Tài liệu toán 10 trường học trực tuyến Sài Gòn

MỆNH ĐỀ
I. MỆNH ĐỀ - MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

1. Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai gọi là mệnh
đề sai
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ 1: Trong các câu sau câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định đúng
hay sai.
a) 3 + 8 = 12
b) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946
c)

 > 3,14

d) Không được đi qua lối này!
e) (210 - 1) chia hết cho 11

2. Mệnh đề phủ định
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là không P, ký hiệu P .
P đúng khi P sai, P sai khi P đúng

Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
P : “Dơi là một loài chim”

A : “2013 là số nguyên tố”

B : “2002 không chia hết cho 4”

C :   3,14

3. Phép giao hai mệnh đề
Mệnh đề có dạng “A và B” được gọi là giao của hai mệnh đề A, B.
Kí hiệu: A  B (đọc là A và B)

4. Phép hợp hai mệnh đề
Mệnh đề có dạng “A hay B” được gọi là hợp của 2 mệnh đề A, B.
Kí hiệu: A  B (đọc là A hay B)


5. Phủ định mệnh đề A  B , A  B
A B  A B
A B  A B

Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
A : “5  1 và 5  2”

B :  < 3,14 hay  > 3,15

II. MỆNH ĐỀ KÉO THEO - MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Mệnh đề kéo theo
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo của P và Q.
ký hiệu P  Q

Ví dụ 4: Xét tính đúng, sai của mệnh đề
“Vì 8 chia hết cho 4 nên 8 chia hết cho 2”
“Nếu

2 là số vô tỉ thì 2. 2 là số vô tỉ”.

“Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là hình bình hành”

2. Mệnh đề đảo
Mệnh đề Q  P là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q.
Mệnh đề đảo của mệnh đề đúng thì chưa chắc là mệnh đề đúng.

Ví dụ 5: Phát biểu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của mệnh đề sau:
“Nếu ΔABC đều thì ΔABC cân”
“Nếu ABCD là hình bình hành có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật”

3. Mệnh đề tương đương
Nếu cả 2 mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng, ta nói P và Q là hai mệnh đề
tương đương. Kí hiệu: P  Q
(đọc là: P tương đương Q; P khi và chỉ khi Q; P nếu và chỉ nếu Q)

Ví dụ 6: Một số mệnh đề tương đương:
“ABCD là hình bình hành có một góc vuông khi và chỉ khi ABCD là
hình chữ nhật”.
“a.b = 0 tương đương a = 0 hay b = 0”
“Tam giác có hai góc bằng 600 tương đương tam giác đó đều”.


4. Điều kiện cần, điều kiện đủ
Cho định lý P  Q : P là giả thiết, Q là kết luận,
P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P
Cho P  Q : P là điều kiện cần và đủ để có Q, Q là điều kiện cần và đủ để có P.
III. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Mệnh đề chứa biến là một câu mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề, nhưng khi ta thay
các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề.

Ví dụ 7: Xét các mệnh đề chứa biến sau:
P(n): “n là số chia hết cho 3”, với n ∈ ℕ

Q(x; y): “x – y > 3”; x, y ∈ ℝ

P(4): “4 là số chia hết cho 3”

Q(4; -1): “4 + 1 > 3”

P(6): “6 là số chia hết cho 3”

Q(2; 1) : “2 – 1 > 3”

Ví dụ 8: Phủ định mệnh đề chứa biến
A: “a = 0 và b = 0”
C : “x  –1 hay x > 2”

B : “x  0 hay x = 2”
D :“1 < x < 3”

(D : “x > 1 và x < 3”)

IV. KÍ HIỆU  VÀ 
Ký hiệu  (với mọi, tất cả): x  A,P(x)

Ví dụ 9: P(x): “x  , x2 – 2x +3 > 0” là mệnh đề đúng,
vì x, x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2 > 0

Ký hiệu  (có ít nhất một): x  A,P(x)

Ví dụ 10: P(n): “(2n + 1) chia hết cho n”, n. Mệnh đề: “n  , P(n)” là đúng,
vì có n = 3 thì (23 + 1) = 9 chia hết cho 3.

