Luan van KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG CAO VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ ĐÌNH THANH

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG
TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG
CAO VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ ĐÌNH THANH

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG TRONG
SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG CAO
VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP
DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60. 14. 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

TS. CHU TRỌNG THANH

NGHỆ AN - 2013


Lời cảm ơn
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài Luận
văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS.
Chu Trọng Thanh.
Tác giả xin chân thành biết ơn TS. Nguyễn Văn Thuận và TS. Nguyễn
Đinh Hùng đã nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến sắc đáng, thiết thực để
hoàn chỉnh Luận văn.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy
cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán.
Xin trân trọng gửi tới các thầy cô lời biết ơn chân thành và sâu sắc của
tác giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ
Toán trường THPT Đô Lương 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực
hiện đề tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác
giả thêm nghị lực hoàn thành tốt Luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc.
Xin trân trọng cảm ơn!
Nghệ An, tháng 10 năm
2013
Tác giả

iii
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU............................................................................................................

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn............................................................
1.1. Một số vấn đề về năng lực và năng lực giải toán cho học sinh..................
1.1.1. Khái niệm năng lực........................................................................
1.1.2. Khái niệm năng lực toán học .........................................................
1.1.3. Năng lực giải Toán.........................................................................
1.1.4. Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp
giải toán của học sinh THPT............................................................................
1.2. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học..................................................
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học..................................
1.2.2. Các chức năng của bài tập toán....................................................
1.2.3. Phân loại bài tập toán...................................................................
1.2.4. Dạy học giải bài tập toán học.......................................................
1.3. Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực giải
toán cho học sinh.............................................................................................
1.3.1. Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp....................
1.3.2. Bồi dưỡng tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học toán........
1.4. Thực trạng việc dạy học giải toán ở trường phổ thông hiện nay..............
1.5. Kết luận chương I.....................................................................................
Chương 2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh thông qua việc khai thác các bài toán về tam diện
vuông...........................................................................................
2.1. Một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức..................................
2.1.1. Năng lực chuyển hoá nội dung và hình thức bài toán để phát
hiện mối liên hệ với các kiến thức đã có.........................................
2.1.2. Năng lực khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá, xét trường

hợp đặc biệt có thể.........................................................................


iv
2.2. Một số biểu hiện của năng lực giải toán thể hiện qua hoạt động khám
phá bài toán mới từ các bài toán cơ bản..............................................................
2.2.1. Đề xuất bài toán tương tự..............................................................
2.2.2. Đề xuất bài toán tổng quát...........................................................
2.3.

Một số biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh
thông qua việc khai thác bài toán về tam diện vuông..................

2.3.1 Một số định hướng đề ra các biện pháp sư phạm...........................
2.3.2. Một số biện pháp............................................................................
2.4. Kết luận chương 2...........................................................................
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm..............................................................101
3.1. Mục đích thực nghiệm............................................................................101
3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm...........................................................101
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm.................................................................101
3.2.2. Nội dung thực nghiệm...............................................................101
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm................................................................102
3.3.1. Đánh giá định tính......................................................................102
3.3.2. Đánh giá định lượng...................................................................103
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm..............................................................106
KẾT LUẬN....................................................................................................107
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................108


v

BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

BĐT
DH
ĐC
ĐPCM
HS
KG
LTKT
GD
GTLN
GTNN
GV
SGK

TN
THPT

Bất đẳng thức
Dạy học
Đối chứng
Điều phải chứng minh
Học sinh
Không gian
Lý thuyết kiến tạo
Giáo dục
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Giáo viên
Sách giáo khoa
Thực nghiệm
Trung học phổ thông


1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:

Một thực tế đang diễn ra khá phổ biến hiện nay là năng lực
giải toán hình học không gian của học sinh còn chậm. Nhiều học
sinh không nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học không gian.
Có những học sinh có thể làm được những bài toán cơ bản và đơn
giản ở trong sách giáo khoa nhưng lại không thể làm được những
bài toán phức hợp hơn do sự tổ hợp của những bài toán đơn giản đó
với nhau. Tình trạng học sinh không hiểu bản chất của vấn đề,

