Cơ lý thuyết BK định lý tổng quát động lực học

CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC

I. ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (1)

Định lý:

I. Định lý chuyển động của khối tâm
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối
lượng của toàn hệ chịu tác dụng của vector chính ngoại lực tác
dụng lên hệ.

Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối
lượng của toàn hệ chịu tác dụng của vector chính ngoại lực tác
dụng lên hệ.
r
MWC =

II. Định lý biến thiên động lượng
Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q của cơ hệ bằng vector
chính của ngoại lực tác dụng lên hệ

III. Định lý biến thiên moment động lượng
Đạo hàm theo thời gian moment động lượng của cơ hệ đối với một
tâm (trục) bằng moment chính của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
đối với tâm (trục) đó.

IV. Định lý động năng
Đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng công suất ngoại và nội
lực đặt vào cơ hệ.

• WC

• M
• F ke
Trường hợp

∑

r
Fke

: Gia tốc của khối tâm C của hệ
: Khối lượng của toàn hệ
: Ngoại lực thứ k tác dụng lên cơ hệ

∑F

e
k

= 0 → W C = 0 → V C = const

Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì khối tâm của hệ đứng
yên hoặc chuyển động thẳng đều.

51

I. ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2)
r
Trường hợp ∑ Fkxe = 0
MW C =

∑F

e
k

→ MW C x =

∑F

e
kx

r
1
= 0 → VCx =
M

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3)
Định lý chuyển động khối tâm giúp giải thích một số hiện tượng:

r
m V = const
k =1 k kx

∑

* Hiện tượng súng giật khi bắn
* Hiện tượng không thể bước đi trên mặt phẳng trơn láng.

N

Theo phương x, khối tâm C của hệ đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều; nếu ban đầu khối tâm đứng yên VCx(t = 0) = 0:
1
⇒
M

1
∑k =1 mk xk (t ) = const1 = M
N

⇒ ∑k =1 mk ( xk (t ) − xk (0)) = 0
N

∑

N

k =1

mk xk (0)

Bài toán:
Bài toán 1: Biết dịch chuyển của một số vật rắn thuộc cơ hệ,
tìm dịch chuyển của các vật rắn còn lại
Bài toán 2: Biết các lực tác dụng lên cơ hệ, tìm phương trình
vi phân chuyển động của khối tâm

∑k =1 mkξk = 0
N

hay

52

• xk(t), xk(0) tương ứng là tọa độ x của chất điểm (hoặc trọng
tâm của vật) thứ k tại thời điểm t bất kỳ và thời điểm t = 0.
• ξk là độ dịch chuyển tuyệt đối của chất điểm (hoặc trọng tâm
của vật) thứ k theo trục x.
53

Bài toán 3: Biết chuyển động của khối tâm, xác định lực
(phản lực) tác dụng lên cơ hệ.
Bài toán 4: Bài toán tổng hợp
54


VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (1)

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2)

VD 1: Hai vật nặng A, B có khối lượng lần lượt là m1, m2 nối
với nhau bằng dây mềm khối lượng không đáng kể và không
giãn như hình vẽ. Lăng trụ D tựa trên mặt sàn nằm ngang và
nhẵn. Ban đầu cơ hệ đứng yên. Tìm di chuyển của lăng trụ D
khi vật A trượt xuống theo mặt nghiêng 1 quãng đường s. [1]

Xét cơ hệ gồm 3 vật: m1, m2, m3.
Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ: P1, P2, P3, N
r

s
∑ Fkxe = 0 , ban đầu hệ đứng yên
B
xC của hệ không đổi.
m1 : ξ1 x = s cos 600 + ξ 3 x

B
m2

ξ3x

m3 : ξ 3 x

m1

m3
D

3

m ξ =0
k =1 k kx

s

N
D

∑

P1

P3

60o

⇔ m1 ( s cos 60 + ξ 3 x ) + m2 ( s + ξ 3 x ) + m3ξ 3 x = 0
⇔ ( m1 + m2 + m3 )ξ 3 x = −( m1 cos 60o + m2 ) s
⇔ ξ3 x = −

m1 cos 60o + m2
s
m1 + m2 + m3

Trái dấu với s

m3 dịch sang trái

55

[1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp. HCM, 2005

x

o

60o

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3)
VD 2: Sàn nằm ngang nhẵn, A, B có khối lượng lần lượt là m1, m2. OA

