luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông (TT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE
CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 01. 05

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang
2. PGS. TS. Kiều Phương Chi

Phản biện 1:

...............................

Phản biện 2:

...............................

Phản biện 3:

...............................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Vinh
vào hồi .......... ngày .... tháng ..... năm ......

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh
2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán học
hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiên
cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen. Đây là lĩnh vực đã và đang
được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàm
Lie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con
có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.
Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìm
nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệ
Hamilton... Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa
học khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế,...
1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối những
năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các không
gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứng

dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ
động lực... Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu
của k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu
của A. T. Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...
1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các
đặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đang
được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Mặc dù cho đến nay đã có
nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu
hút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong
khoa học kỹ thuật. Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các
đạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các
đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie được
sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp. Trong những
năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K.
Habermann, A. Klein (2003); L. Fatibene, M. Francaviglia (2011); R. P. Singh, S. D.
Singh (2010); A. Ya. Sultanov (2010); J. D. Pérez (2014)...
Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp,
đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của dòng và liên thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạo
hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi
phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông... nhằm bổ sung
một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một
số ứng dụng của chúng.


2

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng,
đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của
phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc,
vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông và ứng dụng
của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann,
lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quá
trình thực hiện đề tài.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như:
Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng,
đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo
hàm Lie của liên thông pháp dạng... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên
đa tạp. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận
chuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm này xuất
hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều ứng dụng trong các
lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực... và các ngành:
Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật... Lý thuyết liên thông là một trong những công
cụ cơ bản của hình học Riemann. Đến những năm cuối của thế kỷ 20, cùng với sự
phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré... thì
hình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một
công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ

cong, độ xoắn, đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các
tính chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact.
S. Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số f theo trường
véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của hàm số theo trường
véctơ. Năm 1920, Élie Cartan định nghĩa một cách tự nhiên toán tử vi phân LX của
các dạng vi phân và chứng minh được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân
ngoài d. Đặc biệt, Élie Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức
Cartan
LX = d ◦ iX + iX ◦ d,
ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối với dạng vi phân.
´
nski cũng đã xuất
Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W. Slebodzi´


3

´
hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ X. W. Slebodzi´
nski đã
chứng minh được công thức toán tử vi phân LX của tích hai trường tenxơ và ứng
dụng vào việc tìm nghiệm của phương trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số
´
H(p, q), p = (pµ ), q = (q µ ), µ = 1, 2, ..., n, W. Slebodzi´
nski định nghĩa trường véctơ
XH =

∂H ∂
∂H ∂
−

∂pµ ∂q µ ∂q µ ∂pµ

và đã chứng minh được LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dq µ ∧ dpµ , B = ∂q∂µ ∧ ∂p∂µ .
Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân LX là đạo hàm Lie
mang tên nhà toán học S. Lie. Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig thu được nhiều kết
quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần
nhất mà có thể xem như không gian (n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông
đã đưa ra những ứng dụng của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng
của đường cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm
chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác đã được
quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: L. Berwald, E. Cartan,
N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L. P. Eisenhart, F. A. Ficken, H.
A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen, M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J.
Levine, W. Mayer, A. J. McConnel, A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A.
Schouten, J. L. Synge, A. H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.
Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik đã phát triển thêm một số tính chất
về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ thuật tính đạo hàm Lie đối
với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm 1957 K. Yano là người giới thiệu về lý
thuyết đạo hàm Lie và các ứng dụng của đạo hàm Lie. Việc nghiên cứu phép đạo
hàm Lie có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và
đặc biệt là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học
lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên cứu một
số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu A trong không gian
dạng phức. Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình bày một số kết quả về đạo hàm Lie
của trường tenxơ trên đa tạp Fiber. Năm 2008, K. R¨obenack đã đưa ra thuật toán
cho phép tính đạo hàm Lie bậc cao bằng máy tính.
Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi´c, S. M. Min˘ci´c, M. S. Stankovi´c đã nghiên
cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gian
với liên thông affine không đối xứng. Cùng trong thời gian này, A. Ya. Sultanov đã
xây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo

hàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các
độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị.
Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L. Fatibene và M. Francaviglia đã
trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nó
vào việc khảo sát không gian Minkowski. Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của
dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và
đưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact. Năm 2014, J. D. Pérez đã nghiên
cứu đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức.


4

Năm 2015, A. D. Nicola và I. Yudin đã nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm
Lie trên đại số Lie. Lior Falach và Reuven Segev đã phát biểu và chứng minh định
lý vận chuyển đối với dòng trên đa tạp mà đạo hàm Lie của dòng đóng vai trò quan
trọng.
7.2 Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời
cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công
trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1 được dành để giới thiệu kiến thức cơ sở của luận án, bao gồm 4 mục.
Mục 1.1 trình bày các kiến thức cơ bản về k−dạng vi phân trên đa tạp. Mục 1.2 giới
thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên thông Levi-Civita, tenxơ cong và
tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều. Mục 1.3 trình bày định nghĩa và các tính
chất cơ bản về đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm
Lie của k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình bày các khái niệm và
tính chất cơ bản về lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng.
Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng trên đa
tạp Riemann, bao gồm 4 mục. Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày định nghĩa và một

số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên đa tạp Riemann. Trong
mục 2.2, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng
suy rộng trên nhóm Lie. Trong mục 2.3, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng đạo hàm
Lie của dòng trong việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đối
với dòng trên đa tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu. Trong mục 2.4, chúng
tôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc. Đặc
biệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường véctơ X để đạo hàm Lie của dạng song bậc
(p, p) cũng là dạng song bậc (p, p). Việc nghiên cứu đạo hàm Lie của dạng và dòng
song bậc nhằm mục đích nghiên cứu đạo hàm Lie của dòng dương trong lý thuyết
đa thế vị. Các kết quả của chương này đã được công bố trên 02 tạp chí Lobachevskii
Journal of Mathematics, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications và gửi
đăng ở 02 tạp chí Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vietnam Journal of
Mathematics.
Chương 3 nhằm trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp
dạng, bao gồm 2 mục. Trong mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất về
đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết với liên thông. Trong mục 3.2,
chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và
đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứu
các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong
pháp dạng trên đa tạp con Riemann và ứng dụng của nó trong trường hợp đa tạp
con M là siêu mặt. Các kết quả của chương này đã được công bố trên 03 tạp chí J.
Nonlinear Sci. Appl., Southeast Asian Bulletin of Mathematics và East-West Journal
of Mathematics.


5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Để thuận lợi cho việc trình bày chương 2 và chương 3, trong chương này chúng

tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về k−dạng vi phân, liên thông,
tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều; đạo hàm Lie của hàm số,
đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân; các tính chất cơ
bản của lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng trên đa tạp Riemann n−chiều.

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm k−dạng vi phân, tích ngoài
của các dạng vi phân, vi phân ngoài và ánh xạ kéo lùi của dạng vi phân trên đa tạp
Riemann M .

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm liên thông tuyến tính, liên
thông Levi-Civita, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann M .

