PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------------------

NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

1


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu…………………………………………………………………...4
Chƣơng 1: Các phƣơng trình và hệ thức cơ sở
1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị của vỏ cầu…………………………..6
1.2: Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu……………………………...8
1.3: Phương trình cân bằng………………………………………........10
Chƣơng 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu
2.1: Trạng thái màng trước khi mất ổn định……………………………12
2.2: Phương trình ổn định………………………………………………13
2.3: Phương pháp giải ………………………………………………….15
Chƣơng 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu
có cơ tính biến thiên
3.1: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn .....25
3.2: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn q..27

3.3: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của p và q..30
Tài liệu tham khảo…………………………………………………....32
Phụ lục……………………………………………………...……….….

2


Mở đầu
VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM )
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ra
nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian. FGM là một loại vật
liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ và
liên tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tập
trung, giảm ứng suất nhiệt và ứng suất dư. Những vật liệu này thường được
sản xuất từ hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khác
nhau. Loại vật liệu này có thể chịu được sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn
định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động. Với những đặc điểm
ưu việt đó mà lớp vật liệu này đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi
trong thực tế đặc biệt là trong các nghành công nghiệp đóng tàu, hàng không,
vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v...
Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có
nhiều công trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu bằng loại
vật liệu này. Đối tượng được nghiên cứu nhiều về ổn định và dao động
thường là bản hoặc vỏ. V. Birman [13] đã đưa ra các hệ thức về ổn định của
bản composite FGM, E. Feldman và J. Abouli [5] nghiên cứu về ổn định đàn
hồi của bản FGM bị nén, J. N. Reddy [6] đưa ra phương pháp nghiên cứu về
sự uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM. Đối với vỏ nón, Tani đã
nghiên cứu tính mất ổn định động của vỏ nón cụt đẳng hướng dưới tải dọc
trục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi mất ổn định [10] và
dưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sử

dụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân hữu hạn. Cũng sử dụng
phương pháp này ông đã phân tích ảnh hưởng của độ võng ban đầu đến ổn
định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12]. Xu và đồng sự sử dụng phương

3


pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để nghiên cứu dao động tự do
của vỏ nón cụt dày bằng vật liệu composite lớp [14]. Paczos và Zielnica áp dụng
phương pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi
dẻo dưới tác động của tải nén và áp suất [9]. Đào Huy Bích và đồng sự đã sử
dụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiên
cứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1].
Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev
để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu được
ngàm. Dumir đã tìm được đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyến
của chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố đều song song
với trục đối xứng [8]. Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGM
chịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích gần đúng được trình bày trong
công trình của Đào Huy Bích [3]. Gần đây, Đ. H. Bích cùng Đ.V.Dũng và
L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầu
FGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [4]. Trong bài viết đó, các tác giả đã
sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phương pháp Bubnov – Galerkin để xác định
lực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trường hợp ổn định tĩnh và phương pháp số
Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ. Ngoài ra, Đ.H.Bích và
H.V Tùng cũng đã công bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục
bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố đều đồng
thời chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [2].
Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên
dưới tác dụng của lực song song với trục đối xứng và áp suất ngoài. Phương

pháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và áp dụng
tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu. Tác giả cũng
đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn khi

4


các yếu tố về tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay đổi và đưa ra một vài
nhận xét tương ứng.

Chương 1: CÁC PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ
Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội
lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố
đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài.

1.1

Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu

Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy

, bán kính vỏ cầu là R. Vỏ

cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm.
Gắn hệ trục tọa độ φ,

theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng và

z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1.

Hình 1.

5


Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm
và kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độ
cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị
đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian
rất ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay
đổi liên tục theo độ dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và
hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa.
Gọi

tương ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm.

và

Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức:
trong đó :

với k là số mũ đặc trưng tỉ phần khối lượng (k≥0).
Modul đàn hồi

Để đơn giản ta chọn

const vì sự khác biệt của hệ số Poison của các

vật liệu không lớn. Trong bài toán với vỏ cầu thoải để tính toán thuận tiện ta
đặt:

với r là bán kính hình tròn song song với mặt đáy. Khi đó:
do φ nhỏ nên

,

điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễn theo 2 tọa độ

6

. Bằng cách này các
và

.


Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị và
biến dạng được biểu diễn bởi:

trong đó:

với:

u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hướng các tọa

độ , 𝜃 và z tương ứng.

;

;

là biến dạng ở mặt giữa.

tương ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn.

1.2

Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu

Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

7


Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ cầu
ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp.

trong đó:

Với:

8


Từ (1.4) và (1.5) ta có :

Ngược lại từ (1.4) ta có :

1.3 Phƣơng trình cân bằng
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy

, bán kính vỏ cầu là R chịu

tác dụng của áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng.

