Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

MỤC L ỤC
Mục lục..................................................................................................1
A. MỞ ĐẦU..........................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài................................................................................2
2- Mục đích nghiên cứu.........................................................................2
3- Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...................................2
4- Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................2
5- Phương pháp nghiên cứu ..................................................................3
B. NỘI DUNG ......................................................................................3
1- Định hướng chung ............................................................................3
2- Phần cụ thể .......................................................................................4
2.1- Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu
không
cân
bằng:
.......................................................................................................................
4
2 .2- Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu ................7
2.2.1- Phương pháp chuyển mạch .........................................................8
2.2.2- Phương pháp dùng công thức định luật Ôm ...............................9
2.3- Phương pháp giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện
thế
trong
mạch
cầu
.......................................................................................................................
11
2.4- Bài toán mạch cầu dây....................................................................15
2.4.1- Phương pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây..........15
2.4.2- Các bài toán thường gặp về mạch cầu dây .................................16
C. KẾT QỦA NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỀ TÀI...........19

D. TRIỂN VỌNG CỦA ĐỀ TÀI ..........................................................19
E. KẾT LUẬN ......................................................................................20


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

2


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
MT S PHNG PHP GII BI TON MCH CU IN TR
A. M U
1. Lý do chn ti
Bi toỏn v mch cu in tr l mt ni dung quan trng thng gp trong
chuyờn BDHSG phn in hc. Thụng thng HS nm chc quy tc chuyn
mch v vn dng lm tt cỏc bi tp v quy tc chuyn mch t n gin n
phc tp, tuy nhiờn khi gp bi toỏn v mch cu thỡ HS gp phi khú khn lỳng
tỳng khụng th túm tt c mch in tỡm in tr tng ng ca mch
cng nh tỡm cỏc i lng khỏc (U, I) trong mch. c bit khi trong mch cu cú
s tham gia ca ampe k hay vụn k thỡ vic tớnh toỏn s ch ca ampe k v vụn
k cng nh bin lun giỏ tr ca cỏc in tr s ch ca ampe k v vụn k t
mt giỏ tr xỏc nh cho trc l mt bi toỏn phc tp i vi HS. Vỡ vy, vic
tng hp, khỏi quỏt thnh phng phỏp gii i vi bi toỏn mch cu in tr l
mt chỡa khoỏ giỳp HS bin bi toỏn mch cu phc tp thnh nhng bi toỏn n
gin, cú li i riờng mt cỏch rừ rng, t ú d dng vn dng vo gii cỏc bi tp
trong chuyờn in hc. Vic nm vng phng phỏp gii bi toỏn mch cu
in tr s giỳp HS lm tt cỏc bi toỏn cú liờn quan n mch cu, ng thi nõng

cao cht lng bi dng chuyờn in hc núi riờng cng nh cht lng i
tuyn HSG vt lớ núi chung.
Vi nhng lớ do trờn, tụi chn ti "Mt s phng phỏp gii bi toỏn
mch cu in tr".
2. Mc ớch nghiờn cu
Tỡm ra phng phỏp gii bi toỏn tỡm in tr tng ng ca mch cu,
tỡm cỏc i lng U, I ca mi in tr trong mch. Phng phỏp gii bi toỏn v
mch cu dõy phc v cụng vic hc tp chuyờn in hc ca HS trong i
tuyn HSG mụn vt lớ nhm gúp phn nõng cao cht lng i tuyn.
3. Khỏch th, i tng v phm vi nghiờn cu
Khỏch th : ni dung, chng trỡnh, phng phỏp dy hc v quỏ trỡnh bi
dng HSG.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

3


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
i tng : Cỏc bi tp v mch cu trong chuyờn in hc.
Phm vi : ch dng li vic nghiờn cu v khai thỏc mt s bi tp c bn
trong ni dung chng trỡnh bi dng HSG vt lớ; cỏc bi tp v mch cu cõn
bng, khụng cõn bng, mch cu dõy.
4. Nhim v nghiờn cu
t c mc ớch nghiờn cu nờu trờn, tụi ra cỏc nhim v sau :
+ Nghiờn cu c s lớ lun v Bi tp vt lớ trng ph thụng.
+ Nghiờn cu v khai thỏc mt s bi tp c bn trong chuyờn bi dng
HSG chuyờn in hc.
+ Thit k v xõy dng cỏc bi tp mu v mch cu trong chng trỡnh bi

dng HSG mụn Vt lớ.
+ Nghiờn cu hiu qu ca vic ỏp dng phng phỏp gii bi toỏn mch cu
in tr vo quỏ trỡnh bi dng HSG.
5. Phng phỏp nghiờn cu
thc hin cỏc nhim v nghiờn cu nờu trờn, tụi thc hin cỏc phng
phỏp nghiờn cu sau :
+ Nghiờn cu lý thuyt : tng quan cỏc ti liu v lớ lun DH ; cỏc vn bn ch
o v i mi, nõng cao cht lng dy hc trng ph thụng; cỏc sỏch bi tp
nõng cao, cỏc bi tp chuyờn chn.
+ T vic nghiờn cu lớ thuyt la chn cỏc bi tp c bn, in hỡnh cho mi
dng sau ú tng hp thnh phng phỏp gii cho mi dng trong bi toỏn v
mch cu in tr.
+ p dng vo quỏ trỡnh dy bi dng i tuyn HSG
B. NI DUNG
1. nh hng chung:
Bi tp v mch cu in tr rt a dng v phong phỳ. gii cỏc bi tp
loi ny ch dựng kin thc v nh lut ụm thỡ cha . Mun lm tt cỏc bi tp
v mch cu cn phi nm vng cỏc kin thc sau:
1.1 - K nng phõn tớch mch in