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm nhóm một tham số, tích trong
của trường véctơ đối với k−dạng vi phân, đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của
trường véctơ, đạo hàm Lie của k−dạng vi phân và các tính chất của nó, công thức
Cartan, trường véctơ phụ thuộc thời gian, k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian, định
lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối với dạng vi phân.

1.4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của phân bố, khái
niệm dòng trên đa tạp, tích ngoài của dòng và dạng, vi phân ngoài của dòng, ánh
xạ tiếp xúc, định lý Stokes và các phép toán của dòng trên đa tap Riemann.


6

Chương 2

ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG TRÊN ĐA TẠP
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của
dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc. Đồng thời ứng dụng
vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đối với dòng trên đa
tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.

2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng
Trong mục này, chúng tôi xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie của dòng và dạng
suy rộng trên đa tạp Riemann M . Từ đó, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất về
đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng. Đặc biệt là công thức kiểu Cartan đối với
dòng và dạng suy rộng, định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ
hai đối với dòng.
´ xạ
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ). Anh
£X : Dk (M ) → Dk (M )
T → £X T
được gọi là đạo hàm Lie của k−dòng T theo trường véctơ X trên M , trong đó £X T
được xác định bởi
(£X T )(ω) = T (LX ω), ∀ω ∈ Ωn−k
(M )
c
và LX ω là đạo hàm Lie của (n − k)−dạng vi phân ω theo trường véctơ X.
Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp.
2.1.2 Ví dụ. Cho E là tập con Borel của Rn , X là trường véctơ trên Rn và dòng
tích phân [E] được xác định bởi
α, ∀α ∈ Ωnc (Rn ).

[E](α) =
E

Khi đó, đạo hàm Lie của [E] theo trường véctơ X cho bởi
LX α, ∀α ∈ Ωnc (Rn ).

(£X ([E]))(α) =
E

Từ định nghĩa tích trong của trường véctơ đối với k−dạng vi phân, chúng tôi
xây dựng định nghĩa tích trong của trường véctơ đối với k−dòng dưới đây.
´ xạ
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ). Anh
iX : Dk (M ) → Dk−1 (M )
T → iX T


7

được gọi là tích trong của trường véctơ X đối với k−dòng T, trong đó iX T được xác
định bởi:
(iX T )(ω) = (−1)k−1 T (iX ω), ∀ω ∈ Ωn−k+1
(M ),
c
ở đây iX ω là tích trong của trường véctơ X đối với (n − k + 1)−dạng vi phân ω.
2.1.4 Mệnh đề. Giả sử T ∈ Dk (M ), X ∈ B(M ), ω ∈ Ωpc (M ). Khi đó
iX (T ∧ ω) = (iX T ) ∧ ω + (−1)k T ∧ (iX ω).
Sau đây là các tính chất về tích trong của trường véctơ đối với dòng.
2.1.5 Mệnh đề. Cho T, T ∈ Dk (M ); X, Y ∈ B(M ); ϕ ∈ F(M ), λ ∈ R. Khi đó
i) iX (T + T ) = iX T + iX T ;
ii) iX+Y (T ) = iX T + iY T ;
iii) iX (ϕT ) = ϕiX T ;
iv) iλX (T ) = λiX T.

´ dụng định nghĩa về tích trong của trường véctơ đối với dòng, vi phân ngoài
Ap
của dòng và công thức công thức Cartan đối với dạng vi phân, ta thu được công
thức kiểu Cartan đối với dòng sau đây.
2.1.6 Định lý. Giả sử T ∈ Dk (M ), X ∈ B(M ). Khi đó
£X T = d(iX T ) + iX (dT ).
Sử dụng công thức kiểu Cartan đối với dòng ta thu được các mệnh đề sau.
2.1.7 Mệnh đề. Cho T, T ∈ Dk (M ); X, Y ∈ B(M ); ϕ ∈ F(M ). Khi đó
i) £X (T + T ) = £X T + £X T ;
ii) £X+Y T
= £X T + £Y T ;
iii) £X (ϕT ) = ϕ£X T + T LX ϕ.
2.1.8 Mệnh đề. Giả sử T ∈ Dk (M ), X ∈ B(M ), ω ∈ Ωpc (M ). Khi đó
£X (T ∧ ω) = (£X T ) ∧ ω + T ∧ (LX ω).
2.1.9 Mệnh đề. Cho d là vi phân ngoài của k−dòng và £X là đạo hàm Lie của
k−dòng trên M. Khi đó, £X ◦ d = d ◦ £X .
2.1.10 Mệnh đề. Nếu T ∈ Dk (M ) là k−dòng đóng (tương ứng k−dòng khớp) thì
£X T là k−dòng đóng (tương ứng k−dòng khớp).
Sau đây là định lý về đạo hàm Lie đối với dòng.
2.1.11 Định lý. Giả sử X ∈ B(M ), T ∈ Dk (M ) và Ft là nhóm một tham số sinh
bởi trường véctơ X. Khi đó
d
(Ft )∗ T = (Ft )∗ £X T,
dt

(2.1)


8

ở đây (Ft )∗ là ánh xạ tiếp xúc (push-forward) của Ft .
Nếu t = 0 thì công thức (2.1) trở thành
£X T =

d
dt

(Ft )∗ T.

(2.2)

t=0

Bằng việc sử dụng định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất đối với
dạng vi phân ta nhận được định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất đối
với dòng sau đây.
2.1.12 Định lý. Giả sử T ∈ Dk (M ), Xt ∈ B(M ) là trường véctơ phụ thuộc thời
gian trên M và Ft,s là nhóm một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởi trường véctơ
Xt . Khi đó
d
(Fτ,s )∗ T = £Xt (Ft,s )∗ T .
(2.3)
dτ τ =t
Trong trường hợp τ = s thì công thức (2.3) trở thành
d
dτ

(Fτ,s )∗ T = £Xs (T ) .

(2.4)

τ =s

Từ định nghĩa đạo hàm Lie đối với dòng và định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời
gian thứ hai đối với dạng vi phân ta chứng minh được định lý đạo hàm Lie phụ
thuộc thời gian thứ hai đối với dòng dưới đây.
2.1.13 Định lý. Giả sử T ∈ Dk (M ), ωt ∈ Ωn−k
(M ) là (n − k)-dạng vi phân phụ
c
thuộc thời gian trên M , Xt ∈ B(M ), là trường véctơ phụ thuộc thời gian trên M và
Ft,s là nhóm một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởi trường véctơ Xt . Khi đó
d
dτ

(Fτ,s )∗ T (ωτ ) = (Ft,s )∗ T (ω˙t ) + £Xt (Ft,s )∗ T

(ωt ) ,

(2.5)

τ =t

t
ở đây ω˙t = ω(t)
˙
= ∂ω
∂t .
Đặc biệt, nếu τ = s thì công thức (2.5) trở thành

d

dτ

(Fτ,s )∗ T (ωτ ) = T (ω˙s ) + (£Xs T ) (ωs ) .