Ví dụ 11:
“Có một học sinh trong lớp em chưa biết sử dụng máy tính”.
Có mệnh đề phủ định là: “Mọi học sinh trong lớp em đều biết sử dụng máy tính”
x  , x2  0. Có mệnh đề phủ định là x  , x 2  0 .

Ví dụ 12: Cho mệnh đề chứa biến P(n): “(n2 – 1) chia hết cho 4” với n là số nguyên.
Xác định tính đúng sai của các mệnh đề:
P(3); P(2);  n  , P(n);  n  , P(n)


TẬP HỢP
I. TẬP HỢP

1. Tập hợp và phần tử
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,không định nghĩa. Giả sử đã cho
tập hợp X. Nếu a là phần tử của tập hợp X, ta viết: a  X (đọc là: a thuộc X).
Nếu a không là phần tử của tập X, ta viết a  X (đọc là: a không thuộc X).
Tập hợp không có phần tử nào cả gọi là tập rỗng , kí hiệu là: 

2. Các cách xác định tập hợp
a. Phương pháp liệt kê: Các phần tử của tập hợp được viết trong dấu {... }, cách nhau
bởi dấu phẩy (hay dấu chấm phẩy), mỗi phần tử chỉ viết 1 lần.

Ví dụ 1: Tập gồm 8 số nguyên tố đầu tiên là: A= {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}
Tập B gồm các chữ số của số 2013 là: B= {0; 1; 2; 3}

b. Phương pháp nêu đặc trưng: Nếu tập X chỉ chứa các phần tử có tính chất đặc trưng
P, thì ta ghi: X= { x x có tính chất P}.

Ví dụ 2: Tập A gồm các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn hoặc bằng 10 là:
A  x 

3  x  10

Tập S gồm các nghiệm của phương trình x 2 - 3x + 2 = 0 là:



S  x



x 2  3x  2  0

Ví dụ 3: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó
A  x 

2  x  4

B  n 

n  7 C  x 





3x 2  5x  2  0

II. TẬP HỢP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU

1. Tập hợp con
Tập A được gọi là tập con của tập B, nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B,
kí hiệu: A  B. (A  B  x, x  A  x  B)
Khi A  B ta còn nói là B chứa A, kí hiệu: B  A

Ví dụ 4: Hỏi A  B hay B  A:
A = {2, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}
A là tập các tam giác cân, B là tập các tam giác đều


A ={ n 

x chia hết cho 6}, B = { n 

x chia hết cho 12}

Ví dụ 6: Cho tập hợp X = {a; b; c; d}. Hãy liệt kê tất cả các tập con của X có:
a) 2 phần tử

b) 3 phần tử

c) không quá một phần tử

2. Tập hợp bằng nhau
Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và

mọi phần tử thuộc B đều thuộc A. Kí hiệu A = B.
Ta có: A = B  A  B và B  A

Ví dụ 7: Cho hai tập hợp:
a) A = { n 
B = {n

x là bội chung của 4 và 6}

x là bội của 12}

b) A là tập tất cả các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng MN.
B là tập hợp các điểm nằm trên đường trung trực đoạn MN.

3. Biểu đồ Venn
Để minh hoạ trực quan, ta dùng một đường cong phẳng khép kínđể biểu diễn một
tập hợp. Các điểm bên trong chỉ các phần tử của tập hợp.
III. MỘT SỐ TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC
N*  N  Z  Q  R

Khoảng: (a;b)  x  R a  x  b

(a; )  x  R a  x
(;b)  x  R x  b
Đoạn: [a;b]  x  R a  x  b
Nửa khoảng: [a;b)  x  R a  x  b

(a;b]  x  R a  x  b
[a; )  x  R a  x
(;b]  x  R x  b

IV. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
Giao của hai tập hợp: A  B  x x  A và x  B
Hợp của hai tập hợp: A  B  x x  A hay x  B


Hiệu của hai tập hợp: A \ B  x x  A và x  B

Ví dụ 9: Tìm hợp của hai tập sau:
1) A = [-2; 1], B = (1; 3)
2) C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, D = { 0, 2, 4, 6, 8 }

Ví dụ 10: Tìm giao của hai tập sau:
1) C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, D = { 0, 2, 4, 6, 8}
2) E = (0; 2], F = [1; 4]
3) G là tập các tam giác vuông.H là tập các tam giác cân.

