Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán

bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

bùi thị thanh thủy

Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc
hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán
(thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT)

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh - 2009


bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

bùi thị thanh thủy

Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc
hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán
(thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT)

Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. Chu trọng thanh

Vinh - 2009


Lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớng
dẫn khoa học của Thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này,
tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, đã trực
tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong
chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, trờng
Đại Học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá
trình thực hiện Luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các
thầy cô, Khoa Sau đại học, Đại Học Vinh. Sở Giáo dục và Đào tạo
Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp trờng THPT
Bán công Thạch Hà, đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả ngời thân và các bạn bè lòng biết ơn
sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong
nhận đợc và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các
bạn.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả


Mục Lục
Trang
Mở đầu 1

Chơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.....................................................................

1.1.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.2.1.
1.2.2.2.
1.2.2.3.
1.2.2.4.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.4.
1.4.1.
1.4.2.
1.4.2.1.
1.4.2.2.
1.4.2.3.
1.4.2.4.
1.4.2.5.
1.4.2.6.
1.5.
1.6.

Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học môn toán..................
Các hoạt động t duy phổ biến trong quá trình giải toán......................
Phân tích tổng hợp................................................................................
Khái quát hóa và trừu tợng hóa..........................................................
Khái quát hóa.....................................................................................

Trừu tợng hóa......................................................................................
Đặc biệt hóa........................................................................................
So sánh, tơng tự..................................................................................
Hoạt động giải toán của học sinh......................................................
Chức năng của bài toán......................................................................
Hoạt động giải toán của học sinh......................................................
Một số kiến thức về phép biện chứng duy vật...................................
Các khái niệm.....................................................................................
Các cặp phạm trù và vai trò của phép biện chứng duy vật
trong hoạt động nhận thức.................................................................
Cái riêng, cái chung và cái đơn nhất.................................................
Nguyên nhân và kết quả.....................................................................
Tất nhiên và ngẫu nhiên.....................................................................
Nội dung và hình thức........................................................................
Bản chất và hiện tợng.........................................................................
Khả năng và hiện thực.......................................................................
Thực trạng dạy học giải toán ở trờng THPT.....................................
Kết luận chơng 1................................................................................


Chơng 2. Một số biện pháp nhằm vận dụng phép BCDV Vào việc hớng
dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT......................................

2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.3.1.
2.1.3.2.
2.1.3.3.

2.2.
2.2.1.
2.2.1.1.
2.2.1.2.
2.2.1.3.
2.2.1.4.
2.2.2.
2.2.2.1.

2.2.2.2.

2.2.2.3.
2.2.2.4.

Tổng quan về chơng trình môn toán lớp 10 THPT............................
Các mục tiêu dạy học toán lớp 10 THPT...........................................
Hệ thống kiến thức Đại số lớp 10 THPT...........................................
Các loại toán điển hình về Đại số lớp 10 THPT................................
Loại toán có sẵn thuật toán................................................................
Loại toán phức hợp.............................................................................
Loại toán không mẫu mực.................................................................
Vận dụng kiến thức phép biện chứng duy vật vào việc hớng
dẫn học sinh tìm lời giải toán Đại số 10 THPT.................................
Định hớng chung................................................................................
Định hớng 1........................................................................................
Định hớng 2........................................................................................
Định hớng 3........................................................................................
Định hớng 4........................................................................................
Các biện pháp s phạm.........................................................................
Biện pháp 1: Trong quá trình giải toán hớng dẫn học sinh thấy

nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và bản chất của đối tợng
trong bài toán, tìm ra mối quan hệ biện chứng giữa chúng..............
Biện pháp 2: Xét bài toán theo những cách nhìn khác nhau để
tìm ra cách giải khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp
phạm trù của phép BCDV..................................................................
Biện pháp 3: Phân tích làm rõ sự phát triển lời giải các bài toán
.............................................................................................................
Biện pháp 4: Tập cho học sinh biết tìm tòi phát hiện lời giải các
bài toán dựa vào các quy luật, các cặp phạm trù của phép BCDV
.............................................................................................................


