SKKN đi tìm nguồn gốc bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, định hướng cách giải và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƢNG YÊN
TRƢỜNG THPT YÊN MỸ
--------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG, ĐỊNH HƢỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH”

Môn

: Toán

Nhóm tác giả :
1. Nguyễn Cao Thời - Trƣờng THPT Yên Mỹ
2. Vũ Văn Dũng

- Trƣờng THPT Triệu Quang Phục

3. Nguyễn Văn Phu
Chức vụ

- Trƣờng THPT Minh Châu

: Giáo viên

1

Năm học: 2015 - 2016

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT
PHẲNG, ĐỊNH HƢỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH”

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I – Lý do chọn đề tài
Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thƣờng xuất hiện
trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi Đại học, THPT Quốc Gia. Nó có thể coi nhƣ là
điểm thứ 8 của đề thi, là câu khó với nhiều đối tƣợng học sinh, nhất là học sinh có
năng lực trung bình và là câu có tính phân loại học sinh. Học sinh muốn đạt điểm
tốt môn Toán cần phải biết cách vƣợt qua bài toán dạng này. Vì vậy nó luôn là sự
quan tâm đặc biệt đối với học sinh và các thầy, cô dạy toán.
Các bài toán hình học giải tích phẳng thƣờng gắn liền với một số tính chất
nào đó của hình học phẳng thuần túy. Việc khó khăn nhất là trong mỗi bài toán,
cần phải sử dụng tính chất hình học nào, tính chất đó có ngay khi phát biểu bài
toán hay phải phán đoán tính chất có lợi cho bài toán và chứng minh nó. Một việc
nữa là phải chuyển từ ngôn ngữ hình học phẳng sang ngôn ngữ hình giải tích
phẳng sao cho thuận tiện và dễ hiểu.
Để giúp các thầy, cô có cái nhìn rõ hơn về đề thi đại học những năm gần
đây, dạy học ôn thi hiệu quả; cũng là để giúp các em học sinh tiếp thu dạng toán
này dễ dàng hơn. Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Đi tìm nguồn gốc bài toán
hình học giải tích trong mặt phẳng, định hƣớng cách giải và phát triển năng
lực tƣ duy sáng tạo cho học sinh”
II – Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi khi học sinh giải toán hình học giải
tích phẳng, thông qua chuyên đề, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và sự tìm
tòi của bản thân.

2


Đƣa ra một số tính chất hình học thƣờng dùng, hệ thống các bài tập áp
dụng; khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa từ một số bài toán cơ bản của hình
học phẳng sang bài toán hình học giải tích phẳng.
III – Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Giáo viên giảng dạy môn toán THPT.
- Học sinh khối 10 THPT.
- Học sinh khối 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia
- Đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh khối 12.
IV – Phƣơng pháp nghiên cứu
- Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện
- Tìm kiếm tài liệu liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích phẳng;
những sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp thuộc bộ môn toán.
- Giảng dạy các tiết bài tập, chuyên đề tại các lớp 10A6, 10A1, 12A1 tại
các trƣờng THPT Yên Mỹ, Minh Châu, Triệu Quang Phục để thu thập thông tin.
- Họp nhóm biên soạn để tìm phƣơng án hợp lý nhất.
B. NỘI DUNG
I - Thực trạng vấn đề trƣớc khi làm đề tài
Huyện Yên Mỹ tỉnh Hƣng Yên có ba trƣờng THPT công lập là THPT Yên
Mỹ, THPT Minh Châu và THPT Triệu Quang Phục. Quá trình dạy học môn Toán
của các trƣờng trong huyện chỉ dừng lại ở mức độ hội học, hội giảng và trao đổi
kinh nghiệm trong nội bộ mỗi trƣờng mà chƣa có những hoạt động mang tính liên
trƣờng với nhau. Vì đó mà những kinh nghiệm giảng dạy chƣa có cái nhìn toàn
diện và sâu sắc. Nhiều thầy cô còn lúng túng trong việc lựa chọn phƣơng pháp
giảng dạy và hệ thống bài tập chƣa đƣợc phù hợp chính vì vậy học sinh càng gặp
nhiều khó khăn hơn.
Đề tài này tạo sân chơi và cơ hội để các thầy cô dạy môn Toán ba trƣờng

giao lƣu, học hỏi, trao đổi sáng kiến, kinh nghiệm và biện pháp giảng dạy đề tài
hình học giải tích phẳng sao cho có hiệu quả, giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức.

