skkn hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai

Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đƣờng bậc hai tổng quát vẫn còn là xa lạ với học sinh THPT. Vì
vậy các vấn đề liên quan vẫn cịn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh,
Phƣơng trình tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai không là ngoại lệ.
Nguyên nhân là do thiết kế chƣơng trình, học sinh học lên lớp 12 mới
đƣợc tìm hiểu và tiếp xúc với một số đƣờng bậc hai. Mặt khác khi xây
dựng các đƣờng bậc hai sách giáo khoa giới thiệu các đƣờng bậc hai
không trong một tổng thể, mà chia ra từng loại cụ thể. Nên dẫn đến mỗi
bài tƣơng ứng với mỗi đƣờng ta đều phải xây dựng tồn bộ lý thuyết về
các đƣờng đó và các vấn đề liên quan, việc xuất hiện nhiều khái niệm
mới và nhiều tính chất mới của các đƣờng lại càng làm cho học sinh
thêm bối rối và khó tiếp nhận vấn đề hơn. Ngoài ra mỗi đƣờng bậc hai lại
có những đặc điểm những tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu về
chúng có nhiều điểm khác nhau, phƣơng pháp nghiên cứu và xây dựng
cũng khác lại càng tạo cho các em học sinh khó khăn hơn trong việc phân
định rõ ràng tính chất và bản chất từng loại.
Với mục tiêu khơng để đƣờng bậc hai cịn xa lạ, đặc biệt là vấn đề
tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai khơng cịn là khó khăn với các em học
sinh. Bài viết này xin trình bày hai phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình
tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai tổng quát. Trên cơ sở đó triển khai cho
các đƣờng bậc hai trong chƣơng trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách
cho các em học sinh với các đƣờng bậc hai và những vấn đề liên quan
đến đƣờng bậc hai.
II. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1.MỤC TIÊU:
Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan về các đƣờng bậc hai nói

chung và các đƣờng bậc hai trong chƣơng trình THPT. Rút gần khoảng
cách giữa các em và các đƣờng bậc hai. Đặc biệt là bài tốn về phƣơng
trình tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai
Trên cơ sở đó học sinh có thể vận dụng vào nghiên cứu các vấn đề
liên quan đến các đƣờng bậc hai đã triển khai trong chƣơng trình THPT,
một cách tồn diện và có hệ thống
Mở ra cho học sinh cái nhìn mới, cái nhìn tồn diện về đƣờng bậc
hai và những vấn đề liên quan
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
2. NHIỆM VỤ

Nhằm xây dựng vào bức tranh về đƣờng bậc hai trong chƣơng trình
THPT một cách cụ thể và tổng quan hơn
Trên cơ sở của việc xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến với các
đƣờng bậc hai ở dạng tổng quát, giúp các em học sinh có thể tự triển khai
cho các đƣờng bậc hai ở bậc THPT đã đề cập có thể bằng việc các em
vận dụng hoặc các em có thể tự xây dựng lại hồn tồn hệ thống lý
thuyết, giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất của các đƣờng và những nét
đẹp của đƣờng bậc hai lí thú.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nhận thức của bản thân về các vấn đề Hình học, Đại số và Giải tích
nói chung và đƣờng bậc hai nói riêng.
Thơng qua đó tìm hiểu việc tiếp nhận và thái độ nhận thức của học
sinh lớp 12 về vấn đề đƣờng bậc hai trong một chỉnh thể hoàn chỉnh hơn
so với các vấn đề về đƣờng bậc hai đã nghiên cứu trong chƣơng trình
THPT.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa Trên cơ sở của phƣơng pháp nghiên cứu về các ứng dụng của
Đại số và Giải tích vào Hình học ở bậc THPT
Trên cơ sở của việc tổng hợp những tra cứu, nhận định của bản
thân, những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp cho vấn đề phƣơng trình
tiếp tuyến của đƣờng bậc hai. Tác giả đã phân tích vấn đề một cách
nghiêm túc, để tổng hợp lại thành bài viết này.
V. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Dựa trên cơ sở lí thuyết về ứng dụng của Đại số, Giải tích vào
Hình học sơ cấp nói chung và đƣờng bậc hai nói riêng.
Dựa vào khả năng tìm hiểu, nghiên cứu và sử lý vấn đề của đối
tƣợng nghiên cứu.
Bài viết đƣợc chia làm hai phần:
Phần I: Sử dụng phƣơng pháp Giải tích xây dựng phƣơng trình tiếp
tuyến của đƣờng bậc hai trong trƣờng hợp tổng quát
Phần II: Sử dụng phƣơng pháp Đại số xây dựng phƣơng trình tiếp
tuyến của đƣờng bậc hai trong trƣờng hợp tổng quát
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