(2.6)

τ =s

Bây giờ, chúng tôi xét trong trường hợp đặc biệt dòng bậc n (phân bố). Giả sử
U là tập con mở trong M , ký hiệu D(U ) = Dn (U ) là không gian các phân bố với giá
compact trên U. Giả sử u ∈ D(U ) và X ∈ B(U ). Khi đó, ta có đạo hàm Lie £X u
của phân bố u được xác định bởi
(£X u)(ϕ) := u(LX ϕ), ∀ϕ ∈ Fc (U ),
trong đó LX ϕ là đạo hàm Lie của hàm số ϕ trên U theo trường véctơ X.
Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của phân bố.


9

2.1.14 Ví dụ. Giả sử f ∈ C(U ) là hàm liên tục trên U , X ∈ B(U ) và phân bố uf
cho bởi:
uf (ϕ) = f (x).ϕ(x)dx,
U

với mọi ϕ ∈ Fc (U ). Đạo hàm Lie của phân bố uf theo trường véctơ X cho bởi
(£X uf ) (ϕ) =

f (x).(LX ϕ)(x)dx.
U

Khi đó, £X uf là một phân bố trên U.
2.1.15 Định lý. Cho X = (X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ B(U ) và u ∈ D(U ). Khi đó
n

£X u = −
i=1

∂ (Xi u)
∂xi

2.1.16 Ví dụ. Giả sử H là một hàm trên R xác định như sau: H(x) = 0 nếu x < 0
và H(x) = 1 nếu x > 0. Ta định nghĩa phân bố Heaviside trên Fc (R), ký hiệu H và
được xác định bởi
∞

H(ϕ) :=

∞

H(x).ϕ(x)dx =
−∞

ϕ(x)dx,
0

với mọi ϕ ∈ Fc (R). Khi đó, đạo hàm Lie của phân bố Heaviside cho bởi
n

£X H = −
i=1

∂ (Xi H)
= − (XH) = −X .H − X.H = −X .H − X.δ,
∂xi

ở đây δ là phân bố Dirac và H = δ.
2.1.17 Định lý. Giả sử X ∈ B(U ), u, v ∈ D(U ) và {uk } , {vk } là dãy trong D(U ).
Khi đó
i) uk → u (k → ∞) trong D(U ) ⇒ £X uk → £X u trong D(U );
∞

∞

vk trong D(U ) ⇒ £X v =

ii) v =
k=1

£X vk .
k=1

2.1.18 Định nghĩa. Giả sử Xk = Xk1 , ..., Xkn là dãy các trường véctơ trên U và
X = X 1 , ..., X n ∈ B(U ). Dãy các trường véctơ {Xk } được gọi là hội tụ đến trường
véctơ X khi k → ∞ nếu các dãy hàm tọa độ Xkj hội tụ đến X j với mọi j = 1, n khi
k → ∞ trong Fc (U ).
2.1.19 Định lý. Giả sử {Xk } là dãy các trường véctơ và X ∈ B(U ). Khi đó, nếu
dãy {Xk } hội tụ đến X khi k → ∞ trong Fc (U ) thì dãy £Xk u hội tụ đến £X u khi
k → ∞ trong D(U ).

10

2.1.20 Định lý. Giả sử X = (X1 , ..., Xn ) ∈ B(U ); f, Xj ∈ Fc (U ) ∩ L1loc (U ) ∩ C(U ),
j = 1, 2, ..., n và uf là phân bố chính quy. Khi đó
£X uf = uLX f ,
ở đây C(U ) là không gian các hàm liên tục trên U.
Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng suy
rộng trên đa tạp Riemann n−chiều M . Ta ký hiệu Ωk (M ) là không gian các k−dạng
suy rộng trên M .
´ xạ
2.1.21 Định nghĩa. Anh
LX : Ωk (M ) → Ωk (M )
ω → LX ω
được gọi là đạo hàm Lie của k−dạng suy rộng ω theo trường véctơ X, trong đó LX ω
được xác định bởi
(LX ω)(T ) = ω(£X T ), với mọi T ∈ Dn−k (M ),
ở đây £X T là đạo hàm Lie của (n − k)−dòng T theo trường véctơ X.
´ xạ
2.1.22 Định nghĩa. Anh
d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M )
ω → dω
được gọi là vi phân ngoài k−dạng suy rộng ω, trong đó dω được định nghĩa bởi
dω(T ) = (−1)k+1 ω(dT ), với mọi T ∈ Dn−k−1 (M )
và dT là vi phân ngoài của (n − k − 1)−dòng T trên M .
2.1.23 Mệnh đề. Cho T ∈ Dk (M ), ω ∈ Ωp (M ) và ω ∈ Ωq (M ). Khi đó
i) d(T ∧ ω) = dT ∧ ω + (−1)n−k−1 T ∧ dω;
ii) d(ω ∧ ω ) = dω ∧ ω + (−1)p ω ∧ dω .
2.1.24 Mệnh đề. Nếu ω ∈ Ωk (M ) là k−dạng suy rộng đóng (tương ứng khớp) thì
LX ω là k−dạng suy rộng đóng (tương ứng khớp).
´ xạ

2.1.25 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ). Anh
iX : Ωk (M ) → Ωk−1 (M )
ω → iX ω
được gọi là tích trong của trường véctơ X đối với k−dạng suy rộng ω, trong đó iX ω
được xác định bởi
(iX ω)(T ) = (−1)k−1 ω(iX T ), ∀T ∈ Dn−k+1 (M )
và iX T là tích trong của trường véctơ X đối với (n − k + 1)−dòng T.


11

2.1.26 Mệnh đề. Cho T ∈ Dk (M ), X ∈ B(M ), ω ∈ Ωp (M ) và ω ∈ Ωq (M ). Khi đó
i) iX (T ∧ ω) = (iX T ) ∧ ω + (−1)n−k+1 T ∧ (iX ω);
ii) iX (ω ∧ ω ) = (iX ω) ∧ ω + (−1)p ω ∧ (iX ω ).

2.1.27 Nhận xét. Giả sử ω, ω ∈ Ωk (M ), X, Y ∈ B(M ), λ ∈ R. Khi đó
i) iX (ω + ω ) = iX ω + iX ω ;
ii) iX+Y (ω) = iX ω + iY ω;
iii) iX (λω) = λiX ω;
iv) iλX (ω) = λiX ω.
Sau đây là công thức kiểu Cartan đối với dạng suy rộng.
2.1.28 Định lý. Nếu ω ∈ Ωk (M ), X ∈ B(M ) thì
LX ω = d(iX ω) + iX (dω).
Từ Định lý 2.1.28 ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau.
2.1.29 Mệnh đề. Giả sử ω, ω ∈ Ωk (M ), X, Y ∈ B(M ). Khi đó
i) LX (ω + ω ) = LX ω + LX ω ;
ii) LX+Y ω
= LX ω + LY ω;
iii) LX (ω ∧ ω ) = LX ω ∧ ω + ω ∧ LX ω .
2.1.30 Định lý. Cho T ∈ Dk (M ), X ∈ B(M ), ω ∈ Ωp (M ), ω ∈ Ωq (M ). Khi đó

£X (T ∧ ω) = (£X T ) ∧ ω + T ∧ (LX ω).

