Tài liệu toán 12 trường học trực tuyến Sài Gòn

SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH LÍ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)   x1 , x2  (a; b), x1 < x2
Ta có: f(x1) < f(x2)  f(x) ≥ 0 x  (a; b)
(Đẳng thức chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm trên (a; b))
Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) trên (a; b) có hình dạng đi lên từ trái sang phải.

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b)   x1 , x2  (a;b), x1 < x2
Ta có: f(x1) > f(x2)  f(x)  0 x  (a; b)
(Đẳng thức chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm trên (a; b))
Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) trên (a; b) có hình dạng đi xuống từ trái sang phải.


II. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).
Tính đạo hàm: y = f(x).
Tìm các điểm tại đó f(x) = 0 hoặc f(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên: sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần, xét dấu đạo
hàm trong từng khoảng, rồi dựa vào định lý đơn điệu chỉ ra khoảng đồng biến,
nghịch biến.
III. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) y  x 2  4x  5

b) y  x 3  3x 2  1

c) y  x 4  2x 2  3

d) y 

e) y 

x 2  3x  3
x 1

2x  3
x 5

f) y  4x  x2

g) y  2cos x  cos 2x với x  0; 

Ví dụ 2: Định m để hàm số y 

mx  2
đồng biến trên từng khoảng xác định.
x2

Ví dụ 3: Định m để hàm số y  x3  mx 2  m nghịch trên tập xác định.
Ví dụ 4: Chứng minh : 2 x  3 

1
, x  1
x


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH LÍ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc I: Nếu f(x) đổi dấu khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực trị tại điểm xo.
Nếu f(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực đại

tại điểm xo

Nếu f(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực tiểu
tại điểm xo

Quy tắc II: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm xo ,
f(xo) = 0 và hàm số f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo.
Nếu f(xo) < 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm xo.
Nếu f(xo) > 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm xo.
II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số:
a) y  x 2  4x  2

c) y 

x4
 2x 2  6
4

e) y  x 2  x 2

Ví dụ 2: Cho hàm số y 

b) y 

2 3 5 2
x  x  2x
3
2

d) y  3x 

3
5
x

f) y  x  2
1 3 1 2
x  x  (m  1)x  1
3
2

a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
5
Ví dụ 3: Chứng minh: hàm số y   x 4 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt

cực đại tại điểm đó.


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA

M  max f  x 
D

x  D, f



x0  D,f


m  minf  x 
D

x  D, f


x0  D,f


x  M

 x0   M

x  m

 x0   m

II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D.
Phương pháp 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
liên tục trên [a; b]
Tìm các điểm x1, x2, …,xn trên khoảng (a;b) tại đó f(x) bằng 0 hoặc f(x)
không xác định.
Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b)
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: M  max f(x) và m  min f(x)
[a;b]

[a;b]

Lưu ý:
m  f(x) , x  D  m  min f(x)
D

m  f(x) , x  D  m  max f(x)
D

III. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
b) y  x3  6x 2  5 trên đoạn [1; 5]

a) y  3  4x  x 2
c) y 

x 1
trên đoạn [3; 4]
x 1

d) y  x  1  5  x

Ví dụ 2: Tìm các kích thước của hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất nội tiếp
trong đường tròn (O) có bán kính R cho trước.

Ví dụ 3: Tìm m sao cho mx 4  4x  m  0, x  R .
1
3

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y   x 3  (m  1)x 2  (m  3)x  4 đồng biến trên [0; 3].


ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I. ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x; y) là một điểm thay đổi trên (C).
Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai x và y của điểm M(x; y)
dần tới  (hoặc +). Khi đó: điểm M(x; y) dần tới  (hoặc +).

Đường thẳng (d) được gọi là đường tiệm cận
(hay gọi là tiệm cận) của (C) nếu khoảng cách
MH (khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến (d))
dần tới 0 khi M dần tới  (hoặc +).

II. CÁC LOẠI TIỆM CẬN

1. Tiệm cận đứng:
Nếu lim f(x)    hoặc lim f(x)    hoặc
x  x 0

x  x 0

lim f(x)    hoặc lim f(x)    thì đường

x  x 0

x  x 0

thẳng (d) : x  x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

2. Tiệm cận ngang:
Nếu

lim f(x)  y 0 hoặc

x  

lim f(x)  y 0

x  

thì đường thẳng (d) : y  y0 là
tiệm cận ngang của đồ thị (C).

III. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số sau:
a) y 

2x  1
x 1

b) y 

4x  1
x 2  2x  3

c) y 

x2  x  3
x 1

Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số sau:
a) y 

1
x

1

b) y 

1 x
x3

c) y 

x2  1
x 2


KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA
Tìm tập xác định.
Giới hạn.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu và tìm cực trị).
Lập bảng biến thiên
Nêu các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị (nếu có).
Tìm điểm uốn

Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)
Vẽ đồ thị.
II. VÍ DỤ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a. y  x3  3x2  1
b. y  2x3  9x2  12x  1
c. y  (1  x)3
d. y  x3  3x2  4x  2
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng (là điểm uốn)
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba : y  ax3  bx2  cx  d (a  0)
y  0 có hai nghiệm phân biệt


y  0 có nghiệm kép

y  0 vô nghiệm


KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BỐN
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BỐN
Tìm tập xác định.
Giới hạn.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu và tìm cực trị).
Lập bảng biến thiên
Nêu các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị.
Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)
Vẽ đồ thị.
II. VÍ DỤ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a. y 

1 4
x  2x 2  1
4

b. y  x 4  2x 2  2
c. y 

1 4 1 2
x  x 1
2
2

d. y  x 4  2x 2  3
Chứng minh đồ thị có trục đối xứng là trục tung.
Dạng của đồ thị hàm số: y  ax 4  bx2  c (a  0)

y  0 có ba nghiệm phân biệt

y  0 có 1 nghiệm


KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN
Tìm tập xác định.
Giới hạn và tiệm cận.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu).
Lập bảng biến thiên
Nêu các khoảng đơn điệu.
Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)

Vẽ đồ thị.
II. VÍ DỤ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a. y 

2x  1
x 1

b. y 

x2
x2

Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận
Xét các trường hợp c = 0, ad – bc = 0
Dạng của đồ thị hàm số: y 

ax  b
cx  d

(c  0; ad bc  0)


ÔN TẬP CHƯƠNG 1
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Các quy tắc tìm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
hàm bậc ba, hàm trùng phương, nhất biến.
Biện luận phương trình bằng đồ thị.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x 0 ; y 0 ) .
II. CÁC BÀI TẬP

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) y  cos 2x  3cos 4 x  4
2) y  x 

4
trên đoạn [0;2]
x 1

Bài tập 2: Cho hàm số y  x3  3mx2  1 , có đồ thị (Cm ) .
1) Định m để hàm số có cực trị.
2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của (C).
1
4

Bài tập 3: Cho hàm số y   x 4  2x 2  1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:
x 4  8x2  4  4m  0 .

Bài tập 4: Cho hàm số y 

2x  1
(1).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với Oy





LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA
I. LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a. Định nghĩa: Cho a 

và n là số nguyên dương

an  a.a...a ; a1  a (a là cơ số của lũy thừa; n là số mũ)

n số a
a0  1 ; an 

1
an

(a ≠ 0)

b. Tính chất:
am. an  amn

 
am

n

am
n

a

 am n
n

an
a

(b  0)
b
bn
 

 a.b n  an bn

 am.n

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. Căn bậc n:
Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n (n  2).
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  b
Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n.
Kí hiệu là :

n

a

Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng 2 căn bậc n là hai số đối nhau.
Kí hiệu là : n a; n a
b. Tính chất:
n

a.n b  n ab

 a
n

m

n

 am

n

a

n

b

nk

n

a
b

a  nk a

c. Định nghĩa: Cho a > 0 và số hữu tỉ r 

m
n

(m là số nguyên, n là số nguyên dương và n  2)
m

n

ar  a n  am

 1

 an  n a 






a khi n le
a 


 a khi n chan

n n


1

 3 5 7  
 1 1 1  2


Ví dụ: Tính B   3 2.5 3.2 4  : 16 :  5 3.2 4 .3 2   







 

 



3. Lũy thừa với số mũ vô tỉ:
Định nghĩa: Cho a > 0 và  là số vô tỉ; (rn) là dãy số hữu tỉ có lim rn   
n 

 

a  lim arn
n 

4. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Lũy thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a, b > 0 và ,  
a

a . a  a

 
a





a

 a (  )


a
a

b
b
 

 a.b   a b

 a.

