BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PT TUYẾN TÍNH
---------o0o--------Bài 1:

 2 1
1 2 3


a) Cho A   3 4  và B  

 4 5 6 
1 0 


Tính AB, BA, AAT , AT A

 1 2
1 3
2 5
1 4 
b) Cho các ma trận A   1 0  ; B   2 1  ; C   0 3  ; D   2 5 








 2 1 

 3 2 
 4 2 
 3 6 
Hãy tính: 5A – 3B + 2C + 4D và A+ 2B – 3C – 5D
Bài 2:

1 2 6 
Cho ma trận A   4 3 8 . Hãy tìm ma trận X sao cho:


 2 2 5 
a) 3 A  2 X  I 3
b) 5 A  3 X  I 3
Bài 3:
Trong M 2 ( ) cho các ma trận
 2  5i 2i 
 i 1 2  i 
B
;
C


 6i  2 i  3 
 2i  4 7  3i 



Tìm A  M 2 ( ) sao cho 2 A  3B  2C
Bài 4:
Tìm x, y, z và w biết rằng:

6   4
x  y
x y  x
3




3 
 z w   1 2w   z  w

Bài 5:

-1-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

0
0
Cho ma trận A  
0

0

1 0 0
0 1 0 
0 0 1

0 0 0

Hãy tính các ma trận:
a) A2 ; A3 ; A4
b) AAT ; AT A
Bài 6:

0 1 0 
Cho A  0 0 1  . Tính A2 , A3


0 0 0 
Bài 7:
Tính Ak , k 

biết rằng:

 2 1 
1 
a) A  
b) A  


 3 2 
0 1 
cos   sin  
e) A  

 sin  cos  

 1

c) A  

0 

 1 1 1


d) A  1 1 1
 1 1 1



1 1 0


f) A   0 1 1 
0 0 1



Bài 8:
Chứng minh rằng:

2 0 0 
a) A   0 2 0  là một nghiệm của p( x)  x3  3x 2  4
 0 0 1
a b 
b) B  
 M 2 ( K ) là nghiệm của q( x)  x 2  (a  d ) x  (ad  bc)  K[ x]


c d 

Bài 9:
Xác định hạng của các ma trận sau:
-2-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

 1 1 3
1 2 3 6 


a) 1 0 2 b)  2 3 1 6




 3 5 0 
 3 1 2 6 
2
1

1
e) 
1
1

1

1
3
1
1
2
1

1
1
4
1
3
1

1
1 
1

5
4

1

2
1
f) 
3

5

1 1 5 1
1 1 2 3 

c) 
3 1 8 1 


1 3 9 7 

3 2 1
1
 2 5 2 1 

d) 
1 1
6 13 


 2 6 8 10 

1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 
4 3 4 3 4

5 6 7 5 5

Bài 10:
Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m,n:

3


m
c) 
1

2

1 1 3
 m 5m m 


m 10m 
a) 2 1 m b)  2m



1 m 3 
 m 2m 3m 

4
m 0 0 n 



4 10 1 
n m 0 0

d)
0 n m 0
7 17 3 




2 4 1
 0 0 n m
1

1

Biện luận theo tham số m hạng của các ma trận sau:

1 2 3 4 5
2
 4 6 8 9 10 
1


a) A 
b) B  
 5 8 11 13 16 
3



10 16 22 26 m 
5
 1 2
 m 1
c) 
1 m


1 2

8
0 1 1 0 0 
4 2 4 1 1

5 5 8 3 m

1 3 4 2

1 1

1
1 1 1
0 1 1

2 1 1 

Bài 11:
Xác định α để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:

3 1
 2
A
 3 1

3 3

4 1

3 1 
1 0

7 2
-3-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 12:
Với giá trị nào của m 

thì hạng của ma trận sau đây bằng 1.

