luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE
CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE
CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 01. 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG
PGS. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI

VINH - 2016


i

LỜI CAM ĐOAN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.
TS. Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi. Tôi
xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là
hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào
khác.
Tác giả

Bùi Cao Vân


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS.
TS. Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi, những người đã
đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ
dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học
được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của
các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trong
Khoa Sư phạm Toán học, đặc biệt là tổ Hình học, Trường Đại học Vinh

đã trang bị cho tác giả những kiến thức cần thiết để hoàn thành chương
trình nghiên cứu sinh cũng như hoàn thiện luận án.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận án, tác giả đã nhận được sự
hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành chương trình. Tác giả xin
gửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào
tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh
vì những giúp đỡ quý báu đó.
Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào
tạo tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam đã quan
tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung
học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người
bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu./.
Bùi Cao Vân


1

MỤC LỤC
Mục Lục

1

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án

2

Mở đầu

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

9

1.1

Dạng vi phân trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Liên thông trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Đạo hàm Lie của dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp

9

28

2.1

Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3

Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4

Đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chương 3. Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng

72

3.1

Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết . . . . . . . . . 72

3.2

Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Kết luận chung và kiến nghị

97

Danh mục công trình

99

Tài liệu tham khảo

100


2

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG
LUẬN ÁN
Kí hiệu
M
(U, x)
Mc
Tp M
k
(Tp M )
B(M )
F(M )
Fc (U )

Tên gọi
Đa tạp Riemann n−chiều
Bản đồ của M hoặc M c
Đa tạp phức n−chiều
Không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M
Không gian k−dạng tuyến tính, phản xứng

Không gian các trường véctơ trơn trên M
Không gian các hàm trơn trên M
Không gian các hàm trơn và suppf là tập con compact trong U
D(U )
Không gian các phân bố trên U có giá compact
k
Ω (M )
Không gian các k−dạng vi phân trơn trên M
k
Ωc (M )
Không gian k−dạng vi phân trơn có giá compact
k
D (M )
Không gian các k−dòng có giá compact trên M
k
Ω (M )
Không gian các k−dạng suy rộng trên M
(p,q)
c
Ω
(M , C) Không gian các dạng vi phân song bậc trên M c
Ωk (M, F )
Không gian các k−dạng vi phân với giá trị trong
không gian định chuẩn F trên M
c
O(M )
Không gian các hàm chỉnh hình trên M c
(1,0)
Bhol (M c )
Không gian các trường véctơ chỉnh hình trên M c

Ωphol (M c )
Không gian các p−dạng chỉnh hình trên M c
D(p,q) (M, C) Không gian các dòng song bậc (p, q) trên M c
N(M )
Không gian các trường véctơ pháp dạng khả vi trên
đa tạp con Riemann M
∇
Liên thông Levi-Civita của M
∇
Liên thông Levi-Civita củaM
⊥
∇
Liên thông pháp dạng của M
R
Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp con Riemann M
R
Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp RiemannM
⊥
R
Độ cong pháp dạng của đa tạp con Riemann M
£X
Đạo hàm Lie của dòng
LX
Đạo hàm Lie của dạng vi phân hoặc dạng suy rộng


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của
toán học hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong
các công trình nghiên cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van
Kampen ([47]). Đây là lĩnh vực đã và đang được sự quan tâm của rất
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàm Lie trên đa tạp là
một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con có thể tích
cực tiểu địa phương, xác định các độ cong chính, độ cong Ricci của đa tạp
Riemann. Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau
của toán học như tìm nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương
trình tuyến tính, hệ động lực, hệ Hamilton... ([4], [25]). Ngoài ra, đạo hàm
Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như: Cơ học
lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế...
1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối
những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của
lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những
bước tiến mạnh mẽ và được ứng dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều
biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ động lực... Việc sử dụng lý
thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu của k−mặt trên đa
tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu của A. T.
Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...([38]).
1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc
mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên
cứu nó đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan
tâm. Mặc dù cho đến nay đã có nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn
là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu hút ngày càng nhiều nhà toán
học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong khoa học kỹ thuật.
Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các đạo hàm
Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các
đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37]). Trong trường hợp riêng, đạo

4

hàm Lie được sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên
đa tạp. Trong những năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán
học quan tâm, chẳng hạn: K. Habermann, A. Klein ([19]); L. Fatibene, M.
Francaviglia ([16]); R. P. Singh, S. D. Singh ([33]); A. Ya. Sultanov ([37]);
J. D. Pérez ([28], [29])...
Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các
đa tạp, đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng
tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của
dòng và liên thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp
như: Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và
dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các
liên thông... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann,
đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một số ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng
suy rộng, đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm
Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng
và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của
các liên thông và ứng dụng của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học
Riemann, lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết
nhóm Lie trong quá trình thực hiện đề tài.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp
Riemann như: Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm
Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân


5

ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng...
nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp. Đồng thời, áp dụng
các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức
đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm
này xuất hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều
ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý
thuyết hệ động lực... và các ngành: Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật...
Lý thuyết liên thông là một trong những công cụ cơ bản của hình học
Riemann và được trình bày trong các tài liệu ([22], [24]). Đến những năm
cuối của thế kỷ 20, cùng với sự phát triển của tôpô với những công trình
nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré... thì hình học trên các đa tạp đã phát
triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong
việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ cong, độ xoắn,
đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các tính
chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact.
S. Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số f
theo trường véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của

hàm số theo trường véctơ. Năm 1920, Élie Cartan ([5]) định nghĩa một
cách tự nhiên toán tử vi phân LX của các dạng vi phân và chứng minh
được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân ngoài d. Đặc biệt, Élie
Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức Cartan
LX = d ◦ iX + iX ◦ d,
ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối vớ dạng vi phân.
´
Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W. Slebodzi´
nski ([35])
cũng đã xuất hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ
´
X. W. Slebodzi´
nski đã chứng minh được công thức toán tử vi phân LX
của tích hai trường tenxơ và ứng dụng vào việc tìm nghiệm của phương


6

trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số H(p, q), p = (pµ ), q = (q µ ), µ =
´
1, 2, ..., n, W. Slebodzi´
nski định nghĩa trường véctơ
∂H ∂
∂H ∂
XH =
−
∂pµ ∂q µ ∂q µ ∂pµ
và đã chứng minh được LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dq µ ∧ dpµ ,
B = ∂q∂µ ∧ ∂p∂µ .
Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân LX là đạo hàm

Lie mang tên nhà toán học S. Lie ([10]). Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig
thu được nhiều kết quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được
mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần nhất mà có thể xem như không gian
(n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông đã đưa ra những ứng dụng
của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng của đường
cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm
chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo
giác đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như:
L. Berwald, E. Cartan, N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L.
P. Eisenhart, F. A. Ficken, H. A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen,
M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J. Levine, W. Mayer, A. J. McConnel,
A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A. Schouten, J. L. Synge, A.
H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.
Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik ([34]) đã phát triển thêm
một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ
thuật tính đạo hàm Lie đối với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm
1957 K. Yano là người giới thiệu về lý thuyết đạo hàm Lie và các ứng
dụng của đạo hàm Lie ([47]). Việc nghiên cứu phép đạo hàm Lie có nhiều
ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và đặc biệt
là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học
lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên
cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu
A trong không gian dạng phức ([21]). Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình
bày một số kết quả về đạo hàm Lie của trường tenxơ trên đa tạp Fiber
([36]). Năm 2008, K. R¨obenack đã đưa ra thuật toán cho phép tính đạo
hàm Lie bậc cao bằng máy tính ([31]).
Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi´c, S. M. Min˘ci´c, M. S. Stankovi´c


7

đã nghiên cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ
cong trên không gian với liên thông affine không đối xứng ([45]). Cùng
trong thời gian này, A. Ya. Sultanov đã xây dựng khái niệm đạo hàm Lie
trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông
trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và
độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37]).
Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L. Fatibene và M. Francaviglia đã trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz
và ứng dụng của nó vào việc khảo sát không gian Minkowski ([16]). Năm
2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo
hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và đưa ra một số ứng dụng trên
nhóm Lie compact ([6]). Năm 2014, J. D. Pérez đã nghiên cứu đạo hàm
Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức ([28], [29], [30]).
Năm 2015, A. D. Nicola và I. Yudin đã nghiên cứu một số tính chất về
đạo hàm Lie trên đại số Lie ([27]). Lior Falach và Reuven Segev đã phát
biểu và chứng minh định lý vận chuyển đối với dòng trên đa tạp mà đạo
hàm Lie của dòng đóng vai trò quan trọng ([13], [14]).
7.2 Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn
có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị,
Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp
đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 được dành để giới thiệu kiến thức cơ sở của luận án, bao gồm
4 mục. Mục 1.1 trình bày các kiến thức cơ bản về k−dạng vi phân trên đa
tạp. Mục 1.2 giới thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên thông
Levi-Civita, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều. Mục
1.3 trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về đạo hàm Lie của hàm
số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân trên
đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về
lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng.

Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng
trên đa tạp Riemann, bao gồm 4 mục. Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày
định nghĩa và một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng


8

trên đa tạp Riemann. Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày một số tính chất
về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên nhóm Lie. Trong mục 2.3,
chúng tôi đưa ra một số ứng dụng đạo hàm Lie của dòng trong việc chứng
minh định lý vận chuyển Reynolds và chứng minh công thức đồng luân
đối với dòng trên đa tạp. Một điều thú vị là toán tử vận chuyển Rϕ (t) (T )
chính là đạo hàm Lie LXt ((ϕt )∗ T ) của k−dòng (ϕt )∗ T . Mô tả đạo hàm Lie
của dòng tích phân trên đa tạp con và tìm được điều kiện để đa tạp con cực
tiểu là đạo hàm Lie của dòng tích phân triệt tiêu. Trong mục 2.4, chúng
tôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng và dòng song
bậc. Đặc biệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường véctơ X để đạo hàm Lie
của dạng song bậc (p, p) cũng là dạng song bậc (p, p). Việc nghiên cứu đạo
hàm Lie của dạng và dòng song bậc nhằm mục đích nghiên cứu đạo hàm
Lie của dòng dương trong lý thuyết đa thế vị. Các kết quả của chương này
đã được công bố trên 02 tạp chí Lobachevskii Journal of Mathematics [6],
Bulletin of Mathematical Analysis and Applications [43] và gửi đăng ở 02
tạp chí Journal of Nonlinear and Convex Analysis [44], Vietnam Journal
of Mathematics [7].
Chương 3 nhằm trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên
thông pháp dạng, bao gồm 2 mục. Trong mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu
một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết
với liên thông. Trong mục 3.2, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo
hàm Lie của liên thông pháp dạng và đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp
dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàm

Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên
đa tạp con Riemann và ứng dụng của nó trong trường hợp đa tạp con M
là siêu mặt. Các kết quả của chương này đã được công bố trên 03 tạp chí
J. Nonlinear Sci. Appl. ([42]), Southeast Asian Bulletin of Mathematics
([40]) và East-West Journal of Mathematics ([41]).
Các kết quả chính của luận án đã được viết thành 07 bài báo, trong
đó có 05 bài đã công bố trong các tạp chí toán học quốc tế (01 bài thuộc
danh mục SCIE, 01 bài thuộc danh mục ESCI, 01 bài đã có được 02 trích
dẫn) và 02 bài đã gửi đăng.


9

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Để thuận lợi cho việc trình bày chương 2 và chương 3, trong chương
này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về k−dạng vi
phân, liên thông, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều;
đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie
của k−dạng vi phân; các tính chất cơ bản của lý thuyết phân bố và lý
thuyết dòng trên đa tạp Riemann n−chiều.
Trong suốt luận án, ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann thực
n−chiều có cơ sở đếm được. Ta ký hiệu:
Tp M là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M .
k

(Tp M ) = {f | f : Tp M ×· · ·×Tp M → R là k−tuyến tính, phản xứng}.

F(M ) = f | f : M → R trơn trên M .
B(M )= {X | X là trường véctơ trơn trên M }.

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann
1.1.1 Định nghĩa. ([17, tr.723]) Mỗi k−dạng đa tuyến tính thay phiên
ω trên B(M )
ω : B(M ) × B(M ) × · · · × B(M ) → F(M )
(X1 , X2 , ..., Xk ) → ω(X1 , X2 , ..., Xk )
được gọi là k−dạng vi phân trơn (hay đơn giản là k−dạng trơn) trên M .
Ký hiệu không gian các k−dạng vi phân trơn trên M là Ωk (M ). Ta
quy ước Ω0 (M ) := F(M ).
Giả sử (U, x) là hệ tọa độ địa phương trên đa tạp Riemann M . Ta ký
∂
hiệu Ei = ∂x
, i = 1, 2, ..., n là các trường véctơ cơ sở trong U và {dxi } là
i
∂
1−dạng vi phân trên U đối ngẫu với { ∂x
} với i = 1, 2, ..., n. Khi đó, mỗi
i
k−dạng vi phân trơn trên U được biểu diễn dưới dạng
ϕi1 ...ik dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

ω=
1≤i1 ≤...≤ik ≤n


10

ở đây ϕi1 ...ik là các hàm trơn xác định trên U .
1.1.2 Định nghĩa. ([17, tr.697]) Giả sử ω ∈ Ωk (M ) và µ ∈ Ωl (M ). Tích
ngoài của ω và µ, ký hiệu ω ∧µ và được xác định bởi (ω ∧µ)p = ωp ∧µp , p ∈

M, trong đó ωp ∧ µp được xác định bởi
(ωp ∧ µp )(X1 (p), ..., Xk+l (p)) =
=

sign(δ)ωp Xδ(1) (p), ..., Xδ(k) (p) .µp Xδ(k+1) (p), ..., Xδ(k+l) (p) .
δ(1)≤...≤δ(k)
δ(k+1)≤...≤δ(k+l)

Ta quy ước f ∧ ω = f ω, với mọi f ∈ F(M ), ω ∈ Ωk (M ).
1.1.3 Mệnh đề. ([17, tr.697]) Cho ω ∈ Ωk (M ), µ, µ1 , µ2 ∈ Ωl (M ), η ∈
Ωp (M ). Khi đó
i) ω ∧ µ = (−1)kl µ ∧ ω;
ii) ω ∧ (µ1 + µ2 ) = ω ∧ µ1 + ω ∧ µ2 ;
iii) (ω ∧ µ) ∧ η = ω ∧ (µ ∧ η).
1.1.4 Định lý. ([17, tr.721]) Tồn tại duy nhất toán tử
d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M )
thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) Nếu f ∈ F(M ) thì df là 1−dạng vi phân xác định bởi
df (X) = X[f ], ∀f ∈ F(M ).
ii) d2 ω = 0.
iii) Với mọi ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ), ta có
d(ω ∧ µ) = dω ∧ µ + (−1)k ω ∧ dµ.
Ta gọi dω là vi phân ngoài của dạng vi phân ω. Trong trường hợp
dω = 0 thì ta nói ω là k−dạng đóng. Như vậy, mọi dạng có bậc cực đại
đều đóng. Trong trường hợp, tồn tại µ ∈ Ωk−1 (M ) sao cho dµ = ω thì ta
nói ω là k−dạng khớp.