VI. NỘI DUNG

PHẦN I
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

A. LÝ THUYẾT
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG
- Cho đƣờng cong (C) có phƣơng trình y = f(x) có miền xác định D.
Điểm x0 thuộc D sao cho tại x0 có f’(x0). Khi đó đƣờng cong (C) có
phƣơng trình tiếp tuyến là :

y – y0 = f’(x0)( x- x0 )

(*)

trong đó f’(x0) là hệ số góc của phƣơng trình tiếp tuyến.
Bài tốn viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong (C) tại điểm M0
(x0; y0 ) yêu cầu ta đi tìm f’(x0) và áp dụng phƣơng trình (*) cho ta
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm.
2. ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
2.1 ĐƢỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT:

Đƣờng bậc hai là một tập hợp (S) gồm tất cả các điểm M(x;y) thảo mãn
phƣơng trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
(Trong đó A,B,C khơng đồng thời bằng 0)
2.2 ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT

- Trong chƣơng trình THPT đã đề cập đến các đƣờng bậc hai là Elíp,
Hypebol, Parabol và Đƣờng trịn và đề cập đến chúng đều ở dạng chính
tắc.
- Đƣờng bậc hai (S) là phƣơng trình đƣờng bậc hai tổng quát cho tất cả

các đƣờng bậc hai nói trên. ứng với mỗi giá trị của các số A, B, C, D, E,
F thì S sẽ là các đƣờng Elíp hoặc Hypebol hoặc Parabol hoặc Đƣờng

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
tròn ở dạng tổng quát hoặc một số đƣờng bậc hai khác trong chƣơng trình
THPT khơng đề cập đến.
Cụ thể: Ta có (S)  A x 


2

2

D
E
D2 E 2


C
y



F




A
C
A
C




B0

- Nếu ta có 
thì (S) là một đƣờng trịn có
AC 0
 D  2  E  2 F
       0
A
 A   A 

phƣơng

trình dạng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (C)
B0


A0

- Nếu ta có: 
hoặc
C0
 D  2  E  2

      F  0
 A   C 

B0


A0

thì (S) là một

C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

Elíp (E) có phƣơng trình: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0


B0

- Nếu ta có 
thì (S) là một Hypebol (H) có phƣơng
A.C  0
2
2
 D   E 
      F  0
 A   C 

trình Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0

 A  B  0

C .D  0
- Nếu ta có:  
thì (S) là một Parabol có phƣơng trình
 C  B  0

  A. E  0
 Cy 2  2Dx  2Ey  F  0

2
 Ax  2Dx  2Ey  F  0

(Chúng ta có thể dễ dàng kiểm chứng kết luận trên)
3. KHÁI NIỆM HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

3.1 KHÁI NIỆM HÀM ẨN
Cho

phƣơng trình F(x;y) = 0 (1) . Nếu x thuộc một miền nào đó mà tồn

tại hàm số : y = f (x) duy nhất sao cho F(x. f(x)) = 0 thì hàm y = f (x)
đƣợc gọi là hàm ẩn của xác định bởi phƣơng trình (1)
3.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

