Một số phương pháp giải bài toán mạch câu điện trở

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu
điện trở
1 - Định h ớng chung:
Bài tập về mạch cầu điện trở rất đa dạng và phong phú. Để giải các bài tập loại này chỉ
dùng kiến thức về Định luật ôm thì cha đủ. Muốn làm tốt các bài tập về mạch cầu cần phải nắm
vững các kiến thức sau:
1.1 - Kỹ năng phân tích mạch điện
1.2 - Định luật ôm cho động mạch có điện trở R: I=
R
U
1.3 - Các tính chất của mạch điện có các điện trở mác nối tiếp, mắc song song.
1.4 - Các công thức biến đổi hiệu điện thế ( nh công thức cộng thế, phép chia thế tỷ lệ
thuận).
1.5 - Các công thức biến đổi cờng độ dòng điện (nh công thức cộng dòng điện, phép chia
dòng ỷ lệ nghịch).
1.6 - Công thức chuyển mạch từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại.
1.7 - Cách mắc và vai trò của các dụng cụ đo vôn kế va am pe kế trong mạch.
1.8 - Định luật kiếc Sốp.
áp dụng vào việc giải bài tập về mạch cầu điện trở trong đề tài này, tôi sẽ trình bày các
vấn đề sau:
a- Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng
b- Phơng pháp tích điện trở của mạch cầu tổng quát.
c-Phơng pháp xác định các đại lợng hiệu điện thế và cờng độ dòng điện trong mạch cầu.
d - Bài toán về mạch cầu dây:
* Phơng pháp đo điện trở băng mạch cầu dây.
* Các loại bài toán thờng gặp về mạch cầu dây.
2 - Phần cụ thể:
2.1 - Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và
mạch cầu không cân bằng:
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thín nghiệm điện.

- Mạch cầu đợc vẽ nh (H - 0.a) và (H - 0.b)
(H-0.a) (H.0.b)
- Các điện trở R
1
, R
2
, R
3
, R
4
gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R
5
có vai trò khác biệt
gọi là đờng chéo của mạch cầu (ngời ta không tính thêm đờng chéo nối giữa A - B. vì nếu có thì
ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu).
1
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Mạch cầu có thể phân làm hai loại:
* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện).
* Mạch cầu không cân bằng
Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại:
- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc
thay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển
mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu ta
chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt (đợc trình bày ở
mục 2.3)
- Vậy điều kiện để cân bằng là gì?
Bài toán 1;
Cho mạch cầu điện trở nh (H - 1.1)

1 - Chứng minh rằng, nếu qua R
5
có dòng
I
5
= 0 và U
5
= 0 thì các điện trở nhánh lập
thành tỷ lệ thức :
(H : 1-1)
4
2
3
1
R
R
R
R
=
= n = const
2 - Ngợc lại nếu có tỷ lệ thức trên
thì I
5
= 0 và U
5
= 0, ta có mạch cầu cân bằng.
3- Chứng minh rằng khi có tỷ lệ thức trên thì điện trở tơng đơng của mạch cầu không tuỳ
thuộc vào giá trị R
5
từ đó tính điện trở tơng đơng của mạch cầu trong hai trờng hợp R

5
nhỏ nhất (
R
5
= 0) và R
5
lớn nhất (R
5
= ) để I
5
= 0 và U
5
= 0, ta có mạch cầu cân bằng.
Lời giải
1- Gọi I
1
; I
2
; I
3
; I
4
; I
5
lần lợt là cờng độ dòng điện qua các điện trở R
1
; R
2
; R
3

; R
4
; R
5
.
Và U
1
; U
2
; U
3
; UBND; U
5
lần lợt là hiệu điện thế ở hai đầu các điện trở R
1
; R
2
; R
3
; R
4
; R
5
.
Theo đầu bài:
I
5
= 0 suy ra: I
1
= I

2
= I
1,2
và I
3
= I
4
= I
34
(1)
U
5
= 0 suy ra: U
1
= U
2
và U
2
= U
4
.
Hay I
1
R
1
= I
3
R
3
(2)

2
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
I
2
R
2
= I
4
R
4
(3)
Lấy (2) chia (3) vế với vế, rồi kết hợp với (1) ta đợc :
4
2
3
1
R
R
R
R
=
hay
4
2
2
1
R
R
R
R

=
=
= n = const
2- Dùng định lý Kennơli, biến đổi mach tam giác thành mạch sao:
-Ta có mạch điện tơng đơng nh hình vẽ : (H: 1 -2)
Trong đó các điện trở R
1
; R
2
; R
3