không nắm vững các mối liên hệ giữa các yếu tố trong tình huống
bài toán, chỉ biết vận dụng một cách máy móc mà không biết vận
dụng linh hoạt vào bài toán cụ thể đang là phổ biến. Điều này dẫn
đến thực tế nhiều học sinh ngại giải toán hình học không gian, thậm
chí có học sinh còn sợ và còn mất bình tĩnh khi đứng trước yêu cầu
giải toán hình học không gian.
Xu hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay
là phát huy, bồi dưỡng năng lực tư duy tích cực, sáng tạo của học
sinh, bồi dưỡng cho họ chủ động tham gia vào các hoạt động khám
phá, nhận thức trong quá trình tương tác sư phạm của lớp học. Dạy
học không chỉ giới hạn trong khuôn khổ cung cấp kiến thức cho học
sinh mà điều quan trọng hơn phải là bồi dưỡng cho họ khả năng vận
dụng, khai thác các tri thức đã biết để xây dựng nên những tri thức
mới hữu ích cho mỗi người, tạo tiền đề cho quá trình học tập sau
này. Có thể hình dung nhiệm vụ của người thầy giáo trong dạy học
là tổ chức cho học sinh hoạt động để kiến tạo nên cho các em có
kiến thức cơ bản, tổ chức các tình huống để học sinh biết cách vận


2

dụng những kiến thức đó vào giải các bài toán quen thuộc và giải
các bài toán liên quan, tập dượt sử dụng các thao tác tư duy để
chuyển các bài toán phức tạp về những bài toán đơn giản hơn, quen
biết hơn và từng bước giải quyết được những bài toán khó. Muốn
làm được điều đó, người giáo viên phải vận dụng các phương pháp
khác nhau, định hướng cho học sinh hoạt động tích cực trong quá
trình khai thác các kiến thức đã học, nhận ra các mối liên hệ biện
chứng trong các hệ thống kiến thức toán học, kích thích sự tìm tòi,
tính tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạo của mỗi học sinh. Người

giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng một bài toán nêu ra liên
quan đến những kiến thức đã được học, biết phát triển từ bài toán đã
biết thành bài toán mới và ngược lại, biết phân tích, so sánh và tổng
hợp các bài toán riêng để dẫn tới các bài toán mới phong phú, đa
dạng và khó hơn.
Các bài toán về tam diện vuông trong chương trình Hình học
11- Nâng cao tạo nên một hệ thống vừa có mối liên hệ bên trong,
vừa có mối liên hệ bên ngoài với nhiều dạng bài toán khác nhau. Có
thể khai thác hệ thống các bài toán về tam diện vuông như một công
cụ bồi dưỡng tư duy, phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Tuy
nhiên trong thưc tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông hiện nay
tình trạng chung là chỉ dừng lại ở những bài toán cơ bản như trong
sách giáo khoa hay sách bài tập mà chưa chú ý khai thác sâu bài
toán loại này như một cầu nối để giải quyết các bài toán thuộc
những chủ đề khác.
Kết hợp giữa nhận thức lý luận thu nhận được qua quá trình
học tập sau đại học với thực tiễn dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi


3

toán ở trường trung học phổ thông trong những năm qua, chúng tôi
chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “Khai thác các bài toán về tam
diện vuông trong sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao vào
việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh”.
II. Mục đích nghiên cứu
Bồi dưỡng tư duy và năng lực giải toán cho học sinh thông qua
việc khai thác các bài toán hình học không gian thuộc chủ đề tam
diện vuông, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở
trường trung học phổ thông.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tổng hợp các vấn đề lí luận về quá trình nhận thức, quá trình tư
duy trong học và giải toán của học sinh.
2. Làm rõ hệ thống kiến thức và yêu cầu dạy học nội dung Hình học
không gian và tiềm năng của bài toán về tam diện vuông trong việc
phát triển năng lực giải toán của học sinh.
3. Đề xuất một số định hướng và giải pháp sư phạm khai thác bài
toán: Tam diện vuông vào hình thành và phát triển năng lực giải
toán cho học sinh.
4. Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán.


4

- Nghiên cứu nội dung kiến thức và các hoạt động nhận thức liên
quan đến kiến thức tam diện vuông.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu các vấn đề về năng lực tự học toán thông qua dạy học
giải toán Tam diện vuông.
- Khảo sát thực tế tại trường THPT Đô Lương 1, huyện Đô Lương
-tỉnh Nghệ An;
V. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm
4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

VI. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học giải toán ở trường trung học phổ thông nếu giáo
viên quan tâm đến việc khai thác các dạng toán nói chung, các dạng
toán về tam diện vuông nói riêng và thiết kế, tổ chức các hoạt động
theo các định hướng thích hợp thì sẽ bồi dưỡng được năng lực giải
toán cho học sinh, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy
học môn toán.
VII. Đóng góp của luận văn
1. Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư
liệu về quá trình nhận thức và dạy học giải toán, làm thành một tài
liệu tham khảo trong công tác chuyên môn.