- Phƣơng trình F(x;y) = 0 xác định y là hàm ẩn của x ( xem là hàm khả
vi) Lấy đạo hàm hai vế của phƣơng trình F(x;y) = 0 theo x ta đƣợc
phƣơngtrình bậc nhất đối với y’ . Từ phƣơng trình này ta tìm đƣợc y’ (
tức là đạo hàm của hàm ẩn).
- Chúng ta có thể hiểu vấn đề này một cách đơn giản hơn nhƣ sau:
. Từ F(x;y) = 0 ta xem y là một hàm hợp của biến x. Đạo hàm hai vế của
phƣơng trình cho ta phƣơng trình bậc nhất đối với y’, giải phƣơng trình
bậc nhất tìm ra y’
( Do mục tiêu của ta trong bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến nhƣ đã
giới thiệu ban đầu là đi xác định f’ (x0 ), nên yêu cầu ta cần xác định y ‘
= f’ (x ) của đƣờng bậc hai tai điểm M(x0; y0))
. Ta có thể lấy một ví dụ minh hoạ u cầu trên.
VD1: Tìm y ‘ của đƣờng bậc hai có phƣơng trình
F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + 3 = 0
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phƣơng trình theo x ta
đƣợc. 2x – 2 + 2y. y ‘ - 2 y ‘ = 0  y ‘ = 

2x  1
;y 1
2y  2

x2 y2
VD2: Tìm y của đƣờng bậc hai có phƣơng trình 2  2  1
a
b
‘

Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phƣơng trình theo x ta
2 x 2 yy 
2 yy 

2x
b2 
2x 



1


1


y

đƣợc 2
 1  2 ; y  0
2
2
2
2y 
a
b
b
a
a 

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai

B .BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

(Trong trƣờng hợp tổng quát)
Bài toán:

Cho đƣờng bậc hai : F(x;y) = 0 (S) với
F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F
(A, B, C không đồng thời bằng 0 )

Điểm M(x0; y0)  (S ) , viết phƣơng trình tiếp tuyến với (S) tại M
Lời giải:
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế (1) ta đƣợc:
F’(x;y)=0
 y(2 Bx  2Cy  2 E )  2 Ax  2 By  2 D  0
 y  

2 Ax  2By  2By   2Cyy   2D  2Ey   0

2 Ax0  2 By0  2 D
2 Ax  2 By  2 D
 y( x0 )  
2 Bx  2Cy  2 E
2 Bx0  2Cy0  2 E

Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S) là
y  y 0  y ( x 0 )( x  x 0 )
 y  y0  

2 Ax 0  2 By0  2 D

( x  x0 )
2 Bx0  2Cy0  2 E

 2 Bx0 y  2Cy0 y  2 Ey  2 Bx0 y 0  2Cy02  2 Ey0  2 Ax 02  2 Ax 0 x  2 Bx0 y 0  2 Bxy0  2 Dx0  2 Dx

 Ax 0 x  B( x0 y  xy 0 )  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  0

(*)

Vậy ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến của của đƣờng bậc hai (S) tại
điểm M
 Ax 0 x  B( x 0 y  xy 0 )  Cy0 y  D( x  x 0 )  E( y  y 0 )  F  0

(*)

Phƣơng trình (*) là phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S) tại
điểm M(x0; y0) trong trƣờng hợp tổng quát.
Để cho việc triển khai vào ứng dụng làm các bài tập thuận lợi, rễ học rễ
nhớ. Ngƣời ta đặt cho phƣơng trình (*) một cái tên là phƣơng trình tiếp
tuyến của đƣờng bậc hai viết bằng "Cơng thức phân đôi toạ độ"
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của bài toán tổng quát trên cho các đƣờng
bậc hai trong chƣơng trình THPT. Từ đó tìm ra điều kiện cần và đủ để
một đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai tƣơng ứng

5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong chƣơng trình THPT)
5.1 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRỊN
a) Phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại điểm M
Cho đƣờng tròn (C)và điểm M(x0; y0) nằm trên (C) vận dụng kết quả của
bài tốn tổng qt trên viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại M
Xét phƣơng trình đƣờng trịn cho ở hai dạng:
Dạng1: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình
2

2

Ax + Ay + 2Dx +2Ey + F = 0

A0

2
2

ĐK:  D    E   F  0
 A   C 

Phƣơng trình tiếp tuyến của (C) là ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ
độ" )