Ví dụ 11: Cho A = (- ; 2] ; B = [1; 3). Tìm:1/ A \ B 2/ B \ A 3 / C A 4 / C B
Ví dụ 12: Cho tập hợp: A = { a; b}; B = { a; b; c; d}.
Tìm các tập hợp X sao cho A  X = B

Ví dụ 14: Cho A= [ m - 4; m + 2) và B= (1;3]. Định m để:
1) 5  B

2) B  A

3) A  B = 

4) A  B  

ÔN TẬP CHƯƠNG I
I. MỆNH ĐỀ
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là không P, ký hiệu P .
Mệnh đề kéo theo, ký hiệu A  B .

A  B chỉ sai khi A đúng và B sai.
Mệnh đề đảo của A  B là B  A .
Mệnh đề tương đương, ký hiệu A  B .

A  B chỉ đúng khi A  B và B  A đều đúng.

Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) A: “n  *, (n2 – 1) là bội của 3”
b) B : “x  , x2 + x + 1 > 0”

Ví dụ 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) C : “x  , x2 = 3”
b) D : “n  , 22 + 1 là số nguyên tố”

Ví dụ 3: Cho P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”
Q: “ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”
a) Phát biểu mệnh đề P  Q và Q  P đồng thời cho biết tính đúng sai.
b) Cho biết mệnh đề P  Q đúng hay sai.

Ví dụ 4: Cho các mệnh đề kéo theo:
a) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì (a + b) chia hết cho c
(với a, b, c là các số nguyên)

b) Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Hãy phát biểu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai?


II. TẬP HỢP

1. Tập con và tập bằng nhau
Tập con A  B  x, x  A  x  B
Tập hợp bằng nhau A = B  A  B và B  A
Biểu đồ Venn là một đường cong phẳng khép kín không tự cắt nó, để biểu diễn một
tập hợp.

2. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép hợp

A  B  x / x  A hay x  B

b. Phép giao

A  B  x / x  A và x  B

c. Phép lấy hiệu

A \ B  x / x  A và x  B

Nếu B  A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A,

Phần bù

ký hiệu

C AB  A \ B .

Ví dụ 5: Tìm mối quan hệ (; =) giữa các tập hợp:

B  x 


/


3
 1
x


C  {x 

/ x  x – 4   0}

* /3  n2  40} bằng cách liệt kê các phần tử.

Ví dụ 6: Viết tập hợp P  {n 

Tìm các tập con của P có chứa số 3 và không chứa số 4


Ví dụ 7: Cho T  x 


/x

k 1

và k   . Hãy xác định T bằng cách liệt kê.
3k  2


Ví dụ 8: Cho tập hợp A  x 



/ 3  x  3 , B  x 



/ x 2  4x  0

a) Xác định các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
b) Xác định các tập hợp A  B, A  B, A \ B và B \ A
c) Có nhận xét gì về các tập hợp (A \ B)(B \ A) và (A B)\(A  B)?



Ví dụ 9: Cho B  x 



/ x 2  1 , C  x 

Xác định B  C, C\B,



Ví dụ 10: Cho A  x 



/ 0  x  2

\ B  C  và biểu diễn kết quả trên trục số.



 



/ x 2 – x 2x 2  7x  6  0 , B  x 

Xác định: A  B, A  B, A \ B, B \ A, C B



/ x2  1 .