 1 2 1 
a) A   2 m 2 


 3 6 3

2
3
5 
1
1 3




b) B  3 6  m 9


 c) C   4 12 m  5 
 4 8  m 12 
 5 15 m  10 

Bài 13:

m 1 1 1 
Cho ma trận A   1 m 1 m  . Tìm điều kiện của m để rank(A) < 3.


2
 1 1 1 m 
Bài 14:
1 1
2 1
Cho A  
và B  
. Hãy tính ( B1 AB)k , k 


 0 1
 3 2

Bài 15:
Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

1 0 2 
a) A   2 1 3 



 4 1 8 

0
1 2 2 
0


b) A  2 3 6 c) A  


2
1 1 7 

1

0 1 1
3 1 4 
7 6 1

2 2 1

1 1 1 1 
1 1 1 1 
1 1 1 1
1 1 1 1
 e) A  
 f) A   sin a cos a 
d) A  
  cos a sin a 

1 1 0 0 
1 1 1 1






 0 0 1 1
1 1 1 1 
 3 5
g) A  

 2 3

Bài 16:
4
5
Cho A  
. Chứng minh rằng A2  2 A  I 2  0 , suy ra A khả nghịch và tìm A1 .

 4 3

-4-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 17:
Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo

tương ứng của nó:

1 a bc 
a) A  1 b ca 


1 c ab 

a b 1 
b) A   1 ab 1 


 1 b a 

Bài 18:
Tính các định thức sau:
a)

2 3
1 4

b)

sin  cos 
f)
sin  cos 

2 1
1 2

0 1 1 a
1 0 1 b
1 1 0 c
a b c

r)

0

3 1 1 1
v)

1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3

sin  cos 
 cos  sin 

d)

a
c  di
c  di
b

2 1

4 b

4 3

2 c

3 2

4 d

5 4

1 2 3 4
w)

2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2
1
y) 1
1
1

1
3
1
1
1

s)

  i   i

  i   i

a b c
l) c a b
b c a

0
 2  1 

1
o)  2  1  p)
1


2  1
1

1
i 1 i
n) i 1 0
1 i 0 1
5 a

e)

3 4 5
k) 8 7 2
2 1 8

2sin  cos  2sin 2   1

g)
2cos 2   1 2sin  cos 

ax
x
x
b x
x
m) x
x
x
cx

q)

c)

1

1
1
4
1
1

1
1
1
5
1

0 1 1
1 0 1
1 1 0

a 3 0 5
t)

0 b 0
1 2 c

2
3

0 0 0 d

1
5 6
1
1 5
1 z) 0 1
1
0 0
1
0 0

Bài 19:
Chứng minh:

a bc

2a
2a
a)
2b
bca
2b
 ( a  b  c )3
2c
2c
c a b
-5-

1 1 1

0
6
5
1
0

0
0
6
5
1

0
0
0
6

5


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

(b  c) 2
a2
b)
a2

b2
(c  a ) 2
b2

c2
c2
 2abc(a  b  c)3
( a  b) 2

Bài 20:
Dùng các tính chất của định thức để chứng minh các đẳng thức sau:

a1
a) a2
a3

b1
b2
b3

a1 x  b1 y  c1
a1 b1
a2 x  b2 y  c2  a2 b2
a3 x  b3 y  c3 a3 b3

c1
c2
c3

a1  b1 x a1  b1 x c1
a1 b1
b) a2  b2 x a2  b2 x c2  2 x a2 b2
a3  b3 x a3  b3 x c3
a3 b3
a1  b1 x a1 x  b1
c) a2  b2 x a2 x  b2
a3  b3 x a3 x  b3

c1
c2
c3

c1
a1 b1
2
c2  (1  x ) a2 b2
c3
a3 b3

c1

c2
c3

Bài 21:
Giải các phương trình sau theo ẩn x trên

x2
a) 0
0

x3
x4
x2  1
0 0
3
3
x 1 x 1

1

x

x 1

x2

0 0 x 1
0
0
x 1

x
x2
2

b)

0 0 x5  1

x100

Bài 22:
Các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Chứng minh rằng:

2 0 4
A  5 2 7 chia hết cho 17.
2 5 5

-6-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 23:
Không khai triển, tính định thức:

a
b
c
bc
2

b
c
a
ca
2

c
a
b
ab
2

1
1
1
1

Bài 24:
Không khai triển định thức chứng minh rằng:

0

x

y

z

0

1

1

1

x
y

0
z

z
0

y 1

x 1

0
z2

z2
0

y2
x2

z

y

x

0

y2

x2

0

1

Bài 25:
Chứng minh rằng:

1 a a2
b) 1 b b 2  (b  a)(c  a )(c  b)
1 c c2

1 a bc
a) 1 b ca  (b  a)(c  a)(c  b)
1 c ab
1 1 1
c) a b c  (a  b  c)(b  a)(c  a)(c  b)
a 3 b3 c 3

Bài 26:

Hãy tính các định thức sau và cho biết khi nào ma trận tương ứng khả nghịch:

1
a) a
a2

a2
1
a

a
a2
1

x  2 2 x  3 3x  4
b) 2 x  3 3x  4 4 x  5
3x  5 5 x  8 10 x  17

-7-

1 x x
c) x 1 x
x x 1


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

a  b  c a  b b  2c  2a
d) b  c  a b  c c  2a  2b
c  a  b c  a a  2b  2c

a 1 1 1
e)

b

0 1 1

c

1 0 1

d

1 1 0

0 a b
f)

c

a 0 c b
b c 0 a
c

b a 0

g)

a a a

a

a b b
a b c

b
c

a b c d

Bài 27:
Áp dụng ma trận nghịch đảo. Hãy giải các phương trình ma trận sau:
1 2
3 5
a) 
X 


3 4
5 9

 1 2 3 
 1 3 0 




b)  3 2 4  X  10 2 7 
 2 1 0 

10 7 8 





Bài 28:
Xét xem các hệ phương trình tuyến tính sau đây có là hệ Cramer không rồi giải chúng:
2 x1  x2  x3  4;

a) 3 x1  4 x2  2 x3  11;
3 x  2 x  4 x  11.
2
3
 1

 x1  2 x2  3x3  2 x4  6;

2 x1  x2  2 x3  3x4  4;
b) 
3x1  2 x2  x3  2 x4  4;
2 x1  3x2  2 x3  x4  8.

Bài 29:
Giải các hệ phương trình sau:
 x1  x2  2 x3  6;

a) 2 x1  3 x2  7 x3  16;
5 x  2 x  x  16.
2

3
 1

7 x1  2 x2  3x3  15;
 x1  x2  2 x3  1;


b) 5 x1  3 x2  2 x3  15; c)  2 x1  x2  2 x3  4;
10 x  11x  5 x  36.
 4 x  x  4 x  2.
2
3
3
 1
 1 2

3 x1  2 x2  x3  5;

d) 2 x1  3 x2  x3  1;
2 x  x  3 x  11.
3
 1 2

 x1  x2  x3  x4  2;

 x1  2 x2  3x3  4 x4  2;
e) 
2 x1  3x2  5 x3  9 x4  2;
 x1  x2  2 x3  7 x4  2.
-8-

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

2 x1  x2  5 x3  x4  5;

 x1  x2  3x3  4 x4  1;
f) 
3 x1  6 x2  2 x3  x4  8;
2 x1  2 x2  2 x3  3x4  2.

 x1  x2  x3  x4  5;

 x1  2 x2  3x3  4 x4  3;
g) 
4 x1  x2  2 x3  3x4  7;
3 x1  2 x2  3x3  4 x4  2.

2 x1  x2  3x3  2 x4  4;

3x1  3x2  3x3  2 x4  6;
h) 
3x1  x2  x3  2 x4  6;
3x1  x2  3x3  x4  6.