= AB = r, vỏ động cơ có khối lượng m3. Biết tay quay OA quay đều
quanh O với vận tốc góc ω. Biết ban đầu hệ đứng yên và piston ở vị trí
xa nhất về bên trái.
a) Xác định chuyển động ngang của vỏ động cơ và áp lực thẳng đứng của
động cơ lên sàn.
b)Nếu động cơ được bắt vít chặt xuống nền, tìm áp lực và lực cắt ngang
của động cơ lên bulong, bỏ qua lực căng ban đầu của bulong.
c)Nếu động cơ được bắt chặt vào dầm đàn hồi khối lượng không đáng kể
có độ cứng k , viết phương trình vi phân chuyển động của động cơ.
A

A

P2

m2 : ξ 2 x = s + ξ 3 x

A

s.cos60o

56

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (4)

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
Các ngoại lực tác động lên cơ hệ: P1, P2, P3, N.
Gọi x01, x02, x03, x0C lần lượt là vị trí khối tâm của m1, m2, m3
và của cả hệ tại thời điểm t = 0.

Tại thời điểm t:
φ = ωt

A

x1 = x01 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 )
1424
3
ζ x3

⇒ ζ 1 = x1 − x01 = r (1 − cos φ ) + ζ x 3
x2 = x02 + 2 r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 )
1424
3

ω
O

ζ x3

ϕ

B

ω
O

P1
P2

N
P3

⇒ ζ 2 = x2 − x02 = 2 r (1 − cos φ ) + ζ x 3

B

x3 = x03 + ζ x 3 ⇒ ζ x 3 = x3 − x03
I.V. Meserxki, Tuyển tập bài tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp. HCM, 2007

57

58


VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (5)

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
a)Xác định chuyển động ngang của vỏ động cơ

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
a) Xác định áp lực thẳng đứng của động cơ lên sàn
Tại thời điểm t: chọn góc tọa độ ngay tại vị trí ban đầu của khối tâm
của cả hệ (x0C=0 )

Tại thời điểm t:

∑

N
k =1

mkξ k = 0

x1 = x01 + r (1 − cos ϕ ) + ( x3 − x03 )
1424
3

⇒ m1 [ r (1 − cos ϕ ) + ζ x 3 ] + m2 [ 2r (1 − cos ϕ ) + ζ x 3 ] + m3ζ x 3 = 0

y1 = y01 + r sin ϕ + (y3 − y03 )
1
424
3

ζ x3

⇒ ζ x 3 (m1 + m2 + m3 ) = r (cos ϕ − 1)( m1 + 2m2 )

ζ y3

x2 = x02 + 2r (1 − cos ϕ ) + ( x3 − x03 )
1424
3

r (m1 + 2m2 )
⇒ ζ x3 =
(cos ϕ − 1)

m1 + m2 + m3

y2 = y02 + (y3 − y03 )
1
424
3

ζ x3

ζ y3

x3 = x03 + ζ x 3

r ( m1 + 2m2 )
( cos(ωt ) − 1)
m1 + m2 + m3

y3 = y03 + ζ y 3

Đây chính là phương trình chuyển động ngang của vỏ động cơ (gốc của
tọa độ ζx3 tại vị trí khối tâm của vỏ động cơ lúc t = 0 s).

m1 ( x01 + r (1 − cos φ ) + ζ x 3 ) + m2 ( x02 + 2r (1 − cos φ ) + ζ x 3 ) + m3 ( x03 + ζ x 3 )

 xC =
m1 + m2 + m3

⇒
 y = m1 ( y01 + r sin ϕ + ζ y 3 ) + m2 ( y02 + ζ y 3 ) + m3 (y03 + ζ y 3 )
 C

m1 + m2 + m3


59

60

⇒ ζ x3 =

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
a) Xác định áp lực thẳng đứng của động cơ lên sàn