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

4


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
1.2 - nh lut ụm cho on mch cú in tr R:

I=

U
R

1.3 - Cỏc tớnh cht ca mch in cú cỏc in tr mỏc ni tip, mc song song.
1.4 - Cỏc cụng thc bin i hiu in th ( nh cụng thc cng th, phộp chia th
t l thun).
1.5 - Cỏc cụng thc bin i cng dũng in (nh cụng thc cng dũng in,
phộp chia dũng t l nghch).
1.6 - Cụng thc chuyn mch t mch sao thnh mch tam giỏc v ngc li.
1.7 - Cỏch mc v vai trũ ca cỏc dng c o vụn k v ampe k trong mch.
1.8 - nh lut Kic Sp.
ỏp dng vo vic gii bi tp v mch cu in tr trong ti ny, tụi s
trỡnh by cỏc vn sau:
a- Khỏi quỏt v mch cu in tr, mch cu cõn bng v mch cu khụng cõn
bng
b- Phng phỏp tớnh in tr ca mch cu tng quỏt.
c- Phng phỏp xỏc nh cỏc i lng hiu in th v cng dũng in trong
mch cu.
d - Bi toỏn v mch cu dõy:
* Phng phỏp o in tr bng mch cu dõy.
* Cỏc loi bi toỏn thng gp v mch cu dõy.

2. Phn c th:
2.1 - Khỏi quỏt v mch cu in tr, mch cu cõn bng v mch cu
khụng cõn bng:
- Mch cu l mch dựng ph bin trong cỏc phộp o chớnh xỏc phũng thớ
nghim in.

Nguyễn Anh Minh

Trờng THCS Kiến Giang

5


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
- Mch cu c v nh (Hỡnh 1) v (Hỡnh 2)

(Hỡnh 1)

(Hỡnh 2)

- Cỏc in tr R1, R2, R3, R4 gi l cỏc cnh ca mch cu, in tr R 5 cú vai trũ
khỏc bit gi l ng chộo ca mch cu (ngi ta khụng tớnh thờm ng chộo
ni gia A - B. vỡ nu cú thỡ ta coi ng chộo ú mc song song vi mch cu).
Mch cu cú th phõn lm hai loi:
* Mch cu cõn bng (Dựng trong phộp o lng in).
* Mch cu khụng cõn bng
Trong ú mch cu khụng cõn bng c phõn lm 2 loi:
- Loi cú mt trong 5 in tr bng khụng (vớ d mt trong 5 in tr ú b ni tt,
hoc thay vo ú l mt ampe k cú in tr bng khụng). Khi gp loi bi tp ny
ta cú th chuyn mch v dng quen thuc, ri ỏp dng nh lut ụm gii.
- Loi mch cn tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, thỡ khụng th gii
c nu ta ch ỏp dng nh lut ễm, loi bi tp ny c gii bng phng
phỏp c bit (c trỡnh by mc 2.3)
- Vy iu kin mch cu cõn bng l gỡ?
Bi toỏn 1:
Cho mch cu in tr nh Hỡnh 3
a) Chng minh rng, nu qua R 5 cú dũng
I5 = 0 v U5 = 0 thỡ cỏc in tr nhỏnh lp

R

R

1
2
thnh t l thc : R = R = n = const
3
4

(Hỡnh 3)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

6


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
b) Ngc li nu cú t l thc trờn thỡ I5 = 0 v U5 = 0, ta cú mch cu cõn bng.
c) Chng minh rng khi cú t l thc trờn thỡ in tr tng ng ca mch cu
khụng tu thuc vo giỏ tr R5 t ú tớnh in tr tng ng ca mch cu trong
hai trng hp R5 nh nht (R5 = 0) v R5 ln nht (R5 = ) I5 = 0 v U5 = 0, ta
cú mch cu cõn bng.
Li gii
a) Gi I1; I2; I3; I4; I5 ln lt l cng dũng in qua cỏc in tr R 1; R2; R3; R4;
R5 v U1; U2; U3; U4; U5 ln lt l hiu in th hai u cỏc in tr R 1; R2; R3;
R4; R5.
Theo u bi: I5 = 0 I1 = I2 = I 1,2 v I3 = I4 = I 34
U5 = 0 U1 = U3

U2 = U4

(1)



I1R1 = I3R3

(2)



I2R2 = I4R4

(3)

Ly (2) chia (3) v vi v, ri kt hp vi (1) ta c :
R1 R3
=
R2 R4



R1 R2
=
= n = const (pcm)
R3 R4

(4)

b) Dựng nh lý Kennli, bin i mch tam
giỏc

thnh mch sao, ta cú mch in

tng ng nh Hỡnh 4 Trong ú cỏc in
tr R1; R3; R5 c thay bng cỏc on
mch sao gm cỏc in tr R 1; R3 v R5

Vi:

R '1 =

R3 .R5
R1 + R3 + R5

R'3 =

R1.R5
R1 + R3 + R5

R'5 =

R1.R3
R1 + R3 + R5

(Hỡnh 4)

- Xột on mch MB cú:
U 2 = U MB

R2 ( R1 + R2 + R3 )
R2
= U MB
'
R2 ( R1 + R3 + R5 ) + R1 .R5
R2 + R3

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

7

(5)


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
U 4 = U MB

R4 ( R1 + R3 + R5 )
R4
= U MB
'
R4 ( R1 + R3 + R5 ) + R3 .R5
R4 + R1

(6)