5

2. Phân tích nội dung chủ đề tam diện vuông và hệ thống hóa các
dạng toán điển hình về tam diện vuông, qua đó tạo ra một tài liệu
mang tính chuyên đề về một hệ thống kiến thức thuộc hình học
không gian trong chương trình môn toán trung học phổ thông.
3. Thiết kế một số định hướng và giải pháp khai thác bài tập tam
diện vuông vào bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh trong dạy
học giải toán.


6
Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề về năng lực và năng lực giải toán cho học sinh.
1.1.1. Khái niệm năng lực
Qua kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học

cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động.
Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng,
kĩ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng
mới với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên
trong để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong
học tập và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định.
Sau đây là một số cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người
khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của
con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện
cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó.
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người
đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó.
Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và
do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định
nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).
Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng
tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ ...
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều
thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất


7
riêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân
thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.
Tóm lại, năng lực khá trừu tượng trong tâm lí học. Tuy còn có những

cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thống
nhất rằng:
- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có năng lực cần phải
có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất
định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
- Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về năng lực, xét từ phương diện
giáo dục, chúng ta có thể hiểu rằng:
- Năng lực thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh
hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn
chế còn do những điều kiện khác của môi trường sống.
- Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội
(ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển
được, nếu không sẽ bị thui chột. Do vậy năng lực không chỉ là yếu tố bẩm
sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt
động cụ thể.
- Nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cơ thể của
con người.
- Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những
hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời năng lực
còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm.


8
- Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập
và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm.

1.1.2. Khái niệm năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2
mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng
lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học
một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp
lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh
các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc
đáo cho những bài toán không mẫu mực ... Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ
rất nhỏ. Với việc nghiên cứu khái quát, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng
lực toán học theo góc độ thứ nhất:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá
nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động
toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho
việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và
kỹ xảo toán học.
Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm
tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu
cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì
là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo


9

toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.
Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông
minh trong việc học toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm
được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh
này qua học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi:
Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển
trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán
học. Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao
dần về mặt năng lực toán học. Về vấn đề này nhà toán học Xô viết nổi tiếng,
Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh
trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung
học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.
1.1.3. Năng lực giải toán
1.1.3.1. Khái niệm
Theo Tâm lý năng lực toán học của V. A. Cruchetxki: “Những năng lực
toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc
điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập
toán, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự
thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là
một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những
kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”.
Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực toán học, được hình
thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán. Do đó,
năng lực giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao
yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh

10
nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi
dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
1.1.3.2. Bản chất của năng lực giải toán
Năng lực giải toán gồm có các thành tố :
- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán. Đối với các bài toán là vấn
đề thì xác định rõ vấn đề trong các tình huống cần phải giải quyết, luôn nhìn
bài toán ở nhiều góc độ và tìm tòi các hướng giải mới lạ.
- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, xử
lý sự liên kết, phối hợp các tình huống bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần
giải quyết. Đề ra chiến lược giải và hoàn tất việc giải quyết bài toán một cách
thích hợp đi đến kết quả của tiến trình giải toán. Phân tích, nghiên cứu, đánh
giá kết quả của tiến trình giải toán.
- Có khả năng tiên liệu các tình huống bài toán sẽ nảy sinh cùng với các
chiến lược giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp, đây là quá trình thu
nhận hợp thức hoá bài toán.
Các môn học ở trường THPT đều huy động đến năng lực giải toán trong
quá trình tiếp thu kiến thức mới. Dạy học giải toán với tư cách là một nghệ
thuật, dù ở môn học này hay môn học khác đều phải đòi hỏi học sinh và giáo
viên có sự linh hoạt, mềm dẻo trong tư duy dựa trên cơ sở có sự hiểu biết
xuyên suốt về bản chất của năng lực giải toán.
1.1.3.3. Các thành phần của năng lực giải toán
Các thành phần của năng lực giải toán gồm cả 3 lĩnh vực: Lĩnh vực
nhận thức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ. Ba lĩnh vực kết cấu này được
cụ thể hóa thành các thành tố và các mối liên hệ giữa chúng, tạo nên một cấu
trúc của năng lực giải toán gồm:
- Lĩnh vực cảm xúc :
Có khát vọng giải được bài toán thể hiện ở sự kiên trì về mặt ý chí và
hứng thú, say mê trong giải toán nói riêng và học toán nói chung.
- Lĩnh vực nhận thức :