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)

m 1 x 01 + m 2 x 02 + m 3 x 03
m1 + 2 m 2

r (1 − c o s φ ) + ζ
+
 xC =
m1 + m 2 + m 3
m1 + m 2 + m 3
1 4 4 42 4 4 43

x0 C


⇒ 
 y C = m 1 y 0 1 + m 2 y 0 2 + m 3 y 0 3 + m 1 r sin ϕ
+ ζ y3

m1 + m 2 + m 3
m1 + m 2 + m 3
1 4 4 42 4 4 43

y0 C


x3

x1 = x01 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 )
1424
3
ζ x3

MWCy = ∑ Fkye ⇒ My&&C = N − P1 − P2 − P3 ⇒ −m1rω2 sin(ωt ) = N − g (m1 + m2 + m3 )
∃N : ω <

A

φ = ωt

Tồn tại phản lực của nền nên vỏ động cơ không rời khỏi nền ⇒ ζ y 3 = 0
d 2 (ζ y 3 )
m1r
d2
m1r

t
ω
ω2 sin(ωt ) + 0
(sin
)
⇒ &&yC =
+
=−
2
2
m1 + m2 + m3 dt
dt
m1 + m2 + m3

m rω 2 sin(ωt ) 
⇒ N = ( m1 + m2 + m3 )  g − 1

m1 + m2 + m3 


b) Khi vỏ động cơ được cố định: ζ3 = 0
Tại thời điểm t:

( m1 + m2 + m3 ) g
m1r
61

P1
T

x2 = x02 + 2 r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 )
1424
3
ζ x3

x3 = x03 + ζ x 3 ⇒ x3 = x03

ω
O

Nbl

B
P2

N

P3

⇒ xC =

m1 ( x01 + r (1 − cos φ ) ) + m2 ( x02 + 2 r (1 − cos φ ) ) + m3 x03
m1 + m2 + m3

⇒ xC =

m1 x01 + m2 x02 + m3 x03
m1 + 2m2
r (1 − cos φ )
+

m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3

x

62


VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (7)

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)

VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)

b) Khi vỏ động cơ được cố định: ζ3 = 0
Tại thời điểm t:

c) Khi động cơ được cố định vào dầm đàn hồi

⇒ &x&C =

m1 + 2m2
rω 2 cos(ωt )
m1 + m2 + m3

⇒ &x&C =

m1 + 2m2

d2
r 2 (1 − cos ωt )
m1 + m2 + m3 dt

MWCx =

∑F

e
kx

⇒ M&x&C = T ⇒ ( m1 + m2 + m3 )

⇒ &&yC =

Chọn gốc tọa độ ngay tại
vị trí cân bằng tĩnh của
tâm vỏ động cơ y03=0

ω

y

d2
m1 + 2m2
r 2 (1 − cos ωt )
⇒ &x&C =
m1 + m2 + m3 dt

d 2 (ζ y 3 )

m1r
d2
m1r
(sin ωt ) +
ω2 sin(ωt ) + &&y3
=−
2
2
m1 + m2 + m3 dt
dt
m1 + m2 + m3
r

m1 + 2m2
rω 2 cos(ωt ) = T
m1 + m2 + m3

⇒ T = ( m1 + 2m2 ) rω cos(ωt )
2

Để tìm áp lực lên bu long ta làm tương tự với:

MWCy = ∑ Fkye ⇒ My&&C = P + F
y3 = ( m1 + m2 + m3 ) g − k ( ∆ + y3 )
⇒ − m1rω 2 sin(ωt ) + ( m1 + m2 + m3 ) &&
⇒ &&
y3 +

∑ Fkye = M&y&C

r

Các lực ngoài: Trọng lực P = (rm1 + m2 + m3 ) gr
Lực đàn hồi: F = −k ( ∆ + y3 ) j with k ∆ = (m1 + m2 + m3 ) g

k
y3 = m1rω 2 sin(ωt )
m1 + m2 + m3

63

VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (8)

II. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (1)

1. Một số khái niệm và định nghĩa:
Động lượng của chất điểm:

VD 3:

Một tấm đồng chất ABD có hình
dạng là tam giác vuông cân (cạnh
AB = 12 cm) được đặt thẳng đứng
tựa đỉnh A trên mặt ngang nhẵn
không ma sát. Người ta thả cho tấm
phẳng đổ xuống dưới tác dụng của
trọng lực. Hãy xác định quỹ đạo của
điểm M nằm chính giữa cạnh bên
BC. Chú ý, trong suốt thời gian
chuyển động, điểm A luôn tựa trên

mặt ngang.

