PGS doan phat trien tu duy qua van de vo han cua toan hoc

SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TƯ DUY KHOA HỌC
QUA VẤN ĐỀ VÔ HẠN TRONG TOÁN HỌC

H

O TS. LÊ VĂN ĐOÁN*

iện nay tại nhiều trung tâm nghiên cứu khoa học, đặc biệt là trong các
trường học từ phổ thông đến đại học vấn đề phát triển tư duy cho học
sinh đang là một vấn đề bức xúc và thu hút rất nhiều các đề tài nghiên cứu
khoa học. Những vấn đề triết học trong toán học không nằm ngoài những mục tiêu
nói trên.
Ph.Ăngghen đã từng nói: "một dân tộc muốn đứng vững trên đỉnh cao của
khoa học cần phải có tư duy lí luận". Chính vì vậy, vấn đề rèn luyện khả năng tư
duy lí luận cho học sinh thông qua việc truyền thụ những kiến thức khoa học là
việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa chiến lược trong sự nghiệp phát triển đất
nước.
Trong khi khái quát những thành tựu của toán học, các nhà kinh điển của
chủ nghĩa Mác - Lênin và những nhà triết học mác-xít hiện nay đã xem vấn đề vô
hạn trong toán học là thành tựu vĩ đại của tư duy nhân loại. Vấn đề này đang được
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học hiện đại. Để người học thấy
rõ sự phát triển của tư duy lí luận, trước hết chúng ta cần làm rõ bản chất của vô
hạn toán học. Khái niệm vô hạn toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa vô hạn
hiện thực, và theo một nghĩa nào đó, có thể nói nó là sự trừu tượng về tính thực
hiện được.
Vô hạn hiện thực không chỉ có đặc trưng số lượng mà cả đặc trưng chất
lượng. Đặc trưng chất lượng về tính vô hạn của thế giới vật chất được biểu thị
thành sự đa dạng vô hạn của nó trong không gian và thời gian, trong sự đa dạng vô
hạn các thuộc tính của nó. Tính vô cùng vô tận là đặc điểm quan trọng nhất của vô
hạn hiện thực. Điều đó có nghĩa là cứ mỗi lần có sự biến đổi về chất lượng trong
phạm vi không gian - thời gian của các hiện tượng, người ta lại tìm thấy những

thuộc tính căn bản và tính quy luật của các hiện tượng.
Toán học với tư cách là khoa học về những quan hệ số lượng và các hình
thức không gian của thế giới hiện thực, nó phải trừu tượng khỏi những đặc điểm
chất lượng của các sự vật và các quá trình. Vì vậy, khi nghiên cứu tính vô hạn của
thế giới vật chất, toán học tự giới hạn ở việc nghiên cứu khía cạnh vô hạn của hiện
thực tách rời khỏi mặt chất lượng của các sự vật, các quá trình.
Trong toán học, người ta sử dụng ba hình thức vô hạn khác là: vô hạn thực
tế; vô hạn thực tại; vô hạn tiềm năng. Trong phạm vi bài viết này, để đạt được mục
tiêu: rèn luyện khả năng tư duy khoa học cho các đối tượng đang học tập và nghiên
cứu khoa học, chúng ta chỉ tập trung sự chú ý vào hai hạng: vô hạn thực tại và vô
hạn tiềm năng.
Trước hết, cần nhận thức rõ, vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng là hai mặt
thống nhất của vô hạn toán học.