đợc thay bằng các đoạn mạch sao
gồm các điện trở R
1
; R
3
và R
5
Với:
531
53
1
.
'
RRR
RR
R
++
=

531
51
3
.
'
RRR
RR
R
++
=

531
31
5
.
'
RRR
RR
R
++
=
(H:1.2)
- Xét đoạn mạch MB có:
515312
3212
32
2
2
.)(
)(

RRRRRR
RRRR
U
RR
R
UU
MBMB
+++
++
=
+
=
(5)
535312
5314
14
4
4
.)(
)(
RRRRRR
RRRR
U
RR
R
UU
MBMB
+++
++
=

+
=
(6)
Chia (5) cho (6) vế với vế ta đợc :
5153124
5153142
2
1
.)(.
)(
RRRRRRR
RRRRRRR
U
U
+++
+++
=
(7)
Từ điều kiện đầu bài ta có:
R
1
= n R
3
; R
2
= n R
4
Thay vào biểu thức (7) ta đợc :

1

4
2
=
U
U
Hay : U
2
= U
4
Suy ra U
CD
= U
5
= 0 => I
5
= 0
Nghĩa là mạch cầu cân bằng.
3- Giả sử qua R
5
có dòng điện I
5
đi từ C đến D , (H: 1-3)
Ta có: I
2
= I
1
= I
5
và I
4

= I
3
+ I
5
- Biểu diễn hiệu điện thế U theo hai đờng ACB và ADB ta có:
U
ACB
= U = I
1
R
1
+ I
2
R
2
= I
1
R
1
+ I
1
R
2
- I
5
R
2
(8)
3
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

U
ADB
= U = I
3
R
3
+ I
4
R
4
= I
3
R
3
+ I
3
R
4
- I
5
R
4
(9)
Nhân hai vế của biểu thức (9) với n ta đợc :
n. U = I
3
R
3
n + I
3

R
4
.n + I
5
R
4
. n
Kết hợp điều kiện đầu bài :
R
1
= n.R
3
và R
2
= n. R
4

Ta có:
n.U = I
3
R
1
+ I
3
R
3
+: I
5
R
5

(10)
Cộng (8) với (10) vế với vế ta đợc:
(n +1) U = R
1
(I
1
+ I
3
) + R
2
(I
1
+ I
3
).
= (R
1
+ R
2
) (I
1
+ I
2
).
Với I
1
+ I
3
= I
=> (n +1) U = (R

1
+ R
2
)
Theo định nghĩa, điện trở tơng đơng
đợc tính bằng:

1
21
+
+
==
n
RR
I
U
R
td
(11)
Biểu thức (11) cho thấy khi có tỷ lệ thức :
n
R
R
R
R
==
4
2
3
1

Thì điện trở tơng đơng của mạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R
5
* Trờng hợp R
5
= 0 (nối dây dẫn hay ampekế có điện trở không đáng kể, hay một khoá
điện đang đóng giữa hai điểm C, D).
- Khi đó mạch điện (R
1
// R
3
), nối tiếp R
2
// R
4
.
-> ta luôn có hiệu điện thế U
CD
= 0.
+ Điện trở tơng đơng:

44
44
31
31
..
RR
RR
RR
RR
R

t
+
+
+
=

sử dụng điều kiện đầu bài R
1
= n.R
3
và R
2
= n.R
4
ta vẫn có
4
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

11
)(
2143
+
+
+
+
+
=

n
RR

n
RRn
R
t
Do R
1
// R
3
nên:

1
33
3
31
3
1
+
=
+
=
+
=
n
I
RnR
R
I
RR
R
II

=>
1
1
+
=
n
I
I
(12)
Do R
2
// R
4
nên :
1
..
44
4
42
4
2
+
=
+
=
+
=
n
I
RnR

RI
RR
RI
II
=>
1
2
+
=
n
I
I
(13)
So sánh (12) và (13), suy ra I
1
= I
2
Hay I
5
= I - I
2
= 0
* Trờng hợp R
5
=

(đoạn CD để hở hay nối với vôn kế có điện trở lớn vô cùng).
- Khi đó mạch điện : (R
1
. n + R

2
) // (R
3
. n + R
4
).
-> luôn có dòng điện qua CD là I
5
= 0
+ Điện trở tơng đơng.
)()(
))((
4321
4321
RRRR
RRRR
R
t
+++
++

Kết hợp điều kiện đầu bài R
1
= n R
3
và R
2
= n R
4
ta cũng có kết quả:

.
11
).(
2143
+
+
=
+
+

n
RR
n
RRn
R
t
+ Do R
1
nối tiếp R
2
nên :

43
3
43
2
21
1
1
.