64

B

r
r
q = mV

M

Động lượng của cơ hệ:

B

D

r
Q=

r
V

r
q

m

r

m
V
k
k
k =1

∑

N

Sử dụng vận tốc của khối tâm C (VC)
r
r
Q = MVC =

A

I.V. Meserxki, Tuyển tập bài tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp. HCM, 2007

∑

N

k =1

r
mkVk

• M: Khối lượng của cơ hệ
• VC: Vận tốc khối tâm của cơ hệ

65

66


II. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2)

II. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2)

2. Định lý:
Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q của cơ hệ bằng
vector chính của ngoại lực tác dụng lên hệ:
r
r
r
r
r
dQ
Chứng minh:
= ∑ Fke
MWC = ∑ mkWk = ∑ Fke
dt
r
r
d
Hay (dạng hữu hạn):
⇔ ∑ mkVk = ∑ Fke
r r
dt
t1 r

Q1 − Q0 = ∑ ∫ Fke dt
re
t0
d r
Q
F
⇔
=
∑
k
Trong đó:
dt
Q0, Q1: Tương ứng là động lượng của cơ hệ tại thời điểm t0 và t1.
r
Fke dt : Xung của lực Fke
t0
ur e
Trường hợp ∑ F k = 0 → Q = const

∫

ur e
∑ F kx = 0 → Qx = const

Hình chiếu vector chính lực ngoài lên một trục nào đó (trục x) bằng
không hình chiếu của động lượng lên trục đó (trục x) được bảo toàn:
Định luật bảo toàn động lượng giúp giải thích một số hiện tượng:
* Tàu thủy hoặc máy bay chuyển động nhờ chân vịt hoặc cánh quạt của
máy bay
* Chuyển động bằng phản lực của máy bay và tên lửa trong chân không

theo phương ngang

Bài toán:
Bài toán 1: Tính động lượng của cơ hệ

t1

Bài toán 2: Tính vận tốc sau va chạm
: Động lượng được bảo toàn

Bài toán 3: Tính phản lực tổng hợp của dòng chảy lỏng, khí.

67

VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2)

68

VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3)

VD1: Hai người A và B đang đứng ở hai góc của chiếc bè,
khối lượng của mỗi người lần lượt là mA = 85 kg và mB = 55
kg. Ban đầu tất cả đều đứng yên. Khi họ nhận thấy bè bị đứt
neo, người A lập tức đi về phía người B với vận tốc 0.6 m/s so
với bè. Biết khối lượng của bè là 140 kg, xác định: a) Vận tốc
của bè nếu người B đứng yên; b) Vận tốc của người B phải đi
về phía người A là bao nhiêu để bè đứng yên. (Bỏ qua sức cản
của nước)

VD1: mA = 85 kg; mB = 55 kg; VA/b = 0.6 m/s.

a) VB/b = 0, Vb = ?;
mA
N
VA/b
b) Vb = 0, VB = ?
Ngoại lực tác dụng:
PA
PA, PB, Pb, N
re

∑F

kx

r
=0

Pb

mB

PB

Động lượng theo phương x được bảo toàn.

o Ban đầu hệ đứng yên: Q0 x = ∑ mkVkx = 0
o Khi chuyển động: Q1x = ∑ mkVkx = m AV Ax + mBVBx + mbVbx = Q0 x = 0
a) V = V + V ; V = V + V ⇒ m (V + V ) + m V + m V = 0
Ax
A/ b

bx
Bx
B/b
bx
A
A/ b
bx
B bx
b bx
⇒ ( m A + mB + mb )Vbx = −m AV A / b ⇒ Vbx = −

F. Beer, E. R. Johnston Jr., D. Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013

69

mA
VA/ b
( m A + mB + mb )
70


VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4)

VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3)

VD1: mA = 85 kg; mB = 55 kg; VA/b = 0.6 m/s.
b) Vb = 0, VB = ?