Chia (5) cho (6) v vi v ta c :
U 2 R 2 [ R4 ( R1 + R3 + R5 ) + R3 .R5 ]
=
U 4 R4 .[ R2 ( R1 + R3 + R5 ) + R1 .R5 ]

(7)

T iu kin u bi ta cú: R1 = n R3; R2 = n R4 thay vo biu thc (7) ta c :
U2
= 1 U2 = U4 UCD = U5 = 0 I5 = 0 Ngha l mch cu cõn bng.
U4

c) Gi s qua R5 cú dũng in I5 i t C n D
Ta cú:

I2 = I1 - I5 v I4 = I 3 + I5

-Biu din hiu in th U theo hai ng ACB v ADB ta cú:
UACB = U = I1R1 + I2R2 = I1R1 + I1R2 - I5R 2

(8)

UADB = U = I3R3 + I4R4 = I3R3 + I3R4 + I5R 4

(9)

-Nhõn hai v ca biu thc (9) vi n ta c :
n. U = I3R3 .n + I3R4 .n + I5R4 . n
-Kt hp iu kin u bi : R1 = n.R3 v R2 = n. R4
Ta cú: n.U = I3R1 + I3R2 + I5R2

(10)

Cng (8) vi (10) v vi v ta c:
(n +1).U = R1.(I1 + I3) + R2.(I1 + I3) = (R1 + R2).(I1 + I2).
Vi I1 + I3 = I (n +1).U = (R1 + R2).I
Theo nh ngha, in tr tng ng c tớnh bng:
Rtd =

U R1 + R2
=
I
n +1

(11)
R

R

1
2
Biu thc (11) cho thy khi cú t l thc R = R = n thỡ in tr tng ng ca
3
4

mch cu khụng ph thuc vo in tr R5
* Trng hp R5 = 0 (ni dõy dn hay ampe k cú in tr khụng ỏng k, hay
mt khoỏ in ang úng gia hai im C, D).
- Khi ú mch in (R1 // R 3)nt(R2 // R4) ta luụn cú hiu in th UCD = 0.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

8


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Rtd =

+ in tr tng ng:

R1 .R3
R .R
+ 2 4
R1 + R3 R2 + R4

s dng iu kin u bi R1 = n.R3v R2 = n.R4 ta vn cú
Rtd =

R1
R
R + R2
+ 2 = 1
n +1 n +1
n +1

Do R1 // R3 nờn:

Do R2 // R4 nờn :

I1 = I

R3
R3
I
I
=I
=
I1 =
R1 + R3
nR3 + R3 n + 1
n +1

(12)

I2 = I

R4
R4
I
I
=I
=
I2 =
R2 + R4
nR4 + R4 n + 1
n +1

(13)

So sỏnh (12) v (13), suy ra I1 = I2 Hay

I5 = I1 - I2 = 0

* Trng hp R5 = (on CD h hay ni vi vụn k cú in tr vụ cựng
ln).
- Khi ú mch in (R1 nt R2) // (R3 nt R4) luụn cú dũng in qua CD l I5 = 0
( R + R ).( R + R )

1
2
3
4
+ in tr tng ng: Rtd ( R + R ) + ( R + R )
1
2
3
4

Kt hp iu kin u bi R1 = n R3 v R2 = n R4 ta cng cú kt qu:
Rtd =

n.( R3 + R4 ) R1 + R2
=
n +1
n +1
n.R

R

U .R

3
3
1
+ Do R1 ni tip R2 nờn U 1 = U R + R = U n.R + n.R = R + R
1
2
3
4
3
4

R

U .R

3
3
+ Do R3 ni tip R4 nờn U 3 = U R + R = R + R
3
4
3
4

(14)
(15)

So sỏnh (14) v (15), suy ra U1 = U3 Hay U5 = UCD = U3 - U1 = 0
R

R

1
2
Vy khi cú t l thc R = R = n Thỡ vi mi giỏ tr ca R5 t 0 n , in tr
3
4

tng ng ch cú mt giỏ tr.
Rtd =

R1 + R2 n( R3 + R4 )
=
n +1
n +1

Dự on CD cú in tr bao nhiờu i na ta cng cú U CD = 0 v ICD = 0, ngha l
mch cu cõn bng.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

9


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Túm li: Cn ghi nh
+ Nu mch cu in tr cú dũng I 5 = 0 v U5 = 0 thỡ bn in tr nhỏnh ca
R

R

1
2
mch cu lp thnh t l thc: R = R = n (*) (n l hng s) (Vi bt k giỏ tr no
3
4

ca R5). Khi ú nu bit ba trong bn in tr nhỏnh ta s xỏc nh c in tr
cũn li.
* Ngc li: Nu cỏc in tr nhỏnh ca mch cu lp thnh t l thc trờn, ta
cú mch cu cõn bng v do ú I5 = 0 v U5 = 0.
+ Khi mch cu cõn bng thỡ in tr tng ng ca mch luụn c xỏc
nh v khụng ph thuc vo giỏ tr ca in tr R 5 . ng thi cỏc i lng hiu
in th v khụng ph thuc vo in tr R 5 . Lỳc ú cú th coi mch in khụng
cú in tr R5 v bi toỏn c gii bỡnh thng theo nh lut ụm.
+ Biu thc (*) chớnh l iu kin mch cu cõn bng.
Lu ý: Hc sinh lp 9 cú th ỏp dng cụng thc ca mch cu cõn bng m
khụng cn phi chng minh (mc dự SGK khụng trỡnh by).
+ Tuy nhiờn khi bi dng hc sinh gii phn ny, giỏo viờn cn phi chng
minh bi toỏn trờn hc sinh thy rừ cỏc tớnh cht ca mch cu cõn bng.
+ Mch cu cõn bng c dựng o giỏ tr in tr ca vt dn (s trỡnh by c
th phn sau).
2 .2 - Phng phỏp tớnh in tr tng ng ca mch cu:
- Tớnh in tr tng ng ca mt mch in l mt vic lm c bn v rt
quan trng, cho dự u bi cú yờu cu hay khụng yờu cu, thỡ trong quỏ trỡnh gii
cỏc bi tp in ta vn thng phi tin hnh cụng vic ny. Vi cỏc mch in
thụng thng, thỡ u cú th tớnh in tr tng ng bng mt trong hai cỏch
sau.