11
+ Có năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong giải
toán: Hiểu bài toán (thu nhận, chế biến, lưu trữ thông tin... ), lĩnh hội nhanh
chóng tiến trình giải một bài toán và các tri thức trong tiến trình giải toán.
+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bài toán, có khả
năng xây dựng mô hình toán học, xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến
thuật giải một bài toán.
+ Có năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề mới trong các vấn đề
quen thuộc. Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, thu nhận hợp thức
hóa bài toán thành tri thức của người dạy toán.
- Lĩnh vực trí tuệ :
+ Có năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống
hóa kiến thức về giải toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên
hướng về thao tác với các số liệu về giải toán: Ký hiệu dấu, số, dữ liệu điều
kiện, giả thiết, kết luận...
+ Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo. Có
tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải toán.
Tập hợp các thành phần của năng lực giải toán là một thể thống nhất.
Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ và ảnh hưởng lẫn nhau, tạo thành
một hệ thống, một cấu trúc của năng lực giải toán; việc phân tách thành 3 lĩnh
vực cụ thể cũng chỉ nhằm để hiểu rõ sâu sắc hơn chứ không xem xét chúng
một cách tách biệt nhau. Trong các thành phần nêu trên thì năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề là năng lực đặc thù, là một bộ phận quan trọng của năng
lực giải toán. Nắm được điểm then chốt này có tác dụng quyết định trong việc
rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trong quá trình lĩnh hội tri thức .
1.1.3.4. Đặc trưng của năng lực giải toán
Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu
để phân biệt với các năng lực khác, gồm :

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc
lập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến


12
trình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho
và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu.
- Năng lực giải toán luôn thể hiện ở "trạng thái động" bởi tính linh hoạt,
mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương thức khác nhau để giải
bài toán.
Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực giải toán :
+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra
(đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán).
+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp
giải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp
đó để hoàn tất tiến trình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chất
của năng lực giải toán,vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của năng lực
giải toán).
+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy
sinh các vấn đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc
"phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán, (điều
này thể hiện năng lực giải toán ở học sinh khá giỏi).
1.1.4. Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp
giải Toán của HS THPT
1.1.4.1. Ảnh hưởng của ý thức học tập, khát vọng hiểu biết của người
học và động cơ nhận thức của bản thân HS
Ý thức là một trong hai phạm trù thuộc vấn đề cơ bản của triết học. Nó
là hình thức cao của sự phản ánh của thực tại khách quan, hình thức mà riêng
con người mới có. Ý thức của con người là cơ năng của cái “khối vật chất đặc
biệt phức tạp mà người ta gọi là bộ óc con người” (Lênin). Tác động của ý

thức học tập đối với chất lượng học tập là vô cùng to lớn. Nó không những là
kim chỉ nam cho hoạt động mà còn là động lực của thực tiễn. Sự trưởng thành
hay sai sót của HS phụ thuộc vào vai trò chỉ đạo của ý thức.


13
Ý thức học tập, khát vọng hiểu biết và động cơ nhận thức có ý nghĩa
quyết định trong quá trình hình thành và phát triển năng lực phát hiện phương
pháp giải toán của HS. Suy cho cùng, chất lượng học tập phải là kết quả trực
tiếp của sự nỗ lực của chính bản thân người học. Nếu người học không xác
định được vai trò quyết định của mình trong sự thành bại của sự học thì không
bao giờ thành công. Chỉ khi đã xác định được mục đích và động cơ học tập
đúng đắn, HS mới có thể phát huy được "nội lực" trong học tập, từ đó kết hợp
các yếu tố "ngoại lực" khác để tổ chức các hoạt động diễn ra một cách hợp lý
và thu được kết quả cao.
1.1.4.2. Ảnh hưởng của vốn tri thức hiện có của bản thân HS, đặc biệt là
tri thức phương pháp
Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụ khác.
Cơ sở không nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa
là nếu HS không vốn tri thức tương đối thì không thể thực hiện được các
nhiệm vụ khác. Tuy nhiên chúng ta tránh tình trạng gia tăng khối lượng tri
thức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho HS. Để việc học có hiệu quả thì người
học dưới sự dẫn dắt của người thầy phải tự trang bị cho mình vốn kiến thức
tối thiểu đủ để có thể tự nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương pháp
giải Toán.
Với tư cách là cơ sở của giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết
với việc thực hiện các nhiệm vụ môn toán. Đặc biệt những tri thức phương
pháp liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kỹ năng, những tri thức giá trị
(đánh giá vai trò của một hoạt động, tầm quan trọng của một tri thức…) nhiều
khi có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tới

việc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ.
“Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về
bản chất: Những phương pháp có tính chất thuật toán (ví dụ phương pháp giải
phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳng
hạn phương pháp tổng quát của Pôlia để giải bài tập toán học)”