VD2: Một viên đạn nặng 30 gam đang bay theo phương
ngang với vận tốc 450 m/s thì găm vào khối B có khối lượng

3 kg. Sau khi va chạm, khối B trượt trên xe trượt C đến khi nó
chạm vào vách cuối của xe. Biết va chạm giữa B và C là va
chạm mềm, hệ số ma sát động giữa B và C là 0.2. Giả thiết
thời gian va chạm giữa A và B là rất ngắn có thể bỏ qua xung
của lực ma sát giữa B và C trong giai đoạn va chạm này. Bỏ
qua ma sát giữa xe và sàn. Xác định:

m AV Ax + mBVBx + mbVbx = 0
⇒ m A (V A / b + Vbx ) + mB (VB / b + Vbx ) + mbVbx = 0

⇒ m AV A / b + mBVB / b = 0
VB / b = −

mA
85
V A / b = − 0.6 = −0.927m / s
mB
55

Dấu (-) chỉ hướng chuyển động của người B ngược với người
A.

71

VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (6)

m AV0 + 0 = ( m A + m B )V1 ⇒ V1 =

mA
0.03

V0 =
450 = 4.46m / s
m A + mB
0.03 + 3

b) Vận tốc cuối cùng của cả hệ:

⇒ V2 ==

450 m/s

30 kg

F. Beer, E. R. Johnston Jr., D. Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013

30 g
72

VD3: Cho cơ hệ gồm vật có trọng lượng P1 đặt trên mặt phẳng nghiêng
của lăng trụ có trọng lượng P2. Góc nghiêng của mặt lăng trụ với mặt
ngang là α. Ban đầu vật P1 nằm yên tương đối trên mặt lăng trụ, trong
khi lăng trụ thì trượt sang phải với vận tốc V0. Bất chợt vật P1 trượt
xuống với vận tốc u = at so với lăng trụ. Xác định vận tốc V của lăng trụ.
Bỏ qua ma sát giữa lăng trụ và mặt ngang.
re r
F
Qx bảo toàn.
∑ kx = 0
u
• Qx 0 = ( P1 + P2 ) / gV0 ;

V
P1 N
P
P
α
• Qx1 = 1 V1 x + 2 V2 x
g
g {
V
P2
r r r
o V1 = u + V ⇒ V1 x = −u cos α + V
P1
Qx 0 = Q1 x ⇒ V = V0 +
u cos α
P1
P2
P1 + P2
⇒ Q1 x = ( −u cos α + V ) + V
g
g

m AV0

( m A + m B )V1 = ( m A + mB + mC )V2 ⇒ V2 =

3 kg

VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4)

a) Vận tốc của A&B ngay sau va chạm:
( m A + m B )V1

a) Vận tốc của A&B sau
va chạm lần 1
b) Xác định vận tốc của
cả 3 vật A, B, và C.

m A + mB
V1
m A + mB + mC

0.03 + 3
4.46 = 0.41m / s
0.03 + 3 + 30
73

74


III. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (1)

III. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (2)

1. Một số khái niệm và định nghĩa:

1. Một số khái niệm và định nghĩa (cont’d):
Moment động lượng của cơ hệ đối 1 tâm

r

Vk

r
qk

Xét chất điểm Mk có:
mk
r
Khối lượng : mk
rk
Vị trí
: rk
O
Vận tốc
: Vk
Moment động lượng của chất điểm đối với 1 tâm (tâm O)
r r
r r
r r
LkO ( qk ) = rk × qk = mk rk × Vk

r
LO =

r

∑L

kO

r
( qk )

Moment động lượng của cơ hệ đối với 1 trục

LkO tùy thuộc vào vị trí tâm O

r
L∆ =

Moment động lượng của chất điểm đối với 1 trục
r r
r
r
r
Lkx ( qk ) = ± M O ( qkyz ) , qkyz = hc yz ( qk )
r r
r
r
r
Lky ( qk ) = ± M O ( qkzx ) , qkzx = hc zx ( qk )
r r
r
r
r
Lkz ( qk ) = ± M O ( qkxy ) , qkxy = hc xy ( qk )

r

∑L

k∆

r
( qk )

hay

r
Lx =
r
Ly =
r
Lz =

r

r
( qk )
r
ky ( qk )
r
kz ( qk )

∑ Lr
∑ Lr
∑L

kx

Vật rắn quay quanh trục cố định:
r
r
L∆ = J ∆ω
75

76

III. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (3)

VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (1)

2. Định lý:
Đạo hàm theo thời gian moment động lượng của cơ hệ đối với
một tâm (trục) bằng moment chính của ngoại lực tác dụng lên
cơ hệ đối với tâm (trục) đó.

