sknn " phat trien tu duy cho HS Qua BDT"

Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Phần A : Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp giảng dạy phù hợp với trình
độ học sinh đại trà và bồi dỡng cho học sinh khá giỏi trong các triết tự chọn và trong
ôn luyện học sinh giỏi, trang bị cho các em những kiến thức cơ bản những phơng
pháp giải toán là một yêu cầu rất quan trọng, đòi hỏi ngời giáo viên phải biết lựa
chọn, phối hợp tốt các phơng pháp giảng dạy. Việc lựa chọn những ví dụ điển hình
mang bản chất minh hoạ lí thuyết, hệ thống các bài tập cơ bản, không những khắc
sâu kiến thức mà còn phát triển t duy là rất quan trọng.
Thông qua dạy học toán, ngời học đợc cung cấp những kĩ năng tính toán, những
thao tác t duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển t duy lôgíc. Điều này
đợc thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán, mà đặc biệt là việc giải các bài toán
bất đẳng thức, nó là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên.
Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán có liên
quan đến bất đẳng thức, các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúng túng
trong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là:
- Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch,
phơng pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa các
bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từng
dạng toán cơ bản nhằm phát triển t duy cho học sinh .
- Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm ra h-
ớng giải còn gặp nhiều khó khăn, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cha thuần
thục, xét các trờng hợp còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng.
- Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết tự
chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi, bản thân tôi đã tích luỹ đ-
ợc một số kinh nghiệm phát triển t duy cho học sinh THCS qua bài toán bất đẳng
thức, tôi xin đợc trình bày ở đây một chút hiểu biết ở góc độ nhỏ, luôn mong muốn
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
1
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức

những vấn đề này sẽ là kinh nghiệm bổ ích cho bản thân và các đồng nghiệp tham
khảo trong các giờ dạy cho lớp đại trà và bồi dỡng học sinh khá giỏi.
II. Mục đích nghiên cứu:
1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải
các bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng, nhằm trang bị cho các em một số
kiến thức cơ bản về cách giải bài toán liên quan đến bất đẳng thức, các phơng pháp
giải này làm công cụ cho các em phát huy tính sáng tạo trong việc giải các bài toán
liên quan từ rễ đến khó và phức tạp hơn, từ đó các em có thể áp dụng trong các bài
toán nh:
giải phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2. Tập cho học sinh có hứng thú khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu tham
khảo, giúp học sinh tự giải đợc các bài tập liên quan trong các kì thi học sinh giỏi,
thi vào các trờng chuyên, thi vào trờng PTTH đồng thời trang bị cho các em những
kiên thức mở đầu làm nền tảng cho sau này học lên các lớp trên và chuẩn bị cho thi
vào các trờng chuyên nghiệp.
3. Giải đáp đợc một số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải bài toán bất đẳng thức
4. Nh tôi đã nói ở trên, nghiên cứu đề tài này cũng là một nội dung giáo án soạn
giảng một chuyên đề tự chọn môn Toán cho học sinh khối 8, 9. Đồng thời cũng là
một nội trong giáo án bồi dỡng học sinh cácđội tuyển học sinh Toán THCS hàng
năm mà tôi đang trực tiếp ôn luyện.
III. Đối tợng nghiên cứu:
Đối tợng nghiên cứu của đề tài này hớng tới học sinh học môn Toán Trung học cơ
sở. Đặc biệt là học sinh khối 8, 9 và học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi môn
Toán cuối cấp.

IV. Phạm vi đề tài:
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
2
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Phát triển năng lực, khả năng t duy có phơng pháp giải toán phù hợp cho học sinh

các lớp 8, 9 qua việc giải các bài toán bất đẳng thức.
V. Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán trong chơng trình Toán THCS cụ thể là đối với các lớp 8, 9, các lớp
học tiết tự chọn, các lớp học ôn thi học sinh giỏi của trờng THCS thị trấn Cành
Nàng.
Vi. Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài:
1. Về mặt lý luận:
Tạo cho học sinh có đợc một phơng pháp phù hợp khi giải các bài toán về bất đẳng
thức.
2. Về mặt thực tiễn:
Đề tài giúp học sinh THCS có đợc những kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng
thức và khắc phục những sai lầm khi giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, tạo
cho các em hứng thú nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.

Phần B: nội dung
I . Thực trạng vấn đề:
Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán có liên
quan đến bất đẳng thức thì các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúng túng
trong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là:
Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch,
phơng pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa các
bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từng
dạng toán cơ bản .
Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm ra h-
ớng chứng minh còn gặp nhiều khó khăn, cách trình bày cha logíc còn dài dòng lời
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
3
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
giải cha chặt chẽ, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cha thuần thục, xét các tr-
ờng hợp khoảng nghiệm còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng.

Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết tự
chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi trong những buổi đầu chất
lợng học sinh còn nhiều hạn chế
Kết quả là:
Lớp
Tổng
số
Giỏi Khá TB Yếu
HS
Tỉ lệ
%
HS
Tỉ lệ
%
HS
Tỉ lệ
%
HS
Tỉ lệ
%
8A 32 0 0 4 12,5 24 62.5 8 25
9A 35 0 0 8 22,8 20 57,2 7 20
II . Một số Phơng pháp chứng minh bất Đẳng Thức.
Trong mục này tôi muốn cung cấp một số phơng pháp chứng minh BĐT, nhằm
trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản về cách chứng minh bất đẳng
thức, giúp các em có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, mỗi ph-
ơng pháp có trình bày phơng pháp giải và các ví dụ minh hoạ đợc sắp xếp từ đơn
giản đến phức tạp nhằm củng cố lí thuyết, đồng thời có những ví dụ nâng cao nhằm
phát huy tính sáng tạo, tính tích cực t duy của học sinh.
1. Phơng pháp vận dụng trực tiếp định nghĩa:

Phơng pháp giải:
Để chứng minh A > B

ta chứng minh A - B > 0
(hoặc A < B

ta chứng minh A - B < 0 ).
Còn trờng hợp chứng minh A

B

ta chứng minh A B

0
(hoặc chứng minh A

B

ta chứng minh A B

0 ).
Đồng thời phải đi tìm điều kiện để dấu = xảy ra (

A- B = 0 )
Ví dụ:
Chứng Minh rằng ( a + b )
2


2( a

2
+ b
2
).
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
4
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Cách giải:
Để chứmg minh ( a + b )
2


2( a
2
+ b
2
). Ta đi chứng minh
2( a
2
+ b
2
) - ( a + b )
2


0
Ta có: 2( a
2
+ b
2

) - ( a + b )
2

= 2a
2
+ 2b
2
a
2
2ab b
2
= a
2
+ b
2
2ab = (a - b)
2


0 (đúng)
Dấu = xảy ra khi a = b
Vậy: ( a + b )
2


2( a
2
+ b
2
) (đpcm).

Ví dụ :
Với a, b, c

R. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ 1

ab + a + b
Cách giải:
Để chứng minh a
2
+ b
2
+ 1

ab + a + b

ta chứng minh a
2
+ b
2
+ 1 - ab - a b

0


2a
2

+ 2b
2
+ 2 - 2ab - 2a - 2b

0


(a
2
2ab + b
2
)+(b
2
- 2b + 1) +(a
2
2a +1)

0


(a - b)
2
+ (b - 1)
2
+ (a - 1)
2


0 luôn đúng.
Vì (a - b)

2


0; (b - 1)
2

0 ; (a - 1)
2


0
Dấu = xảy ra khi a = b = 1
Vậy a
2
+ b
2
+1

ab + a + b (đpcm).
Ví dụ:
Chứng minh rằng
1
2
2
2
+
+
x
x

2
Cách giải:
Ta có
1
2
2
2
+
+
x
x
- 2 =
1
122
2
22
+
++
x
xx
=
=
1
112)1(
2
22
+
+++
x

xx
=
1
)11(
2
22
+
+
x
x

0 (đúng)
Dấu = xảy ra khi x = 0
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
5
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Do đó
1
2
2
2
+
+
x
x


2.
Nhận xét: Trong ví dụ trên học sinh chuyển vế, biến đổi tơng đơng, nhng đòi hỏi
các em cần có t duy cao hơn ví dụ đầu, học sinh phải biết tách và nhóm các số hạng

để tạo thành những bình phơng đúng.
Ví dụ:
Cho a

1, b

1. Chứng minh rằng: a
1

b
+ b
1

a

ab
Cách giải:
Ta có: ab - a
1

b
- b
1

a
=
2
1
( 2ab - 2a
1

b
- 2b
1

a
)
=
2
1
[ a(b - 1 - 2
1

b
+1) + b(a - 1 -2
1

a
+1)]
=
2
1
[ a(
1

b
- 1)
2
+(
1

a
- 1)
2
]

0 (đúng).
Dấu = xảy ra khi a = b = 2
Do đó nếu a

1, b

1 thì a
1

b
+ b
1

a

ab.
Ví dụ:
Cho a, b, c

R. Chứng minh rằng
4
2
a
+ b

2
+ c
2



ab ac + 2bc
Cách giải:
Để chứng minh:
4
2
a
+ b
2
+ c
2



ab ac + 2bc
Thì
4
2
a
+ b
2
+ c
2
- ab + ac - 2bc

0
Ta thấy vế trái
4
2
a
+ b
2
+ c
2
- ab + ac - 2bc =
= (
2
a
)
2
+ b
2
+ c
2
- 2
2
ab
+ 2
2
ac
- 2
2
bc
=

=

(
2
a
- b + c)
2


0 (đúng).
Dấu = xảy ra khi a = 2(b - c)
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
6
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Vậy:
4
2
a
+ b
2
+ c
2



ab ac + 2bc (đpcm) .
Nhận xét : So với các ví dụ đã trình bày ở trên, yêu cầu học sinh biến đổi thành
bình phơng của tổng hoặc hiệu của hai số, thì trong ví dụ này nếu học sinh biến đổi
thành bình phơng của tổng, hoặc hiệu hai số thì tơng đối khó nhng biến đổi, để tạo
thành bình phơng của tổng 3 số thì đơn giản hơn nhiều. Qua ví dụ này, nhằm tạo

cho học sinh có hớng t duy sáng tạo đôi khi cần tạo thành bình phơng của hai hay
nhiều số. Ví dụ đối với học sinh khá giỏi để phát huy tính t duy sáng tạo ta có thể
yêu cầu các em chứng minh bài toán ở mực độ cao hơn nh:
Ví dụ: Cho a, b, c thỏa mãn abc = 1 , a
3
> 36. Chứng minh rằng:

3
2
a
+ b
2
+ c
2


> ab + ac + bc.
Gợi ý :
Ta có
3
2
a
+ b
2
+ c
2


- ab - ac - bc =
(

4
2
a
+ b
2
+ c
2
- ab ac + 2bc ) +
12
2
a
- 3bc =
(
2
a
- b - c)
2
+
a
a
12
36
3

> 0 (đúng).
Vậy: Nếu a, b, c thỏa mãn abc = 1 , a
3
> 36. Thì

3

2
a
+ b
2
+ c
2


> ab + ac + bc.
Ví dụ :
Chứng minh rằng: (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)

-1
Cách giải:
Từ: ( x - 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)

-1


(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 1

0


(x
2
5x + 4)( x
2
5x + 6) + 1

0 Đặt x
2
5x + 5 = t


(t - 1)(t + 1) + 1

0
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
7
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức


t
2
- 1 + 1

0


t
2

0 (đúng

t).
Dấu = xảy ra khi t = 0

x
2

- 5x + 5 = 0
x
1
= ( 5 -
53
)/2
x
2
= ( 5 +
53
)/2
Vậy: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

-1 (đpcm).
Kết quả và bàn luận :
Đối với ví dụ đã trình bày ở trên ta có thể sử dụng nhiều cách để chứng minh,
nh áp dụng các BĐT riêngSong bằng phơng pháp này thì các em học sinh rễ hiểu
hơn và có thể áp dụng để chứng minh các bài toán khác tơng tự hoặc khó hơn nữa.
Đối với dạng toán nh các ví dụ trên , ta nên chuyển vế theo định nghĩa sau đó ta
tách hoặc thêm bớt các số hạng để đa về dạng bình phơng của một tổng hoặc bình
phơng của một hiệu, của hai hay nhiều số rồi đa ra câu kết luận.

2 . Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng:
Phơng pháp giải:
Để chứng minh A

B, ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi tơng đơng
BĐT cần chứng minh đến một BĐT đã biết đơn giản hơn, rễ chứng minh hơn.
Ví dụ: Cho a, b, c > 0 và
a

1
+
bc
21
=
.
Chứng minh rằng :
ba
ba

+
2
+
bc
bc

+
2


4
Cách giải : Theo giả thiết ta có:
a
1
+
bc
21
=
b =
ca

ac
+
2
.
Nh vậy:
ba
ba

+
2
=
ca
ac
a
ca
ac
a
+

+
+
2
2
2
=
ca
acaca
ca
acaca
+

+
+
++
222
2
2
2
=
2
2
2
3
a
aca
+
=
a
ca
2
3
+
Tơng tự ta có :
bc
bc

+
2
=
c
cc

2
3
+
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
8
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Vậy:
ba
ba

+
2
+
bc
bc

+
2
=
a
ca
2
3
+
+
c
cc
2
3
+

=
ac
aaccac
2
33
22
+++
=
ac
acacca
2
4)2(3
22
++
=
42
2
4.3
2
2
)(3
2
=
+
ac
ac
ac
ca
( vì (a + c)
2

4ac)
Dấu = xảy ra khi a = c = b
Vậy:
ba
ba

+
2
+
bc
bc

+
2


4 (đpcm).
Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã áp dụng phép biến đổi tơng đơng thay việc chứng
minh
ba
ba

+
2
+
bc
bc

+

2


4 ta đi chứng minh:

a
ca
2
3
+
+
c
cc
2
3
+

4.
Ví dụ :
Cho a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b = 1 .
Chứng minh rằng: (1 +
a
1
)(1 +
b
1
)

9
Cách giải :

Để chứng minh (1 +
a
1
)(1 +
b
1
)

9
Ta đi chứng minh (a + 1)(b + 1)

9ab (vì a, b > 0)


ab + a + b +1

9ab


2

8ab


1

4ab (vì a + b = 1)


(a + b)

2

4ab


(a - b)
2

0 (luôn đúng ).
Dấu = xảy ra khi a = b.
Vậy nếu a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b = 1 thì (1 +
a
1
)(1 +
b
1
)

9
Ví dụ :
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
9
2 2
a(b a) b(a b)
0
(1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab)

+
+ + + +
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức

Cho ab

1. Chứng minh rằng:
2
1
1
a
+
+
2
1
1
b
+



ab
+
1
2
Cách giải:
Để chứng minh
2
1
1
a
+
+
2

1
1
b
+



ab
+
1
2
Ta chứng minh
2
1
1
a
+
+
2
1
1
b
+
-
ab
+
1
2

0

2
1
1
a
+
-
ab
+
1
1
+
2
1
1
b
+
-
ab
+
1
1


0

)1)(1(
11
2
2
aba
aab
++
+
+
)1)(1(
11
2
2
abb
bab
++
+

0





a(b - a)(1 + b
2
) + b(a - b)(1 + a
2
)