14
1.1.4.3. Ảnh hưởng của năng lực trí tuệ và tư duy
GS. TS. Nguyễn Cảnh Toàn đã từng phát biểu trong cuốn Tạp chí cho
HS làm quen dần với nghiên cứu Toán học (1992, tr.5): "Ở những điểm "nốt"
có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có khi người làm Toán cần tư duy
hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay bổng, thật táo bạo như là với
một nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thần thoại. Để phát hiện ra vấn đề,
nhiều khi người làm Toán cũng cần có óc thẩm mỹ để thưởng thức cái đẹp
trong Toán học, và từ chỗ thưởng thức cái đẹp đó mà có ý muốn đi sâu vào
cái thâm thía bên trong".
1.1.4.4. Ảnh hưởng của phương pháp dạy của GV
Theo Nguyễn Bá Kim [12, tr.6], "Phương pháp dạy học là cách thức
hoạt động và ứng xử của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu của trò
nhằm đạt được các mục đích dạy học". Do đó, có thể thấy rằng phương pháp dạy
học của GV có ảnh hưởng rất lớn đến sự hình thành và phát triển năng lực phát
hiện phương pháp giải toán của HS.
- Không ai khác, GV chính là người truyền lửa đam mê đến các em HS,
hướng dẫn, định hướng HS cách học từ việc nắm vững các khái niệm, phát
hiện và chứng minh các định lí, phát hiện phương pháp giải và giải các bài
toán…, điều này làm cho HS ý thức được những mục đích đặt ra và tạo được
động lực bên trong giúp HS học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
“… Nếu người thầy khêu gợi được trí tò mò của HS bằng cách ra cho HS
những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng cách đặt ra những

câu hỏi gợi ý hợp lý, thì người thầy có thể mang lại cho họ cái hứng thú của
sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” – G.Pôlia [21,
tr.6]. "Anh không thể dạy cho con người bất kỳ điều gì, mà anh chỉ có thể
giúp người ấy tự tìm ra chân lý" (Galilê).
- Chúng ta có thể xem quá trình dạy và học thông qua ba tầng tiếp thu
của HS như sau:


15
+ Tầng 1, tiếp nhận thông tin. Khi ấy thầy giảng, trò nghe và ghi nhớ.
Trò cần học thuộc với hy vọng sử dụng kiến thức đó để làm những bài tập
gần sát với những điều thầy dạy.
+ Tầng 2, sự trao đổi thông tin và tạo thông tin mới. Khi ấy thầy và
trò có sự trao đổi trong quá trình dạy và học nhằm bám sát những kiến thức
trọng tâm, giúp trò sau này dễ dàng vận dụng được những điều đã học vào
những môi trường (những bài toán mới, những dạng toán mới…) hết sức đa
dạng.
+ Tầng 3, rèn luyện cách tiếp cận, hình thành phương pháp tư duy
sáng tạo. Trong quá trình giảng bài với những bài học khác nhau, người thầy
phải chọn những nội dung để kết cấu thành hệ thống bài giảng nhằm từng
bước hình thành một phương pháp tư duy, tạo nên kỹ năng sáng tạo cho trò.
Kết quả là trò sẽ có phương pháp tiếp cận thực tế độc đáo và hiệu quả, có kỹ
năng giải quyết vấn đề mức cao.
Như vậy, điều hết sức quan trọng mà thầy cần rèn cho trò là phương
pháp tiếp cận thông tin, quan sát và nhận dạng vấn đề, hình thành những nhận
thức mới.
1.1.4.5. Ảnh hưởng của phương pháp học tập của HS
Phương pháp học của HS là một hệ thống những kỹ năng mang tính cá
nhân cao. Tính cá nhân ở đây bị chi phối bởi nhân cách, mục đích học, tương
quan của HS đó với môi trường xã hội. Đây là yếu tố làm cho phương pháp

học không thể rập khuôn từ HS này sang HS khác. "Phương pháp học tốt giúp
ta phát huy được tài năng vốn có, phương pháp học không tốt sẽ cản trở phát
triển tài năng" (Penne, nhà sinh lý học người Pháp).
Thuyết phát triển mac-xit cho rằng con người không phải là khách thể thụ
động của những yếu tố phát triển của nó, không phải là kết quả cơ học của di
truyền bẩm sinh, của môi trường hay của sự phát triển chung của hai yếu tố đó.
Theo thuyết này, con người tự tạo ra nhân cách của mình chủ yếu là bằng hoạt
động tương tác tích cực với các điều kiện bên ngoài. Nhưng các điều kiện này