+ Nu bit trc cỏc giỏ tr in tr trong mch v phõn tớch c s mch
in thnh cỏc on mc ni tip, cỏc on mc song song thỡ ỏp dng cụng thc
tớnh in tr ca cỏc on mc ni tip hay cỏc on mc song song.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

10


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
+ Nu cha bit ht cỏc giỏ tr ca in tr trong mch, nhng bit c Hiu
in th 2 u on mch v cng dũng in qua on mch ú, thỡ cú th
tớnh in tr tng ng ca mch bng cụng thc nh lut ễm.
(I =

U
U
=> R = )
R
I

- Tuy nhiờn vi cỏc mch in phc tp nh mch cu, thỡ vic phõn tớch on
mch ny v dng cỏc on mch mi ni tip v song song l khụng th c.
iu ú cng cú ngha l khụng th tớnh in tr tng ng ca mch cu bng
cỏch ỏp dng cỏc cụng thc tớnh in tr ca on mch mc ni tip hay on
mch mc song song. Vy ta phi tớnh in tr tng ng ca mch cu bng
cỏch no?
* Vi mch cu cõn bng thỡ ta b qua in tr R 5 tớnh in tr tng
ng ca mch cu.

* Vi loi mch cu cú mt trong 5 in tr bng 0, ta luụn a c v dng
mch in cú cỏc on mc ni tip, mc song song gii.
* Loi mch cu tng quỏt khụng cõn bng thỡ in tr tng ng c tớnh
bng cỏc phng phỏp sau:
2.2.1 - Phng phỏp chuyn mch:
- Thc cht l chuyn mch cu tng quỏt v mch in tng ng (in
tr tng ng ca mch khụng thay i). M vi mch in mi ny ta cú th ỏp
dng cỏc cụng thc tớnh in tr ca on mch ni tip, on mch song song
tớnh in tr tng ng.
- Mun s dng phng phỏp ny trc ht ta phi nm c cụng thc
chuyn mch (chuyn t mch sao thnh mch tam giỏc v ngc li t mch tam
giỏc thnh mch sao). Cụng thc chuyn mch:
+ Cho hai s mch in, mi mch in c to thnh t ba in tr

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

11


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
(Hỡnh 5 mch tam giỏc ())

(Hỡnh 6 - Mch sao (Y)

Vi cỏc giỏ tr thớch hp ca in tr cú th thay th mch ny bng mch kia, khi
ú hai mch tng ng nhau. Cụng thc tớnh in tr ca mch ny theo mch
kia khi chỳng tng ng nhau nh sau:
* Bin i t mch tam giỏc R1, R2, R3 thnh mch sao R1, R2, R3
R '1 =

R2 .R3
R1 + R2 + R3

(1)

R '2 =

R1.R3
R1 + R2 + R3

(2)

R '3 =

R1.R2
R1 + R2 + R3

(3)

( õy R1, R2, R3 ln lt v trớ i din vi R1, R2, R3)
* Bin i t mch sao R1, R2, R3 thnh mch tam giỏc R1, R2, R3
R1' .R2' + R2' .R3' + R1' .R3'
R1 =
R '1

(4)

R1' .R2' + R2' .R3' + R1' .R3'
R2 =

R' 2

(5)

R1' .R2' + R2' .R3' + R1' .R3'
R3 =
R'3

(6)

(Do gii hn khụng cho phộp, nờn ti ny ch c ra cụng thc m khụng
chng minh cụng thc ú !).
- p dng vo bi toỏn tớnh in tr tng ng ca mch cu ta cú hai cỏch
chuyn mch nh sau:
* Cỏch 1: T s mch cu tng quỏt ta
chuyn mch tam giỏc R1, R3, R5 thnh mch
sao: R1; R3; R5 (Hỡnh 7). Trong ú cỏc in
tr R13, R15, R35 c xỏc nh theo cụng thc:
(1); (2) v (3) t s mch in mi ta cú
th ỏp dng cụng thc tớnh in tr ca on mch mc ni tip, on mch mc
song song tớnh in tr tng ng ca mch AB, kt qu l:
7)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

12

(Hỡnh

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
R AB = R'5 +

( R '3 + R2 )( R '1 + R4 )
( R '3 + R2 ) + ( R'1 + R4 )

* Cỏch 2: T s mch cu tng quỏt ta
chuyn mch sao R1, R2 , R5 thnh mch tam
giỏc R1; R2; R5 (Hỡnh 8). Trong ú cỏc in
tr R1; R2; R5 c xỏc nh theo cụng
thc (4), (5) v (6) t s mch in mi,
ỏp dng cụng thc tớnh in tr tng ng ta cng c kt qu l:
(Hỡnh 8)
R2' .R3
R1' .R4
+
)
R2' + R3 R1' + R4
=
R ' .R
R ' .R
R5' + ' 2 3 + ' 1 4
R2 + R3 R1 + R4
R5' (