0


(a - b)[- a(1 + b
2
) + b(1 + a
2
)]

0


(a - b)(- a - ab
2
+ b + ba
2
)

0


(a - b)[ab(a- b) (a - b)]

0


(a - b)
2
(ab - 1)

0 (đúng vì (a - b)
2

0 và ab 1

0 )
Dấu = xảy ra khi a = b hoặc ab = 1
Do đó:
2
1
1
a
+
+
2
1
1
b
+



ab
+
1
2
với ab

1
Ví dụ : Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a

2
+ b
2
+ c
2
=
3
5
Chứng minh rằng:
a
1
+
b
1
-
c
1
<
abc
1
Cách giải:
Để chứng minh
a
1
+
b
1
-
c
1

<
abc
1
Ta sử dụng BĐT (a + b - c)
2


0
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab 2ac 2bc

0
2(ab ac bc)

- (a
2
+ b
2
+ c
2
)
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
10
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Do: a

2
+ b
2
+ c
2
=
3
5
2(ac + bc - ab)


3
5
ac + bc - ab


3
5
.
2
1
< 1
vì a, b, c > 0 chia cả hai vế cho abc ta đợc.

a
1
+
b
1
-

c
1
<
abc
1
suy ra đpcm.
Ví dụ:
Cho a, b, c > 0, thỏa mãn a + b + c = 4. Chứng minh rằng:

ba
+
+
bc
+
+
ca
+
> 4 .
Cách giải:
Do a, b, c > 0 và a + b + c = 4 nên 2a + 2b + 2c = 8 (1)
để chứng minh
ba
+
+
bc
+
+
ca
+
> 4

2
ba
+
+ 2
bc
+
+ 2
ca
+
> 8 (2)
Lấy (1) - (2) ta có 2a - 2
ba
+
+ 2b - 2
bc
+
+ 2c - 2
ca
+
< 0
(a - 2
ba
+
+ 1) + (b - 2
bc
+
+ 1) + (c - 2
ca
+
+ 1) < 3

(
ba
+
- 1)
2
+ (
bc
+
- 1)
2
+ (
ca
+
- 1)
2
< 3
Do a, b, c > 0 và a + b + c = 4 a + b < 4

ba
+
< 2

ba
+
- 1 < 1
(
ba
+
- 1)
2

< 1
(
ba
+
- 1)
2
+ (
bc
+
- 1)
2
+ (
ca
+
-1)
2
< 3 (đúng).
Vậy a, b, c > 0 , thỏa mãn a + b + c = 4.
thì
ba
+
+
bc
+
+
ca
+
> 4 .
Ví dụ : Cho x, y là các số thực bất kỳ, thỏa mãn điều kiện
x

2
+ 5y
2
4xy x + 2y 6 = 0.
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
11
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh rằng: -1

x 2y + 1

4
Cách giải:
Ta có x
2
+ 5y
2
4xy x + 2y 6 = 0 (1)


(x
2
4xy + 4y
2
) + (x 2y) 6 = - y
2

0

(x 2y)
2
- (x 2y) - 6


0


(x 2y + 2)(x 2y - 3)

0


-2

x 2y

3


-1

x 2y + 1

4.
Dấu = xảy ra khi x 2y = - 2 hoặc x 2y = 3
rút x hoặc y thay vào (1), ta có (-2; 0) và (- 26/9; - 4/9).
Vậy nếu x, y thỏa mãn x
2

+ 5y
2
4xy x + 2y 6 = 0.
Thì - 1

x 2y + 1

4
Kết quả và bàn luận :
Trong quá trình giảng dạy đối với phơng pháp biến đổi tơng đơng này, với những
ví dụ tôi đa ra từ đơn giản đến khó theo cấp độ tăng dần, tôi nhận thấy học sinh nắm
bài tốt và các em vận dụng rất hiệu quả.
3. Phơng pháp vận dụng một số bất đẳng thức cơ bản:
Để chứng minh một BĐT nào đó ta có thể đa bài toán về dạng một số BĐT quen
thuộc để chứng minh.
Một số BĐT cơ bản thờng gặp. Phần này giáo viên nên cho học sinh tự chứng
minh, coi nh là bài tập và yêu cầu học sinh nhớ để vận dụng cho các bài toán sau
này .
1. (a + b)
2


0 hoặc (a - b)
2


0
Dấu = xảy ra khi a = b hoặc a = - b
2. (a + b)
2

4ab
ab
1


2
)(
4
ba
+
Với a, b > 0

a
1
+
b
1


ba
+
4
Với a, b > 0
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
12
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Dấu = xảy ra khi a = b
3.

a
b
+
b
a


2 Với a, b > 0
4.
a
1
+
b
1
+
c
1



cba
++
9
:
5. a + b

a + b và a - b

a - b
Dấu = xảy ra khi ab

0
6. a + b + c

a + b + c
7. a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n


a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
8. 2 (x
2
+ y
2
)

(x + y)

2


4xy Dấu = xảy ra khi x = y
9. 3(x
2
+ y
2
+ z
2
)

(x + y + z)
2


3(xy + xz + zy).
Dấu = xảy ra khi x = y = z
10. BĐT cô si : Nếu a, b > 0 ta có a + b