11

1.1.5 Định lý. ([17, tr.725]) Với mọi k−dạng vi phân ω ∈ Ωk (M ), ta có
k+1

(−1)i−1 Xi [ω(X1 , ..., Xi , ..., Xk+1 )]+

dω(X1 , ...,Xk+1 ) =
i=1

+

(−1)i+j ω([Xi ; Xj ], X1 , ..., Xi , ..., Xj , ..., Xk+1 ),
1≤i
ở đây (X1 , ..., Xi−1 , Xi+1 ..., Xk+1 ) viết là (X1 , ..., Xi , ..., Xk+1 ).
1.1.6 Định nghĩa. ([17, tr.714])) Giả sử M, N là các đa tạp Riemann và
f : M → N là ánh xạ trơn. Khi đó, ánh xạ:
f ∗ : Ωk (N ) → Ωk (M )
ω → f ∗ω
được gọi là ánh xạ kéo lùi (pull-back) của k−dạng vi phân ω; trong đó
f ∗ ω được xác định bởi
(f ∗ ω)(X1 , ..., Xk ) = ω(f∗ X1 , ..., f∗ Xk ), ∀X1 , ..., Xk ∈ B(M ),
ở đây f∗ là ánh xạ tiếp xúc của f.
1.1.7 Mệnh đề. ([17, tr.719]) Cho M, N là các đa tạp khả vi và f : M →
N là ánh xạ trơn. Khi đó
i) f ∗ (ω ∧ µ) = f ∗ ω ∧ f ∗ µ, ∀ω ∈ Ωk (N ), ∀µ ∈ Ωl (N );
ii) f ∗ (ϕ) = ϕ ◦ f, ∀ϕ ∈ F(N );
iii) f ∗ (dω) = d(f ∗ ω), ∀ω ∈ Ωk (N ).
1.1.8 Mệnh đề. ([17, tr.714]) Giả sử M, N, G là các đa tạp khả vi và
f : M → N, g : N → G là các ánh xạ trơn. Khi đó, (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann
Trong mục này M luôn được giả thiết là đa tạp Riemann với mêtric
được ký hiệu là g.
´ xạ
1.2.1 Định nghĩa. ([24, tr.51]) Giả sử M là đa tạp Riemann. Anh
∇ : B(M ) × B(M ) → B(M )
(X, Y ) → ∇X Y


12

được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z, ∀X, Y, Z ∈ B(M );
ii) ∇X+Y (Z) = ∇X Z + ∇Y Z, ∀X, Y, Z ∈ B(M );
iii) ∇ϕX (Y ) = ϕ∇X Y ; ∀X, Y ∈ B(M ), ∀ϕ ∈ F(M );
iv) ∇X (ϕY ) = X[ϕ]Y + ϕ∇X Y, ∀X, Y ∈ B(M ), ∀ϕ ∈ F(M ).
Giả sử {Uα , Xα }α∈I là bản đồ địa phương trên M với hệ tọa độ địa
∂
, i = 1, 2, ..., n là các trường véctơ
phương (x1 , ..., xn ). Ta ký hiệu Ei = ∂x
i
n

cơ sở. Ta có sự biểu diễn ∇Ei Ej =

Γkij Ek . Khi đó, Γkij được gọi là thành

k=1

phần liên thông của ∇.

n

Với mọi X, Y ∈ B(M ), X =

n

Xi E i , Y =
i=1

n

∇X Y =

Yj Ej , ta có sự biểu diễn
j=1

n

Γkij Ek + Xi

Xi Yj
i,j=1

k=1

∂Yj
Ej .
∂xi

1.2.2 Định nghĩa. ([1, tr.115]) Đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp khả

song nếu trên M tồn tại một trường mục tiêu {E1 , E2 , ..., En }, nghĩa là,
với mọi p ∈ M, {E1 , E2 , ..., En } là một cơ sở của Tp M. Đặc biệt, Rn là đa
tạp khả song với trường mục tiêu

∂
∂
∂
∂x1 , ∂x2 , ..., ∂xn

.

1.2.3 Ví dụ. ([1, tr.115]) Giả sử M là đa tạp khả song với trường mục
n

tiêu {E1 , E2 , ..., En } . Với mọi X, Y ∈ B(M ), X =

n

Xi Ei , Y =
i=1

Yj Ej ,
j=1

n

ta đặt DX Y =

X[Yi ]Ei . Khi đó, D là liên thông tuyến tính trên M thỏa
i=1

mãn tính chất DEi Ej = 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n.
Khi M = Rn , liên thông tuyến tính D xác định như trên gọi là liên
thông tuyến tính chính tắc trên Rn .
1.2.4 Ví dụ. Gọi D là liên thông chính tắc trên R3 , ta xét ∇X Y = DX Y +
1
3
2 X × Y, ∀X, Y ∈ B(R ), với X × Y là tích có hướng của X và Y. Khi đó,
∇ là liên thông tuyến tính trên R3 .