Vô hạn thực tại được hiểu là một tập hợp vô hạn các phần tử đã được hoàn
thiện và đang cùng tồn tại. Ví dụ: tập hợp tất cả các số tự nhiên và tập hợp các số
thực,… và khi nói về lực lượng của các tập hợp này, ta xem như vô hạn phần tử
của chúng cùng tồn tại đồng thời. Đó là vô hạn thực tại.
Vô hạn tiềm năng là thứ vô hạn, trong đó chúng ta đưa ra khả năng xây dựng
dần các phần tử của nó. Theo quan niệm này, các phần tử của tập hợp vô hạn
không tồn tại đồng thời mà tồn tại trong quá trình xây dựng chúng theo các bước:
từ phần tử này đến phần tử kia, việc xây dựng xong phần tử này là điều kiện xây
dựng phần tử tiếp theo, và quá trình đó không có bước cuối cùng. Chẳng hạn, nếu
ta quan niệm tập hợp các bước tự nhiên được thành lập từ số trước đến số sau theo
tiến trình: 1, 2, 3, …, n, n+1, … thì vô hạn ở đây là vô hạn tiềm năng.
Để rèn luyện khả năng tư duy biện chứng cho các đối tượng đang học tập và
nghiên cứu khoa học, chúng ta cần làm rõ sự thống nhất giữa vô hạn thực và vô
hạn tiềm năng.
Trong triết học duy vật biện chứng, vô hạn và hữu hạn là cặp phạm trù biểu

hiện mối liên hệ hữu cơ giữa hai mặt đối lập của thế giới khách quan. Phạm trù
hữu hạn dùng để chỉ tính giới hạn và có ranh giới của một sự vật, hiện tượng, quá
trình nào đó trong không gian và thời gian về mặt số lượng và chất lượng. Theo từ
điển bách khoa Việt Nam “cái hữu hạn là hình thức thể hiện của các vô hạn, chứa
trong lòng nó một phần của cái vô hạn, và ngược lại, cái vô hạn được tạo nên từ cái
hữu hạn. Sự thống nhất mang tính mâu thuẫn đó giúp chúng ta có thể nhận thức
được cái vô hạn, mặc dù trong hoạt động ta chỉ tiếp xúc với cái hữu hạn” (1). Về
vấn đề này, Ph. Ăngghen cũng đã từng nhận xét: “Mọi nhận thức thực sự thấu đáo
chỉ là ở chỗ: trong tư duy, chúng ta tìm ra và xác định cái vô hạn trong cái hữu
hạn”(2).
Như vậy, nếu vận dụng nguyên lí triết học: “cái vô hạn chỉ có thể nhận biết
trong sự thống nhất với cái hữu hạn”, thì tính vô hạn toán học trong nội dung đầy
đủ của mình chỉ có thể đạt được thông qua mối tương quan giữa vô hạn thực tại và
vô hạn tiềm năng.
Trong suốt quá trình phát triển của toán học cả hai hình thức vô hạn này
luôn luôn thay thế cho nhau và bổ sung cho nhau.
Trên thực tế, nếu chúng ta chỉ thừa nhận sự tồn tại của vô hạn thực tại hoặc
vô hạn tiềm năng, mà không xem đó như hai mặt đối lập, thống nhất của một vấn
đề thì chắc chắn sẽ dần tới các nghịch lí không thể giải quyết được. Chẳng hạn,
trong thời kì cổ đại, các nghịch lí của Dênông (Asin không đuổi kịp con rùa và
nghịch lí mũi tên bay không tới đích) xuất hiện là do chỉ thừa nhận vô hạn tiềm
năng mà không sử dụng vô hạn thực tại. Theo quan điểm của Dênông, nếu gọi
khoảng cách ban đầu giữa Asin và con rùa là m, và tốc độ của Asin nhanh gấp k
lần tốc độ con rùa, thì như vậy khoảng cách giữa Asin và con rùa lần lượt được rút
ngắn đến vô hạn theo dãy số: m, m/k, m/k2, …, m/kn, … khoảng cách đó chỉ tiến
dần tới 0 chứ không thể bằng 0, do vậy Asin không bao giờ tiếp cận được con rùa.
Về thực chất trong quan niệm của Dênông đây là thứ vô hạn tiềm năng. Tiếp đó, lý
thuyết tập hợp của Cantor ra đời với sự thừa nhận vô hạn thực tại. Lý thuyết tập