2.2.2.5. Biện pháp 5: Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của các bài
toán trong quá trình dạy học..............................................................
2.2.2.6. Biện pháp 6: Trong quá trình dạy học giải bài tập toán cần coi
trọng việc phân tích những sai lầm mà học sinh thờng mắc
phải để góp phần điều chỉnh thế giới quan duy vật biện chứng
cho học sinh........................................................................................
2.3.
Vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào việc bồi
dỡng một số yếu tố t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy
học giải toán Đại số 10 THPT..........................................................
2.3.1. Bồi dỡng t duy linh hoạt...................................................................
2.3.2. Bồi dỡng t duy độc lập.....................................................................
2.3.3. Bồi dỡng t duy phê phán..................................................................
2.3.4. Bồi dỡng khả năng phát triển bài toán.............................................
2.4.
Kết luận chơng 2...............................................................................
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm........................................................................
3.1.

Mục đích thực nghiệm......................................................................
3.2.
Tổ chức và nội dung thực nghiệm....................................................
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm........................................................................
3.2.2. Nội dung thực nghiệm......................................................................
3.3.
Kết quả thực nghiệm........................................................................
3.3.1. Đánh giá định tính............................................................................
3.3.2. Đánh giá định lợng...........................................................................
3.4.
Kết luận chung về thực nghiệm.......................................................
Kết luận chung của luận văn...........................................................................
Tài liệu tham khảo...........................................................................................


7
mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: ... Phải đổi mới phơng
pháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến,
hiện đại vào quá trình dạy học....
Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: ... Tiếp
tục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy
và học....
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: ... Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn....

Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tăng cờng hoạt động của học
sinh là một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao hiệu quả giáo
dục và đào tạo.
Hoạt động giải toán là hoạt động đặc thù, chủ yếu của học sinh trong
dạy học môn toán. Học sinh là đối tợng giáo dục, là chủ thể của quá trình
giáo dục, đồng thời thể hiện sản phẩm giáo dục. Đánh giá học sinh là đánh
giá hiệu quả dạy học môn toán chủ yếu thông qua khả năng tìm lời giải các
bài toán.
Kiến thức Đại số lớp 10 có vị trí quan trọng trong chơng trình THPT vì
nó giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học
cơ sở
Việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán là công việc thờng
xuyên có ảnh hởng đến chất lợng dạy học.
Phép biện chứng duy vật có vai trò quan trọng trong hoạt động nhận
thức. Giáo viên cha có ý thức lồng ghép vào giờ toán giáo dục t duy biện
chứng để giúp học sinh phát triển nhận thức.
Việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán có
tác dụng lớn trong các khâu định hớng, lựa chọn phơng pháp, lựa chọn tri thức
công cụ, phát triển các bài toán để có bài toán mới.


8
Đã có một số công trình nghiên cứu việc giải toán và sử dụng kiến thức
về phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán nh: G.Polya [36],
[37] [38]; Nguyễn Thái Hoè [20]; Nguyễn Cảnh Toàn [53].
Nhận thấy đây là một vấn đề có tác dụng lớn đối với dạy học môn toán
và còn cần phải tiếp tục nghiên cứu nên chúng tôi chọn đề tài luận văn là
Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hớng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán (thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT).
2. Mục đích nghiên cứu

Đề xuất các biện pháp s phạm để hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán
nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp một số kiến thức về phép biện chứng duy vật có thể vận
dụng trong dạy học môn toán.
- Nghiên cứu các định hớng, vận dụng kiến thức về phép biện chứng
duy vật vào việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT.
4. Phơng pháp nghiên cứu
4.1. Phơng pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép biện chứng duy vật, một số
tài liệu sách, báo về toán học và dạy học môn toán.
4.2. Phơng pháp nghiên cứu thực tế
Điều tra, khảo sát thực tế dạy học toán trung học phổ thông.
4.3. Phơng pháp thực nghiệm s phạm
Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp s phạm đã đề xuất.
5. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở chơng trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giải
toán giáo viên vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật hớng dẫn học
sinh tìm lời giải bài tập toán thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học và góp phần đổi
mới phơng pháp giảng dạy toán ở trờng trung học phổ thông.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận


9
- Hệ thống hoá cơ sở khoa học của việc vận dụng các kiến thức về phép
BCDV vào việc tìm lời giải bài toán nhằm nâng cao chất lợng dạy học.
- Đa ra các biện pháp luyện tập hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán
thể hiện qua dạy học giải toán đại số 10 THPT.