R AB

2.2.2 - Phng phỏp dựng cụng thc nh lut ễm:
T biu thc: I =

U
R



R=

U
I

(*)

Trong ú: U l hiu in th hai u on mch.
I l cng dũng in qua mch chớnh.
Vy theo cụng thc (*) nu mun tớnh in tr tng ng (R) ca mch thỡ trc
ht ta phi tớnh I theo U, ri sau ú thay vo cụng thc (*) s c kt qu. (cú
nhiu phng phỏp tớnh I theo U s c trỡnh by chi tit mc sau).
* Vớ d minh ho:
Cho mch in nh hỡnh v.(Hỡnh 9). Bit
R1 = R3 = R5 = 3 ; R2 = 2 ; R4 = 5
a) Tớnh in tr tng ng ca on
mch AB?
b) t vo hai u on AB mt hiu in th khụng i U = 3 (V). Hóy tớnh
cng dũng in qua cỏc in tr v hiu in th
tr?

(Hỡnh 9)

* Li gii

a) Tớnh RAB = ?

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

13

hai u mi in


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
- Phng phỏp 1: Chuyn mch.
+ Cỏch 1: Chuyn mch tam giỏc R1;R3 ;R5 thnh mch sao R1; R3; R5 (Hỡnh 10)
R .R

3.3

'
1
3
Ta cú: R5 = R + R + R = 3 + 3 + 3 = 1()
1
3
5

R3' =

R1.R5
= 1()
R1 + R3 + R5

R1' =

R3 .R5
= 1()
R1 + R3 + R5

in tr tng ng ca on mch AB l :
(Hỡnh 10)
RAB = R5' +

( R3' + R2 )( R1' + R4 )
(1 + 2)(1 + 5)
= 1+
=3
'
'
( R1 + R2 ) + ( R1 + R4 )
(1 + 2) + (1 + 5)

+ Cỏch 2: Chuyn mch sao R1; R2; R5 thnh mch tam giỏc R1' ; R2' ; R5' (Hỡnh 11)
Ta cú:
R1' =

R1 R2 + R2 .R5 + R1 .R5 3.2 + 2.3 + 3.3
=
= 7
R1
3

R2' =

R1 .R2 + R2 .R5 +R1 .R5
= 10,5()
R2

R5' =

R1 .R2 + R2 .R5 +R1 .R5
= 7 ( )
R5

in tr tng ng ca on mch AB l:

(Hỡnh 11)

R2' .R3
R1' .R4
+
)
R2' + R3 R1' + R4
=
= 3()
R2' .R3
R1' .R4
'
R5 + '
+
R2 + R3 R1' + R4
R5' (

R AB

-Phng phỏp 2: Dựng cụng thc nh lut ễm.
T cụng thc:
I AB =

U AB
U
=> R AB = AB
R AB
I AB

(*)

Gi U l hiu in th hai u on mch AB; I l cng dũng in qua on
mch AB. Biu din I theo U, t I1 l n s, gi s dũng in trong mch cú chiu
i t C n D (Hỡnh 9). Ta ln lt cú:
U1 = I1. R1 = 3I1

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

(1)
14


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
U2 = U - U1 = U - 3I1
U

2
I2 = R =
2

U 3I 1
2

U5 = I5.R5 = (

(3)
U 3I 1
5I U
= 1
2
2

(4)

5I1 U
15 I 1 3U
).3 =
2
2

(5)

I5 = I 1 - I2 = I 1 -

U3 = U1 + U5 = 3I1 +

U3

I3 = R =
3

I4 = R =
4

15 I 1 3U
21I 1 3U
=
2
2

(6)

21I 1 3U
21I 1 3U
=
2.3
6

U4 = U - U3 = U U4

(2)

(7)

21I 1 3U
5U 21I 1

=
2
2

(8)

5U 21I 1
5U 21I 1
=
2.5
10

(9)

5U 21I 1
21I 1 3U
5I U
+ Ti nỳt D cho bit: I4 = I3 + I5
=
+ 1
10

I1 =

+ Thay (11) vo (7) I3 =

6

5U
27

2

(10)

(11)

4U
27

+ Cng dũng in trờn mch chớnh: I = I1 + I3 =

5U
4U
U
+
=
27
27
3

(12)

