bài tập toán cao cấp b2

ˆN - D
´.C (8+4)
- I.NH THU
Chu.o.ng 1. MA TRA
.
I. Ma trˆ
a.n
`om m × n
a.n c˜
o. m × n l`
a mˆ
o.t ba’ng sˆ
o´ gˆ
* Cho m, n nguyˆen du.o.ng. Ta go.i ma trˆ
.
.
.
.
sˆ
o´ thu. c d¯u o. c viˆe´t th`
anh m h`
ang, n cˆ
o.t c´
o da.ng nhu sau:


(ai,j )m×n

a1,1

a
=  2,1
...
am,1

a1,2
a2,2
...
am,2

...
...
...
...


a1,n
a2,n 

...
am,n

trong d¯´
o c´
ac sˆ
o´ thu..c
ai,j , i = 1, m, j = 1, n
`an tu’. cu’ a ma trˆ
a.n, chı’ sˆ
o´ i chı’ h`

ang v`
a chı’ sˆ
o´ j chı’ cˆ
o.t cu’a
a c´
ac phˆ
d¯u.o..c go.i l`
.
`an tu’ ma trˆ
phˆ
a.n.
* Ma trˆ
a.n c˜
o. 1 × n d¯u.o..c go.i l`
a ma trˆ
a.n h`
o. m × 1 d¯u.o..c go.i l`
a ma
ang, ma trˆ
a.n c˜
.
.
.
´
trˆ
a.n cˆ
o.t, ma trˆ
a.n c˜
o n × n d¯u o. c go.i l`
a ma trˆ

a.n vuˆ
ong cˆ
a p n.
`om c´
`an tu’.
* Trˆen ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a´p n, d¯u.o
`.ng ch´eo gˆ
ac phˆ
ai,i , i = 1, n
`om c´
`an tu’.
o.ng ch´
eo ch´ınh, d¯u.o
ad
¯u.`
`.ng ch´eo gˆ
ac phˆ
d¯u.o..c go.i l`
ai,n+1−i , i = 1, n
o.ng ch´
eo phu. cu’a ma trˆ
a.n.
ad
¯u.`
d¯u.o..c go.i l`
.
`

`
´
`
`eu b˘
’
* Ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a p n c´
o c´
ac phˆ
an tu n˘
a m ngo`
ai d¯u.`
o.ng ch´eo ch´ınh d¯ˆ
a ng 0,
ngh˜ıa l`
a:
ai,j = 0, ∀i = j
a ma trˆ
a.n ch´
eo.
d¯u.o..c go.i l`
* Ma trˆ
a.n ch´eo c´
o
ai,i = 1, i = 1, n
a ma trˆ
a.n d
¯o.n vi. cˆ

a´p n, k´
y hiˆe.u In .
d¯u.o..c go.i l`
.
* Ma trˆ
a.n c˜
o m × n c´
o
ai,j = 0, ∀i, j : i > j
a ma trˆ
a.n bˆ
a.c thang.
d¯u.o..c go.i l`
.
`
`an tu’. d¯`ˆeu b˘
* Ma trˆ
a.n c˜
o m × n c´
o c´
ac phˆ
a ng 0 d¯u.o..c go.i l`
a ma trˆ
a.n khˆ
ong, k´
y
hiˆe.u 0m,n .
* Ta go.i ma trˆ
a.n chuyˆ
e’n vi.



AT = (aj,i )n×m

a1,1
a
=  1,2
...
a1,n

a2,1
a2,2
...
a2,n

...
...
...
...


am,1
am,2 

...
am,n
Typeset by AMS-TEX

cu’a ma trˆ
a.n



A = (ai,j )m×n

a1,1
 a2,1
=
...
am,1

a1,2
a2,2
...
am,2

2

...
...
...
...


a1,n
a2,n 


...
am,n

` ng c´
u. A b˘
a
ach chuyˆe’n h`
ang th`
anh cˆ
o.t, cˆ
o.t th`
anh h`
ang.
l`
a ma trˆ
a.n c´
o d¯u.o..c t`
.
.
.
`
´
`an
* Hai ma trˆ
a.n c`
ung c˜
o (ai,j )m×n v`
a b˘
a ng nhau nˆeu c´
ac phˆ

a (bi,j )m×n d¯u o. c go.i l`
.
.
.
` ng nhau:
`eu b˘
u ng vi. tr´ı d¯ˆ
a
tu’ o’ t`
ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
a mˆ
o.t ma trˆ
a.n c˜
o. m × n, trong d¯´
o
+ Tˆ
o’ng (hiˆe.u) cu’a hai ma trˆ
a.n c`
ung c˜
o. m × n l`
.
.
.
`an tu’ cu’a ma trˆ
`an tu’ o’ vi. tr´ı tu.o.ng u
phˆ
a.n tˆ
o’ng (hiˆe.u) l`
a tˆ
o’ng (hiˆe.u) c´

ac phˆ
´.ng:
(ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n
v´
o.i
ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
o.ng cu’a sˆ
o´ thu..c α v´
o.i ma trˆ
a.n c˜
o. m × n l`
a ma trˆ
a.n c˜
o. m × n, trong d¯´
o
+ T´ıch vˆ
o hu.´
.
.
.
.
.
.
.
`an tu’ l`
`an tu’ o’ vi. tr´ı tu o ng u
`au:
mˆ
o˜i phˆ
a t´ıch cu’a α v´

o i phˆ
´ ng cu’a ma trˆ
a.n ban d¯ˆ
(ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n
v´
o.i
ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
o.ng c´
o t´ınh phˆ
an bˆ
o´ v´
o.i ph´ep cˆ
o.ng c´
ac ma trˆ
a.n: α.(A+ B) = α.A +α.B,
+ T´ıch vˆ
o hu.´
.
´
v´
o i ph´ep cˆ
o.ng c´
ac hˆe. sˆ
o: (α + β).A = α.A + β.B, c´
o t´ınh kˆe´t ho..p:
α.(β · A) = (α.β) · A.
+ T´ıch cu’a hai ma trˆ
a.n A = (ai,j )m×n v`
a B = (bj,k )n×q l`
a ma trˆ

a.n
C = A × B = (ci,k )m×q ,
v´
o.i

n

ci,k =

ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q.
j=1

V´ı du..


1 3
2 4
3 5

 
 
1.1 + 3.1 + 2.3
2
1 3




7 × 1 −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3
3.1 + 5.1 + 6.3

3 2
6


 
10 4
1.3 − 3.1 + 2.2
2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16 
26 16
3.3 − 5.1 + 6.2




3

an
+ Ph´ep nhˆ
an hai ma trˆ
a.n c´
o t´ınh kˆe´t ho..p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ınh phˆ
.
phˆ
o´i d¯ˆ
o´i v´
o i ph´ep cˆ
o.ng:
A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C.
Ngo`
ai ra, nˆe´u A c´

o c˜
o. m × n, th`ı
A × In = Im × A = A.
- i.nh th´
II. D
u.c
* Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta go.i ho´
an vi. cu’ a tˆ
a.p E l`
a mˆ
o.t song a
´nh f : E → E,
k´
y hiˆe.u
1
2
...
n
f:
f (1) f (2) . . . f (n)
hay
(f (1), f (2), . . . , f (n))
(c´
o tˆ
a´t ca’ n! ho´
an vi. kh´
ac nhau).
´
V´ı du.. Cho E = {1, 2, 3}. Anh
xa. f : E → E x´

ac d¯i.nh bo’.i: f(1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 2
l`
a mˆ
o.t ho´
an vi. cu’a E, k´
y hiˆe.u l`
a
1 2
1 3

3
2

ho˘
a.c
(1, 3, 2).
* Cho mˆ
o.t ho´
an vi.
1
f (1)

f:

2
f(2)

...
...

n
f (n)

ta th`
anh lˆ
a.p c´
ac c˘
a.p th´
u. tu..
(f(i), f (j)), ∀i = j,
o.t c˘
a.p (f (i), f (j)) d¯u.o..c go.i l`
a nghi.ch thˆ
e´ nˆe´u
s˜e c´
o Cn2 c˘
a.p th´
u. tu.. nhu. thˆe´; mˆ
(i − j)(f(i) − f(j)) < 0.
Go.i N(f ) l`
a sˆ
o´ c´
ac nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi. f (c´
o trong Cn2 c˘
a.p th´
u. tu.. trˆen).
V´ı du.. T`ım sˆ
o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi.

f :

1 2
3 2

3
1

4 5
5 4

.