13

1.2.5 Định nghĩa. ([24, tr.67]) Cho M là đa tạp Riemann với là liên
thông tuyến tính ∇. Liên thông ∇ gọi là tương thích với mêtric g nếu
X[g(Y, Z)] = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z), ∀X, Y, Z ∈ B(M ).

(1.1)

1.2.6 Định lý. ([24, tr.67]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liên thông
tuyến tính ∇. Liên thông ∇ tương thích với mêtric khi và chỉ khi với mọi
trường véctơ X và Y dọc đường cong c : I → M (I ⊂ R) , ta có
d
dX
dY
g(X, Y ) = g(
, Y ) + g(X,
),
dt
dt

dt

t ∈ I.

1.2.7 Định lý. ([24, tr.67]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liên thông
tuyến tính ∇. Liên thông ∇ tương thích với mêtric khi và chỉ khi với mọi
đường cong c : I → M (I ⊂ R) và với mọi trường véctơ song song X, Y
dọc c, ta có g(X, Y ) là hàm hằng trên I.
1.2.8 Định nghĩa. ([24, tr.68]) Một liên thông tuyến tính ∇ trên M được
gọi là liên thông đối xứng hoặc xoắn tự do (torsion free) nếu
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ],

∀X, Y ∈ B(M ).

1.2.9 Định lý. ([24, tr.68], Định lý cơ bản của Hình học Riemann). Giả
sử M là đa tạp Riemann với mêtric g. Khi đó, tồn tại duy nhất một liên
thông tuyến tính ∇ trên M thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ∇ là liên thông đối xứng;
2) ∇ tương thích với mêtric Riemann g.
1.2.10 Định nghĩa. ([24, tr.68]) Liên thông ∇ xác định trong Định lý
1.2.9 được gọi là liên thông Levi-Civita hay liên thông Riemann trên M .
1.2.11 Định nghĩa. ([24, tr.68]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liên
´ xạ
thông tuyến tính ∇. Anh
T : B(M ) × B(M ) → B(M )
(X, Y )

→ T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]

được gọi là tenxơ xoắn của liên thông ∇ trên đa tạp Riemann M.

14

1.2.12 Định nghĩa. ([24, tr.117]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liên
´ xạ
thông tuyến tính ∇. Anh
R : B(M ) × B(M ) × B(M ) → B(M )
(X, Y, Z)

→ R(X, Y, Z)

được gọi là tenxơ cong của liên thông ∇ trên đa tạp Riemann M , trong
đó R(X, Y, Z) được xác định bởi
R(X, Y, Z) = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z,
với mọi X, Y, Z ∈ B(M ).
1.2.13 Nhận xét. 1) T là tenxơ kiểu (2, 1).
2) R là tenxơ kiểu (3, 1).
3) T và R phản xứng theo X, Y , nghĩa là
T (X, Y ) = −T (Y, X),

R(X, Y, Z) = −R(Y, X, Z),

∀X, Y, Z ∈ B(M ).

4) Nếu M là đa tạp khả song với liên thông xác định như ở Ví dụ 1.2.3
thì ta có
T (Ei , Ej ) = −T (Ej , Ei ), R(Ei , Ej , Ek ) = 0.
5) Tenxơ xoắn và tenxơ cong của liên thông tuyến tính chính tắc trên
Rn đồng nhất bằng 0.

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về
đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie
của k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann M ([9], [15], [17], [22], [39]).
1.3.1 Định nghĩa. ([1, tr. 49]) Nhóm vi phôi một tham số (hay nhóm
một tham số) các phép biến đổi khả vi trên M, đó là ánh xạ ϕ : R × M →
M, (t, x) → ϕ(t, p) = ϕt (p) thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mỗi t ∈ R, ϕt : M → M, p → ϕt (p) = ϕ(t, p) ∈ M là vi phôi và
F0 (p) = p, ∀p ∈ M ;
2) Với t, s ∈ R, p ∈ M, ta có ϕt+s (p) = ϕt (ϕs (p)) .


15

1.3.2 Định nghĩa. ([1, tr. 49]) Ký hiệu Iε = (−ε, ε), với ε > 0 và U là
tập con mở của M . Nhóm vi phôi một tham số địa phương (hay nhóm
một tham số địa phương) trên M, đó là ánh xạ ϕ : Iε × U → M, (t, x) →
ϕ(t, p) = ϕt (p) thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mỗi t ∈ Iε , ϕt : U → M, p → ϕt (p) = ϕ(t, p) ∈ M là vi phôi từ
U lên ϕt (U ) và F0 (p) = p, ∀p ∈ U ;
2) Với t, s, t + s ∈ Iε và nếu p ∈ U, ϕs (p) ∈ U thì ϕt+s (p) = ϕt (ϕs (p)) .
1.3.3 Chú ý. ([1, tr. 49]) Nhóm một tham số ϕt trên M sinh ra trường
véctơ X xác định như sau: Với mỗi p ∈ M , ta lấy Xp là véctơ tiếp xúc với
đường cong: ρ(t) = ϕt (p) tại p. Đường cong này được gọi là quỹ đạo của
điểm p.
1.3.4 Định lý. ([1, tr. 50]) Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M
thì với mỗi p ∈ M, tồn tại một lân cận U của p, một số ε > 0 và nhóm
một tham số địa phương ϕt : U → M, t ∈ Iε sinh ra trường véctơ X đã
cho.