U

AB
+ Thay (12) vo (*) ta c R AB = I = 3
AB

5

9

b) Thay U = 3V vo phng trỡnh (11) ta c: I1 = ( A)
5
9

Thay U = 3(V) v I1 = ( A) vo cỏc phng trỡnh t (1) n (9) ta c kt qu:
I2 =

2
( A) ;
3

( I5 =

1
cú chiu t C n D, ngc vi chiu ó chn)
9

5
U1 = (V ) ;
3

I3 =

U2 =

4
( A) ;
9

4
(V ) ;
3

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

1
I 4 = ( A) ;
3

U3 =

4
(V ) ;
3

15

5
U 4 = (V ) ;
3

I5 =

1
( A)
9

1
U 5 = (V )
3


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
* Lu ý:
C hai phng phỏp gii trờn u cú th ỏp dng tớnh in tr tng ng
ca bt k mch cu in tr no. Mi phng phỏp gii u cú nhng u im v
nhc im ca nú. Tu tng bi tp c th m ta la chn phng phỏp gii cho
hp lý.
+ Nu bi toỏn ch yờu cu tớnh in tr tng ng ca mch cu (ch cõu
hi a) thỡ ỏp dng phng phỏp chuyn mch gii, bi toỏn s ngn gn hn.
+ Nu bi toỏn yờu cu tớnh c cỏc giỏ tr dũng in v hiu in th (hi thờm
cõu b) thỡ ỏp dng phung phỏp th hai gii bi toỏn, bao gi cng ngn gn, d
hiu v lụgic hn.
+ Trong phng phỏp th 2, vic biu din I theo U liờn quan trc tip n
vic tớnh toỏn cỏc i lng cng dũng in v hiu in th trong mch cu.
õy l mt bi toỏn khụng h n gin m ta rt hay gp trong khi gii cỏc thi
hc sinh gii, thi tuyn sinh. Vy cú nhng phng phỏp no gii bi toỏn tớnh
cng dũng in v hiu in th trong mch cu.
2.3 Phng phỏp gii bi toỏn tớnh cng dũng in v hiu in th
trong mch cu.
2.3.1 Vi mch cu cõn bng hoc mch cu khụng cõn bng m cú 1 trong 5
in tr bng 0 (hoc ln vụ cựng) thỡ u cú th chuyn mch cu ú v mch
in quen thuc (gm cỏc on mc ni tip v mc song song). Khi ú ta ỏp dng
nh lut ễm gii bi toỏn ny mt cỏch n gin.
Vớ d:
Cho cỏc s cỏc mch in nh hỡnh v: (Hỡnh 12a); (Hỡnh 13a); (Hỡnh 14a);
(Hỡnh 15a) bit cỏc vụn k v cỏc am pe k l lý tng.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

16


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

(Hỡnh 12a)

(Hỡnh 13a)

(Hỡnh 14a)

(Hỡnh 15a)

Ta cú th chuyn cỏc s mch in trờn thnh cỏc s mch in tng
ng, tng ng vi cỏc hỡnh (Hỡnh 12b); (Hỡnh 13b); (Hỡnh 14b); (Hỡnh 15b)

(Hỡnh 12b)
(Hỡnh 13b)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

17


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

(Hỡnh 14b)

(Hỡnh 15b)

T cỏc s mch in mi, ta cú th ỏp dng nh lut ễm tỡm cỏc i
lng m bi toỏn yờu cu:
* Lu ý:
Cỏc bi tp loi ny cú nhiu ti liu ó trỡnh by, nờn trong ti ny khụng i
sõu vo vic phõn tớch cỏc bi toỏn ú tuy nhiờn trc khi ging dy bi toỏn v
mch cu tng quỏt, nờn rốn cho hc sinh k nng gii cỏc bi tp loi ny tht
thnh tho.
2.3.2 Vi mch cu tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, ta khụng th
a v dng mch in gm cỏc on mc ni tip v mc song song. Do ú cỏc
bi tp loi ny phi cú phng phỏp gii c bit. Sau õy l mt s phng phỏp
gii c th:
Phng phỏp 1:
Lp h phng trỡnh cú n s l dũng in (Chng hn chn I1 lm n s)
Bc 1: Chn chiu dũng in trờn s
Bc 2: ỏp dng nh lut ụm, nh lut v nỳt, biu din cỏc i lng
cũn li theo n s (I1) ó chn (ta c cỏc phng trỡnh vi n s I1)
Bc 3: Gii h cỏc phng trỡnh va lp tỡm cỏc i lng ca u bi
yờu cu.
Bc 4: T cỏc kt qu va tỡm c, kim tra li chiu dũng in ó chn
bc 1
+ Nu tỡm c I > 0, gi nguyờn chiu ó chn.
+ Nu tỡm c I < 0, o ngc chiu ó chn.
* Vớ d minh ho:
Cho mch in nh hỡnh v (Hỡnh 16).
Bit U = 45V; R1 = 20; R2 = 24; R3 =

50 ; R4 = 45; R5 = 30.

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

18


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Tớnh cng dũng in v hiu in th ca mi in tr v tớnh in tr tng
ng ca mch AB?
(Hỡnh 16)
Li gii:
- Gi s dũng in trong mch cú chiu nh hỡnh v, dũng in qua R 5 i t
C n D.
- Chn I1 lm n s ta ln lt cú:
U1 = I1.R1 = 20I1

(1)

U2 = U - U1 = 45 - 20I1

(2)

U

2
I2 = R =
2

45 20 I 1
24
45 20 I 1
44 I 1 45
=
24
24

(4)

44 I 1 45
220 I 1 225
).30 =
24
4

(5)

I5 = I 1 - I2 = I 1 U5 = I5.R5 = (

(3)

U3 = U1 + U5 = 20I1 +
U3

I3 = R =
3

300 I 1 225
12 I 1 9

=
4.50
8

U4 = U - U3 = 45 U4

I4 = R =
4

220 I 1 225
300 I 1 225
=
(6)
4
4

(7)

300 I 1 225
405 300 I 1
=
4
4

(8)

405 300 I 1
27 20 I 1
=
4.45

12

(9)

27 20 I 1 12 I 1 9
44 I 1 45
- Ti nỳt D cho bit: I4 = I3 + I5
=
+
(10)
12

8

24

120I1 = 126 I1 = 1,05 (A)

- Thay I1 = 1,05 (A) vo cỏc phng trỡnh t (1) n (9) ta c cỏc kt qu:
I2 = 1(A)

I3 = 0,45 (A)

I4 = 0,5 (A)

I5 = 0,05 (A)

Vy chiu dũng in ó chn l ỳng.
+ Hiu in th
U1 = 21(V)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

U2 = 24 (V)
19


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
U3 = 22,5 (V)

U4 = 22,5 (V)

U5 = 1,5 (V)
+ in tr tng ng
RAB =

U
U
45
=
=
= 30
I
I1 + I 3 1,05 + 0,45

Phng phỏp 2:
Chuyn mch sao thnh mch tam giỏc
(hoc mch tam giỏc thnh mch sao). Chng
hn chuyn mch tam giỏc R1 , R3 , R5 thnh

mch sao R1 , R3 , R5 ta c s mch in
tng ng (Hỡnh 17). (Lỳc ú cỏc giỏ tr R AB, I1, I4, I, U2, U4 , UCD vn khụng
i). Cỏc bc tin hnh gii nh sau:
Bc 1: V s mch in mi.