Bài 30:
Giải và biện luận các hệ pt sau:

mx1  x2  x3  1;


a)  x1  mx2  x3  m;

2
 x1  x2  mx3  m .

ax1  x2  x3  4;

b)  x1  bx2  x3  3;
 x  2 x  x  4.
2
3
 1

3 x1  2 x2  5 x3  4 x4  3;

2 x1  3x2  6 x3  8 x4  5;
d) 
 x1  6 x2  9 x3  20 x4  11;
4 x1  x2  4 x3  x4  2

 x1  ax2  a 2 x3  a 3 ;

c)  x1  bx2  b 2 x3  b3 ;

2
3
 x1  cx2  c x3  c .

mx1  x2  x3  x4


 x1  mx2  x3  x4
e) 
 x1  x2  mx3  x4
 x  x  x  mx
4
 1 2 3

 1;
 m;
 m2 ;

f)

 m3 .

 x1  x2  x3  1;

ax1  bx2  cx3  d ;
 2
2
2
2
a x1  b x2  c x3  d .

Bài 31:
Dùng thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải các hệ pt sau:
 x1  2 x2  3x3  4 x4  2;

a) 2 x1  5 x2  2 x3  x4  1;
5 x  12 x  7 x  6 x  7.

2
3
4
 1

 7;
 x1  x2

x2  x3  x4  5;

b) 
 x1  x2  x3  x4  6

x2
 x4  10

-9-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 32:
Cho hệ phương trình:

5 x1  3 x2  2 x3  4 x4  3;

4 x1  2 x2  3x3  7 x4  1;

8 x1  6 x2  x3  5 x4  9;
7 x1  3x2  7 x3  17 x4  .

Xác định giá trị của tham số  sao cho:
a) Hệ phương trình có vô số nghiệm..
b) Hệ phương trình vô nghiệm.
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 33:

 1;
 x1  x2  x3

Cho hệ phương trình  2 x1  3 x2  kx3  3;
 x  kx +3 x  2.
2
3
 1
Xác định giá trị của tham số k sao cho:
a) Hệ phương trình có vô số nghiệm..
b) Hệ phương trình vô nghiệm.
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 34:
 kx1  x2  x3 =1;

Cho hệ phương trình  x1  kx2  x3  1;
 x  x + kx =1.
2
3
 1

Xác định giá trị của tham số k sao cho:

a) Hệ phương trình có vô số nghiệm..
b) Hệ phương trình vô nghiệm.
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
-10-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 35:
Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3.

Bài 36:
Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16.

Bài 37:

y +z
m
mx 

Cho hệ phương trình 2 x  (1  m) y  (1  m) z  m  1.
x 
y  mz
1

Tìm giá trị của m để hệ trên có nghiệm.

Bài 38:

ax  3 y  z  2


Cho hệ phương trình ax  y  2 z  3 , trong đó a, b là các tham số.
3x  2 y  z  b

a) Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, giải và tìm nghiệm của hệ đó.
b) Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm.
c) Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm.
Bài 39:
Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm:

ax  y  z  a

 x  by  z  b
 x  y  cz  c


-11-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

KHÔNG GIAN VECTƠ
-------o0o------Bài 1:

Trong không gian vectơ ℝ4 , cho hệ vectơ sau:

{u1  (1,2, 1, 2); u2  (2,3,0,1); u3  (1,2,1,3); u4  (1,3, 1, 2)}
(a) Tìm điều kiện của tham số a để vectơ x  (7,14, 1, a) là một tổ hợp tuyến tính của
hệ đã cho.
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ {ui }, i  1,...,4 .

Bài 2:
Cho V là một K - không gian vectơ. Chứng minh rằng:
(a) Nếu 3 vectơ x, y, z  V là độc lập tuyến tính thì
x  y, y  z, z  x là độc lập tuyến tính.
(b) Nếu 3 vectơ x, y, z  V là độc lập tuyến tính thì
x  y, y  z, z  x có độc lập tuyến tính hay không?
(c ) Xét tính độc lập tuyến tính đối với 3 vectơ của ℝ3 :
x  (1,0,2); y  (2,1, 4); z  (3,1, 6)

Bài 3:

Trong ℝ4 , cho tập con

F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  0; x1  x3}
(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F.