Định lý này suy ra từ kết quả trong lý thuyết phương trình vi phân.
Khi đó, ta nói rằng X sinh ra nhóm một tham số địa phương ϕt trong lân
cận của điểm p. Nếu tồn tại nhóm một tham số địa phương sinh ra trường
véctơ X thì X được gọi là trường véctơ đầy đủ ([1, tr. 50]).
1.3.5 Định nghĩa. ([17, tr. 727]) Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và ϕt là
nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường véctơ X. Đạo hàm Lie
của hàm số f theo trường véctơ X, ký hiệu LX f và được xác định bởi
(LX f )p =

d
f (ϕt (p))
dt

, ∀p ∈ M.
t=0

1.3.6 Mệnh đề. ([17, tr. 732]) Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và Ei =
∂
∂xi , i = 1, 2, ..., n là các trường véctơ cơ sở trên M . Khi đó
i) LX f = X[f ];
ii) LEi f =

∂f
∂xi ,

với i = 1, 2, ..., n.

1.3.7 Định nghĩa. ([17, tr. 727]) Giả sử X, Y ∈ B(M ) và ϕt là nhóm
một tham số địa phương sinh ra bởi trường véctơ X. Đạo hàm Lie của

16

trường véctơ Y theo trường véctơ X, ký hiệu LX Y và được xác định bởi
(LX Y )p = lim
t→0

(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) − Yp
t

t

=

d
(ϕ−t )∗|ϕt (p) Yϕt (p)
dt

, ∀p ∈ M.
t=0

Ta đặt (ϕ∗t Y ) (p) = (ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) , ∀p ∈ M, ∀Y ∈ B(M ). Khi đó
t

(LX Y )p =

d ∗
(ϕ Y ) (p)
dt t

, ∀p ∈ M.
t=0

1.3.8 Mệnh đề. ([17, tr. 733]) Cho X, Y ∈ B(M ) và f ∈ F(M ). Khi đó
i) LX (Y + Z) = LX Y + LX Z;
ii) LX (f Y ) = f LX Y + Y LX f ;
iii) LX Y = −LY X = [X, Y ].
1.3.9 Định lý. ([4, tr.243]) Giả sử X, Y ∈ B(M ) và ϕt là nhóm một tham
số địa phương sinh ra bởi trường véctơ X. Khi đó
d ∗
(ϕt Y ) = ϕ∗t LX Y.
dt
Bây giờ, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về
đạo hàm Lie của k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann M.
1.3.10 Định nghĩa. ([17, tr. 727]) Giả sử X ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ) và ϕt
là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường véctơ X. Đạo hàm
Lie của k−dạng vi phân ω theo trường véctơ X, ký hiệu LX ω và được xác
định bởi
ϕ∗t ωϕt (p) − ωp
d
(LX ω)p = lim
=
ϕ∗t ωϕt (p)
t→0
t
dt

, ∀p ∈ M,
t=0

ở đây ϕ∗t là ánh xạ kéo lùi k−dạng vi phân ω.
1.3.11 Định nghĩa. ([4, tr.415]) Cho X, X1 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ).
´ xạ
Anh
iX : Ωk (M ) → Ωk−1 (M )
ω → iX ω
được gọi là tích trong (interior product) của trường véctơ X đối với k−dạng
vi phân ω, trong đó iX ω được xác định bởi
(iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ) = ω(X, X1 , ..., Xk−1 ), ∀X1 , ..., Xk−1 ∈ B(M ).


17

Qui ước: iX ϕ = 0, ∀ϕ ∈ F(M ).
1.3.12 Mệnh đề. ([4, tr.415]) Giả sử X, Y là các trường véctơ trơn trên
M và ω, µ ∈ Ωk (M ), ϕ ∈ F(M ). Khi đó
i) iX (ω + µ) = iX ω + iX µ;
ii) iX+Y ω = iX ω + iY ω;
iii) iX dϕ = LX ϕ;
iv) iϕX ω = iX (ϕω) = ϕiX ω.
1.3.13 Mệnh đề. ([4, tr.415]) Cho X, Y ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ).
Khi đó
i) i2X = 0;
ii) iX iY + iY iX = 0;
iii) iX (ω ∧ µ) = iX ω ∧ µ + (−1)k ω ∧ iX µ.
1.3.14 Định lý. ([17, tr.728]) Giả sử X, X1 , X2 , ..., Xk ∈ B(M ); ω ∈ Ωk (M ).
Khi đó, đạo hàm Lie của k-dạng vi phân ω theo trường véctơ X được xác
định bởi công thức
k

(LX ω)(X1 , ..., Xk ) = LX (ω(X1 , ..., Xk )) −

ω(X1 , ..., LX Xi , ..., Xk ).
i=1

(1.2)
1.3.15 Định lý. ([17, tr.730]) Giả sử ω ∈ Ωk (M ) và X ∈ B(M ). Khi đó
LX ω = diX ω + iX dω.