Ví dụ 11: Cho A là tập các số tự nhiên có một chữ số; B = {xA /x là số nguyên tố}
a) Liệt kê các phần tử của B, CAB.
b) Xác định tập con của A gồm 2 phần tử là 2 số x, y thỏa mãn bất

phương trình: x2 + y2 < 10

Ví dụ 12: Cho A = (1; 2] và B = [m; m+2), (m là tham số). Định m để B  CRA.
Ví dụ 13: Thu gọn
m  1
a) 
2  m  4

m  1

b)  m  0
 m  28


  x  1

c)   x  6

4  x  8


HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1. Định nghĩa
(D  ) . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi số x  D

Cho D 

với một và chỉ một số yR, kí hiệu là y = f(x); số f(x) là giá trị của hàm số f tại x.

Kí hiệu

f :D 
x
y  f(x)

2. Hàm số cho bởi biểu thức
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y 

b) y 

2x
2

x 4

x
(x  3) x  1

1
xác định  f(x)  0
f(x)

f(x) xác định  f(x)  0
1
f(x)

xác định  f(x) > 0

3. Đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị của hàm số
f là tập hợp (G) gồm các điểm có tọa độ (x; f(x)) với mọi x  D.

x 0  D
M(x 0 ; y 0 )  (G)  

 y 0  f(x 0 )

Ví dụ 2: Trong các điểm A(0; -2); B( 2; 10); C(1; 1); D(-1; 0) điểm nào thuộc,
điểm nào không thuộc đồ thị hàm số y  x  x  x  2


x  2
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)   2

 x 1

khi  1  x  1
khi x  1

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính f(0), f(1), f(2).

(1)


II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Với K là 1 khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào đó của .
Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K, nếu:
 x1 , x 2  K, x1  x 2  f  x1   f  x 2 

Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên k, nếu:
 x1 , x 2  K, x1  x 2  f  x1   f  x 2 

Hàm số f gọi hàm số hằng (hàm số không đổi) trên K, nếu:
 x1, x2  K, f (x1) = f (x2)

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đó đồng biến, nghịch biến hay
không đổi trên các khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào trong tập xác định của nó.
Hàm số f đồng biến trên K  x1 , x 2  K và x1  x 2 ,

f(x 2 )  f(x1 )
0
x 2  x1

Hàm số f nghịch biến trên K  x1 , x 2  K và x1  x 2 ,

f(x 2 )  f(x1 )
0
x 2  x1

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số:
a) y = f(x) = 2x + 1
b) y = f(x) = -x + 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng: y  x 2  3 nghịch biến trên khoảng (-; 0)

Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = x2 + 2x
trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y  f(x) 

2
trên (; 1), (1; )
x 1

III. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ

1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 x  D
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu: xD, ta có 
f( x)  f(x)

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu:

 x  D
xD, ta có 
f( x)  f(x)


2. Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số f(x)
Phương pháp
Tìm tập xác định D
D không là tập đối xứng: f không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ
D là tập đối xứng: Tính f(-x)
f(-x) = f(x): f là hàm số chẵn

f(-x) = -f(x): f là hàm số lẻ

Ví dụ 8: Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số:
a) f(x)  x 4  4x 2  1

c) f(x) 

4
x

b) g(x)  2x 3  x
d) f(x)  x  1  x  1

Ví dụ 9: Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số
a) y  f(x)  2x  3

b) y  g(x)  x  1  3  x


HÀM SỐ y=ax+b, HÀM SỐ BẬC HAI
I. HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. y = ax + b (a ≠ 0)
Tập xác định 
a > 0: Hàm số đồng biến trên 
a < 0: Hàm số nghịch biến trên 
Đồ thị là một đường thẳng (d) có hệ số góc a