Bài 4:

4

.

Trong R 4 , cho tập con

F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  2 x2  x3  x4  0; x1  x2}
(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của ℝ4 .
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
Bài 5:

Trong không gian 𝑀2 (ℝ) các ma trạn vuông cấp 2, cho tập

4 
2 
(a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của 𝑀2 (ℝ).
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
2

F  { X  M 2 ( ) / AX  0} ,trong đó, A  
 1

Bài 6:

Trong ℝ4 , cho hai tập con
-12-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

U  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4  0};
V  { y  ( y1 , y2 , y3 , y4 ) / y1  y2  y3  y4  0}
(a) Chứng tỏ rằng U, V là các không gian con của ℝ4 .
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của U  V . Chứng tỏ U  V 
Bài 7:

4

.

Trong ℝ4 , cho hai hệ vectơ:

W  {(1,1,1,1);(1,1, 1, 1);(1, 1,1, 1);(1, 1, 1,1)};
U  {(1,1,0,1);(2,1,3,1);(1,1,0,0);(0,1, 1, 1)}
(a) Chứng tỏ rằng W, U là các cơ sở của ℝ4 .
(b) Tìm tọa độ của vectơ x  (1,2,1,2)  4 trong cơ sở W.
Bài 8:

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con nghiệm của hệ phương trình
thuần nhất sau:

 x  2 y  4 z  3t  0
3 x  5 y  6 z  4t  0


4 x  5 y  2 z  3t  0
3 x  8 y  24 z  19t  0

Bài 9:
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con nghiệm của hệ
phương trình thuần nhất sau:
2 x  4 y  z  t  0
x  5 y  2z  0

2 y  2 z  t  0
 x  3 y  t  0

 x  2 y  z  t  0
Bài 10: Gọi W1 và W2 lần lượt là không gian con nghiệm của các hệ phương trình sau
trên ℝ:

 x1  x3  x4  0
x  x  0
và  1 2

 x1  x2  2 x4  0
 x2  x3  0
Tìm một cơ sở và số chiều cho mỗi không gian con W1 ,W2 ,W1  W2 ,W1  W2 .

Bài 11: Trong ℝ - không gian vectơ P2 [ x] , cho tập M  {x2  x  1;2 x  1;3}
-13-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

(a) Chứng minh rằng M là một cơ sở của P2 [ x] .
(b) Tìm tọa độ của vectơ u  2 x 2  x  1 trong cơ sở này.
Bài 12: Trong ℝ3 , cho các cơ sở:

U  {u1  (1,1,1); u2  (1,1,0); u3  (1,0,0)}; V  {v1  (2,1, 1); v2  (3,2,5); v3  (1, 1,1)
(a) Tìm tọa độ của vectơ x  (2,4,6) trong cơ sở U.
(b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V.
Bài 13:
Trong không gian ℝ4 , cho các không gian con sau:

W1  {(a, b, c, d ) / b  2c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / a  d , b  2c}

Tìm cơ sở và số chiều của W1 ,W2 ,W1  W2 ;W1  W2 . Từ đó, chứng minh rằng W1  W2 

4

Bài 14:
Trong không gian ℝ4 , cho các không gian con sau:

W1  {(a, b, c, d ) / a  2b  c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / 2a  2b  c  d  0}

(a) Chứng minh rằng W1 ,W2 là các không gian con của
(b) Tìm cơ sở và số chiều của W1 ,W2 ,W1  W2 .

4

.