4

an vi. n`
ay, ta c´
o c´
ac c˘
a.p th´
u. tu..
T`
u. ho´
(3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4),
trong d¯´
o ta c´
o c´

ac nghi.ch thˆe´:
(3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4),
suy ra N(f ) = 4
- i.nh th´
* Cho ma trˆ
a.n (A)n,n . D
a mˆ
o.t sˆ
o´ thu..c, k´
y hiˆe.u v`
a x´
ac d¯i.nh nhu.
u.c cu’ a A l`
sau:
det(A) =
(−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
f ∈Sn

`an tu’. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆ
a.y, d¯i.nh
trong d¯´
o Sn l`
a tˆ
a.p tˆ
a´t ca’ n! ho`
an vi. cu’a n phˆ
.
´
’
th´

u c cua ma trˆ
a.n A l`
a mˆ
o.t sˆ
o:
` ng tˆ
+ b˘
a
o’ng d¯a.i sˆ
o´ cu’a n! ha.ng tu’. da.ng
a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
`an tu’. ai,j m`
a t´ıch cu’a n phˆ
+ mˆ
o˜i ha.ng tu’. l`
a mˆ
o˜i h`
ang, mˆ
o˜i cˆ
o.t pha’i c´
o mˆ
o.t
.
`an tu’ tham gia v`
v`
a chı’ mˆ
o.t phˆ
ao t´ıch d¯´
o.
+ dˆ

a´u cu’a mˆ
o˜i ha.ng tu’. phu. thuˆ
o.c v`
ao sˆ
o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi. tu.o.ng u
´.ng.
.
.
.
.
.
* Ta go.i d
¯i.nh th´
u c cˆ
a´p 2 l`
a gi´
a tri. t´ınh d¯u o. c t`
u ba’ng 2 h`
ang, 2 cˆ
o.t nhu sau:
a1,1
a2,1

a1,2
= a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2
a2,2

a´p 3 l`
a gi´

a tri. t´ınh d¯u.o..c t`
u. ba’ng 3 h`
ang, 3 cˆ
o.t nhu. sau:
* Ta go.i d
¯i.nh th´
u.c cˆ
a1,1
a2,1
a3,1

a1,2
a2,2
a3,2

a1,3
a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3
a3,3
− a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3

- ˆe’ t´ınh nhanh d¯i.nh th´
a´p 3, ta viˆe´t cˆ
o.t th´
u. nhˆ
a´t v`
a th´
u. hai tiˆe´p theo v`
ao bˆen
+ D
u.c cˆ

pha’i ba’ng n´
oi trˆen:
a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2
a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2
.
`
`an tu’. n˘
`an tu’ lˆ
a´y dˆ
a´u cˆ
o.ng l`
a t´ıch c´
ac phˆ
a m trˆen c´
ac d¯u.o
`.ng ch´eo song song
th`ı 3 phˆ
.
.
.
.
.
` m trˆen c´
`an tu’ lˆ
`an tu’. n˘
v´
o i d¯u `
o ng ch´eo ch´ınh, ba phˆ
a´y dˆ

a´u tr`
u l`
a t´ıch c´
ac phˆ
a
ac
.
.
.
.
.
d¯u `
o ng ch´eo song song v´
o i d¯u o
` ng ch´eo phu. (quy t˘
a´c Serrhus)




5

a´p n l`
a gi´
a tri. t´ınh d¯u.o..c t`
u. ba’ng:
* Ta go.i d
¯i.nh th´
u.c cˆ
a1,1

a2,1
...
an,1

a1,2
a2,2
...
an,2

...
...
...
...

a1,n
a2,n
= a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn
...
an,n

`
a´p n − 1 thu d¯u.o..c t`
u. ba’ng d¯˜
a cho b˘
a ng c´
ach bo’ cˆ
o.t
trong d¯´
o Dk l`
a d¯i.nh th´

u.c cˆ
.
.
th´
u nhˆ
a´t v`
a h`
ang th´
u k, k = 1, n.
V´ı du..
1
0
2
0

4
3
0
0

5
3
4
2

2
3 3
1
= 1. 0 4
0

0 2
1

4 5
1
0 − 0. 0 4
0 2
1

4
2
0 + 2. 3
0
1

4
5 2
3 1 − 0. 3
0
2 1

5 2
3 1 = 14
4 0

- i.nh th´
D
u.c khˆ
ong thay d¯ˆ
o’i nˆe´u ta d¯ˆ

o’i h`
ang th`
anh cˆ
o.t
.
-Di.nh th´
’
’
˜
u c d¯ˆ
o i dˆ
a´u nˆe´u ta d¯ˆ
o i chˆ
o hai h`
ang (ho˘
a.c hai cˆ
o.t) v´
o.i nhau
.
.
- i.nh th´
`
D
u c c´
o hai h`
ang (ho˘
a.c hai cˆ
o.t) ty’ lˆe. v´
o i nhau nhau th`ı b˘
a ng 0

.
.
Th`
u a sˆ
o´ chung cu’a mˆ
o.t h`
ang hay cˆ
o.t c´
o thˆe’ d¯u a ra ngo`
ai dˆ
a´u cu’a d¯i.nh th´
u.c
.
.
.
- i.nh th´
`ong th`
`an tu’ cu’a mˆ
D
u c khˆ
ong thay d¯ˆ
o’i nˆe´u ta d¯ˆ
o i cˆ
o.ng v`
ao c´
ac phˆ
o.t h`
ang
.
`an tu’ cu’a mˆ

(hay mˆ
o.t cˆ
o.t) n`
ao d¯´
o c´
ac phˆ
o.t h`
ang (hay mˆ
o.t cˆ
o.t) kh´
ac nhˆ
an v´
o.i c`
ung
mˆ
o.t sˆ
o´.
V´ı du.. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:
+
+
+
+
+

1
1
1
...
1

1
1−x
1
...
1

1
1
2−x
...
1

...
...
...
...
...

1
1
= 0.
1
...
n−x

- i.nh th´
D
u.c o’. vˆe´ tr´
ai cu’a phu.o.ng tr`ınh l`
a d¯a th´

u.c bˆ
a.c n nˆen c´
o khˆ
ong qu´
a n nghiˆe.m
kh´
ac nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`
ao d¯i.nh th´
u.c, ta luˆ
on c´
o hai
.
.
.
.
.
` ng 1, nˆen d¯i.nh th´
`
`an tu’ b˘
h`
ang v´
o i c´
ac phˆ
a
u c b˘
a ng 0. Vˆ
a.y phu o ng tr`ınh c´
o n nghiˆe.m
x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1.
- i.nh th´

* D
u.c cu’a ma trˆ
a.n vuˆ
ong A = (ai,j )n×n , k´
a´p n
y hiˆe.u det(A) l`
a d¯i.nh th´
u.c cˆ
cu’a ba’ng
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
... ... ...
an,1 an,2 . . . an,n
v`
a c´
o t´ınh chˆ
a´t:
+ det(αA) = αn . det(A)
+ det(A × B) = det(A). det(B)
III. Ma trˆ
a.n nghi.ch d
¯a’o




6

`on ta.i ma trˆ

a ma trˆ
a.n kha’ nghi.ch nˆe´u tˆ
a.n A−1
* Ma trˆ
a.n A = (ai,j )n×n d¯u.o..c go.i l`
sao cho:
A × A−1 = A−1 × A = In .
a ma trˆ
a.n nghi.ch d
¯a’ o cu’a A.
Khi d¯´
o, ma trˆ
a.n A−1 d¯u.o..c go.i l`
+ Ma trˆ
a.n A kha’ nghi.ch khi v`
a chı’ khi
det A = 0.
* Cho A = (ai,j )m×n . Mˆ
a´p k (1 ≤ k ≤ n) cu’a A l`
a mˆ
o.t d¯i.nh
o.t d
¯i.nh th´
u.c con cˆ
.
.
` ng c´
th´
u c ta.o th`
anh t`

u ma trˆ
a.n A b˘
a
ach bo’ d¯i m − k h`
ang v`
a n − k cˆ
o.t.
* Cho ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a´p n kha’ nghi.ch


a1,1
a
A =  2,1
...
an,1

a1,2
a2,2
...
an,2


a1,n
a2,n 

...
an,n

...
...
...
...

`an b`
`an tu’. ai,j , l`
Phˆ
u d
¯a.i sˆ
o´ cu’a phˆ
a sˆ
o´ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d¯´
o Di,j l`
a d¯i.nh
.
.
.
.
`
th´
u c cˆ
a´p n − 1 cu’a ba’ng thu d¯u o. c t`
u ma trˆ
a.n A b˘
a ng c´
ach ga.ch bo’ h`
ang th´
u. i v`

a
.
cˆ
o.t th´
u j.
+ Cho A l`
a ma trˆ
a.n vuˆ
ong kha’ nghi.ch cˆ
a´p n v`
a ∆ = det A = 0. Khi d¯´
o ma trˆ
a.n
.
.
.
´
’
’
’
nghi.ch d¯ao cua A d¯u o. c x´
ac d¯i.nh mˆ
o.t c´
ach duy nhˆ
a t bo i:
1
T
Ai,j
∆
A1,1 A2,1

1 
 A1,2 A2,2
=
...
∆  ...
A1,n A2,n

A−1 =

...
...
...
...