2.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng
và dạng suy rộng trên nhóm Lie n−chiều G.
2.2.1 Bổ đề. Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G. Khi đó
i) iX ◦ L∗a = L∗a ◦ iX ;
ii) LX ◦ L∗a = L∗a ◦ LX ;
trong đó LX là đạo hàm Lie của dạng vi phân theo trường véctơ X và iX là tích trong
của trường véctơ X đối với dạng vi phân trên G.
2.2.2 Định lý. Giả sử X là trường véctơ bất biến trái và T là k−dòng bất biến trái
trên G. Khi đó, £X T là k-dòng bất biến trái trên G.
2.2.3 Bổ đề. Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G. Khi đó
i) iX ◦ (La )∗ = (La )∗ ◦ iX ;
ii) £X ◦ (La )∗ = (La )∗ ◦ £X ;
trong đó £X là đạo hàm Lie của dòng và iX là tích trong của trường véctơ X đối với
dòng trên G.
2.2.4 Định lý. Cho X là trường véctơ bất biến trái và ω là k−dạng suy rộng bất
biến trái trên nhóm Lie G. Khi đó, LX ω là k−dạng suy rộng bất biến trái trên G.


12

Từ đây trở đi ta luôn giả thiết G là nhóm Lie compact n−chiều và µ là độ đo
Haar trên G, µ(G) = 1. Với mỗi T ∈ Dk (G), ta đặt
((Lx )∗ T )(ω)dx, ∀ω ∈ Ωn−k
(G).
c

(FG T ) (ω) =

G

Với mỗi dạng suy rộng ω ∈ Ωk (G) ta đặt
(FG∗ ω) (T ) =

(L∗x ω)(T )dx, ∀T ∈ Dn−k (G).
G

2.2.5 Mệnh đề. Giả sử T là k−dòng trên G. Khi đó
i) FG T là k−dòng bất biến trái trên G;
ii) Nói riêng, nếu T là k−dòng bất biến trái trên G thì FG T = T.
2.2.6 Mệnh đề. Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G. Khi đó
i) £X ◦ FG = FG ◦ £X ;
ii) LX ◦ FG∗ = FG∗ ◦ LX ;
trong đó £X và LX lần lượt là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng.
2.2.7 Định lý. Cho dT là (k + 1)−dòng bất biến trái trên G, X ∈ B(G). Khi đó,
£X (FG T ) − £X T và (Lx )∗ T − T đều là các dòng đóng, với mọi x ∈ G.
Mệnh đề sau suy ra trực tiếp từ định lý Stockes và công thức kiểu Cartan đối
với dòng.
2.2.8 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm Lie compact có biên ∂G khác rỗng, X ∈ B(G)
và T là (n − 1)−dòng trên G. Khi đó
£X (dT ) =
G

iX dT.
∂G

Sử dụng Định lý 2.2.7, Mệnh đề 2.1.9 và định lý Stokes đối vơi dòng ta thu được
mệnh đề sau.
2.2.9 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm Lie compact có biên ∂G khác rỗng, X ∈ B(G)

và dT là n−dòng bất biến trái trên G. Khi đó, £X (dT ) = 0.

2.3 Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng
Định lý vận chuyển Reynolds có nhiều ứng dụng trong vật lý như: Cơ học lượng
tử, động lực học... Định lý vận chuyển Reynolds tổng quát đối với dạng vi phân trên
đa tạp M được cho bởi công thức sau
d
dt

ωt =
Ft (V )

(ω˙t + LX ωt ) ,
Ft (V )

trong đó ωt là k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian trên đa tạp M, Ft là nhóm một
tham số địa phương sinh bởi trường véctơ X và V là đa tạp con k−chiều của M .


13

Đạo hàm Lie của dạng vi phân trên đa tạp M có vai trò quan trọng trong định lý
vận chuyển Reynolds đối với dạng vi phân. Năm 2014, Lior Falach và Reuven Segev
đã chứng minh công thức vận chuyển trong định lý vận chuyển đối với dòng mà đạo
hàm Lie £X T của dòng đóng vai trò quan trọng. Một điều thú vị là toán tử vận
chuyển Rϕ (t) (T ) chính là đạo hàm Lie £Xt ((ϕt )∗ T ) của k−dòng (ϕt )∗ T .
Giả sử B, M là hai đa tạp Riemann, với dimB < dimM và I ⊂ R là các tập con
bị chặn, [a, b] ⊂ I. Ta ký hiệu Emb(B, M ) là tập hợp các phép nhúng từ B vào M.
´ xạ khả vi m : I → Emb(B, M ), t → m(t) gọi là một chuyển động (motion).
Anh

2.3.1 Định nghĩa. Chuyển động m sinh ra ánh xạ
ϕ:I ×B →M
(τ, x) → ϕ(τ, x) = m(τ )(x)
Ta thường ký hiệu ϕτ : B → M, x → ϕτ (x) = ϕ(τ, x) = m(τ )(x). Hiển nhiên, chuyển
động m sinh ra ánh xạ đồng luân ϕ : [a, b] × B → M của ϕa và ϕb .
Giả sử Km ⊂ B là tập con compact của B sao cho với bất kỳ x ∈
/ Km và với mọi
t, t ∈ I ta có
ϕ(t, x) = ϕ (t , x) .
(2.7)
Do đó, với x ∈
/ Km và t ∈ I ta có
ϕ˙ t (x) = 0.

(2.8)

Với mỗi t ∈ I nào đó, ta ký hiệu tập B = ϕt (B) và Km = ϕt (Km ).
Với mỗi t ∈ I, ϕt = m(t) ∈ Emb(B, M ), tồn tại ánh xạ ngược ηt : Im(ϕt ) =
B → B sao cho ϕt ◦ ηt = idB với idB là ánh xạ đồng nhất. Xét trường véctơ
vt : B → T M,

vt = ϕ˙ t ◦ ηt ,

(2.9)

sao cho vt (x) = 0, với mọi x ∈ B \Km . Trường véctơ vt được mở rộng một cách tự
nhiên đến trường véctơ Xt : M → T M được xác định bởi
Xt (x) =

vt (x),

0,

x∈B,
x∈B.

(2.10)

Do đó, Xt là trường véctơ khả vi và triệt tiêu trên M \Km . Vì vậy, X : I × M → T M
là trường véctơ phụ thuộc thời gian được định nghĩa trên M (Falach, 2014).
Với s, t ∈ I, ta xét ánh xạ Fs,t : M → M được xác định bởi
Fs,t (x) =
Do đó

ϕs ◦ ηt (x), x ∈ B ,
x,
x∈B.

(2.11)

∂Fs,t
(x) = Xs (Fs,t (x)) , Ft,t (x) = x.
(2.12)
∂s
Vậy ánh xạ Fs,t là nhóm một tham số được sinh ra bởi trường véctơ phụ thuộc thời
gian Xt và với mỗi s, t ∈ I, ta có ϕs = Fs,t ◦ ϕt .
Bằng cách sử dụng định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ hai đối với dòng
ta chứng minh được định lý vận chuyển đối với dòng sau đây.