(1.3)

Công thức (1.3) được gọi là công thức Cartan.
1.3.16 Mệnh đề. ([17, tr.728-732]) Giả sử ω ∈ Ωk (M ); X, Y ∈ B(M ).
Khi đó
i) LX ◦ d = d ◦ LX ;
ii) i[X,Y ] = LX iY − iY LX ;
iii) L[X,Y ] ω = LX LY ω − LY LX ω;
iv) LX iX ω = iX LX ω.


18

1.3.17 Mệnh đề. ([17, tr.732]) Giả sử ω ∈ Ωk (M ), ϕ ∈ F(M ) và X, Y là
các trường véctơ trơn trên M . Khi đó
i) LX (ω + µ) = LX ω + LX µ;
ii) LX+Y ω

= LX ω + LY ω;

iii) LX (ϕω)

= ϕLX ω + ωLX ϕ;

v) LϕX ω

= ϕLX ω + dϕ ∧ iX ω.

1.3.18 Mệnh đề. ([17, tr.728]) Cho ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ) và X là
trường véctơ trơn trên M . Khi đó
LX (ω ∧ µ) = LX ω ∧ µ + ω ∧ LX µ.
1.3.19 Định lý. ([26, tr.137], Định lý đạo hàm Lie). Giả sử X ∈ B(M ),
ϕt nhóm một tham số địa phương sinh bởi trường véctơ X và ω ∈ Ωk (M ).
Khi đó
d ∗
ϕt ω = ϕ∗t LX ω,
(1.4)
dt
ở đây ϕ∗t là ánh xạ kéo lùi của k−dạng vi phân ω.
Nếu t = 0 thì công thức (1.4) trở thành
LX ω =

d
dt

ϕ∗t LX ω.

(1.5)

t=0

Sau đây là ứng dụng của định lý đạo hàm Lie đối với hàm số (ω = f ∈
Ω0 (M ) = F(M )) để tìm nghiệm của phương trình vi phân trên Rn+1 dạng
∂f
(x, t) =
∂t

n

Xi (x)
i=1

∂f
(x, t)
∂xi

(1.6)

với điều kiện đầu f (x, 0) = g(x) và X1 , X2 , ..., Xn , g(x) là các hàm khả vi.
1.3.20 Định lý. ([4, tr.238]) Giả sử ϕt là nhóm một tham số được sinh
bởi trường véctơ X = (X1 , ..., Xn ) . Khi đó, f (x, t) = g (ϕt (x)) là nghiệm
của phương trình (1.6).
´ dụng định lý đạo hàm Lie trong trường hợp ω là hàm số,
Chứng minh. Ap
ta thu được
∂f
d
d
= (g ◦ ϕt ) = (ϕ∗t g) = ϕ∗t LX g = LX (ϕ∗t g) = X [f ] .
∂t
dt

dt
Vậy f (x, t) = g (ϕt (x)) là nghiệm của phương trình (1.6).


19

1.3.21 Ví dụ. Tìm nghiệm của phương trình vi phân
∂f
∂f
∂f
(x, t) = (x + y)
−
∂t
∂x ∂y

,

với điều kiện ban đầu f (x, y, 0) = g(x, y) = x2 + y 2 .
Giải. Nhóm một tham số sinh bởi trường véctơ X = (x + y, −x − y) là
ϕt (x, y) = ((x + y)t + x, −(x + y)t + y) . Do đó, áp dụng Định lý 1.3.20,
ta được nghiệm của phương trình vi phân đã cho là:
f (x, y, t) = g (ϕt (x, y)) = 2(x + y)2 t2 + x2 + y 2 + 2(x2 − y 2 )t.

1.3.22 Định nghĩa. ([26, tr.127]) Trường véctơ phụ thuộc thời gian trên
đa tạp M là ánh xạ X : R × M → T M sao cho X(t, p) ∈ Tp M với mọi
(t, p) ∈ R×M ; nghĩa là Xt ∈ B(M ), trong đó Xt (p) = X(t, p), với mọi p ∈
M. Nhóm một tham số phụ thuộc thời gian Ft,s sinh bởi trường véctơ Xt
được xác định bởi ánh xạ t → Ft,s (p) là đường cong tích phân của X đi
qua p tại thời điểm t = s, nghĩa là
d

Ft,s (p) = X (t, Ft,s (p)) = Xt (Ft,s (p)) và Fs,s (p) = p.
dt

(1.7)

1.3.23 Chú ý. ([26, tr.127]) i) Do tính duy nhất của đường cong tích phân
nên ta có Ft,s ◦ Fs,r = Ft,r và Ft,t = id;
ii) Ft∗ Xt = Xt , với Ft = Ft,0 .
1.3.24 Định lý. ([26, tr.137]), Định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian
thứ nhất đối với dạng). Giả sử Xt ∈ B(M ) là trường véctơ phụ thuộc thời
gian trên M và Ft,s là nhóm một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởi
trường véctơ Xt . Khi đó, với mọi ω ∈ Ωk (M ), ta có
d
dτ