3


II – Kết quả đạt đƣợc khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu trong đề tài và qua khảo sát cho thấy
đa phần các thầy cô thấy có hiệu quả thực sự khi áp dụng dạy trên lớp.
Trong hai đề thi thử Đại học thì có 85% học sinh lớp 10 và 90% học sinh
lớp 12 giải đƣợc bài toán hình học giải tích phẳng.
III – Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho các thầy cô dạy môn
Toán tại trƣờng THPT.
- Đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em thi học sinh giỏi, khối 10 và
các em học sinh thi THPT Quốc gia.
IV – Cơ sở lí luận
1. Phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
2. Phƣơng pháp tƣơng tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
3. Một số kết quả hình học phẳng thƣờng dùng
Tính chất 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm I, tiếp tuyến Cx tại C.
1
2

Khi đó BAC  BDC  BCx  BIC .
Tính chất 2. Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của BC và
CD. Khi đó AM  BN .
Tính chất 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đƣờng tròn tâm I. Có trực tâm H,
M là trung điểm của BC. Khi đó AH  2IM .
Tính chất 4. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đƣờng tròn tâm I. Gọi H, K lần

lƣợt là chân đƣờng cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC. Khi đó IA  HK
Tính chất 4. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là giao điểm thứ hai của
đƣờng thẳng AH với đƣờng tròn ngoại tiếp ABC và M là giao điểm của AH với
BC. Khi đó M là trung điểm của HD.
Tính chất 5. Cho tam giác ABC có tâm đƣờng tròn nội tiếp J . Gọi D là giao
điểm thứ hai của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đƣờng thẳng AJ và I là
tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó D là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp
tam giác JBC và ID  BC .
4


Tính chất 6. Cho ABC có trực tâm H; E, D lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của
C, B lên các cạnh AB và AC. Gọi P là trung điểm của AH, M là trung điểm của
BC. Khi đó PM  ED
Tính chất 7. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lƣợt là chân
đƣờng cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Khi đó H là tâm đƣờng
tròn nội tiếp DEF .
Chú ý:
1. Cần đặc biệt chú ý quan hệ vuông góc, sự bằng nhau, quan hệ về góc của
hình vuông, hình thoi và các tam giác đặc biệt.
2. Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, các định lý
sin, cosin trong tam giác…
4. Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Qua hai điểm phân biệt
2. Qua một điểm và vuông góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc
3. Qua một điểm và song song với một đƣờng thẳng cho trƣớc
4. Qua một điểm và tạo với một đƣờng thẳng cho trƣớc một góc không đổi
5. Qua một điểm và cách một điểm một khoảng không đổi
6. Là phân giác tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau

7. Là phân giác của một góc của một tam giác cho trƣớc.
Bài toán 2. Tìm điểm M thỏa mãn một tính chất cho trƣớc

A

1. Đối xứng với một điểm qua một đƣờng thẳng

d

B

2. Thuộc một đƣờng đã cho và cách một điểm cố định một khoảng không đổi
I(a;b)
c
Δ
M(ts)

3. Thuộc hai đƣờng mà ta cần xác định hai phƣơng trình hai đƣờng
d1
d

d2

M

M

M
I

I1
I2

5


4. Điểm M thuộc đƣờng thẳng (∆) và M cùng với điểm I cho trƣớc tạo với (∆)
một góc không đổi.

I(a;b)
α

Δ

M(ts)

Bài toán 3. Lập phƣơng trình đƣờng tròn.

u

1. Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
2. Biết tâm và bán kính
3. Biết tâm thuộc một đƣờng và thỏa mãn một tính chất cho trƣớc.

Một số chú ý
1. Về bài toán tìm điểm
+) Điểm cần tìm có yếu tố gì thuận lợi
+) Điểm cần tìm có thuộc một đƣờng nào đã biết không
+) Có thể tính đƣợc khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định đƣợc không
+) Cần đặc biệt chú ý khi điểm cần tìm là trọng tâm, trực tâm, tâm của đƣờng tròn

ngoại tiếp…
+) Để tìm điểm A, có thể tìm điểm B thuận lợi hơn mà từ đó xác định đƣợc tọa độ
điểm A.
2. Về mối liên hệ ba điểm
Cho ba điểm A, B, C trong đó đã biết hai trong ba điểm. Khi đó các điểm
có thể có các mối quan hệ sau:
B
B

C

A

A

+) Tạo thành mối quan hệ vuông góc

C

+) Tạo thành tam giác cân, đều.

A

B

α

C

+) Tạo thành một góc xác định

A

B

C

+) Ba điểm thẳng hàng

3. Về mối liên hệ giữa hai điểm và đƣờng thẳng
6


Cho hai điểm A, B và đƣờng thẳng d. Khi đó chúng có thể có các mối quan hệ
A
sau:
+) AB tạo với d một góc xác định (B thuộc d).