6.2. Về mặt thực tiễn
Xây dựng đợc một tài liệu hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số
lớp 10 THPT .
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có
3 chơng.
Chơng 1. Cơ sở lý luận v thực tiễn
Chơng 2. Một số biện pháp nhằm vận dụng phép BCDV Vào
việc hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp
10 THPT
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm


10
Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học môn toán
Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: ... Phải đổi mới phơng
pháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến,
hiện đại vào quá trình dạy học ....
Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: ... Tiếp
tục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy
và học....
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
"Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t
duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý
chí vơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 4).
"Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,

môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của
học sinh" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 24) [28, tr.113].
ở nớc ta, t tởng chỉ đạo công cuộc đổi mới phơng pháp dạy học từ một
vài năm gần đây đợc phát biểu với nhiều thuật ngữ nh: Tích cực hoá hoạt động
học tập, hoạt động hoá ngời học, lấy ngời học làm trung tâm... Với t tởng đó,
định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ngời học học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo.
Định hớng đó bao hàm các ý tởng đặc trng sau:
- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ
động và sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặc trong
giao lu.
Ngời học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái
độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo.
Với định hớng hoạt động hoá ngời học, vai trò chủ thể của ngời học đợc
khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của
bản thân mình [28, tr.115].
- Tri thức đợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý s phạm


11
Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lý học, học tập là một quá trình
trong đó ngời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi
trờng sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng.
Tuy nhiên, nh nhiều nhà lý luận dạy học của pháp khẳng định, một môi
trờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến tạo đợc
tri thức theo yêu cầu mà xã hội mong muốn. Vì vậy, điều quan trọng là thiết
lập những tình huống có dụng ý s phạm để ngời học học tập trong hoạt động,
học tập bằng thích nghi [28, tr.117].
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.

Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình
học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân
việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá
trình học tập một cách hiệu quả [28, tr.117-118].
- Tự tạo và khai thác những phơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng
sức mạnh của con ngời
Phơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn giản
tới những phơng tiện kĩ thuật tinh vi nh thiết bị nghe nhìn, công nghệ thông tin
và truyền thông,...giúp thiết lập những tình huống có dụng ý s phạm, tổ chức
những hoạt động và giao lu của thầy và trò [28, tr.119].
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản
thân ngời học
Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi
và mặt khác tạo ra niềm vui. Niềm vui này có đợc bằng nhiều cách khác nhau
nh động viên, khen thởng v.v..., nhng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quan
dựa trên lao động và thành quả lao động và thành quả học tập của bản thân ngời học. Giải đợc một bài tập, phát hiện ra một điều mới khơi nguồn cảm hứng
cho học sinh. Cho nên tổ chức cho học sinh học tập tự giác, tích cực, chủ động
và sáng tạo gắn liền với việc tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và
thành quả của bản thân ngời học [28, tr.120].
- Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách ngời thiết kế, uỷ thác,
điều khiển và thể chế hoá.
Hoạt động hoá ngời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai trò
của ngời thầy.


12
Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá ngời học, sự xác lập vị trí
chủ thể của ngời học không hề làm suy giảm, mà ngợc lại còn nhằm nâng cao
vai trò, trách nhiệm của ngời thầy.
Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của ngời thầy vẫn

nh xa. Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải thấy
rằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là nguồn phát tin
duy nhất, thầy không phải là ngời ra lệnh một cách khiên cỡng, thầy không
phải là ngời hoạt động chủ yếu ở hiện trờng. Vai trò, trách nhiệm của thầy bây
giờ quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhng tế nhị hơn, cụ thể là:
+) Thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mục tiêu,
nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức tổ chức.
+) Uỷ thác: phải biến đợc ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự nguyện,
tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dới dạng có
sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi.
+) Điều khiển: Động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá.
+) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định vị trí
kiến thức trong hệ thống tri thức đã có và hớng dẫn khả năng vận dụng kiến
thức đó [28, tr.122].
1.2. Các hoạt động t duy phổ biến trong quá trình giải toán
Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động t duy
chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thờng dùng để chỉ các
mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thờng gọi là
bài toán. Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn
với nhau nhng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau. Bộ phận thứ nhất là
điều kiện bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tờng minh
hoặc tiềm ẩn. Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau
những biến đổi nhất định. Bộ phận thứ hai là yêu cầu gồm những thông tin
mà bài toán đòi hỏi phải tìm. Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm
những thao tác đa dạng, phức tạp nhng xét đến cùng luôn là sự phân tích,
tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân
tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều
kiện và yêu cầu. Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn t duy đến những mối
liên hệ mới. Cứ nh thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán.