9


Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ.
Sử dụng (1.10) và (1.11) phương trình (1.12) được viết lại dưới dạng :

Сhƣơng 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU
Trong chương này nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ cầu mất ổn
định. Từ đó xây dựng phương trình ổn định, tiến hành giải bài toán bằng cách
áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin.

2.1

Trạng thái màng trƣớc khi mất ổn định.

10


Trạng thái lực màng trước khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân bố P
song song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q được xác định từ hệ
phương trình sau:

trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (2.1) ta được:

suy ra:

Thay

2.2

vào (2.2) ta xác định được

:

Phƣơng trình ổn định.

Các phương trình ổn định tuyến tính có thể nhận được bằng cách sử
dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh.

11


Ký hiệu
trạng

thái

là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất phát, ứng với
cân

bằng

lân

cận

ta

có

chuyển

vị

.
(u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái cân bằng lân cận tương ứng cùng dạng
tải trọng như dạng cân bằng

,

là gia số chuyển vị

nhỏ tùy ý. 𝛿

là gia số lực tổng hợp và

momen tổng hợp ứng với
Các lực tổng hợp và momen

;

;

𝛿

𝛿

và

đều thỏa mãn

các phương trình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phương trình nhận được
tương ứng và tuyến tính hóa phương trình mới nhận này ta có:

Thay (1.1) vào (1.4) và (1.5) ta được các lực tổng và momen theo chuyển
vị ở hai trạng thái, qua đó xác định được gia số chuyển vị, gia số lực và
momen, giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với

và

. Tiếp tục thay

các đại lượng này vào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu được phương trình ổn định

12


với các ẩn

và

. Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu

(2.7)

trong đó:

13


Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại

ta có:

2.3. Phƣơng pháp giải.
Để giải quyết bài toán ta sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin, với
điều kiện biên (2.9) được thỏa mãn nếu ta chọn:

14


Thay (2.10) vào (2.7) ta được hệ phương trình tương ứng:

trong đó:

15


16

17


Vì
(2.12) với

, ta nhân cả hai vế của phương trình (2.11) và

nên

, phương trình (2.13) với
:

18

rồi lấy tích phân trên khoảng


trong đó

lần lượt là vế trái của các phương trình (2.11),

(2.12), (2.13). Từ đó ta được hệ phương trình:

(2.14)

Với:

19

20


Hệ phương trình (2.14) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định
thức:

từ đó ta có:

Các trường hợp riêng:
1.

Vỏ

chỉ

Vỏ

chỉ

chịu tác dụng của lực p:

2.
chịu tác dụng của áp suất q:

3. Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q:

21

Đặt

khi đó ta có:

Trong các công thức (2.17) – (2.19) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số
sóng m, n có mặt trong các hệ số

. Lực tới hạn được xác định bởi các giá

trị nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tương ứng:

Đặt :

Biểu diễn lại các hệ số ta được:

22


23


Chƣơng 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ
Mặc dù đã xác định được dạng hiển của lực tới hạn nhưng việc tìm giá
trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn về mặt toán học vì vậy để khắc phục chúng ta
tiến khảo sát tính toán số bằng phần mềm Matlab trong từng trường hợp
riêng: Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q
và chịu tác dụng đồng thời của hai lực p, q.
3.1. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p
Để nghiên cứu tính ổn định của vỏ cầu ta xét vỏ cầu bằng vật liệu là hỗn
hợp của nhôm (kim loại) có modun đàn hồi

(gốm) có modun đàn hồi

và oxit nhôm

, để đơn giản ta lấy hệ số Poiison

;cho kích thước vỏ

;

24

R/h =


1000. Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìm giá trị nhỏ
nhất đối với lực p (xem phụ lục), từ đó tìm được lực p đạt giá trị nhỏ nhất tại
(m, n) = (4, 1). Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 và bảng 1.

Hình 2. Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1
với R/h = 1000;

;

Bảng 1. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn
k

.

p (m,n), GPa

0

1,0852
(2,1)

0,6580
(3,1)

0,6233
(4,1)

0,7378
(5,1)

0,9392
(6,1)

1

0,6358
(2,1)

0,3710
(3,1)

0,3350
(4,1)

0,3834

(5,1)

0,4790
(6,1)

2

0,4908
(2,1)

0,2871
(3,1)

0,2601
(4,1)

0,2983
(5,1)

0,3732
(6,1)

3

0,4200
(2,1)

0,2492
(3,1)

0,2298
(4,1)

0,2671
(5,1)

0,3366
(6,1)

25