B

α

d

A

+) Đƣờng thẳng AB vuông góc với đƣờng thẳng d
d
B

Các bƣớc tìm lời giải một bài toán hình giải tích phẳng
Bƣớc 1. Từ giả thiết bài toán phát hiện tính chất hình học và các mối liên hệ ràng
buộc.
Bƣớc 2. Đại số hóa các điểm, các đƣờng từ mối liên hệ hình học giữa các điểm,
các đƣờng trong bài toán để có các phƣơng trình, hệ phƣơng trình.
Bƣớc 3. Giải các phƣơng trình, hệ phƣơng trình trên tìm tọa độ điểm hay phƣơng
trình đƣờng.
Bƣớc 4. Kết luận; đánh giá, tìm hƣớng phát triển.

7


PHẦN I
TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐẾN BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
(Nguyễn Cao Thời)
Hình học Euclid (hình học phẳng) là hình học đƣợc xây dựng bằng hệ các tiên
đề, hình học giải tích phẳng là một cách biểu hiện của hình học Euclid bằng ngôn ngữ
đại số. Từ một bài toán hình học phẳng bằng cách tọa độ hóa các điểm, các đƣờng thẳng
khác nhau ta sẽ có cách phát biểu mỗi bài toán khác nhau mà không làm thay đổi tính
chất của bài toán ban đầu (bài toán gốc).
Từ một bài toán gốc ta có thể sáng tác ra nhiều bài toán hình giải tích phẳng khác
nhau. Vậy nên, muốn nghiên cứu một bài toán hình giải tích phẳng một cách triệt để và
có tính phát triển thì việc đi tìm bài toán cội nguồn là vô cùng cần thiết.
Xuất phát từ bài toán:
“Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm
của BC và CD. Khi đó AN  DM ”.
Bằng cách tọa độ hóa điểm M và cho phƣơng trình
đƣờng thẳng AN. Ta có bài toán sau:
“Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của BC và DC. Biết điểm
M(2; 3) và đƣờng thẳng AN có phƣơng trình x - 2y + 6 =0. Tìm tọa độ điểm A”

8


Trong bài toán trên xét điểm N ở vị trí N’, thay DM thành PM và giữ cố định
AM; vẽ đƣờng tròn đƣờng kính AM. Bằng trực giác ta thấy AN '  PM và giao điểm H
của AN’ và PM nằm trên BD. Bằng công cụ vectơ hay tọa độ ta có thể chứng minh
nhận định trên.
Ta có kết quả sau: “Cho hình vuông ABCD. Gọi N là điểm trên cạnh DC sao
NC = 2DN, P là điểm trên cạnh AD sao cho PA = 5PD, H là giao điểm của AN và PM.
Khi đó tam giác AHM vuông cân và H thuộc BD thỏa mãn HB = 3HD”
Đến đây bằng cách cho biết tọa độ một số điểm và cho một số đƣờng thẳng có
phƣơng trình hợp lý, ta có nhiều bài toán của cùng một vấn đề, nhất là hai bài toán trong
hai đề thi Đại học năm 2012 và năm 2014.

Bài toán 1 (ĐH_A_2012). Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của
cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M  ;  và AN có
 2 2
11 1

phƣơng trình 2x - y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Có 4 hƣớng để tìm tọa độ điểm A.

Hƣớng 1. “Tìm độ lớn góc M H” (cách 1).

A

B

Hƣớng 2. “Tìm độ lớn góc M H” (cách 2).

M
H

Hƣớng 3. “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 1). P
D

C

N

Hƣớng 4. “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 2).
Nhận xét: Nếu bài toán thay vì cho tọa độ điểm M, mà thay bằng cho tọa độ trung điểm
I của đoạn thẳng AM. Thì bài toán ở mức độ sâu hơn.
Thay vì cho phƣơng trình đƣờng thẳng AN ta có thể cho tọa độ của điểm H, từ
đó ta có đề thi Đại học khối A năm 2014.

Bài toán 2 (ĐH_A_2014). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình
vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn BC và H là điểm thuộc đoạn DB
sao cho HB = 3DH. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AD, biết rằng M(1; 2) và H(2;
-1).

9


A

A

B

B

?

M

M

H
P

H

P
D

N

C

D

C

N

Hƣớng 1. “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng D”
Hƣớng 2. “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đƣờng D”
Hƣớng 3. “Tìm một điểm tr n D và góc gi a D với một đƣờng thẳng cố định

(HM) là kh ng đ i”
Để ý góc AMP  45o là góc khá đặc biệt, nên khai thác theo hƣớng “số đo góc ở
tâm bằng
hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung” ta có bài toán sau:
Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm thuộc
đƣờng chéo BD sao cho BH = 3HD, MH cắt cạnh AD tại P. Giả sử điểm I(-1; 2) là tâm
của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AMP, đƣờng thẳng AD có phƣơng trình 2x - y - 6 =
0. Tìm tọa độ điểm A.
ĐS: A(1; -4)