2. (d) : y = ax + b (a  0); (d’): y = a’x + b’ (a’  0)
a  a

(d)  (d’)  
b  b
a  a
(d) // (d’)  
b  b

(d) cắt (d’)  a  a’
(d)  (d’)  a.a’ = -1

3. Phương pháp lập phương trình đường thẳng
Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(xM; yM) và có hệ số góc a có dạng:
(d): y - yM = a(x – xM)
Lập phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), xA  xB
(d): y =ax + b
 y A  ax A  b
Giải hệ phương trình tìm được a, b

 yB  ax B  b

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; –1) và có hệ số góc bằng 2.
Vẽ (d).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d) đi qua A(2; 1) và cắt trục Ox tại điểm có
hoành độ bằng 1
1) Viết phương trình của (d) và vẽ (d)
2) Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 1|


Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho (d) cắt đường thẳng (d1):
y = x + 3 tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (d2): y = x - 1 tại 1

điểm trên trục hoành.
II. HÀM SỐ BẬC HAI

1. Định nghĩa
Dạng y = f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Tập xác định .

2. Đồ thị
3. Sự biến thiên
b 
 b


a > 0: Hàm số đồng biến trên   ;   và nghịch biến trên  ;  
2a 

 2a

b 

 b

a < 0: Hàm số đồng biến trên  ;   và nghịch biến trên   ;  
2a 

 2a

 
b
 b
Đồ thị là một PARABOL có đỉnh I  

, bề lõm
;
 , trục đối xứng x  
2a
4a 
 2a

hướng lên khi a > 0 và hướng xuống khi a < 0.

Ví dụ 4: Không vẽ đồ thị, hãy mô tả đồ thị (P) của mỗi hàm số bằng cách điền vào
chỗ trống trong bảng

Ví dụ 5: Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị là (P).
Tính a, b, c biết (P) đi qua 3 điểm A(–1;2), B(2; –1) và C(1; –2).

Ví dụ 6: Viết phương trình parabol (P): y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua M(3; - 4),
cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2, và có trục đối xứng x = 

3
2

Ví dụ 7: Viết phương trình parabol (P): y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua điểm M(4; 3)
và có đỉnh I(2; -1)

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + 1. Tính a, b khi biết f là hàm số chẵn và y
nhận giá trị bằng 3 khi x = 1

Ví dụ 9: Cho hàm số y = x2 + 2x – 3
a)
b)

c)
d)

(P)
Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị (P).
Xét sự biến thiên của hàm số trên. Vẽ đồ thị (P).
Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị tương ứng của x.
Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0.

Ví dụ 10: Cho hàm số y = - x2 + bx + c (P)
a) Tính b, c biết rằng hàm số đạt GTLN bằng 1 khi x = 1
b) Vẽ đồ thị (P) với b, c vừa tìm được ở câu trên


ÔN TẬP CHƯƠNG 2
I. TẬP XÁC ĐỊNH
Nhắc lại cách tìm tập xác định:
1
xác định  f (x) ≠ 0
f x
f  x  xác định  f (x)  0
1
f x

xác định  f (x) > 0

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: y = f(x) =

5
x -1 - 3 - x

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số: y = f(x) = x 2 - 4 + 2 - x
Ví dụ 3: Tìm miền xác định của hàm số: y  f(x) 

x 1
2

x 4  x 2

 3 x

Ví dụ 4: Tìm m sao cho hàm số y  2x  3m  1 xác định với mọi x > 1
II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 5: a) Xét sự biến thiên của y = x + 3
b) Tìm m để hàm số y =(m - 1)x + m luôn đồng biến trên tập xác định

Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = –2x2 + 4x + 3
trên khoảng (–; 1)

Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y =f(x)= x2 + 2x – 3
trên khoảng (–1; +)
III. HÀM SỐ CHẴN – HÀM SỐ LẺ

Ví dụ 8: Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số:
a) f(x) = |2x + 1| – |2x – 1|
b) g(x)  3  x  3  x
c) h(x) = x + 7

x  2

Ví dụ 9: Chứng minh rằng: y  f  x   0
x  2


khi x  2
khi  2  x  2 là hàm số lẻ.
khi x  2

IV. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Phương pháp lập phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng d qua điểm M(xM; yM) có hệ số góc a là:
(d): y = a(x – xM) + yM
Phương trình đường thẳng d qua điểm A(xA; yA) và điểm B(xB; yB) với xA  xB
Phương trình đường thẳng d có dạng: (d): y = ax + b.
 y  ax A  b
 A  (d)