Ax 0 x  Ay 0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  0

Dạng 2: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2
Dùng "Công thức phân đơi toạ độ " cho ta phƣơng trình tiếp tuyến là:
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Đƣờng thẳng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0,
Đƣờng trịn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R (R > 0)
Ta có:

Phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại M là
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2

(l ) cũng là tiếp tuyến của (C) tại M khi và chỉ khi hệ số của hai đƣờng
thẳng tỉ lệ với nhau.
Bằng biến đổi đại số cho ta điều kiện là d(I; l) = R ( trong đó d là hàm
khoảng cách). Hoàn toàn đúng với kết quả mà ta đã biết.
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
5.2 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP
Trong chƣơng trình phổ thông sách giáo khoa chỉ mới đề cập đến phƣơng
trình đƣờng Elíp ở dạng chính tắc vì thế các vấn đề nghiên cứu đều thực
hiện trên phƣơng trình chính tắc. Trong bài viét này tôi mở rộng phạm vi
nghiên cứa Elíp ở dạng tổng quát và đầy đủ hơn, tất nhiên chỉ tập trung
cho chủ đề chính của bài dó là phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp.
a) Phương trình tiếp tuyến của Elíp tại điểm M
-Xét phƣơng trình Elíp ở hai dạng
Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
B0


A0


ĐK: 
hoặc
C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

B0


A0


C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

áp dụng Công thức phân đôi toạ độ :
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M trên Elíp là:
Ax 0 x  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y 0 )  F  0

Dạng 2: Phƣơng trình

( x  m) 2 ( y  n) 2

 1 Phƣơng trình tiếp tuyến với
a2
b2

Elíp tại điểm M thuộc Elíp là (áp Công thức phân đôi tạo độ )
( x0  m)( x  m) ( y 0  n)( y  n)

1
a2
b2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Elíp
(Ta chỉ cần xét trong trƣờng hợp E ở dạng chính tắc các trƣờng hợp cịn
lại sử dụng cơng thức đổi trục toạ độ chuyển về dạng chính tắc sẽ đơn
giản hơn nhiều)

Cho Elíp (E) có phƣơng trình:

x2 y2

1
a 2 b2

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

Đƣờng thẳng (l ) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng công thức phân đôi toạ độ cho ta phƣơng trình tiếp tuyến với E
tai điểm M(x0; y0) là

x0 x y 0 y
 2 1
a2
b

Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với E tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ là

A1 a 2
x

 0
x0
y0
1

C1




2 thay vào Phƣơng trình (E) cho ta điều kiện cần
2
2
B
b
C1
A1 a
B1b
1
y 

 0
C1

và đủ là: A12 a 2  B12 b 2  C12 (Kết quả này đã đƣợc trình bày trong sách giáo
khoa hình giải tích 12)
- Nhiệm vụ là bây giờ ta sẽ mở rộng cho đƣờng Elíp có phƣơng trình
( x  m) 2 ( y  n) 2

1
tổng quát
a2
b2

X  x  m
X2 Y2
 (E) : 2  2  1
a
b
Y  y  n

. Bƣớc 1: Đặt 

Đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1 = 0
(trong hệ toạ độ XIY thì E ở dạng chính tắc , nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở mục trên )
. Bƣớc 2:áp dụng điều kiện để đƣờng thẳng (l) là tiếp tuyến của (E) là
A12 a 2  B12 b 2  ( A1m  B1n  C1 ) 2

Chú ý : Đối với (E) có phƣơng trình dạng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

B0


A0

ĐK: 
hoặc
C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

B0


A0

Để tìm điều kiện cần

C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

và đủ cho đƣờng thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E)
về dạng tổng quát

( x  m) 2 ( y  n) 2

 1 và vận dụng công thức đã xây dựng

a2
b2

trên
5.2 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M trên (H)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
-Xét phƣơng trình Hypebol ở hai dạng


B0

2
2
Dạng1: Ax + Cy + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK: 
A.C  0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M(x0; y0) trên Elíp là:
áp dụng " Cơng thức phân đôi toạ độ" ta đƣợc
Ax0 x  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  0