13
Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc
lý giải thông qua các thao tác t duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tờng minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán. Việc khám phá dần dần
các điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh
hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà t duy có thể
nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu. Nó sẽ giúp ta
thấy đợc con đờng đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hớng.
Tiêu biểu cho t duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá,...
việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề
xuất những giả thuyết, những ý niệm,... kết quả của quá trình t duy bao giờ
cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của
t duy đợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con ngời. Hoạt động t duy của con ngời luôn hớng vào giải quyết một vấn đề, hoặc
làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết.
Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần
tập trung chú ý tới việc rèn luyện các hoạt động t duy cơ bản. Đó là những
hoạt động trí tuệ thờng gặp trong dạy học Toán ở nhà trờng phổ thông.
Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng
tôi đi sâu vào việc tìm hiểu các hoạt động trí tuệ cơ bản sau:
1.2.1. Phân tích và tổng hợp
Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác t
duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng
khác nhau của các quá trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua
bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả
năng phân tích và tổng hợp.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành
nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các
bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trờng xung quanh.
Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phơng hớng cho sự phân tích tiếp theo [53, tr. 122].

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học
của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp HS
nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr. 15].


14
Theo M. N. Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ
phận của những sự vật hoặc hiện tợng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc
tính của chúng, cũng nh các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hớng
nhất định. Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng
đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính nh vậy mới nhận thức đợc một cách trọn vẹn
các sự vật và hiện tợng. Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà
các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các
bộ phận đó. Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết
máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng
cộng các bộ phận của một toàn thể. Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động
t duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết
mới nào đó về hiện thực.
Nh vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngợc nhng lại
là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản
của quá trình t duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng
của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm
thờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải
quyết vấn đề.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng
hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân
tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên
hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái toàn thể là con đờng để
nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích tổng hợp còn đợc thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hớng

Vốn kiến thức Toán học, kĩ
Nội dung và hình thức
năng và
kinh nghiệm
giải của phân
cho phân tích,
chỉ
ra
cần
phân
tích
mặt
nào,
khía
cạnh
nào,
kết quả
của bài toán
Toán
tích là cái toàn thể ban đầu đợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Nh vậy,
phân tích và tổng hợp theo con đờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các
Định hớng tìm tòi
giải bài
tập hành động trí tuệ của con ngời.
thao tác phân tích - tổng hợp có mặt lời
trong
mọi
Trong giải toán, học sinh thờng phải thực hiện các thao tác phân tích,
Hớng thứ k
Hớng 2

Hớng
tổng hợp xen
kẽ1với nhau. Bằng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm Giải
bài toán nh thế nào đã đa ra quy trình 4 bớc để giải bài toán. Trong mỗi bớc
tác giả đã đa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên
Nhận thức đềPhân tích
Nhận thức đềPhân tích
Nhận thức đềPhân tích
tiếp, 1
đanchọn
xen
đểbỏthực hiện
quá trình giải toán.
Cólựathể
lựanhau
hoặc bác
2đợc
chọn4lựabớc
hoặccủa
bác bỏ
k chọn
hoặcthấy
bác bỏ
trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thờng gắn bó khăng khít với
Chọn lựa đợc hớng giải thích hợp
Tiến hành phân tích, tổng hợp để đa ra lời giải của
bài tập


15

nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá
trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hớng
của quá trình tổng hợp). Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần
phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chơng trình học tập yêu cầu, do
học sinh biết đợc trong quá trình tự học vv...) chỉ có hữu hạn các phơng pháp
giải, các phơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến
thức đã đợc học, kiến thức tự tích luỹ...) của học sinh vì thế bản chất của thao
tác giải một bài tập toán của học sinh thờng là:
Vốn kiến thức Toán học,
kĩ năng và kinh nghiệm
giải Toán