Xét bài toán gốc dƣới một góc nhìn khác

B

F

E

H
G

A

M

10


F

B

E

H
D

A

G

M

N

B

K
H
D

A

M

C

Ta có bài toán sau:

Bài toán. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABEM có G

là trung điểm của EM. H và D là hình chiếu vuông góc của A và E lên BG. Gọi C
là điểm đối xứng của A qua M; K là hình chiếu vuông góc của C lên đƣờng thẳng
AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của đoạn thẳng AC thuộc đƣờng
thẳng có phƣơng trình d: x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Trong khi đó đề thi THPT Quốc gia năm 2015 nhƣ sau:

Bài toán 4 (THPT QG_2015). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam
giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là
điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C lên đƣờng thẳng
AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đƣờng thẳng có
phƣơng trình d: x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Chú ý: Trong cách khai thác trên, thì tam giác vuông ABC có AC = 2AB. Trong khi đó
đề thi THPT Quốc gia năm 2015 thì chỉ cần tam giác ABC vuông là đủ.

Hƣớng 1. “S d ng góc nội tiếp”
Hƣớng 2. “L p phƣơng trình

”

Hƣớng 3. “Ch ng minh H là trung điểm E”
11


Với cách làm từ hƣớng 3 ta có thể phát biểu bài toán theo cách khác nhƣ sau

Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:
“Cho tam giác AEC, gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên
các cạnh AE và CE. Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là điểm đối xứng của
D qua cạnh AE và góc BAC = 90o. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là
trung điểm của AC. Tìm tọa độ điểm A”.

E
B

K

H
D

A

Với đề thi đại học khối B năm 2013

M

C

Bài toán 5 (ĐH_B_2013). Trong mp tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có
hai đƣờng chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đƣờng thẳng BD có phƣơng
trình: x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H(-3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh
C và D.
Từ giả thiết của bài toán ta có thể vẽ thêm hình để đƣợc hình vuông AMND.
Khi đó bài toán sẽ có nhiều hƣớng giải và nhiều cách phát biểu khác của bài toán.

B

H

A

E

C
I

D

Nếu khai thác bài toán gốc theo hƣớng sau đây

12


Ta có bài toán trong đề thi HSG tỉnh Hƣng Yên Năm 2015.

Bài toán 6 (HSG tỉnh Hƣng Yên 2015). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình
vuông ABCD. Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của AD và BC; điểm M thuộc cạnh
3
5

CD sao cho MD  MC ; G là trọng tâm của tam giác BKD. Biết phƣơng trình đƣờng
thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ điểm G  1;   . Viết phƣơng trình đƣờng chéo
3

10

BD của hình vuông ABCD.
Tóm lại: Đối với một bài toán hình giải tích phẳng, ta có đƣợc bài toán gốc ban đầu là
ta đã biết đƣợc cội nguồn của vấn đề, để từ đó đƣa ra các hƣớng giải cho bài toán và có
thể phát triển bài toán thành các bài toán khác đa dạng và phong phú hơn; nắm đƣợc bản
chất cốt lõi của vấn đề một cách sâu sắc.

Sau đ y là lời giải chi tiết theo nhiều cách c a một số đề thi Đại học

13


Bài toán 1 (ĐH_A_2012). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hình vuông ABCD.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND.
Giả sử M  ;  và AN có phƣơng trình 2x - y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
 2 2
11 1

Phân tích
) A  AN : 2 x  y  3  0

+) Điểm M đã biết tọa độ nên nếu tính đƣợc đoạn AM thì coi nhƣ điểm A sẽ Biết
đƣợc tọa độ nhờ bài toán tìm điểm!.
Lúc này ta sẽ gắn AM vào tam giác vuông AMH với cạnh MH = d(M, AN) ta dễ
dàng tính đƣợc. Nhƣ vậy nếu biết thêm một yếu tố về cạnh hoặc về góc trong tam
giác vuông này thì ta sẽ tính đƣợc độ dài AM. Do các cạnh của tam giác AMH
đều có thể biểu diễn thông qua các bội số của độ dài cạnh hình vuông
nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc tính góc A nhờ định lý cosin trong tam giác hay một
số tính chất khác.
Nên ta sẽ có một số lời giải cụ thể sau:
Hƣớng 1. “Tìm độ lớn góc M H” (cách 1).
Gọi H là hình chiếu của M lên AN A

A(?)