16
không tác động trực tiếp mà tác động gián tiếp thông qua hoạt động của cá nhân
làm hình thành nên nhân cách và từng thuộc tính của nhân cách đó.
Theo A.D. La Garandrie (dẫn theo Bùi Văn Nghị (2003), Đổi mới cách
viết sách giúp người tự học tích cực" Tạp chí GD, (50), tr.123) mỗi người có
thể có một vài hoặc tất cả các hoạt động trí óc. Có người có thể học thuộc
lòng dễ dàng chỉ sau một vài lần lặp lại, nhưng có người dù lặp lại nhiều lần
nhưng mỗi lần cần đến kiến thức đó lại phải tra cứu lại. Ngược lại có người
tuy không nhớ máy móc được nhưng lại có óc lôgíc khá nhạy, họ có thể hay
quên các công thức nhưng mỗi lần cần nhớ đến, họ có thể suy ra từ các công
thức đã nhớ khác để nhớ lại công thức này, các thói quen này ảnh hưởng rất lớn
đến việc học tập của mỗi người.
Vì vậy, trong quá trình dạy học, đặc biệt là hoạt động dạy HS giải toán,
người thầy không nên ép buộc HS phải suy nghĩ theo thói quen suy nghĩ của
mình. Mặt khác, cần chú ý bồi dưỡng, phát triển các thói quen chưa có hay
còn yếu (như: thói quen gợi lại những cái cụ thể đã gặp, thói quen ghi nhớ,
thói quen suy luận lôgíc, thói quen tưởng tượng sáng tạo…) của các em, từ đó
cũng góp phần hình thành phương pháp học tập nói chung, phương pháp giải
toán nói riêng cho các em.
1.2. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học

1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải
bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt
động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học,
những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [12] thì vai trò của bài tập Toán
được thể hiện trên các bình diện sau:
+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó


17
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
+ Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã
được trình bày trong phần lí thuyết.
+ Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự

giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao
lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,...Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,...Và một bài tập cụ thể có thể
nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
1.2.2. Các chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,
trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập
toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của


18
phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh có thể coi
việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập
toán có những chức năng sau:
1) Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để
dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định
lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài
tập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
2) Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Qua
những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất
thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc
sống chiến đấu và xây dựng tổ quốc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số

phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện
được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật,
năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn,
tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.
3) Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển tư duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.
4) Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học
Toán và trình độ phát triển của học sinh cũng như khả năng vận dụng kiến
thức đã học. Trong việc lựa chọn bài tập toán và hướng dẫn học sinh giải bài
tập toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của các
bài tập toán đó.


19
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến việc phát
huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm
nhiều bài tập toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài
tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán.
Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm.
Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên
nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm,
giả thiết hay kết luận của định lý, ...
+ Sai sót về phương pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.

- Lời giải đơn giản nhất.
1.2.3. Phân loại bài tập toán
Đứng trước một bài toán, hầu hết những người làm toán thường đặt ra
câu hỏi: “Bài toán này thuộc kiểu nào?”, và từ đó dẫn tới câu hỏi: “Có thể áp
dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?”. Điều đó nói lên sự cần thiết
phải phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng
kiểu, có thể giúp ích cho ta khi giải toán.
1. G.Polya trong [21] đã phân loại các bài toán theo nghĩa rộng thành
hai kiểu: những bài toán tìm tòi và những bài toán chứng minh. Các bài tập
toán về phương trình và bất phương trình thuộc kiểu bài toán tìm tòi.
a, Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm
tòi là tìm ra (dựng, thu được, xác định…) một đối tượng nào đó, tức là tìm ra
ẩn số của bài toán.
Ẩn có thể thuộc những phạm trù hết sức khác nhau. Trong các bài toán
hình học về dựng hình, thì ẩn là một hình, trong khi giải phương trình đại số,