14

2.3.2 Định lý. (Định lý vận chuyển đối với dòng). Giả sử T ∈ Dk (B) là k−dòng
trên đa tạp B có giá compact và ωt ∈ Ωn−k
(M ) là (n − k)−dạng phụ thuộc thời gian.
c
Khi đó
d
((ϕτ )∗ T ) (ωτ ) = ((ϕt )∗ T ) (ω˙t ) + (£Xt ((ϕt )∗ T )) (ωt ) ,
(2.13)
dτ τ =t
ở đây Xt là trường véctơ phụ thuộc thời gian xác định trong công thức (2.10), ϕt là
t
ánh xạ trong Định nghĩa 2.3.1 và sử dụng ký hiệu ω˙t = ∂ω
∂t .
Từ công thức kiểu Cartan và định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất
đối với dòng, ta thu được định lý sau đây.
2.3.3 Định lý. Giả sử T ∈ Dk (B) là k−dòng trên đa tạp B có giá compact. Khi
đó, toán tử vận chuyển được xác định bởi công thức
Rϕ (t) (T ) =

d
dτ

(ϕτ )∗ T,

(2.14)

τ =t

ở đây Xt là trường véctơ phụ thuộc thời gian xác định trong công thức (2.10) và ϕt

là ánh xạ trong Định nghĩa 2.3.1.
Áp dụng Định lý 2.3.3, ta dễ dàng chứng minh được công thức đồng luân đối với
dòng sau đây.
2.3.4 Hệ quả. Giả sử T ∈ Dk (B) là k−dòng trên đa tạp B có giá compact. Khi đó,
công thức đồng luân đối với dòng được xác định bởi
b

(ϕb )∗ T − (ϕa )∗ T =

£Xt ((ϕt )∗ T ) dt,

(2.15)

a

ở đây Xt là trường véctơ phụ thuộc thời gian xác định trong công thức (2.10) và ϕt
là ánh xạ trong Định nghĩa 2.3.1.
2.3.5 Định lý. Cho P là đa tạp con định hướng, compact có biên p−chiều của đa
tạp Riemann B. Giả sử X là trường véctơ pháp dạng trên P , Ft là nhóm một tham
số địa phương mở rộng lên B sinh bởi trường véctơ X, ω là dạng thể tích trên Ft (P )
và TP dòng tích phân bậc 0 trên P . Khi đó
d
Vol (Ft (P )) = £X TFt (P )
dt

(ω) .

(2.16)

Đặc biệt, nếu t = 0 thì công thức (2.16) trở thành

(£X TP )(ω) =

d
dt

ở đây sử dụng ký hiệu: Vol (Ft (P )) =

t=0

Vol(Ft (P )),

(2.17)

ω.
Ft (P )

2.3.6 Hệ quả. Cho P là đa tạp con định hướng, compact có biên p−chiều của đa
tạp Riemann B. Giả sử X là trường véctơ pháp dạng trên P , Ft là nhóm một tham
số địa phương mở rộng lên B sinh bởi trường véctơ X và TP dòng tích phân bậc 0
trên P . Khi đó, nếu £X TP = 0 thì P là đa tạp con cực tiểu.


15

2.4 Đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng
và dòng song bậc trên đa tạp phức. Đặc biệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường
véctơ X để đạo hàm Lie của dạng song bậc (p, p) cũng là dạng song bậc (p, p), từ đó
chúng tôi định nghĩa đạo hàm Lie của dòng song bậc.
Giả sử M c là đa tạp phức n-chiều và (U, {z1 , z2 , ..., zn }), zj = xj + iyj , j = 1, n là

hệ tọa độ địa phương trên tập mở U ⊂ M c . Ký hiệu Ω(p,q) (M c , C) là không gian các
dạng vi phân song bậc (p, q) trên M c . Bằng cách tính toán trực tiếp, chúng tôi thu
được công thức tính đạo hàm Lie của dạng vi phân ω song bậc (1, 1) sau đây.
n

2.4.1 Định lý. Giả sử ω =

ϕjk dzj ∧ dz k ∈ Ω(1,1) (M c , C) và X = (X1 , X2 , ..., Xn )

j,k=1

là trường véctơ trơn trên M. Khi đó
n

X [ϕjk ] dzj ∧ dz k + ϕjk dXj ∧ dz k − dX k ∧ dzj .

LX ω =

(2.18)

j,k=1

Từ Định lý 2.4.1, ta thu được hệ quả sau.
2.4.2 Hệ quả. Giả sử X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là trường véctơ chỉnh hình trên M c và
n

ω =

ϕjk dzj ∧ dz k ∈ Ω(1,1) (M c , C). Khi đó, LX ω ∈ Ω(1,1) (M c , C) và LX ω được

j,k=1

xác định bởi công thức sau
n

n

LX ϕjk dzj ∧ d¯
zk +

LX ω =
j,k=1

l=1

∂Xj
dzl ∧ d¯
zk −
ϕjk
∂zl

n

ϕjk
l=1

¯k
∂X
d¯
zl ∧ dzj .

∂ z¯l

Trong trường hợp X là trường véctơ chỉnh hình trên M c thì đạo hàm Lie của
dạng vi phân song bậc (1, 1) cũng là dạng vi phân song bậc (1, 1). Bây giờ, sử dụng
phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được đạo hàm Lie của dạng vi phân
song bậc (p, p) cũng là dạng vi phân song bậc (p, p) trong trường hợp X là trường
véctơ chỉnh hình trên M c .
2.4.3 Định lý. Nếu X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là trường véctơ chỉnh hình trên M c và
ω=
ϕJK dzJ ∧ dz K ∈ Ω(p,p) (M c , C) là dạng vi phân song bậc (p, p) trên M c
thì

|J|=|K|=p
LX ω ∈ Ω(p,p) (M c , C).

Các ví dụ sau đây nhằm minh họa cho Định lý 2.4.3.
2.4.4 Ví dụ. Cho M c = C2 , ω = z12 dz1 ∧ dz 1 , X = (z1 , z2 ). Khi đó
LX ω = 4z12 dz1 ∧ dz 1 ∈ Ω(1,1) (C2 , C).
2.4.5 Ví dụ. Cho M c = C2 , ω = z1 z2 dz2 ∧ dz 2 , X = (z 2 , z 1 ). Chú ý rằng, X không
´ dụng Định lý 2.4.1, ta dễ dàng tính toán
phải là trường véctơ chỉnh hình trên C2 . Ap
2
2
được LX ω = |z1 | + |z2 | dz2 ∧ d¯
z2 + z1 z2 d¯
z1 ∧ d¯
z2 − z1 z2 dz1 ∧ dz2 ∈
/ Ω(1,1) (C2 , C).

16

2.4.6 Hệ quả. Giả sử X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là trường véctơ chỉnh hình và bị chặn
trên M c ; ω =

n

ϕjk dzj ∧ dz k ∈ Ω(1,1) (M c , C) là dạng vi phân song bậc (1, 1) trên

j,k=1
c

M . Khi đó

n

X[ϕjk ]dzj ∧ d¯
zk .

