)} = g(t) thì
t
−1
f (x)g(t − x)dx
L {F(s)G(s)} =
(16)
0
VÍ DỤ 2.9
Tìm L−1
1
. Đáp số. e2t − et .
(s − 1)(s − 2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
18 / 21
Bài tập
GHW #6
BÀI TẬP 3.1
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau
1
2
3
3s − 12
s2 + 8
2s − 5
s2 − 9
1
s5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
4
5
s
(s + 1)5
3s + 2
4s2 + 12s + 9
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
19 / 21
Bài tập
GHW #6
BÀI TẬP 3.2
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau
1
2
3
e−2s
s2
s+2
ln
s+1
1
s(s + 1)3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
4
5
1
(s − 1)5 (s + 2)
1
(s + 1)(s2 + 1)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
20 / 21
Bài tập
CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TP. HCM — 2016.
21 / 21