Nếu a > 1 thì

a  a    

Nếu a < 1 thì

a  a    

Ví dụ: Thu gọn: C  a

2

1
a
 

2 1

a

2

.a

2 1

a

II. HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Khái niệm: Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y  x  ý trong đó  là số tuỳ ý.
Chú ý:
Hàm số y  xn ,n  Z  có TXĐ: D =
Hàm số y  xn ,n  Z  hoặc n = 0 có TXĐ là: D =

\{0}

Hàm số y  x  với  không nguyên có TXĐ là: D = (0;+)
n

Hàm số y  x không đồng nhất với hàm số y 

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa :

   n.x

Nhắc lại : xn

n 1

   x

Tổng quát: x 





với n  , x  0

1

với x  0 ,  


Chú ý: u (x)  .u1 (x).u(x) với u(x)  0 ,  

1
xn

( n  N* )


3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x  :
Tìm tập xác định.
Giới hạn và tiệm cận.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu).
Lập bảng biến thiên
Điểm đặc biệt (Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1))
Vẽ đồ thị.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a. y 

1
x2

b. y  x



1
2

c. y = x (hàm số bậc nhất)
d. y = x3

4. Dạng của đồ thị hàm số y = x




LÔGARIT
I. KHÁI NIỆM

1. Định nghĩa:
Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa đẳng thức a  b được gọi là lôgarit cơ số a
của b và kí hiệu là: loga b
  loga b  a  b

Ví dụ: Tính: log2 16 ; log10 (0,01)
2. Tính chất:
Cho hai số dương a, b với a  1
loga 1  0 , loga a  1
aloga b  b , loga (a )  
log3 2

Ví dụ: Tính: 9

II. QUY TẮC TÍNH LÔGARIT

1. Logarit của một tích:
Cho ba số dương a, b1 , b2 với a  1: loga (b1.b2 )  loga b1  loga b2
Chứng minh: Đặt 1  loga b1  a1  b1 ; 2  loga b2  a2  b2
Vế trái  loga (b1.b2 )  loga (a1 .a2 )  loga (a1 2 )  1  2 = vế phải
Mở rộng: Cho a > 0, b1 , b2 , ...bn  0 và a  1:
loga (b1.b2 ...bn )  loga b1  loga b2  ...  loga bn

Chú ý: Cho a > 0, b1.b2  0 và a  1: loga (b1.b2 )  loga b1  loga b2

Ví dụ: Tính log30 1350 theo a và b, biết a  log30 3 và b  log30 5


2. Logarit của một thương:
b 
Cho ba số dương a, b1 , b2 với a  1: loga  1   loga b1  loga b2
 b2 

Chứng minh: Đặt 1  loga b1  a1  b1 ; 2  loga b2  a2  b2
 a1
b 
Vế trái  loga  1   loga 
 a2
 b2 



 
  loga (a 1 2 )  1  2 = vế phải



1
Đặc biệt: Cho a > 0, b  0 và a  1: loga     loga b
b
b 
Chú ý: Cho a > 0, b1.b2  0 và a  1: loga  1   loga b1  loga b2
 b2 

Ví dụ: Cho log10 2  a . Tính log10 5 theo a
3. Logarit của một lũy thừa:
Cho hai số dương a, b, a  1. Với mọi : loga (b )  .loga b
Chứng minh: Đặt   loga b  a  b
Vế trái  loga (b )  loga (a )  loga (a )   = vế phải
Đặc biệt: Cho a > 0, b  0 và a  1: loga n b 

1
 loga b
n

Chú ý: Cho a > 0, b  0 và a  1: loga b2  2loga b



Ví dụ: Tính: loga a. a.3 a



(0  a  1) .

III. ĐỔI CƠ SỐ
Cho ba số dương a, b , c với a  1, c  1: loga b 
Chứng minh: Đặt   loga b  a  b
logc b logc (a ) .logc a
   loga b


logc a
logc a
logc a

logc b
logc a


Đặc biệt: Cho a > 0, b  0 và a  1, b 1: loga b 

1
1
, log  b   loga b (  0)
a
logb a


Ví dụ 1: Tính log40 30 theo a và b, biết a  log10 3 và b  log10 2
 a

 3
 b

Ví dụ 2: Cho loga b  3 . Tính log(a2 .b) 
2log

Ví dụ 3: Tính: A  2

2


 theo a



5 log1 9
2

Ví dụ 4: So sánh log2 3 và log3 11
IV. LÔGARIT THẬP PHÂN – LÔGARIT TỰ NHIÊN
Logarit thập phân: log10 b  lgb
n

1

Logarit tự nhiên: loge b  lnb với e  lim 1    2,7183
n


HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
I. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1
Hàm số y  ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

2. Đạo hàm của hàm số mũ :

 e   e
x

 a   a
x

x

, x 

x

ln a với a  0 , a  1, x 

   a ln a.u

Chú ý: au

u

với a  0 , a  1, u  u(x) u  u(x)

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y  (x 2  2x  3).e x
b) y 

2x
x

3. Khảo sát hàm số mũ y = a x (a > 0 , a  1) :
Tập xác định:

.