Dn,1
Dn,2 

... 
Dn,n

V´ı du.. Ma trˆ
a.n nghi.ch d¯a’o cu’a


1
A = 2
1
l`
a:

A−1


−1 1
1 1
1 2


1
3
1
−3 1
=
5
1 −2


−2
1 
3

v`ı:
∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0




7

v`

a:
A1,1 = (−1)1+1

1 1
2 1
2 1
= 1; A1,2 = (−1)1+2
= −3; A1,3 = (−1)1+3
= 1;
1 2
1 2
1 1

A2,1 = (−1)2+1

−1
1

1
1
= 3; A2,2 = (−1)2+2
2
1

1
1
= 1; A2,3 = (−1)2+3
2
1

A3,1 = (−1)3+1

−1
1

1
1
= −2; A3,2 = (−1)3+2
1
2

1
1
= 1; A3,3 = (−1)3+3
1
2

−1
= −2
1
−1
=3
1

+ T´ınh chˆ
a´t:

1 −1
A
k

− Cho A, B c`
ung cˆ
a´p v`
a kha’ d¯a’o, th`ı: (A × B)−1 = B −1 × A−1
−1
− Cho A kha’ d¯a’o th`ı A−1 c˜
ung kha’ d¯a’o v`
a A−1
=A
− Cho A kha’ d¯a’o v`
a k = 0, th`ı: (kA)−1 =

`an I.4: Ha.ng cu’a ma trˆ
Phˆ
a.n
y hiˆe.u r(A) l`
a cˆ
a´p cao nhˆ
a´t cu’a c´
ac
* Ta go.i ha.ng cu’ a ma trˆ
a.n A = (ai,j )m×n , k´
.
d¯i.nh th´
u c con kh´
ac 0 cu’a A.
’
+ Ha.ng cua ma trˆ
a.n 0m×n l`
a 1.

a 0, ha.ng cu’a ma trˆ
a.n A = (a) v´
o.i a = 0 l`
+ Ha.ng cu’a ma trˆ
a.n khˆ
ong thay d¯ˆ
o’i qua c´
ac ph´
ep biˆ
e´n d
¯ˆ
o’i so. cˆ
a´p sau d¯ˆ
ay:
’
˜
a. Dˆ
o i chˆ
o hai h`
ang ho˘
a.c hai cˆ
o.t cho nhau;
b. Nhˆ
an mˆ
o.t h`
ang (hay mˆ
o.t cˆ
o.t) v´
o.i mˆ
o.t sˆ

o´ kh´
ac 0;
.
c. Cˆ
o.ng v`
ao mˆ
o.t h`
ang (hay mˆ
o.t cˆ
o.t) v´
o i mˆ
o.t h`
ang (hay mˆ
o.t cˆ
o.t) kh´
ac nhˆ
an
v´
o.i mˆ
o.t sˆ
o´.
- ˆe’ t`ım ha.ng cu’a ma trˆ
D
a.n Amtimesn , c´
ap sau:
o thˆe’ d`
ung c´
ac phu.o.ng ph´
.
.

.
.
+ Phu o ng ph´
ap theo d
¯i.nh ngh˜ıa: t´ınh c´
ac d¯i.nh th´
u c con t`
u cˆ
a´p 2 tro’. lˆen. Gia’
.
.
a.n c´
o 1 d¯i.nh th´
u c con cˆ
a´p r kh´
ac 0, t´ınh tiˆe´p c´
ac d¯i.nh th´
u.c cˆ
a´p r + 1, nˆe´u
su’ ma trˆ
.
` ng 0 th`ı kˆe´t luˆ
tˆ
a´t ca’ d¯`ˆeu b˘
a
a.n ha.ng ma trˆ
a.n l`
a r, nˆe´u c´
o d¯i.nh th´
u c cˆ

a´p r + 1 kh´
ac
0 th`ı t´ınh tiˆe´p c´
ac d¯.inh th´
u.c cˆ
a´p r + 2, c´
u. nhu. thˆe´ d¯ˆe´n d¯i.nh th´
u.c cˆ
a´p l´
o.n nhˆ
a´t
V´ı du.. T`ım ha.ng cu’a ma trˆ
a.n


1 2 3 5
A = 3 2 4 9
1 0 1 4
1 2
= −4 = 0, v`
a c´
ac d¯i.nh th´
u.c cˆ
Ta c´
o d¯i.nh th´
u.c con cˆ
a´p 2:
a´p 3:
3 2
1 2

3 2
1 0
suy ra r(A) = 2

1
3
4 = 0; 3
1
1

2
2
0

1
5
9 = 0; 3
1
4

2
3 5
4 9 = 0; 2
0
1 4

3
4
1

5
9 =0
4




8

`e da.ng bˆ
ap d`
ung ph´
ep biˆ
e´n d
¯ˆ
o’i so. cˆ
a´p: biˆe´n d¯ˆ
o’i ma trˆ
a.n vˆ
a.c
+ Phu.o.ng ph´
thang


b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n
b2,2 . . . b2,r . . . b2,n 
 0


.

.
.
... ... ... ... ... 

B =

0 . . . br,r . . . br,n 
 0


0
0 ...
0
...
0
0
0 ...
0
...
0
v´
o.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v`
a bii = 0, i = 1, r th`ı r(A) = r(B) = r.
V´ı du.. T`ım ha.ng ma trˆ
a.n


1
3
6

 2
A=
−2 −5
1
4


1
h2−2h1;h3+2h1;h4−h1  0
A
−→

0
0

3
0
1
1

2
5
6
6

0
7
4
4

2
9
2
8


5
12 

5
20

0
7
4
4



5
1
2  h4−h3;h2↔h3  0
−→


15
0
15
0

3
1
0
0

2
6
5
0

0
4
7
0


5
15 

2
0

suy ra r(A) = 3
+ Ngo`
ai ra, c´
o thˆe’ t`ım ma trˆ
a.n nghi.ch d
¯a’ o qua c´
ac ph´
ep biˆ

e´n d
¯ˆ
o’i so. cˆ
a´p:
.
.
.
.
lˆ
a.p ma trˆ
a.n khˆ
o´i A|E (E c`
ung c˜
o v´
o i A, thu. c hiˆe.n c´
ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ
o’i so cˆ
a´p CHI’
ˆ HANG,
`
`e da.
ng E|B th`ı B l`
a nghi.ch d¯a’o cu’a A.
TREN
nˆe´u d¯u.a d¯u.o..c vˆ



1 −1 1 | 1 0 0
1 −1 1 | 1 0 0

h2−2h1,h3−h1
 0 3 −1 | −2 1 0 
V´ı du.. A|E =  2 1 1 | 0 1 0 
−→
1 1 2 | 0 0 1
0 2
1 | −1 0 1




1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 |
2
0
−1
h1−h3,h2+h3
5
 0 5 0 | −3 1 1  −→
 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5 
−→
0 
2 1 | −1 0 1
0 2 1 | −1
0
1
1 0 0 | 1/5
3/5 −2/5
h1+3h2,h3−2h2
 0 1 0 | −3/5 1/5
1/5  thu d¯u.o..c kˆe´t qua’ nhu. c˜

u.
−→
0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5
` TA
ˆP
BAI
.
ac d¯i.nh th´
u.c sau chia hˆe´t cho 17:
1.1. Khˆ
ong t´ınh, ch´
u.ng minh c´
2
5
2

0
2
5

4
7 ;
5

3
20
55

2
9

2

3
1
5

`
1.2. Ch´
u.ng minh c´
ac d¯˘
a’ng th´
u.c sau d¯ˆ
ay (khˆ
ong t´ınh d¯i.nh th´
u.c b˘
a ng d¯i.nh ngh˜ıa):




a.

b.

c.
1.3.
a.

c.

0 1
1
1
0 x y z
1 0 z2 y2
x 0 z y
=
v´
o.i xyz = 0
y z 0 x
1 z 2 0 x2
x y z 0
1 y 2 x2 0
1 x yz
1 y zx = (x − y)(y − z)(z − x)
1 z xy
1
1 1
x y
z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x)
x3 y 3 z 3
T`ım x sao cho:
x
x+1
3
3 − x −x
b. x + 3 x + 4
2
7
3 =0

x+6 x+7
x + 1 3x − 7 x
2
1 x x
x
1 2
1
x 3
d.
3 1 x <0
x + 1 2 −4
4 5 1

0
0
1.4. T´ınh c´
ac d¯.inh th´
u.c sau:
1
1
a+x
a
x
0
x
y
x

9

x
0
z
y

y
z
0
z

1
2
3
...
n

x
b+x
x
z
y
;
x
0

2
3
1
2
2

1
...
...
n−1 n−2

cos(x1 − y1 )
cos(x2 − y1 )
...
cos(xn − y1 )

x
x
1
x

1
1
0
0

1
2
x
2
...
...
...
...
...

cos(x1 − y2 )
cos(x2 − y2 )
...
cos(xn − y2 )

n
n−1
n−2 ;
...
1
...
...
...
...

x
a
0
0

x
0
b
0

xy
xz
y2 + 1
yz ;
2

yz
z +1
x
0
y
0

x
x
;
x
1

1
1
1
1

0
1
;
1
0

x2 + 1
xy
xz

x
x ;

c+x
2
1
2
x

1
0
0
1

0
z
0
t
x
a
a
...
a

y
0
z
0

0
t
;
0

x
a
x
a
...
a

cos(x1 − yn )
cos(x2 − yn )
;
...
cos(xn − yn )

a
a
x
...
a
0
1
1
...
1
1

x
0
;
0
c

x+2
x+5 =0
x+8
>0
x
1
1
1
1

1
x
1
1
1

1
1
x
1
1
x
x2
x2
x
2x 3x2
3x2 2x
x −x
a

0
2a 0
0 2a
0
a

1
x3
1
4x3
a
x
x 2a
x
a
−x 0
−x 0
...
a
...
a
...
a ;
... ...
a
x
1
1 ...
0
x ...

x
0 ...
... ... ...
x
x ...
x
x ...