Nội dung và hình
thức của bài toán

Định hớng tìm tòi
lời giải bài tập
Hớng 2

Hớng 1

Nhận thức đềPhân
tích 1 chọn lựa hoặc
bác bỏ

Hớng thứ k

Nhận thức đềPhân
tích 2 chọn lựa hoặc
bác bỏ

Nhận thức đềPhân tích
k chọn lựa hoặc bác bỏ

Chọn lựa đợc hớng giải thích hợp

Do vậy việc rèn luyện
các
tác hợp
t duy
Tiến hành
phânthao
tích, tổng
để đacho
ra lờihọc
giải sinh qua việc giải bài
của bài tập
tập nhất thiết phải đợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có
một cách rèn luyện nào phù hợp cho mọi đối tợng, thậm chí có những quá
trình phân tích - tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh
này nhng lại vô nghĩa với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tợng, nghiên
cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự giáo viên phải phân tích kĩ một bài tập trớc
khi hớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là
rất quan trọng. Dới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC

3
2

(1)


16
- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos

B+C
B C
cos
2
2

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

a +b
a b
cos
.
2
2

B+C
A
B+C
A
= cos
= sin
2
2

2
2

cosA = cos2

A
A
= 1 - 2sin2 .
2
2

Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tởng tới công
thức cos2a = 1- 2sin2a.
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:
(1)

1 - 2sin2

A
B+C
B C
3
+ 2cos
cos

2
2
2
2

4 sin2

A
A
B C
- 4 sin cos
+1 0
2
2
2

(2 sin

A
B C 2
B C
- cos
) + sin2
0
2
2
2

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
Theo G. Pôlya: Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí
óc. Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều và
quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản. Đó là trờng hợp của một ngời chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trớc hết, phải hiểu
bài toán nh một cái toàn bộ. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem

xét những điểm chi tiết nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu thật sát và phân
chia bài toán thành từng bớc và chú ý, không đi quá xa khi cha cần thiết [36,
tr. 74].
Khi bài toán cần giải đã đợc hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ
giả thiết kết luận), đã tìm hiểu đợc mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi
tiết. Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa
hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn.
Ví dụ 2. Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:
x 2 2mx + m 2 + 4 2 x 2

(1)


17
Đây là bài toán tìm m để bất phơng trình thỏa mãn yêu cầu bài toán
không mấy dễ dàng đối với học sinh mới học, mà đòi hỏi một khả năng vận

dụng thành thạo kỹ năng phân tích bằng cách vận dụng ''

A 0

A < B B 0 "
A < B2


x 2 2mx + m 2 + 4 0
(thỏa mãn)

Từ sự phân tích đó ta có: (1) 2 x 2 0
x 2 2mx + m 2 + 4 4 x 2 8 x + 4

x 1

2
2
f ( x ) = 3 x + 2(m 4) x m 0
' f ( x ) = (m 4)2 + 3m 2 > 0

(2)

m .

Tiếp tục phân tích: Yêu cầu bài toán tơng đơng với f ( x ) 0 nghiệm
đúng x 1 , tức là (2) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 1 . Điều đó xảy
' > 0
(m)
( x 1)( x2 1) 0

1
ra khi và chỉ khi: x1 1 0
( x1 1) + ( x2 1) 0
x 1 0
2
x x ( x1 + x2 ) + 1 0
1 2
x1 + x2 2 0
m 2 2(m 4)
+
+1 0

m 2 + 2 m 5 0 (vô nghiệm)
3
3

m 1
2(m 4) 2 0

3

Vậy không có giá trị nào của m để bất phơng trình thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các
yếu tố của nó. Chẳng hạn, ta có thể tạo nên một bài toán mới, dễ hơn mà trong
trờng hợp cần thiết có thể dùng nh một bài toán phụ.
Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích
phải hớng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kết
luận. Trong Toán học, thờng đợc sử dụng hai phép phân tích:


18
* Phép phân tích đi lên (suy ngợc lùi): Tức là muốn chứng minh A thì ta
chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh A2,,
cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An. Khi An là điều
đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí) thì dừng lại. Theo tam đoạn luận có điều
kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điều
kiện).
Ta có sơ đồ sau:
liên tởng