B

B
M

3 5
 MH  d  M , AN  
2
 ND  2a; NC  4a
Đặt AB  6a  
MB  MC  3a

M

Khi đó áp dụng định lý Pitago ta đƣợc:

N

11 1
;
2 2

H
D

D

 

C

N

AN: 2x-y-3=0

C

AM  3 5a; MN  5a; AN  2 10a

Trong AMN ta có: cosMAN=
 MAN  450  MAH

AM 2  AN 2  MN 2
2

2. AM .AN
2

cân tại H  AM  2MH 

3 10
2

(*)

45
+) Gọi A  t;2t  3  AN và AM 2 
theo (*)
2

2
2
 A 1; 1

t  1
7  45
 11  
  t     2t   
 t 2  5t  4  0  

2 
2
2

t  4
 A  4;5

Vậy A(1; -1) hoặc A(4; 5).
14


Hƣớng 2. “Tìm độ lớn góc M H cách 2”.
+) MH  d  M , AN  

3 5
2

A

+) Gọi a là độ dài cạnh hình vuông. Đặt   BAM ;   DAN .

B
45°

Do ABCD là hình vuông có M, N là cố định nên tính đƣợc

M

1
1
tan   ; tan   .
3
2

Khi đó

tan     

H
D

tan   tan 
 1      45o
1  tan  .tan 

C

N

Vậy nên MAH  45o . Tam giác AMH vuông cân tại H nên AM  MH 2 

3 10
2

từ đó tìm đƣợc A.
Nhận xét: Khi tính đƣợc góc A ta có thể lập phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua
M và tạo với AN một góc 45o.
Hƣớng 3. “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 1).
A

B

A

B

M
P

H

D

N

M

Q

H

C

D

Chứng minh đƣợc hai tam giác APH và HQM

N

C

là bằng nhau. Từ đó suy ra đƣợc AH = MH
và góc AHM vuông. Nên tam giác
AHM vuông cân tại H do đó AM  HM 2 

3 10
2

Hƣớng 4. “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 2).
+) MH  d  M , AN  

3 5
. Đặt AB = a.
2

Ta có S AMN  S ABCD   S ADN  SCNM  S BAM  
1
2

5a 2
a 10
; AN 
12
3

Lại có S AMN  AN .d  M ; AN   a  3 2  AM 

a 5 3 10

2
2

15


Nh n thấy tam giác MH vu ng c n tại H n n bài toán có thể phát biểu theo
cách khác
“Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh
CD sao cho CN = 2ND. Gọi H là giao điểm của AN và BD. Giả sử M  ;  và
 2 2
11 1

5 
H  ; 2  . Tìm tọa độ điểm A”.
2 

Bài toán 2 (ĐH_A_2014). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình
vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC
sao cho AN = 3NC. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2;
-1).
Phân tích
+) Yêu cầu toàn toán là lập phƣơng trình CD. Gắn kết các
dữ kiện của bài toán khi biết tọa độ hai điểm M(1; 2),
N(2; -1) và AN = 3NC hƣớng ta đến tìm tọa độ điểm P

Từ đẳng thức MN  3NP .
+) Lúc này tƣ duy tự nhiên hƣớng ta tới việc tìm tọa độ một
điểm khác thuộc CD hoặc một vectơ pháp tuyến hay một vectơ chỉ phƣơng .

Hƣớng 1. “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng CD”

I(?)

D

) Ta có MN  10 không đổi, gọi a (a>0)
là độ dài cạnh của hình vuông ABCD.
a
2

Tính đƣợc AM  ; AN 

3 AC 3a 2

4
4

p dụng định lý cosin trong tam giác AMN,
suy ra

MN 2 

5a 2
8

Do đó a = 4. Từ đây ta tính đƣợc IN 

C
N(2;-1)

a=?

45°

A

M(1;2)

B

BD
 2 , IM  a  4 .
4

 IN  2
 I . Đƣờng thẳng CD qua I vuông góc với IM.
 IM  4

Từ hệ 

Hƣớng 2. “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đƣờng CD”
+) Chứng minh đƣợc hai tam giác DJN và NIM bằng
nhau, từ đó suy ra DN  MN và DN  MN  10 .
16

Lập phƣơng trình đƣờng thẳng DN,

J P

D

C

đến đây tìm đƣợc D.(Có thể t nh trực tiếp DN, MN,
N(2;-1)

DM theo a sau đó áp d ng đ nh l Pitago đảo
) M t khác

PN PC CN 1
1
7



  PN  NM  P  ; 2  .
MN MA AN 3
3
3


Từ hƣớng trình bày trên ta có kết quả sau:

A

B

M(1;2) I

“Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc AC sao cho
AN = 3NC. Khi đó tam giác DNM vuông cân tại N”.
Hƣớng 3. “Tìm một điểm tr n CD và góc gi a CD với một đƣờng thẳng cố định
(MN) là kh ng đ i”