LX ω =

(2.19)

j,k=1

2.4.7 Nhận xét. Giả sử X là trường véctơ chỉnh hình trên M c .
i) Nếu f ∈ O(M c ) thì LX f ∈ O(M c );
ii) Nếu ω ∈ Ωphol (M c ) thì LX ω ∈ Ωphol (M c ).
2.4.8 Nhận xét. Nếu u ∈ C ∞ (M c , C) thì
n

c

LX dd u = 2i
j,k=1

∂ 2 (LX u)
dzj ∧ d¯
zk .
∂zj ∂ z¯k

(2.20)

Sau đây là định nghĩa đạo hàm Lie của dòng song bậc.
´ xạ
2.4.9 Định nghĩa. Cho X là trường véctơ chỉnh hình trên M c . Anh
£X : D(p,p) (M c , C) → D(p,p) (M c , C)
T → £X T
được gọi là đạo hàm Lie của dòng song bậc (p, p) theo trường véctơ X, trong đó £X T
được xác định bởi
(£X T )(ω) = T (LX ω), ∀ω ∈ Ω(n−p,n−p) (M c , C).
và LX ω là đạo hàm Lie của dạng song bậc (n − p, n − p) theo trường véctơ X.
Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của dòng song bậc.
2.4.10 Ví dụ. Cho M c = Cn và U là tập con mở của Cn . Giả sử ψ là (p, p)−dạng
vi phân song bậc trên U với các hệ số khả tích địa phương. Khi đó, ψ xác định một
(p, p)−dòng Tψ trên U cho bởi
ψ ∧ α, ∀α ∈ Ω(n−p,n−p) (Cn , C).

Tψ (α) =
U

Do đó, đạo hàm Lie của (p, p)−dòng song bậc Tψ theo trường véctơ chỉnh hình X
được xác định bởi
ψ ∧ LX α, ∀α ∈ Ω(n−p,n−p) (Cn , C)

(£X Tψ ) (α) =
U

2.4.11 Mệnh đề. Giả sử T, T ∈ D(p,p) (M c , C), ϕ ∈ F(M c ) và X, Y là các trường
véctơ chỉnh hình trên M c . Khi đó
i) £X (T + T ) = £X T + £X T ;
ii) £X+Y T
= £X T + £Y T.


17

Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi thu được những kết quả sau:
• Xây dựng công thức kiểu Cartan đối với dòng và dạng suy rộng (Định lý 2.1.6,
Định lý 2.1.28), từ đó chứng minh một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng
suy rộng (Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8, Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.1.29, Mệnh đề
2.1.30). Đưa ra công thức tính đạo hàm Lie của phân bố (Định lý 2.1.15), chứng
minh sự hội tụ của dãy đạo hàm Lie theo nghĩa phân bố (Định lý 2.1.17, Định lý
2.1.19). Phát biểu Định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối
với dòng (Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13).
• Đưa ra Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.7 và Mệnh đề 2.2.9 về đạo hàm
Lie của dòng và dạng suy rộng bất biến trái trên G.
• Chỉ ra ứng dụng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp trong việc chứng minh Định
lý vận chuyển đối với dòng (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) và chứng minh công thức
đồng luân đối với dòng trên đa tạp (Hệ quả 2.3.4). Mô tả đạo hàm Lie của dòng tích

phân trên đa tạp con (Định lý 2.3.5) và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu (Hệ
quả 2.3.6).
• Đưa ra Định lý 2.4.1, Hệ quả 2.4.2, Định lý 2.4.3 để khẳng định đạo hàm Lie
của dạng song bậc (p, p) cũng là dạng song bậc (p, p) trong trường hợp X là trường
véctơ chỉnh hình. Đưa ra các Ví dụ 2.4.4 và Ví dụ 2.4.5 nhằm minh họa cho Định lý
2.4.3. Trên cơ sở đó chúng tôi xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie của dòng song bậc
(p, p) trên đa tạp phức M c .
Các kết quả trên đã được viết thành các bài:
• K. P. Chi, N. H. Quang and B. C. Van (2012), The Lie derivative of currents
on Lie group, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33(1), 10 - 21.
• Bui Cao Van (2016), On the Lie derivative of forms of bidegre, Bulletin of
Mathematical Analysis and Applications (to appear).
• B. C. Van (2016), Some note on the Lie derivative of currents of bidegree,
Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Submitted.
• K. P. Chi, N. H. Quang and B. C. Van (2016), Some properties on the Lie
derivative of currents and its applications, Vietnam Journal of Mathematics, Submitted.


18

Chương 3
ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên
thông, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng
và tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con M của đa tạp Riemann M . Bước đầu
chúng tôi thu được một số kết quả trong trường hợp M là siêu mặt trong M .

3.1 Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về vi phân ngoài liên
kết d∇ với liên thông tuyến tính ∇ trên đa tạp Riemann M và mối quan hệ giữa

đạo hàm Lie LX và vi phân ngoài liên kết d∇ . Trước hết, ta nhớ lại k−dạng vi
phân khả vi ω trên M với giá trị trên B(M ) là k−dạng tuyến tính, phản xứng
ω : B(M ) × B(M ) × · · · × B(M ) → B(M ). Ta ký hiệu không gian k−dạng vi phân
với giá trị trên B(M ) là Ωk (M, B(M )).
3.1.1 Định lý. Giả sử ω ∈ Ωk (M, B(M )) và X ∈ B(M ). Khi đó
LX ω = d (iX ω) + iX (dω) .

(3.1)

Công thức (3.1) gọi là công thức kiểu Cartan của dạng vi phân với giá trị trên B(M ).
´ xạ
3.1.2 Định nghĩa. Cho X ∈ B(M ) và ∇ là liên thông tuyến tính trên M . Anh
LX ∇ : B(M ) × B(M ) → B(M )
(Y, Z) → (LX ∇)(Y, Z) = LX (∇Y Z) − ∇LX Y Z − ∇Y (LX Z)
được gọi là đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính ∇ theo trường véctơ X.
3.1.3 Định lý. Giả sử θ ∈ Ω1 (M, B(M )) và X ∈ B(M ). Khi đó
LX (d∇ θ) − d∇ (LX θ) (Y, Z) = (LX ∇) (Y, θ (Z)) − (LX ∇) (Z, θ (Y )) ,
với mọi Y, Z ∈ B(M ).
3.1.4 Hệ quả. Nếu X là trường véctơ affine-Killing trên M thì LX giao hoán được
với d∇ , nghĩa là:
LX (d∇ θ) = d∇ (LX θ) ,
với mọi θ ∈ Ω1 (M, B(M )).
3.1.5 Mệnh đề. Giả sử X, Y, Z ∈ B(M ); θ ∈ Ω1 (M, B(M )). Khi đó
(LX (∇Y θ)) (Z) − (∇Y (LX θ)) (Z) = (LX ∇Y ) (θ(Z)) − θ ([[X, Y ] , Z]) .
3.1.6 Mệnh đề. Giả sử ∇ là liên thông đối xứng trên M và X là trường véctơ song
song trên M. Khi đó
∇X (LX ω) = LX (∇X ω) , với mọi ω ∈ Ωk (M, B(M )).