An

An-1 An-2 ... A2

liên tởng

A1

liên tởng

A

Phép phân tích đi lên thờng đợc dùng để tìm lời giải.
Về phép phân tích đi lên, loài ngời đã biết từ cách đây từ 300 năm trớc
Công nguyên, bắt đầu từ Hy lạp, với phát biểu của Pappus trong cuốn Nghệ
thuật giải toán, Pappus nói: Ta muốn đạt đợc kết quả mong muốn thì phải đi
từ kết quả đó, rồi muốn đạt đợc kết quả này thì phải đi từ kết quả trớc nữa
cho đến cuối cùng ta tìm đợc một điều đã biết hay đã đợc công nhận là đúng.
Ta gọi đó là quá trình phân tích đi lên hay lí luận giật lùi (suy ngợc lùi). Để
vận dụng phép phân tích đi lên, Platon đề ra bài toán: Làm thế nào để mang 6
lít nớc từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 loại thùng, một thùng 4 lít và một
thùng 9 lít.
Giả sử thùng 9 lít là A, thùng 4 lít là B thì ta có dãy phân tích sau:
Rút 9 lít từ
A ra 2 lần 4
Lấy 9 lít từ
lít bằng
Trong B đã
Trong A còn
A sang B 3
thùng B,

có 1 lít
6 lít mang về
lít
còn 1 lít đổ
1 lít qua B
Trong giải Toán, phân tích là một bớc hết sức quan trọng. Qua phân tích
ta tìm đợc phơng án giải bài toán. Trong bớc phân tích, ta cần xác định đợc
mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm.
* Phép phân tích đi xuống (suy ngợc tiến): Đợc diễn đạt nh sau:
Giả sử có A, từ A ta suy ra A1, tức là A A1, từ A1 ta suy ra A2 tức là A1
A2,..., An An-1 An. Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại vì khi đó


19
chắc chắn là A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện. Còn A n đúng
thì cha có thể kết luận gì đợc vì A có thể sai hoặc đúng.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần hớng dẫn học sinh dùng phép suy
ngợc để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải.
Ví dụ 3. CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b R+ và a b.
Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a 3 + b3 suy
ra nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hớng dẫn học
sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:
Ta có:
a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab +b2)
a2b +ab2 = ab (a + b)
Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2 a2 - ab +b2> ab (a -b)2 >0 (a b)
Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải:
Vì a, b R+ và a b nên a + b > 0, (a -b)2 > 0.
a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab +b2) = (a+b)[ (a - b)2 + ab].
= (a+b) (a - b)2 + (a+b)ab > (a+b)ab = a2b +ab2. (đpcm)

Khi giải toán, trớc tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì,
phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm. Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài
toán đã cho. Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán. Phải biết cách nhìn
bài toán dới dạng chính quy mẫu mực. Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểm
chủ yếu của bài toán. Cách nhìn này giúp ta phát hiện đợc các điểm cơ bản,
đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối. Tuy nhiên, lại
phải biết cách nhìn bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Đồng thời cũng phải
luyện tập thờng xuyên, ngời giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh
biểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đợc những điều muốn nói của các con
số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán. Với bài toán đại
số nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợng giác, hình học,... và ngợc lại.
1.2.2. Khái quát hoá và trừu tợng hoá
1.2.2.1. Khái quát hoá
Theo G. Pôlia, Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu [37, tr. 21].
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp
đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một
số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát [28, tr. 46].


20
Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến
phơng pháp t duy khái quát. Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:
Chỉ khi trí tuệ của con ngời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con
ngời mới có thể hiểu đợc nó. Không có khái quát thì không có khoa học;
không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng
học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc
biệt.
Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc

nghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý. Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việc
nghiên cứu hệ thức lợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những hệ
thức lợng trong tam giác thờng.
ở ví dụ 1, khái quát hoá đợc thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một
góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ ý.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì
những dạng khái quát hoá thờng gặp trong môn Toán đợc biểu diễn bằng sơ đồ
sau:
Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng
lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng
quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hoá tới cái
Khái quát hoá tới cái
tổng
quát
đã
biết
a biếtquát: Con đVới sự biểu diễn nh trên, ta thấy rằng có 2tổng
conquát
đờngchkhái
ờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ, con đờng thứ 2
không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong một
loạt hiện tợng giống nhau. Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số
quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của t duy, là cơ sở duy nhất để phân
biệt giữa t duy lý luận và t duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi con

ngời luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi đợc
phát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con ngời tách đợc
cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu,
học tập bằng con đờng phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi. Bằng con