1
1
1
x
1

1
1
1 ;
1
x

x3
1
;
4x3
1
−x
0
0 ;
a
2a

1
x
x
...
0
x

1
x
x
;
...
x
0




1 + x1 y1
1 + x2 y1
...
1 + xn y1

1 + x1 y2
1 + x2 y2
...
1 + xn y2


2

1.5. Cho A = 3
0

1
0
1

1.6. T`ım c´
ac ma trˆ
a.n
1
2

1.7. Cho A =
1.8.

...
...
...
...



1
2


1 v`

aB= 4
5
2
2
3

−1
−2

a1
0
0
...
0
1

1 + x1 yn
1 + x2 yn
;
...
1 + xn yn

n

;

10

−a2
a2

0
...
0
1

0
−a3
a3
...
0
1


−2
6 . T`ım A2 , AB, A−1 .
−3
a
0

1
a

n

;

cos x
sin x

...

...
...
...
...
...

− sin x
cos x

0
0
0
...
an−1
1

0
0
0
...
−an
1 + an

n

2
. T`ım f (A) v´
o.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1.
1




2 1 1
1 2 −2
a. Cho A =  3 1 2  v`
a B =  2 3 1 .
1 2 2
1 −1 0
1. T`ım A−1 , B −1 .
2. T`ım f (A), f(B) v´
o.i f(x) = x2 − x − 1




2 1 0 0
1 3 −5 7
3 2 0 0
 0 1 2 −3 
b. T`ım ma trˆ
a.n nghi.ch d¯a’o cu’a A = 
B=
;
.
1 1 3 4
0 0 1
2
2 −1 2 3
0 0 0

1
1.9.
`
a ng ma trˆ
a.n khˆ
ong.
a. T`ım ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a´p hai c´
o b`ınh phu.o.ng b˘
.
.
.
`
b. T`ım ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a´p hai c´
o b`ınh phu o ng b˘
a ng ma trˆ
a.n d¯o n vi..
1.10. T`ım ma trˆ
a.n X sao cho:
1 2
3 5
3 −2
−1 2
×X =
;

X×
=
;
5 −4

 

 5 6
 5 9
3 4
1 −1 3
1 1 −1
1 −3 0
1 2 −3
 3 2 −4 ×X =  10 2 7 ;
0  =  4 3 2 ;
X× 2 1
1 −2 5
1 −1 1
10 7 8
2 −1 0
−2 4
−3 2
2 1
;
=
×X ×
3 −1
5 −3
3 2

5 0
2 1
4 1
;
=
×X ×
6 1
5
3
3 
−1

1 1 1
2 1 −1
1
0 5

;
=
X × 0 1 1 − 2
−1 −2 1
3 0 6
0 0 1





1 5
3 5

1 2 2
 2 5 4  × X +  7 6  = 3  −1 2 ;
−2 0
2 1
2 4 5








1
2
3 ...
n
1
1
1 ...
1
1
2 ... n − 1
1
1 ...
1 
 0
 0





0
1 . . . n − 2 .
0
1 ...
1 ×X = 0
 0




... ... ... ...
...
... ... ... ... ...
0
0
0 ...
1
0
0
0 ...
1
1.11. T`ım ha.ng cu’a ma trˆ
a.n sau:


2 1 1 1





1
3 2 0 5
2
1 11 2
1 3 1 1
6 9 7 12 
0
4 −1 
 2


 1
 1 1 4 1 ;
;

;

−2
−5
2 4 5
11 4 56 −5
1 1 1 5
1
4 8 4 20
2 −1 5 −6
1 1 1 1



1 2 3 14




3 1 −3 1 1
1 3
5
7
9 1
 3 2 1 11 
 2 −1 7 −3 2 



1
−2
3
−4
5 2 ;
;
1
1
1
6




1 3 −2 5 3



2 11 12 25 22 4
2 3 −1 5
3 −2 7 −5 3
1 1 0
3
1.12.Biˆe.n luˆ
a.n theo a sˆ
o´ ha.ng
cu’a c´
acma trˆ
a.n sau: 


a 1 1 4
1 a −1 2
−1 2
1
 1 a 1 3 ;
;
 2 −1 a 5 ;
 2
a
−2
1 2a 1 4
1 10 −6 1
3 −6 (a + 3)(a + 7)






1 2 −1 3 2 
1 4 3 6
3 1 1 4
 2 −1 a2 0 4 
 −1 0 1 1 
 a 4 10 1 
;


;


2 1 −1 0
1 7 17 3
3 1
2 2 7
0 2 a 4
2 2 4 3
1 2
a 1 1
1.13. T`ım c´
ac gi´
a tri. cu’a m d¯ˆe’:


3 4 5
7 1

 2 6 −3 4 2 
a. r(A) = 2 v´
o.i A = 

4 2 13 10 0
5 0 21 13 m


1 2 3 −1
1
1 
 3 2 1 −1
b. r(A) = 3 v´
o.i A = 

2 3 1 1
1
5 5 2 0 2m + 1


1 4 3 6
 −1 0 1 1 
c. r(A) = 3 v´
o.i A = 

2 1 −1 0
0 2 m 4


3 1 1 4

 m 4 10 1 
d. r(A) = 2 v´
o.i A = 

1 7 17 3
2 2 4 3


m 1 1 1
1 1 m 1
e. r(A) = 2 v´
o.i A = 

1 1 1 m
1 m 1 1


11




-ooOoo-

12




13

ˆ PHU.O.NG TR`
ˆ´N T´
INH TUYE
INH (2+2)
Chu.o.ng 2. HE
.
I. C´
ac d
¯i.nh ngh˜ıa
o.ng tr`ınh tuyˆ
e´n t´ınh m phu.o.ng tr`ınh n ˆ
a’n l`
a hˆe. c´
o da.ng
* Ta go.i hˆ
e. phu.
a
x
+
a
x
+
·
·
·
+
a
x
=

b
1,1
1
1,2
2
1,n
n
1



 ...
(1)

a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2



am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
a.c ph´
u.c), x1 , x2 , . . . , xn l`
a c´
ac hˆe. sˆ
o´ (thu..c ho˘
a c´
ac
trong d¯´
o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l`
.
.

.
.
.
.
’
a c´
o nghiˆ
e.m (hay tu o ng th´ıch) nˆe´u
a n sˆ
ˆ
o´. Hˆe. phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh d¯u o. c go.i l`
tˆ
a.p nghiˆe.m cu’a n´
o kh´
ac rˆ
o˜ng.
+ Hˆe. (1) c´
o thˆe’ d¯u.o..c viˆe´t du.´
o.i da.ng ma trˆ
a.n AX = B trong d¯´
o:






a1,1 a1,2 . . .
a1,n
x1

b1
a2,2 . . . a + 2, n 
a
A =  2,1
X =  x2 ;
B =  b2  hay
;
...
... ...
...
..
..
. xn
. bm
am,1 am,2 . . .
am,n


a1,1 a1,2 . . .
a1,n
b1
a2,2 . . . a + 2, n b2 
a
o.i da.ng ma trˆ
a.n mo’. rˆ
o.ng: A =  2,1
o ha.ng
du.´
, khi d¯´
...

... ...
...
...
am,1 am,2 . . .
am,n
bm
a ha.ng cu’ a hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh (1)
r(A) cu’a A d¯u.o..c go.i l`
II. Hˆ
e. Cramer
` ng sˆ
a
o´ nghiˆe.m (m = n) v`
a d¯i.nh th´
u.c det(A) = 0 d¯u.o..c
* Hˆe. (1) c´
o sˆ
o´ phu.o.ng tr`ınh b˘
go.i l`
a hˆ
e. Cramer.
Di
+ Hˆe. Cramer c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t d¯u.o..c x´
, trong
ac d¯i.nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi =
D
`

` ng
d¯´
o D = det(A), c`
on Di l`
u. D b˘
a ng c´
ach thay cˆ
o.t th´
u. i b˘
a
a d¯i.nh th´
u.c thu d¯u.o..c t`
.
cˆ
o.t hˆe. sˆ
o´ tu.do.

 x1 + 2x2 + 3x3 = 6
V´ı du.. Gia’i hˆe.:
2x1 − x2 + x3 = 2


3x1 + x2 − 2x3 = 2
1 2
3
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t (1, 1, 1):
Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆe. c´
3 1 −2
6 2

3
1 6 3
1 2 6
1
1
1
x=
2 −1 1 = 1; y =
2 2 1 = 1; z =
2 −1 2 = 1
30
30
30
2 1 −2
3 2 −2
3 1 2
`e nghiˆ
III. C´
ac d
¯i.nh l´
y vˆ
e.m cu’a hˆ
e. (Kronecker-Kapeli)
.
.
+ (1) c´
o nghiˆe.m (tu o ng th´ıch) khi v`
a chı’ khi r(A) = r(A).
+ (1) c´
o nghiˆe.m duy nhˆ

a´t (x´
ac d¯i.nh) khi v`
a chı’ khi r(A) = r(A) = n.
`an nhiˆe.m phu.
´
o vˆ
o sˆ
o´ nghiˆe.m v`
a c´
ac th`
anh phˆ
+ nˆeu r(A) = r(A) = r < n th`ı (1) c´
thuˆ
o.c n − r tham sˆ
o´ tu`
yy
´.