Dạng 2: Phƣơng trình

( x  m) 2 ( y  n) 2


1
a2
b2

áp công thức phân đơi toạ độ, phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm
M thuộc Elíp là

( x0  m)( x  m) ( y 0  n)( y  n)

1
a2
b2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Hypebol
Tƣơng tự nhƣ phần 5.2. Ta chỉ cần xét trong trƣờng hợp (H ) ở dạng
chính tắc các trƣờng hợp cịn lại sử dụng Cơng thức đổi trục toạ độ đƣa
Hypebol về dạng chính tắc sẽ đơn giản hơn nhiều
Cho Hypebol (H) có phƣơng trình:

x2 y2

1
a2 b2

Đƣờng thẳng (l ) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" cho ta phƣơng trình tiếp tuyến
với Hypebol tại điểm M(x0; y0) là

x0 x y 0 y

 2 1
a2
b

Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với (H) tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ

A1 a 2
 x0 
x0
y0
1

C1
là



2 thay vào Phƣơng trình (H) cho ta điều
2
2
C1
A1 a
B1b
 y   B1b
 0
C1

Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

kiện cần và đủ là: A12 a 2  B12b 2  C12 ( Kết quả này đã đƣợc trình bày trong
sách giáo khoa hình giải tích 12)
- Ta sẽ mở rộng cho đƣờng Hypebol có phƣơng trình tổng qt
( x  m) 2 ( y  n) 2

1
a2
b2

X  x  m
X2 Y2
 (E) : 2  2  1
a
b
Y  y  n

. Bƣớc 1: Đặt 

Đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= 0
(Trong hệ toạ độ XIY thì (H) ở dạng chính tắc, nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở trên )
. Bƣớc 2: áp dụng điều kiện để đƣờng thẳng (l) là tiếp tuyến của E là
A12 a 2  B12 b 2  ( A1m  B1n  C1 ) 2

Chú ý : Đối với (H) có phƣơng trình dạng

Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0



B0

ĐK: 
A.C  0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

Để tìm điều kiện cần và đủ cho đƣờng thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp
tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát

( x  m) 2 ( y  n) 2

1
a2
b2

và vận

dụng cơng thức đã xây dựng trên
5.4 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA PARABOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M trên (P)
-Xét phƣơng trình Parabol ở các dạng
Dạng1: Dạng chính tắc

y2 = 2px

( với p > 0)

Điểm M(x0 ; y0) trên (P), phƣơng trình tiếp tuyến của (P) tại M là
Ngày 15 tháng 5 năm 2006

(P)


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ta đƣợc y0 y = p (x + x0)
Tƣơng tự cho các dạng cịn lại ta áp dụng Cơng thức phân đôi toạ độ rất
thuận lợi sẽ cho ta các kết quả
VD1: (P) có dạng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = 0 ĐK: CD  0)
M(x0 ; y0) trên (P). Phƣơng trình tiếp tuyến tại M là:
Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0
VD2: (P) có dạng y = ax2 + bx + c (a  0) Điểm M(x0 ; y0) trên (P)
Phƣơng trình tiếp tuyến tại M là:

y  y0
2

= ax0x  x0  x   c
b
2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Parabol
Phƣơng pháp xây dựng điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến
của Parabol tƣơng tự nhƣ phần xây dựng điều kiện cần và đủ để đƣờng
thẳng là tiếp tuyến của Elíp cho ta các kết quả sau:

Cho đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = 0
Dạng1: (P) có dạng y2 = 2px
Điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: 2A' C' = p.B12
Dạng2: (P) có dạng y2 = - 2px

( với p > 0)

Điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2A' C' = p.B12
Dạng3: (P) có dạng x2 = 2py

( với p > 0)

Điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B' C' = p.A12
Dạng4: (P) có dạng x2 = - 2py

( với p > 0)

Điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B' C' = p.A12
 Cy 2  2Dx  2Ey  F  0;
Chú ý: Nếu (P) ở dạng 
2
 Ax  2Dx  2Ey  F  0;

C.D  0
AE  0

Để tìm điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng (l) là tiếp tuyến của (P)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

ta sẽ làm nhƣ sau:
Bước1: Chuyển phƣơng trình Parabol về dạng
2

E
E2

;
 C y    - 2Dx - F 
C
C


2

D
D2

A
x



2Ey
F

;