hợp được sử dụng để luận chứng cho cơ sở toán học hiện đại. Tuy nhiên, lý thuyết
này lại xuất hiện một số nghịch lý liên quan đến vô hạn thực tại. Chính vì vậy
những khuynh hướng lập luận khác nhau về cơ sở của toán học hiện đại lại hướng
tới việc sử dụng vô hạn tiềm năng. Trong lịch sử phát triển của toán học còn ghi lại
những thành tựu rực rỡ và những hạn chế nhà toán học nổi tiếng người Pháp –
Cauchy, trong đó có vấn đề vô hạn. Đầu tiên Cauchy chỉ ra một cách đúng đắn
rằng, nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay một vật thể có thể chia nhỏ ra
đến vô hạn, thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật thể đó, cũng như
tập hợp các phần của một vật thể không thể biểu diễn bằng bất cứ số tự nhiên nào.
Đó là một quan điểm đúng, nhưng để mô tả cho nội dung của nó thì chỉ có sử dụng
số vô hạn. Song Cauchy lại khẳng định rằng, không thể có được ý kiến về số vô
hạn những sinh vật hay là số hạn những những vật thể cùng tồn tại mà không rơi
vào những mâu thuẫn hiển nhiên. Theo Cauchy, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp
vô hạn là ở chỗ nếu một tập hợp đối tượng mà vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả các
đối tượng đó theo một dãy nào đó, và có thể đánh số chúng sao cho những số hiệu
của chúng lập thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n,... và khi đó đã phải giả thiết
rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn. Cauchy cho rằng điều này là vô lí, ông lập
luận như sau: nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn thì một mặt, có bao nhiêu số
tự nhiên sẽ có bấy nhiêu n tương ứng với một số n2 và ngược lại.
1, 2, 3,…, n,…
12, 22, 32,…, n2, …
Mặt khác, nếu số tự nhiên n càng lớn, thì tỉ số giữa các số chính phương từ
một đến n càng trở nên nhỏ đi, từ đó ta có: nếu dãy số tự nhiên có thể kéo dài đến
vô hạn, thì các bình phương của dãy số đó chỉ là một bộ phận vô cùng nhỏ bé trong
dãy số đó. Theo Cauchy, chính điều giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn đã dẫn đến
những mâu thuẫn quá rõ ràng, cho nên cần phải bác bỏ giả thiết đó. Đó là lí do vì
sao Cauchy không bao giờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vô hạn. Đối với ông,
vô hạn chỉ là vô hạn tiềm năng.
Kết luận của Cauchy sai lầm ở chỗ, ông đã xuất phát từ việc đồng nhất tính
chất của những tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn một cách không có căn cứ. Điều

khẳng định của Cauchy không thể phủ nhận được tính chất khách quan của khái
niệm tập hợp vô hạn mà chỉ chứng tỏ rằng, các tập hợp vô hạn và hữu hạn có nhiều
tính chất khác nhau. Chẳng hạn, điều khẳng định “toàn thể lớn hơn mỗi bộ phận
của nó” chỉ đúng với những tập hợp hữu hạn mà không đúng trong lĩnh vực những
tập hợp vô hạn.
Tóm lại, nhìn vào lịch sử phát triển của toán học, cuộc đấu tranh giữa hai
quan điểm: quan điểm ủng hộ việc sử dụng vô hạn tiềm năng rất phức tạp và kéo
dài cho đến tận ngày nay. Việc giải quyết vấn đề này một cách triệt để phải tìm
kiếm trong thế giới hiện thực. Thế giới vật chất là vô hạn trong không gian và thời
gian, và nó mãi mãi là như vậy. Mặt khác thế giới vật chất cũng luôn luôn phát
triển và bao hàm trong mình khả năng biến đổi vô hạn tiếp theo. Chính vì vậy,
không chỉ đơn giản phủ nhận một mặt nào. Tính vô hạn của thế giới là sự thống
nhất của vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng. Để phản ánh sự thông nhất ấy, các


phương pháp nhận thức khoa học phải dựa trên mối quan hệ biện chứng giữa vô
hạn và thực tại và vô hạn tiềm năng. Đó cũng chính là cơ sở đáng tin cậy để rèn
luyện và phát triển tư duy lí luận cho các đối tượng đang học tập và nghiên cứu
khoa học trong các lĩnh vực khác nhau.
(1) Từ điển bách khoa (tập 4). NXB Từ điển bách khoa. H 2005, tr 922.
(2) Mac-Ăngggen toàn tập (tập 20). NXB Chính trị quốc gia. H 1995. tr 724