21
đờng đó con ngời sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phá
các tri thức khoa học bằng những phơng pháp tối u.
Nh vậy, khái quát hoá là thao tác t duy nhằm phát hiện những quy luật
phổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một số các trờng hợp
riêng lẻ. Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các
kết luận đợc rút ra từ khái quát hoá thờng mang tính chất giả thuyết, dự đoán.
Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi.
Chúng ta thờng khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối
tợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó. Tổng quát hoá
một bài toán thông thờng là sự mở rộng bài toán đó.
Trở lại ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: CMR nếu A, B, C là 3 góc của
3
2

một tam giác thì: cosA + cosB + cosC . Ta có thể phát biểu bài toán tổng
quát: CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cos

mA + nB
mB + nC
mC + nA
3
+ cos

+ cos

m+n
m+n
m+n
2

Hoặc ta mở rộng công thức:

a +b
ab ( a o; b o ) thành công thức:
2

a1 + a2 + ... + an n
a1a2 ...an ( ai o; với mọi i = 1,2,,n).
n
Trong dạy học toán có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động khái
quát hoá.
Ví dụ:
- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;
- Khái quát hoá để hình thành định lý;
- Khái quát hoá các bài toán Toán học;
- Khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải lớp các bài toán;
- Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải bài tập toán.
1.2.2.2. Trừu tợng hoá
Theo Nguyễn Bá Kim: Trừu tợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc
điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Chẳng hạn trừu tợng
hoá mệnh đề: Bình phơng của một số âm là một số dơng học sinh phải tách
đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đợc mệnh đề: luỹ thừa
bậc chẵn của một số âm là một số dơng.

22
Hoàng Chúng cho rằng: Trừu tợng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ
với nhau. Nhờ trừu tợng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự
vật sâu sắc hơn. Và ngợc lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách đợc những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã
trừu tợng hoá. Trừu tợng hoá là một hoạt động của t duy, hoạt động này của
bộ não con ngời có thể hớng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và
nói riêng là của Toán học. ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tợng hoá một
bài tập Đại số trong quá trình rèn luyện các thao tác t duy thông qua việc giải
bài tập nh thế nào mà thôi.
Không có khái quát hoá và trừu tợng hoá thì không thể có kiến thức và
tri thức lí thuyết đợc. Khi trừu tợng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các
đối tợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái
riêng phân biệt đối tợng này với đối tợng khác, không chú ý tới những cái
riêng này. Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đờng chéo là trung điểm của mỗi đờng. Hình vuông cũng có 2 đờng chéo giao
nhau tại trung điểm của mỗi đờng. Hình thoi cũng có kết quả tơng tự. Tất cả 3
hình kể trên đều là hình bình hành. Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung
của các hình trên và có mệnh đề khái quát sau: Trong một hình bình hành
các đờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
Học sinh cũng thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những
điều kiện cụ thể mới, thờng là do phải chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ
nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu tợng. Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình
vẽ. Nhờ sự kết hợp đợc cả hai mặt cụ thể và trừu tợng trong bản thân nó, sơ đồ
có thể giúp làm cầu nối khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng và
ngợc lại.
Chẳng hạn ta xét bài toán: Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của
nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu
cộng với đuôi?.
Mối quan hệ giữa khối lợng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với học

sinh. Tuy nhiên, bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Gọi Đ, đ và T lần lợt là khối lợng của đầu cá, đuôi cá và thân cá, ta có:
Đ=đ+

T
và T = Đ + đ ta có sơ đồ nh trong hình vẽ.
2

T

Đ
T

2

đ
đ


23

Nhìn vào sơ đồ dễ thấy rằng: T = đ x4 = 16 kg
và: Đ = đ x3 = 12 kg
Vậy con cá nặng 32kg.
Để giúp học sinh phát triển t duy trừu tợng trong sự tác động qua lại với
t duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với phát
triển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh đợc chính xác mà không hình
thức.
Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để đợc những
mệnh đề tổng quát hơn.