D

+) Tìm điểm P nhƣ hƣớng 2.
+) Đặt cạnh hình vuông là a, ta tính đƣợc

I

P

C

N(2;-1)

a
a
a 10
,
CP  ; PI  ; IM  a; PM  IP 2  IM 2 
6
3

3

Do đó tính đƣợc

cos  

1
10

, với   MPI .
A

M(1;2)

B

đường th ng CD qua P và tạo v i MP một góc  .
Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:
“Trong m t ph ng v i h tr c tọa độ Ox , cho hình vuông ABCD có điểm M là
trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. iết
phư ng trình đường th ng CD, biết rằng M(1; 2 và đường th ng DN có phư ng
trình x - 3y - 5 = 0”.
Bài toán 3 (THPT QG_2015). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam
giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là
điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C lên đƣờng thẳng
AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đƣờng thẳng có
phƣơng trình d: x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Hƣớng 1. “S d ng góc nội tiếp”
+) Tứ giác AHKC nội tiếp đƣờng tròn tâm M
M  d

 M  0;10  .
 MH  MK

đƣờng kính AC. Do vậy, từ hệ 

17


+) Lại có HKA  HAB  HAD  HAK nên tam giác

B

AHK cân tại H
 AH  HK  10 2
Từ đay suy ra hệ 
 A  15;5
AM

MH

5
10


Hƣớng 2. “L p phƣơng trình

K

H
D

A

C

M

”

+) Tứ giác AHKC nội tiếp đƣờng tròn tâm M
M  d
 M  0;10  .
 MH  MK

đƣờng kính AC. Do vậy, từ hệ 

 B1  D1

+) Ta có  H 2  C2
 H 2  D1  90o

o
 B1  C2  90

B
1

K

H

21

D
2

A

C

M

Mà MA = MK nên HM là đƣờng trung trực của AK,
suy ra A là điểm đối xứng của K qua HM.

E

 A  AK
B
 AM  MH  5 10

(Hoặc Tọa đọ A là nghiệm hệ phƣơng trình 

K

H

Hƣớng 3. “Ch ng minh H là trung điểm E”
+) Tứ giác AHKC nội tiếp đƣờng tròn tâm M
M  d
đƣờng kính AC. Do vậy, từ hệ 

 M  0;10  .
 MH  MK

D
A

E

+) Gọi E là giao điểm của AH và CK kéo dài. Từ giả thiết
của bài toán, có ED là đƣờng cao và D là trực tâm của

B

tam giác AEC.
Nên ta có ED BA, do HB  HD  BHA  DHE
Do đó H là trung điểm của AE và A thuộc đƣờng

C

M

K

H
D

A

M

C

tròn tâm H bán kính HK.
Bài toán có thể phát biểu theo cách khác:
“Cho tam giác AEC, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên các
cạnh AE và CE. Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là điểm đối xứng của D
qua cạnh AE và góc BAC = 90o. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là trung
điểm của AC. Tìm tọa độ điểm A”.
18


Bài toán 4 (ĐH_B_2013). Trong mp tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có
hai đƣờng chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đƣờng thẳng BD có phƣơng
trình: x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H(-3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh
C và D.
Phân tích
+) Ta viết đƣợc phƣơng trình AC đi qua H và vuông góc với BD.
Gọi

BD  AC  {I } ,

khi đó với dữ kiện bài toán sẽ chứng minh đƣợc tam giác BHC

cân tại B hay I là trung điểm của HC. Lúc này ta dễ dàng tìm đƣợc tọa độ điểm I
và suy ra đƣợc tọa độ điểm C.
 AD / / BC
 DI  3BI  3IH
 AD  3BC

+) Do 

Lúc này việc tìm tọa độ điểm D chuyển giải hệ:
+)

D  BD : x  2 y  6  0

+) DI = 3IH

Hƣớng 1. “Điểm D cách một điểm cố định một khoảng kh ng đ i”
+) Ta viết đƣợc phƣơng trình AC đi qua H và vuông góc với BD.
+) Gọi BD  AC  I , ta sẽ chứng minh đƣợc I là trung điểm HC vì chứng minh
đƣợc tam giác BHC cân tại B.

B

C

+) Lúc này ta tìm đƣợc tọa độ điểm I(-2; 4) và
 AD // BC
 DI  3BI  3IH
 AD  3BC

I

H

suy ra đƣợc tọa độ điểm C(-1; 6).
+) Do 

A

D

E

 D  BD : x  2 y  6  0

+) Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:  DI  3IH  3 5
 I 2; 4

 
C  1;6 
C  1;6 
hay 
Vậy 
.
 D  4;1

 D  8;7 

B

Hƣớng 2. “L p phƣơng trình đƣờng thẳng D”
+) Nhận thấy H là trung điểm của AC nên A(-5; -2).