A
A



C.D  0
AE  0

Bước2: Dùng công thức đổi trục toạ độ chuyển (P) về 1 trong 4 dạng đã
trình bày ở trên
Chuyển phƣơng trình của đƣờng thẳng (l) sang hệ toạ độ mới
Bước 3: Trong hệ toạ đô mới áp dụng điều kiện cần và đủ cho từng dạng
cụ thể cho ta kết quả.
Nhƣ vậy các bạn chú ý cho rằng đối với các đƣờng bậc hai khi xét chúng
ta nên xét chúng ở dạng chính tắc. Cịn những dạng phức tạp khác chúng
ta nên dùng công thức đổi hệ trục toạ độ để chuyển chúng về dạng chính
tắc và vận dụng công thức đã xây dựng trong phần đƣờng bậc hai xét ở
dạng chính tắc.
Kết luận 1:
Bằng phƣơng pháp giải tích ta đã xây dựng đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến
với đƣờng bậc hai nói chung và các đƣờng bậc hai đã nghiên cứu trong
chƣơng trình THPT nói riêng. Trên cơ sở đó đã vận dụng tìm điều kiện
cần và đủ để một đƣờng thẳng là tiếp tuyến của một đƣờng bậc hai cụ

thể đã xét trong chƣơng trình THPT.
PHẦN II.
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG TRƢỜNG HỢP TỔNG QUÁT

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1.ĐƢỜNG BẬC HAI:
F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bc hai
2. PHNG TRèNH TIP TUYN CA NG BC HAI.
Định nghÜa:

Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S). Nếu d cát (S) tai hai
điểm trùng nhau hoặc d nằm trọn vện trên đƣờng (S),
(Điểm trùng nhau nói đến trong định nghĩa đƣợc gọi là tiếp điểm)
Trên cở sở của định nghĩa trên ta sẽ đi xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến
của đƣờng bậc hai (S) tại một điểm nằm trên (S).
3. PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾT CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI
Cho đƣờng bậc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0
 x  x0  at
 y  y 0  bt

Điểm M(x0;yy0) trên (S) và đƣờng thẳng d có phƣơng trình 
(trong đó a,b khơng đồng thời bằng 0)
Xác định a,b để đƣờng thẳng d là tiếp tuyến của (S)
Xét phƣơng trình giao điểm của (S) và d


 x  x0  at



 y  y 0  bt
 Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0

 A( x0  at ) 2  2 B( x0  at )( y 0  bt )  C ( y 0  bt ) 2  2 D( x0  at )  2 E ( y 0  bt )  F  0
 Rt 2  Qt  P  0, (1)

P  A.a 2  2 Bab  Cb 2

Trong đó  Q  Aax0  B( ay0  bx0 )  Cby0  Da  Eb
 R  Ax 2  2Bx y  Cy 2  2Dx  2Ey  F
0
0 0
0
0
0


Do M  (S) nên ta có Ax 02  2Bx 0 y 0  Cy02  2Dx 0  2Ey 0  F  R = 0
nên ta có (1) trở thành Rt2 + Qt = 0 (2)
Để d là tiếp tuyến của (S) thì phƣơng trình (2) phải có hai nghiệm trùng
nhau. Cần và đủ là Q = 0  Aax0  B(ay0  bx0 )  Cby0  Da  Eb 
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

(Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = 0 (3)
Từ (3)
 Ax 0  By0  D  0
thì ta chọn a, b tuỳ ý.