(Hỡnh 17)

Bc 2: Tớnh cỏc giỏ tr in tr mi (sao R1 , R3 , R5)
Bc 3: Tớnh in tr tng ng ca mch
Bc 4: Tớnh cng dũng in mch chớnh (I)
Bc 5: Tớnh I2, I4 ri suy ra cỏc giỏ tr U2, U4.
Ta cú: I 2 = I

R1' + R 4
R3' + R2 + R1' + R4

V:

I4 = I - I2

Bc 6: Tr li mch in ban u tớnh cỏc i lng cũn li.
*p dng lm vớ d minh ho trờn:
- T s mch in (Hỡnh 17) ta cú
R '1 =

R3 .R5
50.30
=
= 15()
R1 + R3 + R5 20 + 50 + 30

R '3 =

R1.R5
20.30
=
= 6()
R1 + R3 + R5 20 + 50 + 30

R '5 =

R1.R3
20.50
=
= 10()
R1 + R3 + R5 20 + 50 + 30
( R ' + R ).( R ' + R )

3
2
1
4
- in tr tng ng ca mch: R AB = R'5 + ( R' + R ) + ( R' + R ) = 30()
3
2
1
4

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

20


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
U

45

- Cng dũng in trong mch chớnh: I = R = 30 = 1,5( A)
AB
Suy ra: I 2 = I

R1' + R 4
= 1 (A) I4 = I - I2 = 1,5 - 1 = 0,5 (A)
R3' + R2 + R1' + R4

U2 = I2.R2 = 24 (V) ;

U4 = I4.R4 = 22,5 (V)

- Tr li s mch in ban u (Hỡnh 16) ta cú kt qu:
Hiu in th :

U1 = U - U2 = 21 (V)
U3 = U - U4 = 22,5(V)
U5 = U3 - U1 = 1,5 (V)

V cỏc giỏ tr dũng in
I1 =

U1
= 1,05( A) ;
R1

I3 =

U3
= 0,45( A) ;
R3

I5 = I1 - I2 = 0,05 (A)

2.4 Bi toỏn mch cu dõy:
- Mch cu dõy l mch in cú dng nh Hỡnh 18.
Trong ú hai in tr R3 v R4 cú giỏ tr thay i
khi con chy C dch chuyn dc theo chiu di ca
bin tr (R3 = RAC; R4 = RCB)
- Mch cu dõy c ng dng o in tr ca mt vt dn.
(Hỡnh 18)
- Cỏc bi tp v mch cu dõy rt a dng, phc tp v ph bin trong chng trỡnh
Vt lý nõng cao lp 9 v lp 11.
Vy s dng mch cu dõy o in tr nh th no? V phng phỏp
gii bi tp v mch cu dõy nh th no?
2.4.1 Phng phỏp o in tr ca vt dn bng mch cu dõy:
Bi toỏn:
o giỏ tr ca in tr R x ngi ta dựng mt
in tr mu R0, mt bin tr ACB cú in tr
phõn b u theo chiu di, v mt in k nhy G,
mc vo mch nh hỡnh v. Di chuyn con chy C

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

21


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
ca bin tr n khi in k G ch s 0 o l1 ; l2 ta c kt qu:
Rx = R0

l2
hóy gii thớch phộp o ny?
l1

Hng dn:
Trờn s mch in, con chy C chia bin tr (AB) thnh hai phn.
+ on AC cú chiu di l1, in tr l R1
+ on CB cú chiu di l2, in tr l R2
in k cho bit khi no cú dũng in chy qua on dõy CD. Nu in k
ch s 0, thỡ mch cu cõn bng, ta cú:
R0
R
R
= x R x = R0 CB
R AC RCB
R AC

(1)

- Vỡ on dõy AB l ng cht, cú tit din u nờn in tr tng phn c
tớnh theo cụng thc.
R AC =

l1
S

v

RCB =

l2
S

R

l

CB
2
Do ú: R = l
AC
1

- Thay (2) vo (1) ta c kt qu:

Rx = R0

(2)

l2
l1

Chỳ ý: o in tr ca vt dn bng phng phỏp trờn cho kt qu cú
chớnh xỏc rt cao v n gin nờn c ng dng rng rói trong phũng thớ nghim
2.4.2 Cỏc bi toỏn thng gp v mch cu dõy:
Bi toỏn 1:
Cho mch in nh hỡnh v. in tr ca ampe
k v dõy ni khụng ỏng k, cho bit in tr
ton phn ca bin tr R .
a) Tỡm v trớ ca con chy C khi bit s ch ca
ampe k (IA)
b) Bit v trớ con chy C, tỡm s ch ca ampe k?
* Phng phỏp gii:
Vỡ in tr ca ampe k khụng ỏng k -> mch in (R1//RAC) nt (R2 // RCB)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

22


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
a) t x = RAC

(0 < x < R)

* Trng hp 1: Nu bi toỏn cho bit s ch ca ampe k I A = 0 thỡ mch cu cõn
bng, lỳc ú ta cú iu kin cõn bng.
R1