14



 ax1 + x2 + x3 = 1
V´ı du.. Biˆe.n luˆ
a.n theo a sˆ
o´ nghiˆe.m cu’a hˆe.:
x1 + ax2 + x3 = 1



x1 + x2 + ax3 = 1
.
a´p d¯ˆe’ x´
ac d¯i.nh
ha.ng cu’a A v`
aA
D`
ac ph´ep biˆ
e´n d¯ˆ
o’i socˆ

ung c´
1 1 a | 1
a 1 1 | 1
h1↔h3
A =  1 a 1 | 1  −→  1 a 1 | 1 
a 1 1 | 1 
1 1 a | 1

1
1
a
|
1
1
1
a
|

1
h2−h1
h3+h2
1−a
|
0 
−→  0 a − 1 1 − a |
0  −→  0 a − 1
h3−ah1
2
2
0
0
2−a−a | 1−a
0 1−a 1−a | 1−a
2
.
.
.
´
o ng ho. p:
o 2
tru `
+ Nˆeu 2 − a − a = 0, c´

1 1 1 | 1
a = 1 th`ı: A −→  0 0 0 | 0  ⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3, hˆe. c´
o vˆ
o sˆ
o´

0 0 0 | 0
nghiˆe.m phu. thuˆ
o.c 2 
tham sˆ
o´ tu`
yy
´.

1 1 −2 | 1
o
a = −2 th`ı: A −→  0 −3 3 | 0  ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆe. vˆ
0 0
0 | 3
nghiˆe.m.
+ Nˆe´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th`ı r(A) = r(A) = 3, hˆe. c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t.
ap gia’i hˆ
e.
IV. Phu.o.ng ph´
.
a´p cho hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng (tu.o.ng u
´.ng v´
o.i c´
ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ
o’i
+ C´
ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ
o’i so cˆ
.

theo h`
ang cu’a ma trˆ
a.n mo’ rˆ
o.ng):
.
.
’
˜
− Dˆ
o i chˆ
o hai phu o ng tr`ınh cho nhau (d¯ˆ
o’i chˆ
o˜ hai h`
ang cu’a ma trˆ
a.n)
.
.
.
`an tu’.
− Nhˆ
an hai vˆe´ cu’a phu o ng tr`ınh n`
ao d¯´
o v´
o i mˆ
o.t sˆ
o´ kh´
ac 0 (nhˆ
an c´
ac phˆ
o.t sˆ

o´ kh´
ac 0)
trˆen mˆ
o.t h`
ang cu’a ma trˆ
a.n v´
o.i mˆ
.
.
.
− Cˆ
o.ng t`
u ng vˆe´ cu’a mˆ
o.t phu o ng tr`ınh v´
o.i mˆ
o.t phu.o.ng tr`ınh kh´
ac nhˆ
an v´
o.i
mˆ
o.t sˆ
o´ (cˆ
o.ng mˆ
o.t h`
ang v´
o.i bˆ
o.i sˆ
o´ mˆ
o.t h`
ang kh´

ac)
´ dung d
1. Ap
¯i.nh l´
y Carmer
.
Nˆe´u hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh l`
a hˆe. Cramer, c´
o thˆe’ a
´p du.ng d¯i.nh l´
y Carmer
−1
−1
ho˘
a.c t`ım ma trˆ
a.n A , suy ra X = A B.


 2x + 3y + 2z = 9
` ng phu.o.ng ph´
ap ma trˆ
a.n nghi.ch d¯a’o:
x + 2y − 3z = 14
V´ı du.. Gia’i b˘
a


3x + 4y − z = 16
2 3 2
`e hˆe. l`

a Cramer.
Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ
3 4 1




A1,1 A2,1 A3,1
14
5 −13
1 
1 
V´
o.i A−1 =
−10 −4
8 
A1,2 A2,2 A3,2  =
det(A)
−6
−2
1
1
A1,3 A2,3 A3,3


  


2
9

14
5 −13
 x=2
1
y=3
8   14  =  3 , suy ra
nˆen X = A−1 B = −  −10 −4

6

−2
16
−2
1
1
z = −2.




15

`an ˆ
ap Gauss (khu’. dˆ
a’n sˆ
o´)
2. Phu.o.ng ph´
.
a´p theo c´
ac h`

ang, biˆe´n d¯ˆ
o’i ma trˆ
a.n mo’. rˆ
o.ng A th`
D`
ung c´
ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ
o’i so cˆ
anh
.
.
`eu phˆ
`an tu’ 0 (nhu ma trˆ
ma trˆ
a.n A1 c´
a.n bˆ
a.c thang), khi d¯´
o r(A) = r(A1 ) v`
o nhiˆ
a
r(A) = r(A1 ).
o nghiˆe.m
+ nˆe´u r(A1 ) < r(A1 ), th`ı hˆe. vˆ
o.i (tu.o.ng d¯u.o.ng hˆe. d¯˜
a cho) sau
a.p hˆe. phu.o.ng tr`ınh m´
+ nˆe´u r(A1 ) = r(A1 ) = r th`ı lˆ
.
`
`an tu’ d¯`ˆeu b˘

kho bo’ c´
ac h`
ang m`
a mo.i phˆ
a ng 0. Gia’i hˆe. n`
ay (r phu.o.ng tr`ınh, n ˆ
a’n
.
.
` ng c´
`
sˆ
o´) b˘
a
ach cho.n r ˆ
a’n co ba’n v`
a n−r ˆ
a’n khˆ
ong co ba’n (thay b˘
a ng tham sˆ
o´ tu`
y
´
´
y
´), nˆeu r = n th`ı hˆe. c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a t.
V´ı du.. Gia’i c´
ac hˆe. phu.o.ng tr`ınh

sau:


 x1 − 3x2 + 2x3 = −1
x1 + 9x2 + 6x3 = 3


x1 + 3x2 + 5x3 = 1






1 −3 2 −1
1 −3 2 1
1 −3 2 −1
×1/2
h2 −h1
 0 12 4 4  h2−→
 0 3 1 1 ,
A =  1 9 6 3  −→
h3 −h1
h3 −h2
1 3 5 1
0 6 3 2
0 0 1 0




x1 = 0
= −1 + 3x2 − 2x3



 x1

 x1 − 3x2 + 2x3 = −1
1
⇒ x2 =
suy ra
3x2 = 1 − x3
3x2 + x3 = 1 ⇒



3



x3
=0
x3 = 0
=
0
x
3

−
3x

+
2x
−
x
=
2
x

1
2
3
4

= −1
2x1 + 7x2 − x3


4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1




1 −3 2 −1 2
1 −3 2 −1 2
h −2h
h3 −h2
B =  2 7 −1 0 −1  2−→ 1  0 13 −5 2 −5  −→
h3 −4h1
3 −2 1 
0 13 −5 2 −7

4 1
1 −3 2 −1 2
 0 13 −5 2 −5  = B1 . Do r(B) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B), hˆe.
0 0
0
0 −2
vˆ
o nghiˆe.m.

x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1



 2x − x + 2x − x = 0
1
2
3
4

5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1



4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2




1 5
4

3 1
1 5 4 3 1
 2 −1 2 −1 0  h3 −h1 −2h2  2 −1 2 −1 0 
C=
−→



5 3
8
1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0
4 9 10 5 2
0 0 0 0 0
1
5
4
3
1
h2 −2h1
, t´
u.c l`
a:
−→
0
−11
−6
−7
−2
bo’ h3 ,h4

x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4
−11x2 − 6x3 − 7x4

16

=1
= −2.