 Bx0  Cy0  E  0

- Nếu

"Đối với các đƣờng bậc hai trong chƣơng trình THPT thì trƣờng hợp này
khơng xảy ra. vì đây là trƣờng hợp hàm bậc hai suy biến"
- Nếu

 Ax 0  By0  D  0
 Bx  Cy  E  0 thì ta chọn
0
 0

 b  Ax 0  By0  D

 a  ( Bx0  Cy0  E )

Khi đó phƣơng trình đƣờng thẳng d có dạng
(Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= 0

(4)

Đặt Fx(x0; y0) = Ax0 + B y0 + D và Fy(x0; y0) = Bx0 + C y0 + E
(4) trở thành : Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0)= 0

(5)

Vậy phƣơng trình (5) là phƣơng trình đƣờng thẳng d cũng là phƣơng
trình tiếp tuyến cuả đƣờng bậc hai (S) tại điểm M
Ta có thể biến đổi (4) về phƣơng trình:
(4)  Ax0x+ B(x0 y + y0 x) + Cy0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0

(6)

(Công thức phân đôi toạ độ)
"Hoàn toàn giống kết quả Phần I xây dựng bằng phƣơng pháp giải tích."
4. VẬN DỤNG VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI
TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT

* §-êng trßn:
Dạng: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình
A0

2
2

Ax + Ay + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK:  D    E   F  0 , M(x0; y0)  (C).
 A   C 
2

2

Ta có: Fx(x0; y0) = Ax0 + 0 y0 + D và Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E
áp dụng phƣơng trình (5) cho ta phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tai M là:
Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = 0
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
 (Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) = 0
 Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0

Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng trịn (C) là:
Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0
Tƣơng tự cho đƣờng trịn có phƣơng trình
(C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 Điểm M(x0; y0)  (C)
Phƣơng trinhg tiếp tuyến với (C) tại M là :
(x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2
* Đối với các đƣờng Elíp, Hypebol và Parabol ta để viết phƣơng trình
tiếp tuyến với các đƣờng ta cũng thực hiện hoàn toàn tƣơng tự nhƣ
phƣơng trình đƣờng trịn. Tức là bằng cách áp dụng phƣơng trình (5)
hoặc phƣơng trình (6) sẽ cho ta kết quả ngắn gọn.
* Giống nhƣ Phần I việc xây dựng điều kiện cần và đủ để một đƣờng
thẳng là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai. Kết quả cho ta hoàn toàn nhƣ kết
quả đã xây dựng trong Phần I.
Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phƣơng pháp đại số ta cũng xây dựng
đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai tại một điểm nằm trên
nó trong trƣờng hợp tổng quát và thiết lập đƣợc điều kiện cần và đủ để
một đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai
VII. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

- Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng đƣợc phƣơng trình

tiếp tuyến của một đƣờng bậc hai trong trƣờng hợp tổng quát và tìm đƣợc
điều kiện cần và đủ để một đƣờng thẳng là tiếp tuyến của một đƣờng bậc
hai trong các trƣờng hợp của đƣờng bậc hai đã xét trong chƣơng trình
THPT.
- Kết quả xây dựng đƣợc có thể vận dụng trực tiếp vào giải quyết các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến của đƣờng bậc hai ở bậc THPT một cách
đơn giản và tất nhiên hiệu quả trông thấy.
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

- Vấn đề này đã giải quyết đƣợc nhiều vƣớng mắc trong lí luận và nhận
thức về đƣờng bậc hai . Đặc biệt là vấn đề phƣơng trình tiếp tuyến.
- Nghiên cứu trong một tổng thể tƣơng đói hồn chỉnh về một đối tƣợng
hình học trên cỏ sở của đại số và giải tích sẽ mở ra cho các bạn học sinh
một tầm nhìn mới khơng chỉ cho việc vận dụng thực hành mà còn cho
nhận thức tổng quan về sự qua lại giữa các đối tƣợng trong một chỉnh thể
hoàn chỉnh đó là khoa học tự nhiên.
- Tốn học thật thú vị, càng tìm hiểu ta càng phát hiện ra những điều thật
bí ẩn và hấp dẫn. Đơi khi nó khơng q khó q bí hiểm nhƣ lâu nay ta
vẫn nghĩ, cái khó đơi khi lại là cái rất gần ta mà ta chƣa khám phá ra.
Mong rằng với lòng nhiệt tình và tình u tốn học, chúng ta sẽ phát hiện
ra nhiều những điều lí thú và hữu dụng về toán học .
Hoằng Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2006
Ngƣời viết:

Giáo viên : Lê Văn Chí

Ngày 15 tháng 5 năm 2006