2
ab
.
Dấu = xảy ra khi a = b
Tổng quát: Nếu a
1,
a
2
, a
3

,.a
n
> 0 ta có a
1
+

a
2
+ a
3
+.+ a
n


n
n
n
aaa ...
21
Dấu = xảy ra khi a
1
=

a
2
= a
3
=.= a
n

11. BĐT Bunhiacopxki
ax + by


))((
2222
yxba
++
. Dấu = xảy ra khi ay = bx
12. BĐT Mincopxki

22
ba
+
+
22
yx
+



22
)()( ybxa
+++
.
Dấu = xảy ra khi ay = bx
Ví dụ :
Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b

1. Chứng minh rằng:

ab
2
+
22
3
ba
+


14
Cách giải :
Ta áp dụng BĐT
x
1
+
y
1



yx
+
4
(x, y > 0 )
Do a, b > 0 và a + b

1 =>
ba
+
1

1.
2
)(
1
ba
+

1.
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
13
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Mặt khác ta có:
ab2
3
+
22
3
ba
+
= 3(
ab2
1
+
22
1
ba
+
)

3(
abba 2
4
22
++
) = 3
2
)(
4
ba
+
Và lại có:
ab
1


2
)(
4
ba
+

4
Suy ra:
ab
2
+

22
3
ba
+
=
ab
2
+ (
ab2
3
+
22
3
ba
+
)


a
1
.4 + 12 = 14
Dấu = xảy ra khi a = b.
Vậy nếu a, b > 0 thỏa mãn a + b

0 thì
ab
2
+
22
3

ba
+


14
Ví dụ :
Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng:

cba
++
2
4
+
cab
++
2
4
+
abc
++
2
4


a
1
+
b
1
+

c
1
Cách giải:
Ta áp dụng BĐT
x
1
+
y
1



yx
+
4
(x , y > 0 )
Nên:
cba
++
2
4


a2
1
+
cb
+
1

a2
1
+
)(4
1.4
cb
+


a2
1
+
b4
1
+
c4
1

cba
++
2
4


a2
1
+
b4
1

+
c4
1
(1)
Tơng tự:
cab
++
2
4

b2
1
+
a4
1
+
c4
1
(2)

abc
++
2
4


c2
1
+
a4

1
+
b4
1
(3)
Từ (1) ,(2) và (3)
cba
++
2
4
+
cab
++
2
4
+
abc
++
2
4



a2
1
+
b4
1
+
c4

1
+
b2
1
+
a4
1
+
c4
1
+
c2
1
+
a4
1
+
b4
1

cba
++
2
4
+
cab
++
2
4
+

abc
++
2
4


a
1
+
b
1
+
c
1
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
14
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Vậy
cba
++
2
4
+
cab
++
2
4
+
abc

++
2
4


a
1
+
b
1
+
c
1
Ví dụ:
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:

cba
+
1
+
cba
+
1
+
cba
++
1


a

1
+
b
1
+
c
1
Cách giải:
Ta áp dụng BĐT
x
1
+
y
1



yx
+
4
(x , y > 0 )
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên:
a + b - c > 0 ; a b + c > 0; - a + b + c > 0
Ta có:
cba
+
1
+
cba
+

1



a
2

cba
+
1
+
cba
++
1


c
2

cba
+
1
+
cba
++
1


b
2

Cộng vế với vế ta đợc:
2(
cba
+
1
+
cba
+
1
+
cba
++
1
)

2(
a
1
+
b
1
+
c
1
)


cba
+

1
+
cba
+
1
+
cba
++
1


a
1
+
b
1
+
c
1
Dấu = xảy ra khi a = b = c.
Vậy
cba
+
1
+
cba
+
1
+
cba

++
1


a
1
+
b
1
+
c
1
Ví dụ :
Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn
x
1
+
y
1
+
z
1
= 4
Chứng minh rằng:
zyx
++
2
1
+
zyx

++
2
1
+
zyx 2
1
++

1
Cách giải:
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
15
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Ta áp dụng BĐT :
x
1
+
y
1



yx
+
4
(x, y > 0 )
Từ :
x
1
+

y
1
+
z
1
= 4
8 = 2(
x
1
+
y
1
+
z
1
) = (
x
1
+
y
1
) + (
y
1
+
z
1
) + (
x
1

+
z
1
)



yx
+
4
+
yz
+
4
+
zx
+
4
= 4(
yx
+
1
+
yz
+
1
+
zx
+
1

) (1)
Tơng tự ta có: 2(
yx
+
1
+
yz
+
1
+
zx
+
1
)

zyx
++
2
4
+
zyx
++
2
4
+
zyx 2
4
++
(2)
Từ (1) Và (2) 8

2(
zyx
++
2
4
+
zyx
++
2
4
+
zyx 2
4
++
)
8

8(
zyx
++
2
1
+
zyx
++
2
1
+
zyx 2

1
++
)

zyx
++
2
1
+
zyx
++
2
1
+
zyx 2
1
++


16
1
(
1
x
+
y
1
+
z
1

)