2
1
14

x1 = − α + β +


11
11
11



7
2
6
x2 = − α − β +
Cho.n x3 = α, x4 = β, ta suy ra:

11
11
11



x
=
α

3


x4 = β


 ax + y + z = 1
V´ı du. 2. Gia’i v`
a biˆe.n luˆ
a.n theo a:
x + ay + z = a


x + y+ az =a2




a 1 1 1
1 1 a a2

1
1
a
a2
h3 ↔h1
2 −h1
 1 a 1 a  h−→
 0 a − 1 1 − a a − a2 
A =  1 a 1 a  −→
h
−ah
3
1
1 
1 a a2
a 1 1 1
0 1 − a 1 − a2 1 − a3

1
1
a
a2
h3 +h2
, suy ra:
−→  0 a − 1
1−a
a − a2
2
2
3

0
0
2−a−a 1+a−a −a
2
´
* Nˆeu 2 − a − a = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2)
o.i x + y + z = 1 nˆen c´
o vˆ
o sˆ
o´ nghiˆe.m
+ Nˆe´u a = 1, th`ı A → (1 1 1 1), tu.o.ng d¯u.o.ng v´
.
da.ng (1 − α − β; 1; 1) v´
yy
´.

o i α, β tu`
1 1 −2 4
+ Nˆe´u a = −2, th`ı A →  0 −3 3 −6  suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A) nˆen hˆe. vˆ
o
0 0
0
3,
nghiˆe.m.
* Nˆe´u 2 − a − a2= 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2)

1 1 a
a2
h :a−1 
−a , nˆen hˆe d¯˜

. . ´.ng v´
o.i:
A 2−→  0 1 −1
. a cho tu o ng u
2
(a
+ 1)2 
h3 :2−a−a
0 0 1
a +2
a+1


x1 = −
2


x + y + az = a
a−2






1
y − z = −a
x2 =
⇔
a+2



(a + 1)2





2
z =

 x = (a + 1)
a−2
3
a+2

ax
+
y+z =1


V´ı du. 3. Gia’i v`
a biˆe.n luˆ
a.n theo a, b:
x + by + z = 3


x + 2by + z = 4
a 1 1
4 1 1

D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1;
1 2b 1
4 2b 1
a 4 1
a 1 4
Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1
1 4 1
1 2b 4




+ Nˆe´u D = (1 − a)b = 0 ⇔

17

a=1

, hˆe. l`
a Cramer, c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t:
b=0

−2b + 1

 x1 =


(1 − a)b




1
x2 =

b




4b
− 2ab − 1

 x3 =
(1 − a)b


x
+
y
+
z
=
1
y +z =4



 x+

anh:
x + by + z = 3 ⇔
(b − 1)y
= −1 , th`ı::
+ Nˆe´u a = 1, hˆe. tro’. th`




x + 2by + z = 4
=0
 (2b − 1)y

 x =2−α
x+y+z
=0
1
⇔
y =2
, α tu`
yy
´.
− Nˆe´u 2b − 1 = 0 ⇔ b = :

2
y
=2

z =α


y+z =4
 x+
1 
− Nˆe´u 2b−1 = 0 ⇔ b = :
(b − 1)y
= −1 vˆ
o nghiˆe.m v`ı (b−1)0 = −1
2 

=0
 y

 ax − y + z = 4
.
+ Nˆe´u b = 0, hˆe. tro’ th`
anh:
x
+ z = 3 vˆ
o nghiˆe.m


x
+z =4
.
.
`an nhˆ
V. Hˆ
e. phu o ng tr`ınh tuyˆ
e´n t´ınh thuˆ
a´t

`an nhˆ
e´n t´ınh thuˆ
a´t l`
a hˆe. c´
o da.ng
* Hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh tuyˆ
AX = 0

(II)

(B l`
a ma trˆ
a.n to`
an sˆ
o´ 0), khi d¯´
o r(A) = r(A), hˆe. luˆ
on luˆ
on c´
o nghiˆe.m:
.
.
`am thu `
+ nˆe´u r(A) = n, hˆe. c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t nghiˆ
e.m tˆ
o ng x1 = x2 = · · · =
xn = 0;
`an cu’a nghiˆe.m phu. thuˆ

+ nˆe´u r(A) < n, hˆe. c´
o vˆ
o sˆ
o´ nghiˆe.m, c´
ac th`
anh phˆ
o.c n − r(A)
`am thu.`
tham sˆ
o´, nˆen c´
o nghiˆe.m kh´
ac nghiˆe.m khˆ
ong (nghiˆ
e.m khˆ
ong tˆ
o.ng).
.
.
.
.
.
`am thu o ng khi v`
+ V´
o i hˆe. c´
o n phu o ng tr`ınh, n ˆ
a’n sˆ
o´, hˆe. c´
o nghiˆe.m khˆ
ong tˆ
a chı’ khi

.
.
`am thu o ng khi v`
det(A) = 0 v`
a c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t tˆ
a chı’ khi det(A) = 0.

ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0





 x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0
`am
V´ı du.. T`ım a d¯ˆe’ hˆe.
o nghiˆe.m khˆ
ong tˆ
...
= 0 c´



x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0



x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0.

thu.o.ng




18

a
1 ... 1 1
1
a ... 1 1
det(A) = . . . . . .
1
1 ... a 1
1
1 ... 1 a
a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1
1
a
...
1
1
h1 + hi
...
...
=
i=1
1
1
...

a
1
1
1
...
1
a
1
1 ... 1 1
1
a ... 1 1
= (a + n − 1) . . . . . .
1
1 ... a 1
1
1 ... 1 a
1
1
...
1
1
0 a − 1 ...
0
0
hi −h1
= (a + n − 1)(a − 1)n−1
...
= (a + n − 1) . . .
i=1
0

0
... a − 1
0
0
0
...
0
a−1
a = 1−n
`am thu.`
o.ng khi det(A) = 0 ⇔
Hˆe. c´
o nghiˆe.m khˆ
ong tˆ
a = 1.
+ nˆe´u
(α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v`
a (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn )
l`
a nghiˆe.m cu’a hˆe. (II) th`ı
∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn )
c˜
ung l`
a nghiˆe.m hˆe. (II).
˜en qua
o.ng ho..p r(A) < n (sˆ
o´ ˆ
a’n cu’a hˆe.) th`ı r(A) ˆ
a’n co. ba’n d¯u.o..c biˆe’u diˆ
+ Tru.`

.
n − r(A) ˆ
a’n khˆ
ong co ba’n (lˆ
a´y gi´
a tri. tu`
yy
´). Nˆe´u cho.n n − r(A) ˆ
a’n khˆ
ong co. ba’n
`an cu’a n − r(A) bˆ
tu.o.ng u
´.ng theo n − r(A) th`
anh phˆ
o. sˆ
o´:
(1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1)
a mˆ
o.t hˆ
e. nghiˆ
e.m co. ba’ n cu’ a
th`ı n − r(A) nghiˆe.m cu. thˆe’ cu’a hˆe. (II) d¯u.o..c go.i l`
hˆ
e..

x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0



 2x + 4x + 2x − x = 0

1
2
3
4
V´ı du.. T`ım hˆe. nghiˆe.m co. ba’n cu’a

x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0



4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.




19




1 2 −2 1
1 2 −2 1
 2 4 2 −1  h2 −2h1  0 0 6 −3  h3 −h2 1 2 −2 1
u
´.ng
A=
 −→ 
 −→
1 2 4 −2
0 0 2 −1

0 0 6 −3
h3 −h1
h2:2
h4 −4h1
4 8 −2 1
0 0 6 −3 h4 −h2
v´
o.i hˆe.:
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0
x1 = −2x2
⇔
x4 = 2x3 .
2x3 − x4 = 0
+ Cho.n (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´
o: nghiˆe.m (−2; 1; 0; 0)
+ Cho.n (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´
o: nghiˆe.m (0; 0; 1; 2)
`an IV, chu.o.ng 1
* Gia’ i th´ıch c´
ach t`ım ma trˆ
anghi.ch d
¯a’ o o’. phˆ
 .

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
a2,2 a2,3 . . . a2,n 
a
Cho ma trˆ
a.n vuˆ
ong A =  2,1

o det(A) = 0. X´et hˆe.
 c´
...
...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n
a’n:
n phu.o.ng tr`ınh 2n ˆ



a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1




+ xn+2

 a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn
+ xn+3
a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn



..................



+ xn+1
an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn

=0
=0
=0
=0

c´
o da.ng ma trˆ
a.n
A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X
(1)
 


xn+1
x1
 x2 
 xn+2 




x3  v`
 xn+3 
a
X
=
v´
o.i X = 
 . 
 . 

 .. 
 . 
.
xn
x2n
v`ı det(A) = 0, ∃A−1 nˆen: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*)


a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0
 a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0 


Hˆe. c´
o ma trˆ
a.n hˆe. sˆ
o´:  a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0  = (A|E)


...
...
...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1
.
`e da.ng
’
’
Gia su qua c´
ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ
o’i so. cˆ
a´p trˆen c´

ac h`
ang, ta d¯u.a d¯u.o..c ma trˆ
a.n vˆ


1
 0

 0

...
0

0
1
0
...
0

0
0
1
...
0

...
...
...

0

0
0

|
|
|

b1,1
b2,1
b3,1

b1,2
b2,2
b3,2

b1,3
b2,3
b3,3

...
...
...

...