..
.
RR
RU
nRRn
Rn
U
RR
R
UU
+
==
+
=
(14)
Do R
3
nối tiếp R
4
nên :

43
3
.
RR
RU
U
+
=
(15)

So sánh (14) và (15), suy ra U
1
= U
3
Hay U
5
= U
CD
= U
3
-U
1
= 0
Vậy khi có tỷ lệ thức:

n
R
R
R
R
==
4
2
3
1
Thì với mọi giá trị của R
5
từ o đến , điện trở tơng đơng chỉ có một giá trị.

1

)(
1
4321
+
+
=
+
+
=

n
RRn
n
RR
R
t
5
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Dù đoạn CD có điện trở bao nhiêu đi nữa ta cũng có U
CD
= và I
CD
= 0, nghĩa là mạch cầu
cân bằng.
Tóm lại: Cần ghi nhớ
+ Nếu mạch cầu điện trở có dòng I
5
= 0 và U
5
= 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập

thành tỷ lệ thức:
n
R
R
R
R
==
4
2
3
1
(n là hằng số) (*)
(Với bất kỳ giá trị nào của R
5
.).
Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trở còn lại.
* Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu
cân bằng và do đó I
5
= 0 và U
5
= 0.
+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định và không phụ
thuộc vào giá trị của điện trở R
5
. Đồng thời các đại lợng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào
điện trở R
5
. Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R
5

và bài toán đợc giải bình thờng
theo định luật ôm.
+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng.
L u ý : Học sinh lớp 9 có thể áp dụng công thức của mạch cầu cân bằng mà không cần
phải chứng minh (mặc dù SGK không trình bày).
+ Tuy nhiên khi bồi dỡng học sinh giỏi ở phần này, giáo viên cần phải chứng minh bài toán
trên để học sinh thấy rõ các tính chất của mạch cầu cân bằng.
+ Mạch cầu cân bằng đợc dùng để đo giá trị điện trở của vật dẫn (sẽ trình bày cụ thể ở phần
sau).
2 .2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ ơng của mạch cầu:
- Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho
dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thờng
phải tiến hành công việc này.
Với các mạch điện thông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong hai
cách sau.
6
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
+ Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch điện (thành các
đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các đoạn
mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song.
+ Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu điện thế ở 2 đầu
đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tơng đơng của mạch
bằng công thức định luật Ôm.

)(
I
U
R
R
U

I
==>=
- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp nh mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về
dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể đợc. Điều đó cũng có nghĩa là
không thể tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điện trở
của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song.
Vậy ta phải tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách nào?
* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R
5
để tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.
* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạng mạch điện có
các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.
* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tính bằng các phơng
pháp sau:
1 - Phơng pháp chuyển mạch:
Thực chấtl à chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở tơng đơng của
mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện trở
của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tơng đơng.
- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyển mạch (chuyển
từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giác thành mạch sao)
Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli.
+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện đợc tạo thành từ ba điện trở (H21-a mạch tam
giác ()) A
(H.21b - Mạch sao (Y)
A R

3
7
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
R

1
R
2
R

2
R

1
B C B C
(H - 2.1a) (H- 2.1b)
Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai
mạch tơng đơng nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tơng đơng
nhau nh sau:
* Biến đổi từ mạch tam giác R
1
, R
2
, R
3
thành mạch sao R
1
, R
2
, R
3
321
32
1
.

'
RRR
RR
R
++
=
(1)
321
31
2
.
'
RRR
RR
R
++
=
(2)
321
21
3
.
'
RRR
RR
R
++
=
(3)
(ở đây R

1
, R
2
, R
3
lần lợt ở vị trí đối diện với R
1
,R
2
, R
3
)
* Biến đổi từ mạch sao R
1
, R
2
, R
3
thành mạch tam giác R
1
, R
2
, R
3

1
313221
1
'
...

R
RRRRRR
R
++
=
(4)
2
313221
2
'
...
R
RRRRRR
R
++
=
(5)
3
313221
3
'
...
R
RRRRRR
R
++
=
(6)
(Do giới hạn không cho phép, nên đề tài này chỉ đợc ra công thức mà không chứng minh
công thức đó !).