Ta có: 
 A

B  (d)
yB  axB  b

Giải hệ phương trình tìm được a, b

Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua M(2; 1) và hợp với
trục hoành một góc bằng 450

Ví dụ 11: Tìm m sao cho 3 đường thẳng (d1): y = 2x, (d2): y = x – 3
và (d3): y = mx + 3 phân biệt và đồng quy.
V. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cắt tia Ox tại A,
cắt tia Oy tại B sao cho OAB vuông cân tại O.

Ví dụ 13: Viết phương trình parabol (P): y = f (x) = ax2 + bx + c, biết (P) đi qua
gốc tọa độ O (0, 0) và có đỉnh S (1; –2).

Ví dụ 14: Cho hàm số y = ax2 – 4x + c có đồ thị (P). Tìm a và c biết (P) cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng 5 và hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1


ĐẠI CƢƠNG VỀ PHƢƠNG TRÌNH
I. KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH

1. Phƣơng trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)
f(x), g(x) là biểu thức của x.
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một
nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(tập nghiệm là ).

2. Điều kiện của phƣơng trình
Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình) là
điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) cùng có nghĩa.

Chú ý:
Khi phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi x, thì ta
có thể không ghi điều kiện của phương trình.
Tìm điều kiện của phương trình, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của phương
trình hoặc biết được phương trình này vô nghiệm.
Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị
hàm số y = f(x) và y = g(x). Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao
điểm của hai đồ thị nói trên.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các phương trình:
a)

x 1 

x
2x

b)

1
 x3
x 1
2

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình rồi suy ra tập nghiệm của
phương trình:
a) x 2  1  x  x  2  3

b) 3x  x  2  2  x  6

3. Phƣơng trình nhiều ẩn
2x 2  4xy  y 2  x  2y  3 là một phương trình hai ẩn (x và y).
x 2  3xy  y 2  xz  3 là một phương trình ba ẩn (x, y và z)
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 (x0, y0 là
số) thì ta gọi cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình.

4. Phƣơng trình chứa tham số
Trong một phương trình ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có chữ khác,
được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham
số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
II. PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG - PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phƣơng trình tƣơng đƣơng
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x)

(1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x)

(2) có tập nghiệm T2

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ta viết f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

(T1 = T2)

Để giải một phương trình ta thường dùng các phép biến đổi tương đương để biến
đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn.

2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng
Định lí
Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và hàm số y = h(x) xác định trên D
(h(x) có thể là một hằng số).
Khi đó trên D, ta có:
a. f(x) = g(x)  f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
b. f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x)

(h(x) ≠ 0, x  D)

Lưu ý
Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hoặc trừ hai
vế với biểu thức đó
Quy đồng bỏ mẫu là thực hiện phép nhân hai vế phương trình cho một biểu thức

Ví dụ 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) 3x  x  2  x 2  3x  x 2  x  2
b) x  x  2  x2  x  2  x  x 2


c)
d)

2x  1
2

x 1
2x +1
2

x -1

 1  2x  1  x 2  1

= 1  2x +1 = x 2 - 1

Các phép biến đổi tương đương thường gặp
Nếu hai vế của phương trình cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta được một
phương trình tương đương
Chú ý: f(x) = g(x)  f 2 (x) = g2 (x) (sai)
Ghi nhớ
f(x)  0 (hoac g(x)  0)
f(x) = g(x)  
f(x) = g(x)


g(x)  0
f(x) = g(x)  
2

f( x) = g (x )

Ví dụ 4: Giải phương trình

x 1  x  3

3. Phƣơng trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x)

(1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x)

(2) có tập nghiệm T2

Nếu mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình (2) thì phương
trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) (tức là tập nghiệm
T2 chứa T1)
f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