1
Dấu = xảy ra khi x = y = z.
Ví dụ :
Cho a, b, c là ba số dơng .
Chứng minh rằng:
bc
a
+
ac
b
+
ba
c


a
1
+
b
1
+
c
1
Cách giải:
Ta áp dụng BĐT phụ:
a
b
+

b
a


2 (a, b > 0)
Thật vậy: a
2
+ b
2


2ab => (a + b )
2

0 (đúng) .
Ta có:
bc
a
+
ac
b
=
c
1
(
a
b
+
b
a

)

2
c
1

ac
b
+
ba
c
=
a
1
(
c
b
+
b
c
)

2
a
1

bc
a
+
ba

c
=
b
1
(
c
a
+
a
c
)

2
b
1
,
Cộng vế với vế ta đợc:
2(
bc
a
+
ac
b
+
ba
c
)

2(
a

1
+
b
1
+
c
1
)
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
16
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức

bc
a
+
ac
b
+
ba
c



a
1
+
b
1
+
c

1
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Vậy nếu a, b, c > 0 thì:
bc
a
+
ac
b
+
ba
c



a
1
+
b
1
+
c
1
Nhận xét : Trong ví dụ trên hớng dẫn để học sinh áp dụng BĐT phụ là

a
b
+
b
a

2 (a, b > 0). Đối với bài toán trên nếu các em dùng biện pháp biến đổi
tơng đơng thì rất phức tạp nhng nếu các em biết cách áp dụng một số BĐT riêng
làm công cụ bài toán trở thành đơn giản hơn nhiều. Qua đó nhằm khích lệ các em
có những hớng t duy khác nhau trong khi chứng minh cùng một bài toán.
Ví dụ : Cho x thỏa mãn
3
2
< x <
2
13
.
Chứng minh rằng :
23
1

x
-
10
1

x
+
x213
1



7
3

Cách giải:
Ta áp dụng BĐT phụ:
a
1
+
b
1
+
c
1



cba
++
9
(a, b, c > 0)
Do
3
2
< x <
2
13
3x 2 > 0; 13 2x > 0 và 10 x > 0
Vậy vế trái
23
1

x
-

10
1

x
+
x213
1

=
23
1

x
+
x

10
1
+
x213
1

=
=
23
1

x
+
x

10
1
+
x213
1



xxx 2131023
9
++
=
27
9
=
7
3
Dấu = xảy ra khi 3x 2 = 10 - x = 13 2x => x = 3 thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy nếu x thỏa mãn
3
2
< x <
2
13
. Thì
23
1

x

-
10
1

x
+
x213
1




7
3
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =2x - 5+ 2x - 13
Cách giải: áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối, ta có:
2x - 5+ 2x - 13=2x - 5+ 13 2x 2x 5 + 13 2x = 8
Dấu = xảy ra khi (2x - 5)( 13 2x) 0
5
2
x
13
2
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
17
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi
5
2
x

13
2
.
Ví dụ:
Cho x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng: a(x- y) + b(x + y)


2
Cách giải:
áp dụng BĐT phụ (bất đẳng thức Bunhiacôpxki) ta có
a(x- y) + b(x + y)


])())[((
2222
yxyxba
+++
a(x- y) + b(x + y)


)(2.1
22

yx
+
=
2
(đpcm).
Ví dụ:
Cho 2a
2
+ b
2
> 0 . Chứng minh rằng:
22
2 ba
ba
+
+


2
1
6
Cách giải:
áp dụng BĐT phụ (bất đẳng thức Bunhiacôpxki) ta có:

22
2 ba
ba
+
+

22
2
1.
2
1
..2
ba
ba
+
+



22
2222
2
]1)
2
1
][().2[(
ba
ba
+
++
=
=
22
22

2
)1
2
1
)(2(
ba
ba
+
++
=
=
22
22
2
6).2(
2
1
ba
ba
+
+
=
2
1
6
(đpcm).
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
22
)1(

+
yx
+
22
)1(
+
xy



2
Cách giải:
áp dụng BĐT phụ (bất đẳng thức Mincôpxki) ta có:

22
)1(
+
yx
+
22
)1(
+
xy
=
22
)1( yx
+
+
22
)1( yx

+


22
)1()1( yyxx
+++
=
22
11
+
=
2

Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
18
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Dấu = xảy ra khi x.y = (1- y).(1- x) => x + y = 1
Vậy
22
)1(
+
yx
+
22
)1(
+
xy


2

(đpcm).
Ví dụ : Chứng minh rằng :
A =
1
2
++
xx
+
1
2
+
xx


2
B =
269
2
+
xx
+
269
2
++
xx


2
2

=> Bài toán tổng quát :
M =
cbxax
++
2
+
cbxax
+
2


2
c
Cách giải:
Cách 1: A
2
= x
2
+ x + 1 + x
2
x + 1 + 2
)1)(1(
22
+++
xxxx
= 2x
2
+ 2 + 2
1
24