19

3.1.7 Mệnh đề. Cho X, Y, Z ∈ B(M ) và ∇ là liên thông đối xứng trên M. Khi đó
(LX ∇) (Y, Z) = ∇2Y,Z X + R(X, Y, Z),

(3.2)

ở đây ∇2X,Y Z là đạo hàm hiệp biến cấp hai của trường véctơ Z theo các trường véctơ
X, Y.
3.1.8 Chú ý. Giả sử ∇ là liên thông đối xứng trên M.
i) Nếu X là trường véctơ affine-Killing trên M thì ta có
R(X, Y, Z) = ∇2Z,Y X, với mọi Y, Z ∈ B(M );
ii) Nếu X là trường véctơ song song trên M thì ta có
R(X, Y, Z) = (LX ∇)(Y, Z), với mọi Y, Z ∈ B(M ).
Giả sử D là liên thông chính tắc trên Rn . Tập hợp tất cả các phép đạo hàm của
trường véctơ trên không gian Rn được ký hiệu bởi D = {DX |X ∈ B(Rn )}. Ta có
DX+Y = DX + DY , với mọi X, Y ∈ B(Rn ) và DλX = λDX , với mọi λ ∈ R. Như vậy
D là một không gian véctơ thực. Ta đặt
[DX , DY ] = DX ◦ DY − DY ◦ DX , với mọi X, Y ∈ B(Rn ).
Khi đó, D là đại số Lie với phép toán Lie
[DX , DY ] = D[X,Y ] , ∀X, Y ∈ B(Rn ).
3.1.9 Nhận xét. Nếu X là trường véctơ song song trên Rn thì ta có
LX DY = D[X,Y ] , với mọi DY ∈ D.
Bây giờ ta xét ánh xạ co thứ hai CY2 theo trường véctơ Y ∈ B(M ) của liên thông
tuyến tính ∇ được xác định bởi
CY2 ∇ (X) = ∇X Y, với mọi X, Y ∈ B(M ).

(3.3)

3.1.10 Mệnh đề. Giả sử X, Y, Z ∈ B(M ) và ϕ ∈ F(M ). Khi đó
i) CY2 ∇ (X + Z) = CY2 ∇ (X) + CY2 ∇ (Z) ;

ii) CY2 ∇ (ϕX) = ϕ CY2 ∇ (X) ;
iii) CY2 ∇ ([X, Z]) = ∇X CY2 ∇ (Z) − ∇Z CY2 ∇ (X) − R(X, Y, Z).
3.1.11 Mệnh đề. Giả sử X, Y, Z ∈ B(M ). Khi đó
d∇ CY2 ∇ (X, Z) = R(X, Z, Y ).
d∇

(3.4)

Đặc biệt, khi M = Rn và ∇ là liên thông tuyến tính chính tắc trên Rn , ta có
CY2 ∇ = 0.

3.1.12 Định lý. Giả sử ∇ liên thông đối xứng, X là trường véctơ song song trên M
và ω ∈ Ω2 (M, B(M )). Khi đó
∇X ω = d∇ (iX ω) + iX (d∇ ω) .

(3.5)


20

Giả sử ϕ : M → M là vi phôi và ϕt là nhóm một tham số sinh bởi trường véctơ
X. Khi đó, ϕ ◦ ϕt ◦ ϕ−1 t∈R là nhóm một tham số sinh bởi trường véctơ Y = ϕ∗ X.
Từ đó, suy ra (ϕs )∗ X = X, ∀s ∈ R.
3.1.13 Định lý. Giả sử ω ∈ Ωk (M, B(M )), X ∈ B(M ) và ϕt là nhóm một tham số
sinh bởi trường véctơ X. Khi đó, ta có
∇X (ϕ∗t ω) = ϕ∗t (∇X ω) .

(3.6)

3.2 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng

Trong mục này, chúng tôi đưa ra định nghĩa đạo hàm Lie của liên thông pháp
dạng và đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó
nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và của tenxơ
cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann M .
Giả sử (M, g) là đa tạp con n-chiều của đa tạp Riemann m-chiều M , g . Ta
ký hiệu ∇, ∇ tương ứng là liên thông Levi-Civita của M , M và ∇⊥ là liên thông
pháp dạng. Ta thường ký hiệu tích vô hướng , (hoặc ·) thay cho mêtric g và g.
Với mỗi p ∈ M , không gian tiếp xúc Tp M được phân tích thành tổng trực tiếp
Tp M = Tp M
Np M , trong đó Np M := (Tp M )⊥ là phần bù trực giao của Tp M
trong không gian Tp M , ký hiệu N(M ) =
Np M . Ký hiệu B(M ), B(M ) là không
p∈M

gian các trường véctơ khả vi trên M , M tương ứng và N(M ) là không gian các
trường véctơ pháp dạng khả vi trên M .
´ xạ hN : B(M ) → B(M ) được xác định bởi
3.2.1 Định nghĩa. Cho N ∈ N(M ). Anh
hN (X) = − ∇X N

, ∀X ∈ B(M )

được gọi là ánh xạ Weingarten.
´ xạ
3.2.2 Định nghĩa. Anh
∇X hN : B(M ) → B(M )
Y → (∇X hN )(Y ) = ∇X (hN (Y )) − hN (∇X Y )
được gọi là đạo hàm của ánh xạ Weingarten hN theo một trường véctơ X.
´ xạ
3.2.3 Định nghĩa. Anh

h⊥
N : B(M ) → N(M )
⊥
X → h⊥
N (X) = ∇X N

được gọi là ánh xạ Weingarten pháp dạng trên M .
3.2.4 Nhận xét. Giả sử N, K ∈ N(M ). Khi đó
⊥
⊥
i) h⊥
N (X + Y ) = hN (X) + hN (Y ) , ∀X, Y ∈ B(M );
⊥
ii) h⊥
N (ϕX) = ϕhN (X) , ∀X ∈ B(M ), ∀ϕ ∈ F(M );
⊥
⊥
⊥
⊥
iii) h⊥
N +K = hN + hK và hϕN = ϕhN với mọi ϕ ∈ F(M ).

(3.7)


21

´ xạ
3.2.5 Định nghĩa. Cho X ∈ B(M ) và ∇⊥ là liên thông pháp dạng trên M . Anh
⊥

L⊥
X ∇ : B(M ) × N(M ) → N(M )

(Y, N )

⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
→ (L⊥
X ∇ )(Y, N ) = LX (∇Y N ) − ∇[X,Y ] N − ∇Y (LX N ).

được gọi là đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng ∇⊥ theo trường véctơ X,
3.2.6 Mệnh đề. Giả sử X, Y ∈ B(M ). Khi đó
⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
L⊥
[X,Y ] ∇ = LX (LY ∇ ) − LY (LX ∇ ).