1

| bn,1

bn,2

bn,3

...


b1,n
b2,n 

b3,n  = (E|B)


bn,n




o.i hˆe.:
u
´.ng v´

x1




x2






.........




x3

20

+ b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n
+ b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n

=0
=0

+ b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n

=0

xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n

=0

c´
o da.ng X + B × X = 0, suy ra B = A−1
` TA
ˆ. P

BAI



 3x − 5y + 2z + 4t = 2 
 2x + y − z = 1
7x − 4y + z + 3t = 5
2.1. Gia’i c´
ac hˆe. phu.o.ng tr`ınh sau:
x− y+z =2




5x + 7y − 4z − 6t = 3
4x + 3y + z = 3



x + y − 3z = −1  2x + 3y − z + 5t = 0  x − 2y + 3z − 4t = 4






 2x + y − 2z = 1
 3x − y + 2z − 7t = 0 

y − z + t = −3



x + 2y − 3z = 1
4x + y − 3z + 6t = 0 
x + 3y
− 3t = 1









x+ y+ z =3
x − 2y + 4z − 7t =0
−7y + 3z + 3t = −3


x
−
y
+
2z − 3t = 1


2x
+
y

−
3z
=
4
x
+
3y
+
4z
=
8





 x + 4y − z − 2t = −2
x + 2y + z = 1
2x + y − z = 2





 x − 4y + 3z − 2t = −2
3x − 3y + 2z = 11
2x + 6y − 5z = 4 

x −
8y + 5z − 2t = −2



2x
+
3y
−
z
+
t
=
2
3x
+
4y
+
5z
+
7t
=
1
x + y + 5z = −7












2x + 3y + z
=4
2x + 6y − 3z + 4t = 2  x + 3y + z = 5

2x + 3y + 2z
=3 
4x + 2y + 13z + 10t = 0 
2x + y + z = 2









= 5  2x
+ 21z + 13t = 3  2x + 3y − 3z = 14
 2x + 3y
2x
−
5y
+
4z
+
3t
=

0
3x
+
y
− 3z + t = 1  x + 2y + 3z − t = 1






 3x − 4y + 7z + 5t = 0 
 2x − y + 7z − 3t = 2 
 3x + 2y + z − t = 1

 4x − 9y + 8z + 5t = 0 
 x + 3y − 2z + 5t = 3 
 2x + 3y + z + t = 1






3x − 2y + 5z − 3t = 0
3x − 2y + 7z − 5t = 3
5x + 5y + 5z
=2



=1
8x + 6y + 5z + 2t = 21  x1 + x2







=4

 3x + 3y + 2z + t = 10 
 x1 + x2 + x3
= −3
x2 + x3 + x4
4x + 2y + 3z+
=8






x3 + x4 + x5 = 2
3x + 5y + z + t = 15 






x4 + x5 = −1
 7x + 4y + 5z + 2t = 18
x
+
2x
+
3x
+
4x
=
0
1
2
3
4



 7x + 14x + 20x + 27x = 0
1
2
3
4
 5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2



3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5
2.2. Gia’i v`
a biˆe.n luˆ

a.n theo a c´
ac hˆe. sau:




21



y+
z =1


 (a + 1)x +
 ax + y + z + t = 1
x + (a + 1)y +
z =a
x + ay + z + t = a




2
x+
y + (a + 1)z = a
x + y + az + t = a2


   


x − y + az + t = a

2 −1 1 −1
x
1


 x + ay − z + t
= −1  2 −1 0 −3   y   2 

× = 

3 0 −1 1
z
−3

ax + ay − z − t = −1



2 2 −2 a
t
−6
x + y + z + t = −a


 ax1 − 3x2 + x3 = −2
.
.

ax1 + x2 + 2x3 = 3
2.3. Cho hˆe. phu o ng tr`ınh


3x1 + 2x2 + x3 = b.
o.i gi´
a tri. cu’a a v`
u.a t`ım, t`ım nghiˆe.m cu’a hˆe.
a. T`ım a d¯ˆe’ hˆe. trˆen l`
a hˆe. Cramer; u
´.ng v´
theo b.
b. T`ım a, b d¯ˆe’ hˆe. trˆen vˆ
o nghiˆe.m.
c. T`ım a, b d¯ˆe’ hˆe. trˆen c´
o vˆ
o sˆ
o´ nghiˆe.m, t`ım nghiˆe.m tˆ
o’ng qu´
at cu’a hˆe..
2.4. T`ım m d¯ˆe’ c´
ac hˆe. phu.o.ng tr`ınh sau d¯ˆ
ay:
a.
c´
o
nghiˆ
e
m
.   




 

−9
3 6
7
x
2 3 1
 3 7 −6  ×  y  =  −2 ;  4 8  × x =  12 ;
y
  2 7    m 
 5 8 1   x  m
−m
x
3 7 5
1
x
3 2 5
 2 4 6  ×  y  =  3 ;  2 3 1  ×  y  =  2 ;
5
z
6 9 3
5
z
5 7 m

mx + 2y + 3z + 2t = 3



3x + 4y + 5z + 7t = 1 





 2x + 6y − 3z + 4t = 2 
 2x + my + 3z + 2t = 3
;
2x + 3y + mz + 2t = 3

4x + 2y + 13z + 10t = m 





 2x + 3y + 2z + mt = 3

5x
+ 21z + 13t = 3 
2x + 3y + 2z + 3t = m


2x − y + z − t = 1


x + y + (1 − m)z = m + 2



 2x − y

− 3t = 2
b. vˆ
o nghiˆe.m:
; (1 + m)x − y +
2z = 0

3x
− z + t = −3 



2x − my +
3z = m + 2

2x + 2y − 2z + mt = −6

mx1 + x2 + x3 + · · · + xn
=0





 x1 + mx2 + x + 3 + · · · + xn = 0
c. vˆ
o d¯i.nh:
=0

x1 + x2 + mx3 + · · · + xn



.........



=0
x1 + x2 + x3 + · · · + mxn



3x + 2y + z + t = 1


3x
+
2y
+
z
=
3



 2x + 3y + z + t = 1

 x + my − z + 2t = 0
;

mx + y + 2z = 3 ;
2x − y + mz + 5t = 0



x + 2y + 3z − t = 1




mx − 3y + z = −2
x + 10y − 6z + t = 0

5x + 5y + 2z
= 2m + 1




d. c´
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t:

x + 3y − z + t = 1



 3x + 3y − z + mt = 2

 2x + 2y + z + t = 3



5x + 3y
+ 2t = 1

;







x + y + z + mt
x + my + z + t


mx + y + z + t



x + y + mz + t

22


x + 4y + 3z + 6t

=1 



+ z+ t
 −x
=1 
;
2x + y − z
=1 


2y + mx


=1 
2x + 5y + 3z + 7t
nghiˆe.m d¯´
o:

o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t, t`ım
2.5. Ch´
u.ng minh hˆe. sau c´

x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn




+ x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn

 x1

+ x4 + · · · + xn−1 + xn
x1 + x2



.........



x1 + x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1

=1
=2
=3
=n

`eu kiˆe.n theo a d¯ˆe’ hˆe. sau c´
2.6. T`ım d¯iˆ
o nghiˆe.m duy nhˆ
a´t

x1 +
ax2




ax3

 x1 + (1 + a)x2 +

ax4
x2 + (1 + a)x3 +



ax5
x3 + (1 + a)x4 +



x4 + (1 + a)x5

=0
=0
=0
=0
=0

.ng tr`ınh:
2.7. 
Biˆe.n luˆ
a.n theo a sˆ
o´ nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o
y+
z =0 

 (a − 3)x +
 ax + ay + z = a
x + (a − 3)y +
z =0;

ax + y + az = 1 ;




x+
y + (a − 3)z = 0
x + ay + az = 1


x
−
y + az + t
=a


ax
+
ay
+
(a
+
1)z
=
a



 x + ay − z + t
= −1

ax + ay + (a − 1)z = a ;



 ax + ay − z − t = −1
(a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1 

x + y + z + t = −a
.
.
o) cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh sau:
2.8. T`ım nghiˆe.m nguyˆen du o ng (nˆe´u c´
x + y + z = 100
x + 2y + 3z = 14
;
;
x + 15y + 25z = 500
2x + 3y − z = 5

 x− y+ z+ t =2
x + 3y − 3z = 1 
;
2x + y − 3z + 2t = 2
3x − 3y + 4z = 4 

3x − 2y + z + t = 3
a.c 3 f(x) biˆe´t:
2.9. T`ım c´
ac d¯a th´
u.c bˆ

a. f(−1) = 0; f (1) = 4; f (2) = 3; f (3) = 16;
b. f (−1) = 5; f(1) = 5; f(3) = 45; f(−4) = −25.
2.10. T`ım nghiˆe.m tˆ
o’ng qu´
at v`
a hˆe. nghiˆe.m co. ba’n cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh sau:

=0
=0
=0
=0
=0




23



x + y − 4z = 0



 2x − y + 5z + 7t = 0 
 2x + 9y + 6z = 0
4x − 2y + 7z + 5t = 0 ;
;



3x + 5y + 2z = 0



2x − y + z − 5t = 0 
4x + 7y + 5z = 0


x + 2y + 4z − 3t = 0  x
+ 8z + 7t = 0




 3x + 5y + 6z − 4t = 0 
 2x + y + 4z + t = 0
;