++
xx


2 + 2
=> A

2 (đpcm).
Cách 2: áp dụng BĐT phụ (BĐT Mincôpxki)
A =
22
)
2
1
()
2
1
(
++
x
+
22
)
2
1
()
2
1
(
+

x
=
22
)
2
1
()
2
1
(
++
x
+
22
)
2
1
()
2
1
(
+
x




22
)
2

1
2
1
()
2
1
2
1
(
++++
xx


4
= 2 (đpcm).
Câu b, c : Ta chứng minh tơng tự.
Kết quả và bàn luận:
Khi các em đã nắm đợc phơng pháp chứng minh bằng các áp dụng một số BĐT cơ
bản, hầu hết các em giải các bài toán với tốc độ nhanh hơn so với các phơng pháp sử
dụng định nghĩa và biến đổi tơng đơng.
4 . Phơng pháp làm trội :
Đối với những bài tóan dạng này ta có thể làm tăng trội ở mẫu, hay làm trội ở tử
để so sánh hai phân số (phân thức với nhau)
Nếu a > b a + c > b + c, hay a - c > b - c
Nếu a > b a.c > b.c (với c > 0), hay a.c < b.c (với c < 0)
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
19
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Nếu
b

a
<
d
c
thì
b
a
<
mb
ma
+
+
<
d
c
(với a, b > 0, a < b)
Nếu a

b > 0 thì
b
a



mb
ma
+
+
(m > 0)
Nếu a > b > 1 thì

a
1
<
b
1

Nếu 0 < a < b < 1 thì
a
1
>
b
1

Ví dụ :
Chứng ming rằng

n

N
*
. Chứng minh rằng:
A =
2
2
1
+
2
3
1
+

2
4
1
+
2
5
1
++
2
1
n
< 1
Cách giải:
Ta có:
2
2
1
<
2.1
1
=
1
1
-
2
1

2
3
1

<
3.2
1
=
2
1
-
3
1

2
4
1
<
4.3
1
=
3
1
-
4
1

2
5
1
<
5.4
1
=

4
1
-
5
1


2
1
n
<
nn )1(
1

=
1
1

n
-
n
1
Cộng vế với vế
A < 1 -
n
1
< 1
Vậy: A =
2
2

1
+
2
3
1
+
2
4
1
+
2
5
1
++
2
1
n
< 1
Ví dụ:
Chứng minh rằng với n là số nguyên dơng bất kì thì :
1 +
2
2
1
+
2
3
1
+
2

4
1
+
2
5
1
+ +
2
1
n
< 1,65
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
20
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Cách giải :
Với k là số nguyên dơng bất kỳ ta luôn có :

2
1
k
<
25,0
1
2

k
=
5,0
1

k
.
5,0
1
+
k
=
5,0
1

k
-
5,0
1
+
k
Vậy:
2
3
1
<
5,2
1
-
5,3
1

2
4
1

<
5,3
1
-
5,4
1

2
5
1
<
5,4
1
-
5,5
1
..

2
1
n
<
5,0
1

n
-
5,0
1
+

n

Cộng vế với vế ta đợc:
1 +
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+
2
5
1
+ +
2
1
n
<
1 +
2
2
1
+
5,2

1
-
5,0
1
+
n
< 1 +
2
2
1
+
5,2
1
= 1,65
Vậy : 1 +
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+
2
5
1

+. ..+
2
1
n
< 1,65 (đpcm).
Ví dụ: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1 <
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
< 2.
Cách giải :
Do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c
Theo bài ra ta có:
cba
a
++
<
cba
aa
++
+

=
cba
a
++
2

cba
b
++
<
cba
bb
++
+
=
cba
b
++
2

cba
c
++
<
cba
cc
++
+
=
cba

c
++
2

Cộng vế với vế ta đợc:
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
21
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức

cba
cba
++
++
<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
<
cba
cba
++
++

)(2
= 2
Vậy: 1 <
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
< 2.
Ví dụ:
Chứng minh rằng

a, b

0 ta luôn có:
1 <
1
2
2
+
a
a
+
1

2
2
+
b
b
+
22
1
ba
+
< 2
Cách giải:
Ta dùng phơng pháp làm trội ta có:

1
22
2
++
ba
a
<
1
2
2
+
a
a
<
1
22

22
++
+
ba
ba

1
22
2
++
ba
b
<
1
2
2
+
b
b
<
1
22
22
++
+
ba
ba

22
1

ba
+
<
22
1
ba
+
<
1
2
22
++
ba

Cộng vế với vế ta đợc:

1
1
22
22
++
++
ba
ba
<
1
2
2
+
a

a
+
1
2
2
+
b
b
+
22
1
ba
+
<
1
)1(2
22
22
++
++
ba
ba
1 <
1
2
2
+
a
a
+

1
2
2
+
b
b
+
22
1
ba
+
< 2 (đpcm).
Ví dụ:
Chứng minh rằng

a, b, c > 0 ta luôn có:

1
2
+
a
a
+
1
2
+
b
b
+
1

2
+
c
c



2
3



cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
Cách giải:
* Ta đi chứng minh:
1
2
+
a
a

+
1
2
+
b
b
+
1
2
+
c
c



2
3
Dùng phơng pháp làm trội ta có:
1 + a
2


2a
1
2
+
a
a

a
a
2
=
2
1
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
22
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức

1
2
+
b
b



b
b
2
=
2
1
;

1
2
+

c
c



c
c
2
=
2
1
,
Cộng vế với vế ta đợc:

1
2
+
a
a
+
1
2
+
b
b
+
1
2
+
c

c



2
3
(1)
* Ta đi chứng minh:
2
3



cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b => a + b + c =
2
zyx
++
a =
2

zyx
++
; b =
2
zyx
+
; c =
2
zyx
+
Ta có:
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
=
x
zyx
2
++
+
y
zyx

2
+
+
z
zyx
2
+
=

2
1
[(
x
y
+
y
x
) + (
x
z
+
z
x
) + (
z
y
+
y
z
) - 3]

2
1
(2 + 2 + 2 - 3 ) =
2
3

2
3



cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba
c
+
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
1
2
+
a

a
+
1
2
+
b
b
+
1
2
+
c
c



2
3



cb
a
+
+
ca
b
+
+
ba

c
+
5. Phơng pháp phản chứng :
Để chứng minh A > B (A < B), ta giả sử A < B (A > B) , từ đó lập luận để dẫn
đến điều vô lí. Nh vậy , ta đã dùng phơng pháp chứng minh phản chứng.
Ví dụ: Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đúng:
a
2
+ 2bc

0; b
2
+ 2ac

0; c
2
+ 2ab

0
Cách giải:
Giả sử các bất đẳng trên đều sai :
Do đó, ta có: a
2
+ 2bc < 0; b
2
+ 2ac < 0; c
2
+ 2ab < 0
a
2

+ 2bc + b
2
+ 2ac + c
2
+ 2ab < 0
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
23
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
(a + b + c )
2
< 0 (vô lí )
Do vậy, điều giả sử các bất đẳng thức: a
2
+ 2bc < 0; b
2
+ 2ac < 0; c
2
+ 2ab < 0 là
sai . Vậy phải có ít nhất một đẳng thức trên là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
a -
bc
< 0 ; b -
ac
< 0 ; c -
ba
< 0 (với a, b, c > 0)
Cách giải:
Giả sử các bất đẳng trên đều đúng :
Do đó , ta có: a -

bc
< 0 ; b -
ac
< 0 ; c -
ba
< 0
a -
bc
+ b -
ac
+ c -
ba
< 0
2a - 2
bc
+ 2b - 2
ac
+ 2c - 2
ba
< 0
(c + b - 2
bc
) + ( a + c - 2
ac
) + (b + a - 2
ba
) < 0
(
c
-

b
)
2
+ (
a
-
c
)
2
+ (
b
-
a
)
2
< 0 (vô lí)
Do vậy, các bất đẳng thức: a -
bc
< 0 ; b -
ac
< 0 ; c -
ba
< 0, không thể
đồng thời đúng. Vậy phải có ít nhất một đẳng thức trên là sai.
Ví dụ: Cho ba số dơng a, b, c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong
các bất đẳng thức sau là sai
a(2 - b) >1 ; b(2 - c) >1 ; c(2 a) > 1
Cách giải:
Giả sử các bất đẳng trên đều đúng :
Do đó, ta có: a(2 - b) >1 ; b(2 - c) >1 ; c(2 a) > 1

Nhân vế với vế: a(2 - b)b(2 - c)c(2 a) > 1 (1)
Mặt khác: a( 2 - a ) = 2a a
2
= 1 (1 2a + a
2
)
= 1 (1- a)
2


1
Và do: 0 < a < 2 => a(2- a) > 0
Ta có: 0 < a(2 - a)

1
Tơng tự: 0 < b(2 - b)

1; 0 < c( 2 - c )

1
Do đó: a(2 - b)b(2 - c)c(2 a)

1 (2)
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
24
Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn.
Do đó có ít nhất một bất đẳng thức sai.
Ví dụ: Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng
thức sau là sai.

a
( 1 -
b
) >
4
1
;
b
(1 -
c
) >
4
1
;
c
(1 -
a
) >
4
1
.
Cách giải:
Giả sử các bất đẳng trên đều đúng :
Ta có:
a
( 1 -
b
) >
4
1

;
b
(1 -
c
) >
4
1
;
c
(1 -
a
) >
4
1
Nhân vế với vế ta đợc:
a
( 1 -
b
)
b
(1 -
c
)
c
(1 -
a
) > (
4
1
)

3
(1)
Mặt khác:
a
( 1 -
a
) =
a
- a =
4
1
- (
4
1
-
a
+ a)
=
4
1
- (
2
1
-
a
)
2


4

1
, và do 0 < a < 1
Do đó: 0 <
a
( 1 -
a
)


4
1
Chứng minh tơng tự ta cũng có:
0 <
b
( 1 -
b
)


4
1
; 0 <
c
( 1 -
c
)


4
1

=>
a
( 1 -
a
)
b
(1 -
b
)
c
( 1 -
c
)

(
4
1
)
3
(2)
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2). Do đó có ít nhất một bất đẳng thức sai.
Kết quả và bàn luận:
Với phơng pháp chứng minh bằng phản chứng, có thể chứng minh đợc những bài
toán chứng minh BĐT mà các phơng pháp kia không giải đợc, hoặc khi giải gặp
nhiều khó khăn trong việc biến đổi hay không thể tìm ra các BĐT cơ bản nào để áp
dụng. Trong quá trình giảng dạy, tôi đa phơng pháp này ra học sinh cảm thấy rễ
hiểu và có thể áp dụng để giải các bài toán khác.
Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn
25