(3.8)

3.2.7 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ) và R⊥ là tenxơ cong pháp dạng của đa tạp
´ xạ
con M . Anh
⊥

L⊥
X R : B(M ) × B(M ) × N(M ) → N(M )

(Y, Z, N )

⊥
→ (L⊥
X R )(Y, Z, N )

được gọi là đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng R⊥ theo trường véctơ X trên M,
⊥
trong đó (L⊥
X R )(Y, Z, N ) được xác định bởi
⊥
⊥
⊥
⊥
(L⊥
X R )(Y, Z, N ) = LX (R (Y, Z, N )) − R (LX Y, Z, N )−

− R⊥ (Y, LX Z, N ) − R⊥ (Y, Z, L⊥
X N ).

(3.9)

Áp dụng định nghĩa đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trong trường hợp M
là siêu mặt ta thu được mệnh đề sau.
3.2.8 Mệnh đề. Nếu M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ pháp dạng đơn vị
trên M thì ta có
⊥

⊥
⊥
(3.10)
(L⊥
X R )(Y, Z, N ) = −R (Y, Z, LX N ),
với mọi X, Y, Z ∈ B(M ).
Định lý sau mô tả công thức đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng R⊥ và đạo
hàm Lie của liên thông pháp dạng ∇⊥ theo trường véctơ X trên đa tạp con M.
3.2.9 Định lý. Đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng R⊥ và đạo hàm Lie của liên
thông pháp dạng ∇⊥ theo trường véctơ trên đa tạp con M thỏa mãn đẳng thức sau
⊥
⊥ ⊥
⊥
(L⊥
([Y, Z], N ) + L⊥
(Y, ∇⊥
X R )(Y, Z, N ) = − LX ∇
X∇
Z N )−
⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
− L⊥
(Z, ∇⊥
(Y, N ))
X∇
Y N ) + ∇Y ((LX ∇ )(Z, N )) − ∇Z ( LX ∇

với mọi X, Y, Z ∈ B(M ), với mọi N ∈ N(M ).
´ xạ
3.2.10 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ) và N ∈ N(M ). Anh
⊥
L⊥
X hN : B(M ) → N(M )
⊥
⊥
⊥
⊥
Y → L⊥
X hN (Y ) = LX (hN (Y )) − hN ([X, Y ])

được gọi là đạo hàm Lie của ánh xạ Weingarten pháp dạng h⊥
N theo trường véctơ X.


22

3.2.11 Mệnh đề. Giả sử X ∈ B(M ) và N ∈ N(M ). Khi đó
⊥
⊥
⊥
⊥
i) L⊥
X hN (Y ) = LX (∇Y N ) − ∇[X,Y ] N, với mọi Y ∈ B(M );
⊥
⊥
⊥
ii) L⊥

(Y, N ) = L⊥
X∇
X hN (Y ) − hL⊥ N (Y ) , với mọi Y ∈ B(M );
X

iii)

L⊥
X

∇Y h⊥
N

(Z) =

L⊥
X

(h⊥
)(Y
h⊥
N (Z)

⊥
) − L⊥
X ∇∇Y Z N −

⊥
⊥
− ∇⊥

Y ∇[X,Z] N + ∇∇Y [X,Z] N, với mọi Y, Z ∈ B(M ).

3.2.12 Định lý. Giả sử X, Y ∈ B(M ), N ∈ N(M ). Khi đó
R(X, Y, N ) = R⊥ (X, Y, N ) − ∇X hN (Y ) + ∇Y hN (X)−
− h∇⊥Y N (X) + h∇⊥X N (Y ) .
Bây giờ, ta xét trong trường hợp M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ
pháp dạng đơn vị trên M. Khi đó, liên thông pháp dạng ∇⊥ của siêu mặt M là liên
thông phẳng. Do đó, từ Định lý 3.2.12 ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau.
3.2.13 Hệ quả. Nếu M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ pháp dạng đơn vị
trên M thì ta có
R(X, Y, N ) = ∇Y hN (X) − ∇X hN (Y ),

(3.11)

với mọi X, Y ∈ B(M ).
Mệnh đề sau cho phép ta tính đạo hàm Lie của tenxơ cong R trên M .
3.2.14 Mệnh đề. Giả sử M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ pháp dạng
đơn vị trên M . Khi đó
LX R (Y, Z, N ) = LX ∇Z hN

(Y ) − LX ∇Y hN

(Z)+

+ ∇[X,Y ] hN (Z) − ∇[X,Z] hN (Y ) − R(Y, Z, L⊥
X N ),
với mọi X, Y, Z ∈ B(M ).
Từ Định lý 3.2.12 ta thu được định lý sau.
3.2.15 Định lý. Giả sử X, Y ∈ B(M ) và N, K ∈ N(M ). Khi đó
R(X, Y, N, K) = R⊥ (X, Y, N, K) − hK X, hN Y + hK Y, hN X .

(3.12)

Hệ quả sau cho phép ta tính tenxơ cong của M thông qua ánh xạ Weingarten trên
siêu mặt.
3.2.16 Hệ quả. Nếu M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ pháp dạng đơn vị
trên M. Khi đó
R(X, Y, N, K) = hK Y, hN X − hK X, hN Y ,
với mọi X, Y ∈ B(M ), K ∈ N(M ).

(3.13)


23

3.2.17 Định nghĩa. Giả sử ϕ : B(M ) → N(M ) là một đồng cấu môđun. Đạo hàm
liên kết với ∇⊥ của ϕ, ký hiệu d∇⊥ ϕ và được xác định bởi
⊥
(d∇⊥ ϕ) (X, Y ) = ∇⊥
X ϕ (Y ) − ∇Y ϕ (X) − ϕ ([X, Y ]) , ∀X, Y, Z ∈ B(M ).

3.2.18 Mệnh đề. Cho ϕ : B(M ) → N(M ) là một đồng cấu môđun. Khi đó, ánh xạ
d∇⊥ ϕ : B(M ) × B(M ) → N(M ) là song tuyến tính, phản xứng.
Từ Hệ quả 3.2.8 ta thu được Địnhh lý 3.2.19 sau đây.
3.2.19 Định lý. Giả sử M là siêu mặt trong M và N là trường véctơ pháp dạng đơn
vị trên M . Khi đó
⊥
L⊥
(Y, Z, N ) = − d∇⊥ h⊥
XR

L⊥ N (Y, Z) ,

(3.14)

X

với mọi X, Y, Z ∈ B(M ).

Kết luận chương 3
Trong chương này, chúng tôi thu được những kết quả sau.
• Đưa ra một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên
kết với liên thông trên đa tạp Riemann (Định lý 3.1.3, Mệnh đề 3.1.7, Mệnh đề 3.1.11,
Định lý 3.1.12).
• Đưa ra Định lý 3.2.9, Hệ quả 3.2.8, Định lý 3.2.12, Hệ quả 3.2.13, Mệnh đề 3.2.14,
Định lý 3.2.15, Hệ quả 3.2.16, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của liên
thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann
và ứng dụng của nó trong trường hợp đa tạp con M là siêu mặt.
Các kết quả này được đăng trên các bài báo:
• N. H. Quang and B. C. Van (2016), Some properties of the Lie derivative and the
conjugate derivative d∇ with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics
(to appear).
• B. C. Van and T. T. K. Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of
linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124.
• B. C. Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J. Nonlinear Sci.
Appl., 9(2016), 4247 - 4256.