(T1  T2 )

Chú ý
Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của
phương trình đã cho, tức là: f(x) = g(x)  f2(x) = g2(x)
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình
ban đầu, ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử
lại các nghiệm vừa tìm được (thường gặp khi bình phương hai vế, nhân hai vế của
phương trình với một đa thức,…)

Ví dụ 5: Giải phương trình

x 2 - 4 = 3x

Ví dụ 6: Giải phương trình

x2 + 5 = x +

1

x2 - 3

Ví dụ 7: Giải phương trình (x 2  3x  2) x  3  0


PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
I. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG ax + b = 0
Nếu a  0: (1) có nghiệm duy nhất x = 

b
a

Nếu a = 0 và b  0: phương trình (1) vô nghiệm
a = 0 và b = 0: phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ 

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: m2x + 2 = 4x + m

(1)

Ví dụ 2: Cho phương trình: m(mx – 2) = x + 2 (). Tìm m sao cho:
a) phương trình () vô nghiệm
b) phương trình () thỏa  x  
c) phương trình () có nghiệm

Ví dụ 3: Giải và biện luận pt sau:
Ví dụ 4: Định m để phương trình:

2m  1
 m 1
x 2

m(x  1)  2x
2
x 1

() vô nghiệm

II. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2 + bx + c = 0
a = 0: ta giải phương trình bx + c = 0
a  0: ta tính Δ = b2 – 4ac

(Δ’ = b’2 – ac)

 > 0: (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 
 = 0: (1) có 1 nghiệm (kép) x  

b  
2a

b
2a

 < 0: (1) vô nghiệm

Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình: (m+1)x 2 – (2m+1)x + m–1 = 0
Ví dụ 6: Định m để phương trình (m 2 – 5m – 36)x 2 – 2(m + 4)x + 1 = 0
có nghiệm duy nhất.


III. ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x 1, x 2 thì:

S  x1  x 2  

b
a

và

P  x1.x 2 

c
a

Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  P < 0
  0

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương (0 < x 1 ≤ x 2)  P  0
S  0

  0

Phương trình (1) có 2 nghiệm âm (x 1 ≤ x 2 < 0)  P  0
S  0


Nếu 2 số u và v có tổng bằng S và tích bằng P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình
X2 – SX + P = 0
Nếu đa thức f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 và x 2 thì nó có thể phân tích
thành nhân tử: ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2)
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

2

x12  x 22   x1  x 2   2x1x 2  S2  2P
3

x13  x 23   x1  x 2   3x1x 2 (x1  x 2 )  S3  3PS



x14  x 24  x12  x 22



2

 2x12 x 22  (S2  2P)2  2P2

1
1
S


(x1 , x 2  0)
x1 x 2 P

Ví dụ 7: Tìm m để x 2 – 2(m + 1)x + m 2 + 1 = 0 có hai nghiệm thỏa x 12 + x 22 = 27
Ví dụ 8: Cho phương trình x 2 – (3m + 2)x + m 2 = 0 (). Tìm m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt thỏa x 1 = 9x 2

Ví dụ 9: Cho phương trình mx 2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0. Xác định m để

phương trình có 2 nghiệm. Khi đó hãy tìm một hệ thức giữa 2 nghiệm
độc lập đối với m


IV. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT – BẬC HAI
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn trong căn.
A  B
A B 
 A  B

A  B  A 2  B2

B  0

A  B   A  B
  A  B

 A  0 (hay B  0)
A  B
A  B

B0
A B
2

A  B

Phương pháp tổng quát

Đặt điều kiện căn bậc hai có nghĩa
Đặt điều kiện 2 vế cùng dấu. Bình phương 2 vế ta được phương trình
dễ hơn hoặc có công thức
Nếu điều kiện phức tạp, ta có thể bình phương 2 vế để đưa về
phương trình hệ quả. Giải xong nhớ thử lại.
Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 10: Giải phương trình:
a) |2x – 5| = x – 1

b)

x  1  x2  x  7

b)