4x + 5y − 2z + 3t = 0 
3x + 2y − z − 6t = 0






3x + 8y + 24z − 19t = 0
7x + 4y + 6z − 5t = 0
2.11.
am 3 bˆ

a.c (I,II,III),
a. Trong mˆ
o.t x´ı nghiˆe.p sa’n xuˆ
a´t, c´
o 15 cˆ
ong nhˆ
an d¯u.o..c chia l`
.
.
.
.
.
.
`an lu o. t l`
`ong. Mˆ
hu o’ ng lu o ng th´
ang lˆ
a: 600.000, 500.000, 400.000 d¯ˆ
o˜i th´
ang x´ı
.
.
`
`
´
´
’
nghiˆe.p ph´
at 7,7 triˆe.u d¯ˆ
ong tiˆen lu o ng. Hoi trong x´ı nghiˆe.p ˆ

a y, sˆ
o cˆ
ong cˆ
ong mˆ
o˜i
bˆ
a.c c´
o thˆe’ l`
a bao nhiˆeu?
.
b. Mˆ
o.t ho. p t´
ac x˜
a nˆ
ong nghiˆe.p c´
o 300 ha d¯ˆ
a´t, 850 cˆ
ong lao d¯ˆ
o.ng v`
a 65 triˆe.u d¯`ˆ
ong
`en vˆ
`ong c´
tiˆ
o´n d`
anh cho sa’n xuˆ
a´t vu. h`e thu v´
o.i du.. d¯i.nh trˆ
ac loa.i cˆ
ay I,II,III c´

o chi
`ong nhu. sau:
ph´ı sa’n xuˆ
a´t cho mˆ
o˜i ha giao trˆ
`
`en (d¯ˆ
`ong) Lao d¯ˆ
Loa.i cˆ
ay Vˆ
o´n b˘
a ng tiˆ
o.ng (cˆ
ong)
I
200.000
2
II
150.000
3
III
400.000
5
-ooOoo-




24

Chu.o.ng 3

`
ˆ U BIE
ˆ´N & T´
ˆ KEP
´
HAM
NHI`E
ICH PHAN
`eu biˆ
I. H`
am nhiˆ
e´n
1. Kh´
ai niˆ
e.m
* Cho D ⊂ R2 . Mˆ
o.t ´
anh xa.
f : D→R
(x, y) → f (x, y) = z ∈ R
`en x´
a h`
am hai biˆ
e´n x´
ac d
¯i.nh trˆ
en D, D d¯u.o..c go.i l`
a miˆ

ac d
¯i.nh
d¯u.o..c go.i l`
’
´
cu a h`
am hai biˆ
e n f(x, y).
V´ı du..
`en x´
+ Miˆ
ac d¯.inh cu’a h`
am z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 l`
a tˆ
a.p
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1

+
*

*

*

(h`ınh tr`
on tˆ
am O b´
an k´ınh 1).
`
’

Miˆen x´
ac d¯i.nh cua h`
am z = f (x, y) = ln(x+y) l`
a tˆ
a.p D = (x, y) ∈ R2 : x + y > 0
.
.
.
` m ph´ıa trˆen d¯u `
a.t ph˘
a’ng n˘
a
o ng th˘
a’ng y = −x trˆen m˘
a.t ph˘
a’ng xOy.
(nu’ a m˘
˜en
Cho h`
am hai biˆe´n z = f(x, y). Trˆen m˘
a.t ph˘
a’ng Oxy, mˆ
o˜i c˘
a.p (x, y) d¯u.o..c biˆe’u diˆ
.
’
’
’
’
bo i mo.t d¯iˆem M(x, y), nˆen ta c´

o thˆe xem z = f (x, y) l`
a h`
am c´
ac d¯iˆem M(x, y), k´
y
`eu z = f(M ).
hiˆ
`en x´
Cho h`
am hai biˆe´n z = f (x, y) c´
o miˆ
ac d¯i.nh D. Trong khˆ
ong gian Oxyz, x´et
`en D,
c´
ac d¯iˆe’m P (x, y, z) tho’a m˜
an (x, y) ∈ D v`
a z = f (x, y). Khi M cha.y trˆen miˆ
.
.
c´
ac d¯iˆe’m P va.ch trong khˆ
ong gian mˆ
o.t m˘
a.t cong d¯u o. c go.i l`
ad
¯`ˆ
o thi. cu’ a h`
am
´

hai biˆ
e n x = f(x, y).
Cho D ⊂ Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n}. Mˆ
o.t ´
anh xa.
f : D→R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f(x1 , x2 , . . . , xn ) = z ∈ R

`en
d¯u.o..c go.i l`
a h`
am n biˆ
e´n f (x1 , x2 , . . . , xn ) x´
a miˆ
ac d
¯.inh trˆ
en D (D d¯u.o..c go.i l`
x´
ac d
¯i.nh).
* Cho h`
am hai biˆe´n z = f (x, y) x´
ac d¯i.nh trong khoa’ng ho’. U cu’a Mo (xo , yo ) (khˆ
ong
.
`an x´
`an
cˆ
ac d¯i.nh ta.i Mo ). Sˆ
a gi´

o.i ha.n cu’ a f(x, y) khi M(x, y) dˆ
o´ L d¯u o..c go.i l`
.
`an d¯ˆe´n Mo (xo , yo ), ta
d
¯ˆ
e´n Mo (xo , yo ) nˆe´u v´
ay d¯iˆe’m Mn (xn , yn ) thuˆ
o i mo.i d˜
o.c U dˆ
`
d¯ˆeu c´
o: lim f(xn , yn ) → L. Ta k´
y hiˆe.u:
n→∞

lim f (x, y) = L.

x→xo
y→yo

`en D d¯u.o..c go.i l`
a liˆ
en tu.c ta.i Mo (xo , yo ) ∈ D
* H`
am sˆ
o´ z = f (x, y) x´
ac d¯i.nh trong miˆ
nˆe´u:
lim f (x, y) = f (xo , yo ).

x→xo
y→yo




25

- a.o h`
`eu biˆ
2. D
am v`
a vi phˆ
an h`
am nhiˆ
e´n
- a.o h`
2.1. D
am riˆeng
* Cho h`
am sˆ
o´ z = f (x, y) x´
ac d¯i.nh trˆen khoa’ng ho’. U cu’a Mo (xo , yo ), khi d¯´
o ∆x =
.
.
`an lu.o..t l`
x−xo v`
a sˆ
o´ gia cu’ a biˆ

e´n sˆ
o´ x v`
a y, ∆xz = f (xo +
a ∆y = y−yo d¯u o. c go.i lˆ
`an lu.o..t l`
∆x, yo )−f(xo , yo ) v`
a sˆ
o´ gia riˆeng cu’ a h`
am
a ∆y z = f(xo , yo +∆y) d¯u.o..c go.i lˆ
z = f (x, y) theo x v`
a theo y ta.i Mo (xo , yo ), c`
on ∆z = f(xo +∆x, yo +∆y)−f (xo , yo )
`an cu’ a h`
d¯u.o..c go.i l`
a sˆ
o´ gia to`
an phˆ
am z = f (x, y) ta.i Mo (xo , yo ).
∆x z
∆y z
`on ta.i h˜
v`
a lim
tˆ
u.u ha.n th`ı c´
* Nˆe´u lim
ac gi´
o.i ha.n d¯´
o d¯u.o..c go.i l`

a c´
ac
∆x→0 ∆x
∆y→0 ∆y
e´n x v`
a biˆ
e´n y, k´
y
d
¯a.o h`
am riˆ
eng cu’ a h`
am x = f (x, y) ta.i (xo , yo ) cu’ a biˆ
.
.
`an lu o. t l`
hiˆe.u lˆ
a:
∆x z
∂z
(xo , yo ) = lim
∆x→0 ∆x
∂x
∂z
∆y z
(xo , yo ) = lim
zy (xo , yo ) = fy (xo , yo ) =
∆y→0 ∆y
∂y

zx (xo , yo ) = fx (xo , yo ) =

* Nˆe´u h`
am z = f (x, y) c´
o c´
ac d¯a.o h`
am riˆeng theo biˆe´n x v`
a biˆe´n y ta.i ∀(x, y) ∈ D,
´
ta n´
oi z = f (x, y) c´
o c´
ac d
¯a.o h`
am riˆ
eng theo biˆ
e n x v`
a theo biˆ
e´n y trong
`en D, k´
miˆ
y hiˆe.u l`
a:
fx (x, y) = zx =

∂z
;
∂x

fy (x, y) = zy =

∂z
∂y

V´ı du.. T´ınh c´
ac d¯a.o h`
am riˆeng cu’a
y
+ z = x , x > 0:
zx = (xy )x = yxy−1 ;
zy = (xy )x = xy . ln x
x
+ z = ey :
x
x
x 1
x
= ey .
= ey . ;
zx = e y
y x
y
x
x
x
x
x x
x
x
zy = e y

= ey .
= e y . − 2 = − 2 .e y
y y
y
y
y
+ z = Arctg xy;
(xy)x
y
zx = (Arctg xy)x =
=
;
2
1 + (xy)
1 + x2 y 2
(xy)y
x
=
zy =
1 + (xy)2
1 + x2 y 2
2.2. Vi phˆ
an
`an cu’a h`
* Vi phˆ
an to`
an phˆ
am hai biˆe´n z = f (x, y) l`
a: dz = zx dx + zy dy, c´
o thˆe’ u

´.ng
`an d¯´
ong th´
u.c sˆ
o´ gia h˜
u.u ha.n
du.ng d¯ˆe’ t´ınh gˆ
ung gi´
a tri. cu’a h`
am sˆ
o´ ph´
u.c ta.p theo cˆ
.
nhu sau:
f(xo + ∆x, yo + ∆x)

fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f(xo , yo )