Bài 15:
Trong không gian vectơ ℝ5 , xét hệ gồm 3 vectơ

u1  (1,1, 2,1,4); u2  (0,1, 1,2,3); u3  (1, 1,0, 3,0)
(a) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi các vectơ u1 , u2 , u3 .
(b) Tìm giá trị của m để vectơ x  (1, m,1, m  3, 5) W . Khi đó, hãy tìm tọa độ của
vectơ x đối với cơ sở {u1 , u2 , u3} .
Bài 16:
Trong không gian ℝ3 , cho W là một không gian con sinh bởi hệ vectơ sau:

W  {u1  (1,2, 1); u2  (3,1, 2); u3  (4,1,1); u4  (2,4, 2)}

(a) Tìm một cơ sỏ và số chiều W.
(b) Chứng tỏ rằng không gian con sinh bởi hai vectơ u1 và u 2 bằng với không gian con
sinh bởi hai vectơ u3 và u 4

-14-

.


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 17:
Trong M 2 ( ) , cho hai không gian con:
a  b
 a
c  d
F  {A  
/ a, b  }; G  {

 a  b 2a 
c  d
(a) Xác định tập F  G .
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F  G .

2c 
/ c, d  } $
c  5d 

Bài 18: .
Trong không gian ℝ4 , cho các vectơ:

u1  (1,1,0,0); u2  (1,1,1,1); u3  (0, 1,0,1); u4  (1,2, 1, 2)
Gọi E là không gian con của 4 sinh bởi hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } .

(a) Tìm một cơ sở và số chiều của E.
(b) Tìm một điều kiện cần và đủ để vectơ x  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  E .

Bài 19:
Trong không gian M 2 ( ) , cho tập con
b 
a
F  {A  
 / a, b  }
b a  b

(a) Chứng tỏ F là một không gian con của M 2 ( ) .
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
Bài 20:
Trong không gian vectơ ℝ𝑛 , cho tập V có dạng:
V  {x  ( x1 ,..., xn )  n / x1  x2 
(a) Chứng minh rằng V là một không gian con của
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của V.

n

.

Bài 21:
Cho hệ phương trình tuyến tính
a
 x  y  2t
2 x  4 y  z  5t  b

c
 x  3 y  5t
3x  7 y  3z  9t  d


2 x  8 y  4 z  2t  e
Xét W  {(a, b, c, d , e) / hệ phương trình (*) có nghiệm }
-15-

 xn  0}

(*)


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Bài 22:

(a) Cho hệ vectơ 1 , 2 ,..., m độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng hệ vectơ
1  1; 2  1   2 ;...; m  1   2  ...   m
cũng độc lập tuyến tính.
(b) Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M 2 ( ) , cho 4 vectơ sau:
1 3
1
u 
; u1  

 2 2
2
Hỏi u có phải là một tổ hợp tuyến tính của

0
1 1
 0 1

; u2  
; u3  



0
0 0
 1 1
u1; u2 ; u3 không?

Bài 23:
Trong không gian P1[ x] , xét các cơ sở
B  {6  3x;10  2 x}; B  {2;3  2 x}
(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B'.
(b) Tìm tọa độ của p  4  x đối với cơ sở B, từ đó suy ra tọa độ của p đối với cơ sở B’.
Bài 24:
Trong không gian ℝ3 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
F  {(a, b, c) / a  b  c  0}
(a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
(b) Với giá trị nào của m thì x  (2, 2, m) trực giao với không gian con F?
Bài 25:
Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 , cho không gian vectơ con
W  {(a, b, c, d )  R 4 / a  b  c  0; a  b  d  0}
(a) Tìm một cơ sở của W.
(b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với W.
Bài 26:
 1 3 
Trong không gian M 2 ( ) , cho ma trận A  

 1 3 

Ta gọi tập

W  { X  M 2 ( ) / AX  0}
(a) Chứng minh rằng W là một không gian con của M 2 ( ) .
(b) Tìm một cơ sở và số chiều của W.
-16-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Bài 27:
Trong không gian vectơ ℝ3 , cho hai hệ vectơ:
U  {(1,1,1);(1,1,2);(1,2,3)};
V  {(2,1, 1);(3,2, 5);(1, 1, m)}
(a) Xác định m để V là một cơ sở của 3 .
(b) Tìm tọa độ của vectơ u  (1,0,0) trong cơ sở U.
(c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V.
Bài 28:
Cho hệ phương tŕnh tuyến tính thuần nhất
x  y  2z  t  0