- áp dụng vào bài toán tính điện trở tơng đơng của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch
nh sau:
* Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát
ta chuyểnmạch tam giác R
1
, R
3
, R
5
thành
m
ạch sao :R
1
; R
3
; R
5
(H- 22a)
Trong đó các điện trở R
13
, R
15
, R
35

đợc xác định theo công thức: (1); (2) và (3)(H: 2.2a)
8
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp
dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để

tính điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là:
)'()'(
)')('(
'
4123
4123
53
RRRR
RRRR
RR
+++
++
+=
* Cách 2:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta
chuyển mạch sao R
1
, R
2
, R
5

thành mạch tam giác R
1
, R
2 ,
R
3
(H - 2.2b)
Trong đó các điện trở R

1
, R
2 ,
R
3

đợc xác định theo công thức (4), (5) và (6) (H:2.2b)
Từ sơ đồ mạch điện mới (H - 2.2b)
áp dụng công thức tính điện trở tơng đơng ta cũng đợc
kết quả:
41
41
23
23
5
41
41
23
23
5
'
.'
'
'.
('
'
.'
'
'.
('

RR
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
RR
R
R
AB
+
+
+
+
+
+
+
=
2 - Phơng pháp dùng công thức định luật Ôm:
Từ biểu thức:
R
U
I
=
suy ra
I
U
R

=
(*)
Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là cờng độ dòng điện qua mạch chính.
Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phải
tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả.
(có nhiều phơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau).
*Xét ví dụ cụ thể:
Cho mạch điện nh hình vẽ:
(H . 2.3a) .Biết R
1
= R
3 =
R
5 =
3
R
2
= 2 ; R
4
= 5
a- Tính điện trở tơng đơng
của đoạn mạch AB (H. 2.3a)
9
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V). Hãy tính cờng độ dòng
điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
Lời giải
a- Tính R
AB

= ?
* Ph ơng pháp 1 : Chuyển mạch.
+ Cách 1: Chuyển mạch tam giác R
1
; R
3
; R
5
thành mạch sao R
1
; R
3
; R
5

(H. 2.3b)
Ta có:
)(1
333
3.3.
321
3.1
'
5
=
++
=
++
=
RRR

RR
R
)(1
.
531
51
'
3
=
++
=
RRR
RR
R
)(1
.
531
53
'
1
=
++
=
RRR
RR
R
Suy ra điện trở tơng đơng của đoạn
mạch AB là : (H . 2.3b)
)51()21(
)51)(21(

1
)()(
))((
4
'
12
'
1
4
'
12
'
3
'
5
+++
++
+=
+++
++
+=
RRRR
RRRR
RR
AB
R
AB
= 3
+ Cách 2: Chuyển mạch sao R
1

; R
2
; R
5
thành mạch tam giác
'
3
'
2
'
1
;; RRR
(H . 2.3c)
Ta có:
1
5.15221
'
1
.
R
RRRRRR
R
++
=
=
++
=
7
3
3.33.22.3

)(5,10
...
2
51521
'
2
=
++
=
R
RRRRRR
R
(H. 2.3c)
)(7
...
5
51521
'
5
=
++
=
R
RRRRRR
R

Suy ra:
* Ph ơng pháp 2:
)(3
..

)
.3.
(
4
'
1
4
'
1
3
'
2
3
'
2
'
5
4
'
1
4
'
1
3
'
2
'
2
'
5

=
+
+
+
+
+
+
+
=
RR
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
RR
R
R
AB
10
Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở
Dùng công thức định luật Ôm.
Từ công thức:

AB
AB
AB
AB

AB
I
U
R
R
U
I
==>=
(*)
- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB
I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Đặt I
1
là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H. 2.3d)
Ta lần lợt có:
U
1
= R
1
I
1
= 3 I
1
(1)
U
2
= U - U
1
= U - 3 I

1
(2)
2
3
1
2
2
2
IU
R
U
I

==
(3)
2
5
1
555
UI
IIT

==
(4)
2
315
.
1
55
UI

RIU

==
(5)
2
321
1
513
UI
UUU

=+=
(6)
6
321
1
3
3
UI
R
U
I

==
(7)
2
215
1
54
IU

UUU

==
(8)
10
215
1
4
4
4
IU
R
U
I

==
(9)
Tại nút D, ta có: I
4
= I
3
+ I
5
=>
2
5
6
321
10
215

111
UIUIIU

+

=

(10)
=> I
1
=
27
5U
(11)
Thay (11) vào (7) -> I
3 =
U
27
4
Suy ra cờng độ dòng điện mạch chính.
U
UU
III
3
1
27
4
27
5
31

=+=+=
(12)
Thay (12) vào (*) ta đợc kết quả:
11