∗
∗
Fτ,s
ω = Ft,s
(LXt ω) .
τ =t

Chứng minh. Áp dụng định lý đạo hàm Lie, ta được
d ∗
d
Ft,s ω =
dt
dr
Do đó,

d
∗
dτ τ =t Fτ,s ω

∗
(Fr,t ◦ Ft,s )∗ ω = Ft,s
r=t
∗
= Ft,s
(LXt ω) .

d
dr

∗
∗
Fr,t
ω = Ft,s
(LXt ω) .
r=t

(1.8)


20
k

´ xạ khả vi ω : R×M →
1.3.25 Định nghĩa. ([46, tr.204]) Anh

(Tp M ),

p∈M

(t, p) → ωt (p) = ω(t, p) được gọi là k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian
trên M .
1.3.26 Định lý. ([32, tr.131], Định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian
thứ hai đối với dạng). Giả sử ωt là k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian,
Xt ∈ B(M ) là trường véctơ phụ thuộc thời gian trên M và Ft,s là nhóm
một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởi trường véctơ Xt . Khi đó
d
dτ
ở đây ω˙t = ω(t)
˙
=

∗
∗
Fτ,s
ωτ = Ft,s
(LXt ωt + ω˙t ) ,

(1.9)

τ =t

∂ωt
∂t .

Chứng minh. Áp dụng 1.3.24, ta thu được

d
dτ

∗
Fτ,s
ωτ =
τ =t

d
dτ

∗
∗
Fτ,s
ωt + Ft,s
τ =t

dωτ
dτ

∗
= Ft,s
(LXt ωt + ω˙t ) .
τ =t

1.4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản về phân bố và dòng trên M . Giả sử (U, x) là bản đồ của M. Ta ký
hiệu Fc (U ) là không gian các hàm trơn với giá compact trên U.
´ xạ u: Fc (U ) → R tuyến tính, liên

1.4.1 Định nghĩa. ([18, tr.14]) Anh
tục được gọi là một phân bố trên U . Ta ký hiệu không gian các phân bố
trên U là D(U ).
1.4.2 Nhận xét. Cho u: Fc (U ) → R là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
u ∈ D(U ) ⇔ (ϕn → ϕ trong Fc (U ) =⇒ u(ϕn ) → u(ϕ) trong R) .
1.4.3 Định lý. ([18, tr.15]) Giả sử u là dạng tuyến tính trên Fc (U ). Khi
đó, u là phân bố trên U nếu và chỉ nếu với mọi tập compact K ⊂ U, tồn
tại k ≥ 0 và c > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ Fc (U ), suppϕ ⊂ K, ta có
Dα ϕ

|u(ϕ)| ≤ c

K,

(1.10)

|α|≤k

trong đó Dα ϕ

K

= sup {|Dα ϕ(x)| : x ∈ K} , Dα ϕ =

chỉ số α = (α1 , ..., αn ) ∈ Zn+ .

∂ α1 +...+αn ϕ
α
n,
∂x1 1 ...∂xα

n

với bộ đa


21

1.4.4 Chú ý. ([18, tr.15]) Giả sử u là dạng tuyến tính trên Fc (U ). Khi đó,
u là phân bố trên U nếu và chỉ nếu với mọi tập compact K ⊂ U, tồn tại
k ≥ 0 và c > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ Fc (U ), suppϕ ⊂ K, ta có
|u(ϕ)| ≤ c. max Dα ϕ
|α|≤k

ở đây Dα ϕ

K

K,

(1.11)

= sup {|Dα ϕ(x)| : x ∈ K} .

1.4.5 Ví dụ. ([18, tr.16]) Cho M = Rn , U ⊂ Rn là tập mở và f là hàm
´ xạ uf cho bởi
liên tục trên U. Anh
uf : Fc (U ) → R
ϕ → uf (ϕ) :=

f (x)ϕ(x)dx.

U

Khi đó, uf là một phân bố trên U.
Hiển nhiên uf là ánh xạ tuyến tính. Ta chứng minh uf liên tục. Thật
vậy, giả sử K là tập con compact của U, ϕ ∈ Fc (U ) : suppϕ ⊂ K, ta có:
|uf (ϕ)| =

f (x)ϕ(x)dx ≤
U

|f (x)ϕ(x)| dx
U

|f (x)| . |ϕ(x)| dx =

=
U

≤

|f (x)| . |ϕ(x)| dx
K

sup |ϕ(x)| . |f (x)| dx = ϕ
x∈K

|f (x)| dx = f

K

L1 (K) .

ϕ

K

.

K

K

Do đó, áp dụng Định lý 1.4.3 với k = 0, c = f
Vậy uf là một phân bố trên U.

L1 (K)

ta được uf ∈ D(U ).

1.4.6 Ví dụ. ([18, tr.16], Phân bố Dirac). Giả sử U ⊂ Rn là tập mở và
x0 ∈ U, xét ánh xạ
δx0 : Fc (U ) → R
ϕ → δx0 (ϕ) := ϕ(x0 ).
Khi đó, δx0 là một phân bố trên U . Phân bố δx0 được gọi là phân bố Dirac.