H

+) Góc giữa đƣờng thẳng DA và DB bằng 45o,
nên lập đƣợc hai phƣơng trình DA là

C
I
45o

A

E

D
19


3x + y + 17 = 0 và x - 3y - 1 = 0.
+) Tọa độ D là giao của AD và BD nên tìm đƣợc D(-8; 7) hoặc D(4; 1)
Nhận xét: Có thể đi tìm tọa độ điểm B. và sử dung kết quả ID  3IB
Bài toán 5 (ĐH_A_2011). Trong mp tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng

: x y2  0

và đƣờng tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  .
Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ
điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Phân tích:
) M  d : x  y  3  0
) SMAIB  2SMBI  BI .MB  5.MB  10  MB  2 5  MI  5

A

I(2;1)

Giải
 I  2;1

Ta có:  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0  

Δ

 R  IB  5

B
M(ts)

Vì MA và MB là các tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm).
 SMAIB  2SMBI  BI .MB  5.MB  10  MB  2 5  MI  MB2  IB2  5

Gọi M  t; t  2  , khi đó
 M  2; 4 
t  2
2
2
MI  5  MI 2  25   t  2    t  3  25  t 2  t  6  0  

t  3  M  3;1

Bài toán 6 (HSG tỉnh Hƣng Yên 2015). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình
vuông ABCD. Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của AD và BC; điểm M thuộc cạnh
3
5

CD sao cho MD  MC ; G là trọng tâm của tam giác BKD. Biết phƣơng trình đƣờng

thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ điểm G  1; 


10 
 . Viết phƣơng trình đƣờng chéo
3

BD của hình vuông ABCD.

Bài toán 7 (ĐH_B_2011). Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đƣờng tròn nội
2 
1

tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tƣơng ứng tại các điểm D,
20


E, F. Cho D(3; 1) và đƣờng thẳng EF có phƣơng trình y - 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh
A, biết A có tung độ dƣơng.
Phân tích
 1 
B ;1
Với   2  suy ra phƣơng trình BD: y = 1 song song với đƣờng thẳng EF: y - 3
 D  3;1


= 0. Do đó AD  BC , lúc này việc đi tìm tọa độ A quay về việc tìm tọa độ điểm F
(vì BF  AD  A , A là giao của hai đƣờng thẳng đã biết phƣơng trình sau khi đã
tìm đƣợc F.
Ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm để tìm tọa độ điểm F. Cụ thể:

) F  EF : y  3  0

) FB  BD 


2

Giải
 ID  BC
 IA  EF

+) Gọi I là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC, khi đó 
 1 
B  ;1
Với   2   BD : y  1  BD // EF hay BC // EF
 D  3;1


1

(2)

(vì phƣơng trình EF: y - 3 = 0)
Từ (1) và (2) suy ra A, I, D thẳng hàng hay AD  BC , nên phƣơng trình AD là:
x=3
+) Gọi F  t;3  EF , khi đó theo tính chất tiếp tuyến ta có: BF = BD.
2

 1
5

 BF 2  BD 2   t    22   
 2
2

2

A(?)

 F  1;3
t  1
 t2  t  2  0  

t  2
 F  2;3

3
+) Với F  1;3  BF    ; 2   uBF   4;3 ,
 2 

E

F

y-3=0

I

 

B

1
2

;1

D(3; 1)

C

Khi đó phƣơng trình BF là: 4x + 3y - 5 = 0.
Do BF  AD   A nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

21


x  3
4 x  3 y  5  0


7

y
x  3

3


(loại)

+) Với F  2;3  BF   ; 2   uBF   4; 3 ,
3
2



Khi đó phƣơng trình BF là: 4x - 3y + 1 = 0.
Do BF  AD  A nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
x  3
4 x  3 y  1  0

 13 

13  A  3; 

y
 3
x  3

3


Bài toán 8 (D_2011). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đƣờng thẳng chứa phân giác troong của góc A có
phƣơng trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Hƣớng dẫn
 x  4  3( x  1)
7 
 D  ;1
2 

 y  1  3( y  1)

Gọi D(x; y) là trung điểm AC, ta có: BD  3GD  

Gọi E(x; y) là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x – y – 1 = 0 của góc
A
Ta có: EB vuông góc với d và trung điểm I của EB thuộc d nên tọa độ E là
nghiệm của hệ:
1( x  4)  1( y  1)  0
x  y  3  0

  x  4 y 1

 E  2; 5
x

y

7

0


1

0

 2
2

Đƣờng thẳng AC đi qua D và E, có phƣơng trình: 4x - y - 13 = 0
x  y 1  0
 A  4;3 . Suy ra C(3; -1)
4 x  y  13  0

Tọa độ A là nghiệm của hệ:  

Bài toán 9 (ĐH_D_2013). Cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung điểm
 2 2
9 3

của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lƣợt là chân đƣờng cao kẻ từ B
và tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Phân tích
*) Nếu ta biết đƣợc tọa độ điểm A thì ta sẽ tìm đƣợc tọa độ
22


Điểm C.
+) C thuộc AH: là đƣờng thẳng đi qua 2 điểm
H; A đã biết tọa độ

B

 

M

-9 3
;

2 2

I(-1;1)

+) CI = AI (C cách I một khoảng không đổi là IA)
*) Nhƣ vậy vấn đề là phải tìm điểm A

A(!)