R2
=
x
Rx

(1)

Gii phng trỡnh (1) ta s tỡm c RAC = x
* Trng hp 2: Am pe k ch giỏ tr IA 0
Vit phng trỡnh dũng in cho hai nỳt C v D. Ri ỏp dng nh lut ụm
chuyn hai phng trỡnh ú v dng cú n s l U1 v x.
+ Ti nỳt C:
I A = I CB I x =

+ Ti nỳt D:

U U x U x
U U1 U1


=
Rx
x
Rx
x

U

IA = I1 - I2 = R1
1

(2)

U U1
R2

(3)

(Trong ú cỏc giỏ tr U, Ia, R, R1, R2 u bi cho trc )
- Xột chiu dũng in qua ampe k (nu u bi khụng cho trc), gii
phng trỡnh (3) tỡm giỏ tr U1, ri thay vo phng trỡnh (2) tỡm x.
- T giỏ tr ca x ta tỡm c v trớ tng ng con chy C.
b) Vỡ u bi cho bit v trớ con chy C, nờn ta xỏc nh c in tr RAC v RCB
- Mch in: (R1// RAC ) nt (R2 //RCB)
-> ỏp dng nh lut ụm ta d dng tỡm c I1 v I2.
Suy ra s ch ca Ampe k: IA = I1 - I2
* Vớ d minh ho:
Cho mch in nh hỡnh v. Bit U = 7V
khụng i. R1 = 3; R2= 6. Bin tr ACB l mt
dõy dn cú in tr sut l = 4.106( m). Chiu
di l = AB = 1,5m, tit din u s = 1mm2
a) Tớnh in tr ton phn ca bin tr.
b) Xỏc nh v trớ con chy C s ch ca ampe k bng 0?
c) Con chy C v trớ m AC = 2CB, hi lỳc ú ampe k ch bao nhiờu?

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

23

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
d) Xỏc nh v trớ con chy C ampe k ch

1
(A)
3

Li gii
a) in tr ton phn ca bin tr
R AB =

l
1,5
= 4.10 6 6 = 6 ()
S
10

b) Ampe k ch s 0 thỡ mch cu cõn bng, khi ú ta cú
R1
R
= 2
RAC RCB



(t x = RAC -> RCB = 6 - x)

3
6

x = 2 ()
=
x 6 x

Vi RAC = x = 2 thỡ con chy C cỏch A mt on bng
AC =

R AC . S
= 0,5(m)


Vy khi con chy C cỏch A mt on bng 0,5m thỡ ampe k ch s 0
c) Khi con chy v trớ m AC = 2CB, ta tớnh c RAC = 4 (); RCB = 2 ()
vỡ RA = 0 => Mch in (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)
- in tr tng ng ca mch
Rtm =

R1. R AC
R R
12 12 45
+ 2. CB =
+
=
()
R1 + R AC R2 + RCB
7
8 14

- Cng dũng in trong mch chớnh
I=

Suy ra:

Vỡ:

U
7
98
=
=
( A)
Rtm 45
45
14

I1 = I

RAC
98 4 56
= . =
( A)
R1 + RAC 45 7 45

I2 = I

RCB
98 2 49
= . =
( A)
R2 + RCB 45 8 90

I1 > I2, suy ra s ch ca ampe k l:
I A = I1 I 2 =

56 49 7

=
= 0,7 (A)
45 90 10

Vy khi con chy C v trớ m AC = 2CB thỡ ampe k ch 0,7 (A)
d) Tỡm v trớ con chy C ampe k ch

1
(A)
3

- Vỡ: RA = 0 => mch in (R1// RAC) nt (R2 // RCB)

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

24


Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
suy ra: Ux = U1
+ Phng trỡnh dũng in ti nỳt C:
I A = I CB I x =

7 U1 U1
U U1 U 1


=
6 x
x
R x
x

(1)

+ Phng trỡnh dũng in ti nỳt D:
I A = I1 I 2 =

U
7 U1
U1 U U1

= 1
3
6
R1
R2

- Trng hp 1: Ampe k ch IA =

(2)

1

(A) dũng in i t D n C
3

+ T phng trỡnh (2) ta tỡm c U1 = 3 (V)
+ Thay U1 = 3 (V) vo phng trỡnh (1) ta tỡm c x = 3 ()
Vi RAC = x = 3 ta tỡm c v trớ ca con chy C cỏch A mt on AC = 75m
- Trng hp 2: Ampe k ch IA =

1
(A) dũng in i t C n D
3
5
3

+ T phng trỡnh (2) ta tỡm c U1 = (V )
5
3

+ Thay U1 = (V ) vo phng trỡnh (1) ta tỡm c x 1,16 ()
Vi RAC = x = 1,16 ta tỡm c v trớ ca con chy C cỏch A mt on AC=
29cm
+ Vy ti cỏc v trớ m con chy C cỏch A mt on bng 75 (cm) hoc bng
1
3

29 (cm) thỡ ampe k ch ( A) .
Bi toỏn 2:
Cho mch in nh hỡnh v. Hiu in th hai u
on mch l U khụng i. Bin tr cú in tr ton
phn l R. Vụn k cú in tr rt ln.

a) Tỡm v trớ con chy C, khi bit s ch ca vụn k
b) Bit v trớ con chy C, tỡm s ch ca vụn k?
* Phng phỏp gii:
Vỡ vụn k cú in tr rt ln nờn mch in cú dng (R1 nt R2) // RAB
a) Tỡm v trớ con chy C

Nguyễn Anh Minh
Trờng THCS Kiến Giang

25