2 x  2 y  z  t  0
 x  y  z  mt  0

(a) Tìm tập nghiệm của hệ phương trình trên.
(b) Gọi W là không gian nghiệm của hệ đã cho. Với giá trị nào của m thì W có số chiều lớn
hơn 1?
Bài 29:
Trong không gian P3[ x] các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3, xét hai cơ sở sau:

U  {1; x; x 2 ; x3};V  {1;( x  1);( x  1)2 ;( x  1)3}
(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V.
(b) Tìm tọa độ của vectơ f ( x)  2 x3  x  5 đối với cơ sở V.
Bài 30:
Gọi A  {(0,1,0, 2),(1,1,0,1),(1, 2,0,1),( 1,0, 2,1)} và
B  {(1,0,2, 1),(0,3,0,2),(0,1,3,1),(0, 1,0,1)}
là hai cơ sở của ℝ4 .
(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở A sang cơ sở B .
(b) Tìm tọa độ của   (2,0,4,0) đối với cơ sở B .
Bài 31:
Trong không gian P3[ x] các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 3.
(a) Chứng minh rằng hai hệ vectơ
U  {u1  1; u2  x; u3  x 2 ; u4  x 3}
-17-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

V  {v1  1; v2  ( x  2); v3  ( x  2) 2 ; v4  ( x  2)3}
là hai cơ sở của P3[ x] .
(b) Hãy tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang cơ sở V.

Bài 32:
Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:
1 1 7 7
x  (1,1,1,1); y  (2, 2, 2, 2); z  ( , ,  , )
2 2 2 2
(a) Chứng tỏ rằng hệ {x, y, z} là hệ trực giao.
(b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có một cơ sở trực giao của ℝ4 .
Bài 33:

Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ
x  (0,1,1,1); y  (3, 2,1,1); z  (3,3, 4,1)
(a) Chứng tỏ rằng hệ {x, y, z} là một hệ trực giao.
(b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của ℝ4 .
Bài 34:
Trong không gian Euclide ℝ3 , cho hai không gian con:
U  {x  3 / x1  x2  x3  0; x1  x2  x3  0};V  {x 
(a) Tìm một cơ sở và số chiều của U ;V ;U  V .
(b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?

Bài 35:
Trong không gian Euclide

3

, cho một tập con:
W  {x  3 / 2 x1  x2  x3  0}

(a) Chứng tỏ W là một không gian con của 3 .
(b) Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của W.

-18-

3

/ x2  x3  0}


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

CHÉO HOÁ MA TRẬN
-----------o0o--------Bài 1:
 2 3
Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) của ma trận A  
.
4
1



Bài 2:

 1
Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) của ma trận A   3

 0
Bài 3:
Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên ℝ.

1
0
a. A  
0

0
2
1
b. B  
0


0

2 3 4
2 3 4 
0 3 4

0 0 4
7 9 
4 6
5 
0
6 5 

0
2
3

5

Bài 4:
Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên ℝ.

 1
a. A   a
 b
a
b
b. B  
c


d

a
1
c

b
c 
1 

b

c

a
d

d
a

c

b

d 
c 
b 

a

Bài 5:
-19-

6 2 
2 0  .
3 4 


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

 7
Cho ma trận A  
 4

2
.
1 

a. Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) của A .
b. Xác định các giá trị riêng  i của A .
c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng EA (i ) .
d. Xác định một cơ sở S của ℝ2 gồm các véc tơ riêng của A .
Bài 6:

 11 5 5
.
3

3
Cho ma trận A   5



 5 3 3
a. Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) của A .
b. Xác định các giá trị riêng  i của A .
c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng EA (i ) .
d. Xác định một cơ sở S của ℝ3 gồm các véc tơ riêng của A .