H(-2;4)

C(?)

+) A thuộc AB là đƣờng thẳng đi qua M và vuông góc với IM
+) AM = MH (Tính chất đƣờng trung tuyến trong tam giác vuông)
Giải
+) AB đi qua điểm M nhận IM là VTPT nên có phƣơng trình: 7x – y + 33 = 0
+) Gọi A(t; 7t + 33), khi đó theo tính chất đƣờng trung tuyến trong tam giác
vuông có AM = MH, suy ra t 2  9t  20  0  t  4  t  5
Với A(-4; 5), khi đó AC qua A và H nên có phƣơng trình: x + 2y – 6 = 0
Gọi C(6 – 2c; c) thuộc AC, do CI = AI nên dẫn đến c2  6c  5  0 suy ra C(4; 1)
Với A(-5; -2), khi đó AC đi qua A và H nên có phƣơng trình: 2x – y + 8 = 0
Tƣơng tự nhƣ trên ta tìm đƣợc C(-1; 6). Vậy có hai điểm C thỏa mãn: C(4; 1) và
C(-1; 6).

23


PHẦN II
TỪ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG ĐẾN CÁC BÀI TOÁN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
(Vũ Văn Dũng)
I - Một số bài toán tìm điểm.
Bài toán1 (Tính chất góc ở tâm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là
trung điểm của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; -2) là điểm nằm
trên đoạn MC sao cho GA = GD. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, biết đỉnh
A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phƣơng trình đƣờng thẳng AG là 3x – y – 13 = 0.
Phân tích
- Giả thiết bài cho phư ng trình AG và tọa độ điểm D thì ta chưa tìm được điểm
A.
- Nếu ta chỉ ra được d(D; AG = GD = GA tức là AG vuông góc GD thì ta sẽ
tìm được A.
-Để chỉ ra điều đó ta chỉ cần chỉ ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
1
2

ABD, vì ABD  AGD ( tính chất góc ở tâm

B

Lời giải:
B

B
45o

G

N

M

G

45o

M
N

D

D

A

C

A(?)

C

G

M
D
C

A(?)

Gọi N là trung điểm của AB thì MN là trung trực của đoạn AB do đó GB = GA
(= GD)
Nên G là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Mà góc ABM  ABD  45o nên AGD  90o .
24


Tức là tam giác ADG vuông cân tại G.
AG  DG  d  D; AG   10 . Gọi
AD  2 AG 

 a  7

2

tọa độ điểm A  a;3a  13 , ta có:

 a  5 (l )
2
  3a  13  2   20  
a  3

.Từ đó tìm đƣợc A(3; -4).

Bài toán 2 (Tính chất đƣờng nối tâm).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm
H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6; 1). Đƣờng thẳng AH có phƣơng trình x + 2y
- 3 = 0. Gọi D, E lần lƣợt là chân đƣờng cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đƣờng thẳng DE có phƣơng trình x 2 = 0 và điểm D có tung độ dƣơng.
Phân tích:

i giả thiết cho ta su ra tứ giác BEDC, AEHD nội tiếp.

-Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC, nếu gọi K là trung điểm
A

AH thì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
-Khi đó IK vuông góc v i ED ( t nh chất đường nối tâm

D

- L p được IK  K  A
E

- Tham số hóa D và sử d ng KA = KD  D

H

- L p phư ng trình AC, BC  B, C.

C
B

Lời giải:

I

A

Gọi K là trung điểm AH. Tứ giác ADHE nội tiếp

đƣờng tròn tâm K và BCDE nội tiếp đƣờng tròn tâm I.
Suy ra IK  DE nên phƣơng trình IK: y - 1 =0.

D

E
H

Tọa độ K(1; 1) suy ra A(- 1; 2).
Giả sử D  2; m   DE ,

K

B

I

C

Ta có KA  KD  5  1   m  12  m  3  m  1 (loại) nên D(2; 3).
Phƣơng trình AC: x - 3y +7 = 0. Phƣơng trình BC: 2x - y - 11 = 0.
Do đó tọa độ C(8; 5) và B(4; -3).
Kết luận A(-1; 2), B(4; -3) và C(8; 5).
Bài toán 3. (Tính chất đối xứng)
25