Dạng của đồ thị hàm số mũ

Giới hạn và tiệm cận.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu).
Lập bảng biến thiên
Điểm đặc biệt
(Đồ thị luôn đi qua điểm (0;1) và (1;a))
Vẽ đồ thị.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a) y  2x

1
b) y   
2

x

II. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1
Hàm số y  loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a.

2. Đạo hàm của hàm số logarit :
1

loga x   x ln a với

a  0, a  1

1
Đặc biệt:  ln x  
x
Chú ý:  loga u  

u
với a  0 , a  1, u  u(x)
u ln a

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y 

ln x
x

b) y  1  log3 (2x  1)

3. Khảo sát hàm số logarit y = loga x (a > 0 , a  1) :
Tập xác định: (0; ) .

Dạng của đồ thị hàm số lôgarit

Giới hạn và tiệm cận.
Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu).
Lập bảng biến thiên
Điểm đặc biệt
(Đồ thị luôn đi qua điểm (1;0) và (a;1))
Vẽ đồ thị.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a) y  log2 x

b) y  log1 x
2


PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 1)
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản:
Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax  b (a  0, a  1)
Phương pháp giải:
Khi b > 0: ax  b  x  loga b
Khi b  0: phương trình vô nghiệm

Ví dụ: Giải các phương trình:
5x  10  x  log5 10

ex  e  x 

1
2

2013x  1  x  0

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:
a. Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ: Giải các phương trình:
a) 22x 1.4 x 1  64.8x 1


x

 5  6
b)    
 12   5 

x 1

  0,3

1

b. Đặt ẩn số phụ:

Ví dụ: Giải các phương trình:
a) 9x 3  4.3x  4  13  0

b) 22  x  22  x  15
c) 3.4 x  2.9x  5.6x
c. Lôgarít hóa:

Ví dụ: Giải phương trình: 5

x

x
x
.8 1

 100

d. Phương pháp đoán nghiệm: (Sử dụng đồ thị)

Ví dụ: Giải phương trình: 3x  x  4  0


PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 2)
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Phương trình lôgarit cơ bản
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga x  b (a  0, a  1)
Theo định nghĩa lôgarit: loga x  b  x  ab

Minh họa bằng đồ thị

Ví dụ: Giải các phương trình
log2 x  3  x  23  8

log5 x  0  x  50  1

ln x  1  x  e
ln x  1  x  e 1 

1
e

2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản
a. Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1: Giải các phương trình
a) log2 x  log4 x  log8 x  11
b) log3 (x  1)  log3 (x  3)  1
c) 2log8 (2x)  log8 (x 2  2x  1) 

4
3


b. Đặt ẩn số phụ

Ví dụ 2: Giải các phương trình:
a) log22 x  3log2 2x  1  0
b) 4log9 x  logx 3  3
c. Mũ hóa

Ví dụ 3: Giải phương trình log2 (5  2x )  2  x
d. logarit hóa

Ví dụ 4: Giải phương trình xlgx+1 =10x
e. Phương pháp đoán nghiệm: (Sử dụng đồ thị)

Ví dụ 5: Giải phương trình: log3 x  4  x


BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 1)
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng:
ax  b (hoặc ax  b, ax  b , a x  b ) với a  0, a  1

Phương pháp giải bất phương trình: ax > b (*)
b  0: *   x 

b > 0: (*)  ax  aloga b

 a  1

  x  loga b

0  a 1


  x  loga b

Ví dụ: Giải các bất phương trình
2x  16  x  log2 16  x  4
x

x

 1
 1  1
 3   27   3    3 
 
   

3

 x  3

ex  1  ex  e0  x  0  x  0


2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a. Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:
a) 0,25.32x  8x
b)



52



x2 1

2





5 2

13x



c) 2x 2  2x  3  2x  4  5x 1  5x  2
b. Đặt ẩn số phụ

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình:
a) 2x  23 x  9
b) 4 x  2.52x  10x  0
c. Lôgarít hóa:

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 5x

2

 2x

 32  x

d. Phương pháp đoán nghiệm

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 3x  x  4  0


BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 2)
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Bất phương trình logarit cơ bản:
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng
loga x  b (hoặc loga x  b, loga x  b , log a x  b ) với a  0, a  1

Phương pháp giải bất phương trình loga x  b
 a  1

b
  x  a
loga x  b  
 0  a  1
 0  x  ab
 

Ví dụ: Giải các bất phương trình
log2 x  3  x  23  8  x  8

x  0

0
log1 x  0  
1  0  x 1
x   

5
5