VD 1: Một đĩa tròn phẳng, đặc, đồng chất có khối lượng m1 và bán kính
r. Tại tâm đĩa có một chất điểm có khối lượng m2. Ban đầu cơ hệ đang
quay đều với vận tốc góc ω0 quanh trục (Δ) qua tâm O của đĩa và vuông
góc với mặt đĩa. Sau đó, chất điểm m2 di chuyển theo phương bán kính
của đĩa và dừng lại ở trung điểm của bán kính đó. Xác định vận tốc góc
của cơ hệ tại thời điểm trên.

Dạng vi phân:

r
dLO
=
dt

∑

r
dL∆
=
dt

r
M O ( Fke )

∑M

k∆

r
( Fke )

r
r
r
r
dL∆
dω
= J∆
L∆ = J ∆ω →
dt
dt

r

dω
→ J∆
=
dt

Hệ gồm đĩa và chất điểm
Ngoại lực: trọng lực // trục (∆)

(Δ
) ω0

Vật rắn quay quanh trục cố định

∑

r
M k∆ ( Fke )

Phương trình vi phân chuyển động quay của vật rắn
quanh trục cố định.
77

r

r
r
r
dL∆
= ∑ M k ∆ ( Fke ) = 0 ⇒ L∆ = const
dt

1

L∆ 0 = m1r 2ω0 + 0

2
4m1ω0

1
1
r  r   ⇒ ω = 4m + m
2
L∆1 = m1r ω + m2  ω 
1
2
2
2
2  2  
78


VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (4)

VD 2: một đĩa tròn bán kính r khối lượng m, có thể quay quanh trục ∆
đi qua đường kính. Một chất điểm có khối lượng m0 có vận tốc u tới
đính chặt vào đĩa theo phương vuông góc với mặt phẳng đĩa ,cách trục
đĩa một đoạn bm0

kính quán tính là ρ được thả không vận tốc đầu.
Giả sử bánh lăn không trượt. Xác định

(a) Vận tốc tâm bánh xe tại thời điểm t
(b) Hệ số ma sát là bao nhiêu để xe không trượt
O

Iω
m
V
79

VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (4)
VD 4: Cho cơ hệ và các thông số như hình vẽ. Dây mềm luôn căng,
khối lượng không đáng kể, không giãn và không trượt trên ròng
rọc. Hệ số ma sát trượt động giữa vật A và mặt nêm là f d = 3 / 2.
Ròng rọc cố định có khối lượng m0, bán kính r và bán kính quán
tính đối với trục quay của nó là 0.8r.
Thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ, xác định
gia tốc của vật A sức căng dây
T. Bỏ qua ma sát tại trục quay
của ròng rọc.
Vật A có thật sự tự trượt xuống được không?
81

Pβ

∫

t

0

r
r
t
dLP = ∑ ∫ M kP ( Fke )dt
o

→ (mV )r + J ω = 0 + (mgt )( r sin β )
r 2 g sin β
→V = 2
t
V
r + k2
→ (mV )r + (mρ 2 ) = ( mgt )( r sin β )
r
re
t r
t
mρ 2 g sin β
=
(
)
→
ω
=
→
=
dL
M
F

dt
J
Frt
F
b) ∫0 O ∑ ∫o kO k
r2 + ρ 2

N.t mg
.t
F.t
Pβ

r
r
r
dL∆
= ∑ M k ∆ ( Fke ) = 0 ⇒ L∆ = const
dt
L∆ 0 = m0bu

4m bu

⇒Ω= 2 0
1 2 
mr
+ 4m0b2
L∆1 = m0b(bΩ) + ( mr )Ω 

4

Tham khảo: Ví dụ 12.6 ~ 12.8 trong giáo trình [1]

VD 3: Một bánh xe hình tròn bán kính r có bán

a)

∆

F. Beer, E. R. Johnston Jr., D. Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013

VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (3)

Để xe không trượt

F ρ 2 tan β
mρ 2 g sin β
→
µ
>
= 2
s
F < Fth ⇒
< µs mg cos β
N
r + ρ2
r2 + ρ 2

F. Beer, E. R. Johnston Jr., D. Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013

80