Ví dụ: Từ mệnh đề: Tích (m+1) (m+2) (m+3) (3m-1)3m với m N*
chia hết cho 3m nhng không chia hết cho 3m+1, muốn khái quát hoá thành
mệnh đề tổng quát hơn: Tích (m+1) (m+2) (m+3) (pm-1)pm với m N*
chia hết cho 3p nhng không chia hết cho 3p+1, học sinh phải tách đặc điểm số
nguyên tố (đặc điểm bản chất) ra khỏi đặc điểm số lẻ (đặc điểm không bản
chất), tức là tiến hành trừu tợng hoá.
1.2.2.3. Đặc biệt hoá
Theo G. Pôlia: Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập
hợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đã cho.
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa
giác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ
việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n 3) sang việc nghiên cứu tam giác
đều (n = 3).
Những dạng đặc biệt hoá thờng gặp trong môn Toán có thể đợc biểu
diễn bằng sơ đồ sau:
Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng
quát đến cái riêng lẻ
Đặc biệt hoá tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hoá từ cái riêng
đến cái riêng hơn
Đặc biệt hoá tới cái
riêng lẻ cha biết


24

Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những
khái niệm, định lý tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể.
Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trờng
hợp chung sang trờng hợp riêng. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát:
3
2

CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC .
Đặc biệt hoá nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác đều thì cosA + cosB +
3
2

cosC = .
Một bài toán khó thờng dễ giải hơn nếu ta xét nó trong một trờng hợp
đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài toán.
Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra đợc các kết luận,
tìm đợc cái chốt giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát. Các trờng
hợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát. Chẳng hạn, trớc khi
học sinh đợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a 0), họ đã đợc nghiên
cứu về hàm số
y = ax2 (a 0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách
đa về trờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ).
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x a + x b (aĐề bài toán cho toàn bằng chữ, đối với học sinh quả là quá trừu tợng,
học sinh sẽ rất khó tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận.
Ta đặc biệt hoá bài toán trên với a = 1; b = 2. Lúc này ta tìm giá trị nhỏ
nhất của hàm số: y = x 1 + x 2 .
1 + 2(1 x) > 1

Ta có: x 1 + x 2 = 1
2 x 3 1


( x < 1)
(1 x < 2)
( x 2)

Vậy hàm số: y = x 1 + x 2 có giá trị nhỏ nhất là 1. Từ trờng hợp đặc
biệt ta tìm phơng pháp giải cho bài toán.


25
(b a ) + 2( a x) > b a ( x < a )

(a x < b )
Ta có: x a + x b = b a
2 x a b 2a a b = b a ( x b )


Vậy hàm số: y = x a + x b có giá trị nhỏ nhất là b - a.
1.2.2.4. So sánh, tơng tự
a. So sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện
tợng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tợng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các
thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi
tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tợng) có cái gì giống và khác nhau.
Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng. Usinxki
chỉ ra: Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiên bên ngoài
thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong nó những

dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mới hiểu rõ tất cả
các dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa là hiểu sự vật
[55, tr. 111].
Sự so sánh các sự vật và hiện tợng của hiện thực khách quan diễn ra
theo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giải
quyết một vần đề nhất định. I. M. Xêtsênốp viết: Ngời ta đối chiếu và so sánh
các sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cả
các mối quan hệ có thể có [55, tr. 111].
Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức
nào đó, nó luôn luôn có mục đích. Do đó các sự vật và hiện tợng có thể giống
nhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác. Chẳng hạn khi
dạy về các phép biến đổi tơng đơng của bất phơng trình, chúng ta có định lý:
Cho bất phơng trình f (x) > g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một hàm
số xác định trên D. Khi đó, trên D bất phơng trình (1) tơng đơng với bất phơng trình f (x)+h (x) > g (x)+ h (x) (2).
Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh
với một định lí tơng tự trong phần phơng trình đó là: Cho phơng trình f (x) =
g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó,
trên D phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình f (x)+h (x) = g (x)+ h (x)
(2). Giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:
Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng và hai bất phơng trình tơng đơng
giống nhau ở chỗ: Chúng tơng đơng khi tập nghiệm trùng nhau.