Bài 7:

1
0
Cho ma trận A  
1

1

0 1 1
1 1 1 
1 1 0

1 0 1

a. Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) của A .
b. Xác định các giá trị riêng  i của A .
c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng EA (i ) .
d. Xác định một cơ sở S của ℝ4 gồm các véc tơ riêng của A .

Bài 8:
-20-

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

7
9 1 5
8
3
2 4 

như sau A 
0
0
3
6


0 1 8 
0

Cho ma trận A trên trường số thực

a. Tính det A
b. Tính det( A  I 4 ) với   .
c. Tính det f ( A) biết rằng f ( x)  x n  x 2  1 .
Bài 9:

 3 1
Chéo hoá ma trận A  7 5


 6 6

1
1 
2 

Bài 10:

1
0
Chéo hóa ma trận A  
1

1

0 1 1
1 1 1 
1 1 0

1 0 1

Bài 11:

 1 7
Cho ma trận A   2 8
 4 16

5
6 
12 

a. Chéo hoá ma trận A .
b. Hãy tính luỹ thừa ma trận An .

-21-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
-----------o0o--------Bài 1:
Cho 𝑓: ℝ3 → ℝ3 là ánh xạ tuyến tính sao cho

f (1,1, 2)  (1, 2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2, 2,3)  (0, 1,0)
Hãy xác định công thức của f , nghĩa là tìm f ( x1 , x2 , x3 ) .
Bài 2:
Tìm ánh xạ tuyến tính  :

3

[t ] 

3

[t ] sao cho

(1)  1  t , (1  t 2 )  1  2t , (2  t )  4  2t.
Bài 3:
Tìm ánh xạ tuyến tính  : M 2 ( )  M 2 ( ) sao cho ( X i )  Yi , trong đó
1 2 

1 3 
2 6 
 4 11 
X1  
, X2  
, X3  
, X4  




3 4 
5 7 
9 13
17 25
1 2 
1 3 
1 4 
 2 1
Y1  
, Y2  
, Y3  
, Y4  




3 4 
2 4
2 3

 4 3

Bài 4:
Tìm ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 sao cho Imf sinh bởi (1, 2,3) và (4,5,6) .
Bài 5:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  y, y  z ) .
a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .
b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f .
Bài 6:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
f ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  z, x  y  2 z )

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .
b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f .
Bài 7:
-22-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định bởi
f ( x, y, z, t )  ( x  y  z  t , x  2 z  t , x  y  3z  3t )

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .
b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f .
Bài 8:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định bởi

( x, y, z, s, t )  ( x  2 y  z  3s  4t , 2 x  5 y  4 z  5s  5t , x  4 y  5z  s  2t )
a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của  .

b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của  .
Bài 9:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ3 [𝑡 ] → ℝ3 [𝑡 ] xác định bởi ( f (t ))  f (t ) .
a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của  .
b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của  .
Bài 10:
Cho ánh xạ tuyến tính  : M 2 ( )  M 2 ( ) xác định bởi ( X )  XA  AX , trong đó
1 2 
A

3 4 

a. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của  .
b. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của  .
Bài 11:
Xác định các ánh xạ tuyến tính nào dưới đây là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
a. f :

2



2

xác định bởi f ( x, y)  ( x  y, x  2 y) .

b. f :

2



2

xác định bởi f ( x, y )  (2 x  4 y,3x  6 y) .

Bài 12:
Cho toán tử tuyến tính f trên ℝ3 xác định như sau:
f ( x1 , x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 )
-23-


Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Với a là một số thực nào đó.
a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3
b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không?
Bài 13:
Cho ánh xạ 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định bởi
f ( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  x4 , 2 x2  x3  x4 )

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở B và B’ như sau:
B  {u1  (1,1,1,1); u2  (0,1,1,1); u3  (0,0,1,1); u4  (0,0,0,1)}
B '  {v1  (1,1,1); v2  (1,1,0); v3  (1,0,0)}

c) Tìm rank( f ) và def( f ). Hỏi f có đơn cấu và toàn cấu không?

-----------o0o---------

-24-