3x + 7 - x + 1 = 2

Ví dụ 11: Giải phương trình sau:
a) 3x  1  x  1

Ví dụ 12: Giải phương trình sau:
a) 4x 2 -12x + 2 4x 2 -12x +10 + 7  0
b)

3x 2 - 2x + 15 + 3x 2 - 2x + 8 = 7


PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I. ÔN TẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c.
Nghiệm của phương trình là cặp số (x 0, y 0) thỏa ax 0 + by 0 = c
Ghi chú: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm
Biểu diễn hình học: Tập nghiệm của phương trình ax + by = c là đường thẳng (d)
có phương trình ax + by = c
Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số y = Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x =

a
c
x+
b
b

c
, và đường thẳng
a

(d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y =

c
, và đường thẳng
b

(d) song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ 1: Giải và biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình: 2x – y = 2
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẤC NHẤT HAI ẨN

a x  b1 y  c1 (1)

Dạng tổng quát là:  1

a2 x  b2 y  c 2 (2)

D

a1

b1

a2

b2

Dx 
Dy 

c1

b1

c2

b2

a1

c1

a2

c2

(a12  b12  0)
(a22  b22  0)

I

 a1b2  a2b1

D0

 c1b2  c2b1
 a1c2  a2c1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với: x =

Dy
Dx
, y=
D
D

Dx  0 hoặc Dy  0: Hệ phương trình vô nghiệm
D=0

Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa: ax 0 + by 0 = c


Biểu diễn hình học: Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ của điểm M(x; y) thuộc cả 2

đường thẳng (d1): a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2
Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d1) và (d2) cắt nhau
Hệ (I) vô nghiệm  (d1) và (d2) song song với nhau
Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1) và (d2) trùng nhau
 3x  2y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 

 1

2 2x  3y  0

mx  y  2m  1
 x  my  3m

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình: 

mx  y  m  1  0
 x  my  2  0

Ví dụ 4: Định m để phương trình sau vô nghiệm: 

(a  2)x  3y  3a  9
 x  (a  4)y  2

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình 

a) Định a để hệ có vô số nghiệm
b) Định a để hệ phương trình có nghiệm
mx  2y  2m
2x  my  m  2

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình 

a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất và tìm hệ thức giữa nghiệm x, y
độc lập với m
b) Định m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên
 2 2
5x  y  9

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 
 3  4x 2  2
 y

III. Hệ phƣơng trình bậc nhất 3 ẩn
a1 x  b1 y  c1z  d1

Dạng tổng quát là: a2 x  b2 y  c 2 z  d2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

Cách giải: Khử bớt ẩn số rồi dùng phương pháp thế để tính
 x  3y  2z  8

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình : 2x  2y  z  6
3x  y  z  6


ÔN TẬP CHƯƠNG 3
I. PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình dạng ax + b = 0
Phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương trình chứa căn

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: m(mx – 1) – 1 = – (4m + 3)x
Ví dụ 2: Định m và p để phương trình sau có tập nghiệm

:

(x – 1)m + (2x + 1)p = x + 2

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:

m(x - 1)
=2
x +1

Ví dụ 4: Định m để phương trình sau vô nghiệm

x m x 2

x 1 x 1

Ví dụ 5: Cho phương trình x 2 – (2m + 3)x + m 2 + 2m + 2 = 0 (1)
Định m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa

1
1
+
=1
x1 x 2

Ví dụ 6: Cho phương trình: x 2 – (2m + 3)x + m2 + 2m + 2 = 0. Định m để
phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa x 1 = 2x 2.

Ví dụ 7: Cho phương trình: 2x 2 + (m – 1)x + 4 – m2 = 0. Định m để phương trình
có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

Ví dụ 8: Cho phương trình (m  1)x2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 (1)
Định m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 9: Cho phương trình (m  1)x 4 - 2(m +1)x 2 + m - 3 = 0 (1)
Định m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt