Chuyên đề 1: Ứng dụng của đạo hàm khảo sát hàm số

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Chuyên đề

DỤNG CỦA ĐẠO HÀM - KHẢO
1SÁTỨNG
HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. HÀM SỐ BẬC BA
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4

Bài giải
 Tập xác định:
 Đạo hàm:

 Cho

D=¡

y ¢ = - 3x 2 + 12x - 9

éx = 1
y ¢ = 0 Û - 3x 2 + 12x - 9 = 0 Û ê
êx = 3
ê
ë
;

lim y = + ¥

 Giới hạn:

x ®- ¥

lim y = - ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x –
y¢

1
–

0

3
+

+

0

–

y

+

4
0

–

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–;1), (3;+)
 Hàm số đạt cực đại tại
 Bảng giá trị:

x CÑ = 3 y CÑ = 4
x = 1 y CT = 0
,
, đạt cực tiểu tại
,

x 0

1

2

3

4

y 4

0

2

4

0

 Đồ thị:

THPT MONG THỌ

Page 1


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

y = x 3 - 3x 2 + 3x

Bài giải
 Tập xác định:
 Đạo hàm:
 Cho

D=¡

y ¢ = 3x 2 - 6x + 3

y ¢ = 0 Û 3x 2 - 6x + 3 = 0 Û x = 1

;

lim y = - ¥

 Giới hạn:

x ®- ¥

 Bảng biến thiên
x

lim y = + ¥

x ®+ ¥

–

1

y¢

+

+

0

+
+¥

y

1
- ¥

 Hàm số đồng biến trên tập xác định R.


y ¢¢ = 6x - 6 = 0 Û x = 1 Þ y = 1

 Bảng giá trị:

x
y

0
0

. Điểm uốn là I(1;1)
1

1

2
2

 Đồ thị:

y =Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1 3
x - x+2
3

Bài giải
 Tập xác định:
 Đạo hàm:

D=¡

y ¢= - x2 - 1

Page 2

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
 Cho

y¢= 0 Û - x2 - 1 = 0

vô nghiệm
;

lim y = + ¥

 Giới hạn:

x ®- ¥

lim y = - ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x

–

+
-

y¢
+¥
y

- ¥

 Hàm số nghịch biến trên tập xác định R.


y ¢¢ = - 2x = 0 Û x = 0 Þ y = 2

 Bảng giá trị:

x -1

y

10
3

0

. Điểm uốn là I(0;2)
1
2
3

2

 Đồ thị:

B. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y = - x 4 + 4x 2

Bài giải
 Tập xác định:
 Đạo hàm:

D=¡

y ¢ = - 4x 3 + 8x

éx = 0
Û - 4x + 8x = 0 Û 4x (- x + 2) = 0 Û ê
ê

x =± 2
ê
y ¢= 0
ë
3

 Cho

lim y = - ¥

 Giới hạn:

x ®- ¥

2

;

lim y = - ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
THPT MONG THỌ

Page 3


ÔN THI THPT QUỐC
GIA

x

2

-

–

y¢

+

2

0

0

–

0

+

0

+
–

y

4

4

–

0

–

 Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- ¥ ; -

nghịch biến trên các khoảng
 Hàm số đạt cực đại tại
 Bảng giá trị:

x

x =± 2

- 2

y

2

-

0

(-

,

2; 0),( 2; + ¥ )
x =0

, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại
2

0

4

2),(0; 2)

0

, yCT = 0

2

4

0

 Đồ thị:

y=
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1 4
3
x + x2 +
4
2

Bài giải
 Tập xác định:
 Đạo hàm:

D=¡

y ¢ = x 3 + 2x

éx = 0
Û x + 2x = 0 Û x (x + 2) = 0 Û ê
êx 2 + 2 = 0 Û x = 0
ê
y ¢= 0
ë
3

 Cho

2

;

lim y = + ¥

 Giới hạn:

x ®- ¥

lim y = + ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x

–

0
Page 4

+
THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
y¢

–

0

+

+¥

+¥

y

3
2

 Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- ¥ ; 0)

, đồng biến trên khoảng

(0; + ¥ )

3
x = 0 yCT = 2
 Hàm số đạt cực tiểu tại
,
x
 Bảng giá trị:
-1
0
1
11
4

y

3
2

11
4

 Đồ thị:

C. HÀM NHẤT BIẾN
y=
Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2x - 1
x- 1

Bài giải
 Tập xác định:

D = ¡ \ {1}

y¢=
 Đạo hàm:

- 1
(x - 1)2

< 0, " x Î D

 Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
lim y = 2

 Tiệm cận:

x ®- ¥

lim y = - ¥

x ®1-

;

¥ ;1)

và

( 1;+ ¥ )

lim y = 2 Þ y = 2

x ®+ ¥

là tiệm cận ngang.

; lim y = + ¥
x ®1+

Þ x =1

là tiệm cận đứng.

 Bảng biến thiên
THPT MONG THỌ

(-

Page 5


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
x
y¢

–

1

+

–

–
y

2
+

–

2

 Bảng giá trị:

x
y

–1

0

1

2

3

3/2

1

||

3

5/2

y=
Ví dụ 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

x
x+1

Bài giải
 Tập xác định:

D = ¡ \ {- 1}

y¢=
 Đạo hàm:

1
(x + 1)2

> 0, " x Î D

 Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- ¥ ; - 1)

và

(- 1; + ¥ )

 Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 1

x ®- ¥

lim y = + ¥

x ®(- 1)-

;
;

Þ y =1

lim y = 1

x ®+ ¥

là tiệm cận ngang.

lim y = - ¥

x ®( - 1)+

Þ x =- 1
là tiệm cận đứng.

 Bảng biến thiên
x
y¢
y

- 1

–

+

+
+

+¥

1
- ¥

1

Page 6

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
- 3
 Bảng giá trị:
x
y

- 2

- 1

2

||

1,5

0

1

0

0,5

BÀI TOÁN 2
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Thường gặp các trường hợp sau:

y=

y=

P (x )
Þ¹ T X Ð : Q (x )
Q (x )
P (x )
Q (x )

0
;

y = Q (x ) Þ³ T X Ð : Q (x )

0

;

Þ T X Ð : Q (x ) > 0

Bước 2: + Tính đạo hàm
+ Cho

y ' = f '(x )

y ' = f '(x ) = 0

+ Tìm các điểm

xi

.

tìm nghiệm

tại đó

xi

y ' = f '(x )

với

( i = 1;2; 3;...; n )

không xác định

Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu

y ' = f '(x )

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
+
+

f '(x ) = y ' > 0 Þ
f '(x ) = y ' < 0 Þ

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng……và……
Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng…và……

B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a/

y = - x 4 + 4x 2 - 3

.

b/

Bài giải
THPT MONG THỌ

Page 7

y = x 4 - 6x 2 + 8x + 1

.

.


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
a/ Hàm số

y = - x 4 + 4x 2 - 3

 Hàm số đã cho xác định trên
y ' = - 4x 3 + 8x

 Tính

.
D=¡

.

.

éx = 0
é4x = 0

ê
Û ê
Û
ê
ê- x 2 + 2 = 0
3
2
x =± 2
ê
ê
y ' = 0 Û - 4x + 8x = 0 Û 4x (- x + 2) = 0
ë
ë

 Cho

 Bảng xét dấu:
x

2

-

–

y'

+

2

0

0

–

0

+

+

0

–
y

1

1

–

–3

–

 Dựa vào bảng biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên:

( - ¥ ; - 2 ) ( 0; 2 )

 Hàm số nghịch biến trên:
b/ Hàm số:

(-

2; 0

và

.

) (

2;+ ¥

và

y = x 4 - 6x 2 + 8x + 1

 Hàm số đã cho xác định trên
 Tính

)

.

.

D=¡

.

y ' = 4x 3 - 12x + 8 = 0 = 4 ( x - 1)

y ' = 0 Û 4 ( x - 1)
 Cho

2

( x + 2) = 0 Û

2

( x + 2)

.

éx = - 2
ê
êx = 1
ê
ë

 Bảng xét dấu:
Page 8

THPT MONG THỌ

ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
- ¥

- 2

y'

1

0

-

+¥

0

+

+

y

+¥

+¥

 Hàm số nghịch biến trên

(-

¥ ; - 2)

và đồng biến đồng biến trên khoảng

(-

2; + ¥

)

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a/

y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4

.

b/

y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2

.

Bài giải
a/ Hàm số:

y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4

D=¡

 Hàm số đã cho xác định trên

 Tính

y ' = - 3x 2 + 12x - 9

.

. Cho

.

éx = 1
2
¢
y = 0 Û - 3x + 12x - 9 = 0 Û ê
êx = 3
ê
ë

 Bảng biến thiên:
x
- ¥

1

y'

0

-

y

0

 Dựa vào bảng biến thiên:

 Hàm số đồng biến trên:
b/ Hàm số

( - ¥ ;1)

( 1; 3)

và

( 3;+ ¥ )

.

.

y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2

 Hàm số đã cho xác định trên

THPT MONG THỌ

+

0

+¥

-

4

+¥

 Hàm số nghịch biến trên:

3

.

.

D=¡

.

Page 9

- ¥

.


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
 Tìm

y ' = 3x 2 + 6x + 3

. Cho

y ' = 0 Û 3x 2 + 6x + 3 = 0 Û x = - 1

 Bảng biến thiên:
x
- ¥

.
+¥

- 1

y'

+

0

+

y = f (x )

+¥

 Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên
Hay hàm số đồng biến trên tập xác định

D=¡

(-

é- 1; + ¥
¥ ; - 1ù
ú
ûÈ ê
ë

)

.

.

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
y=
a/

2x - 1
x- 1

y=
.

b/

3x + 1
1- x

Bài giải
y=
a/ Hàm số:

2x - 1
x- 1

 Hàm số đã cho xác định trên:
y'=

2. ( - 1) - 1. ( - 1)

 Ta có:

(x - 1)2

D = ¡ \ {1}

=

- 1

(x - 1)2

.

< 0, " x Î D
.

 Bảng biến thiên:
x

1

- ¥

+¥

y'

y

Page 10

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
2

+¥

(-

 Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên
y=
b/ Hàm số:

3x + 1
3x + 1
=
1- x
-x+1

 Hàm số xác định và liên tục trên
y'=

3.1 - ( - 1) .1

 Tìm

(1 - x )

2

=

¥ ;1)

và

( 1;+ ¥ )

.

.
D = ¡ \ { 1}

4
(1 - x )2

.

> 0; " x ¹ 1
.

 Bảng biến thiên:
x
- ¥

1

+¥

y'

y

+¥
- 3

 Hàm số đã cho đồng biến (tăng) trên các khoảng:

( - ¥ ;1)

và

( 1;+ ¥ )

.

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a/

y = x 2 - 2x

y=
.

b/

- x 2 + 2x - 1
x+2

.

Bài giải
a/ Hàm số

y = x 2 - 2x

.

x 2 - 2x ³Û0
 Hàm số xác định khi:

THPT MONG THỌ

éx £ 0
ê
êx ³ 2
ê
ë

Page 11

. Tập xác định:

é2; + ¥
D = ( - ¥ ; 0ù
ú
ûÈ ê
ë

)

.


ÔN THI THPT QUỐC
GIA

y'=
 Ta có:

x- 1
x 2 - 2x

, " x Î ( - ¥ ; 0) È ( 2; + ¥

.
x = 0; x = 2

Hàm số không có đạo hàm tại:
x- 1

y'=0Û

.

= 0 Û x - 1= 0 Û x =1

x 2 - 2x

 Cho

)

.

 Bảng biến thiên:
x

- ¥

0

1

2

+¥

y'

y

 Dựa vào bảng biến thiên:
 Hàm số nghịch biến trên:
 Hàm số đồng biến trên:

b/ Hàm số:

(-

¥ ; 0)

( 2;+ ¥ )

.

.

- x 2 + 2x - 1
y=
x+2

.

 Hàm số đã cho xác định trên:
y'=

- x 2 - 4x + 5

 Ta có:
y'=0Û

( x + 2)

2

)

.

,"x ¹ 2

.

- x 2 - 4x + 5

 Cho

D = ( - ¥ : - 2) È ( - 2; + ¥

( x + 2)

2

éx = - 5
= 0 Û - x 2 - 4x + 5 = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë
.

 Bảng biến thiên:
x

- ¥

- 5

- 2

1

+¥

y'
Page 12

THPT MONG THỌ

ÔN THI THPT QUỐC GIA
0

-

+

0

+

-

y

+¥

0

+¥

12

- ¥

- ¥

 Dựa vào bảng biến thiên:

 Hàm số nghịch biến trên:
 Hàm số đồng biến trên:

( - ¥ ; - 5)

( - 5; - 2)

và

và

( 1;+ ¥ )

( - 2;1)

.

.

Ví dụ 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
x+2

y=

x2 - x + 3

a/

.

b/

y = ( 4 - 3x ) 6x 2 + 1

.

Bài giải
y=
a/ Hàm số:

x+2
x2 - x + 3

.

 Hàm số đã cho xác định khi:
y ' = x2 - x + 3  Ta có:
y'=0Û
 Cho

x2 - x + 3 > 0

( 2x - 1) ( x + 2)
2 x2 - x + 3

- 7x + 8
2 x2 - x + 3

đúng
=

" x ÎÞ¡

TXÐ : D = ¡

.

- 7x + 8
2 x2 - x + 3

= 0 Û - 7x + 8 = 0 Û x =

.

8
7
.

 Bảng biến thiên:
x
y'

8
7

- ¥

0

+

y

THPT MONG THỌ

Page 13

+¥
-


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
æ
8ö
ç
÷
ç- ¥ ; ÷
÷
÷
ç
7ø
è
 Hàm số đã cho đồng biến trên
và nghịch biến trên
b/ Hàm số:

y = ( 4 - 3x ) 6x 2 + 1

 Hàm số đã cho xác định trên

y ' = - 3 6x 2 + 1 +

y'=0Û

6x 2 + 1

- 36x 2 + 24x + 24

 Cho

.

6x ( 4 - 3x )

6x 2 + 1

ö
÷
÷
÷
÷
ø
.

.

D=¡

 Ta có:

æ8
ç
ç ;+ ¥
ç
è7

=

- 36x 2 + 24x + 24
6x 2 + 1

.

= 0 Û - 36x 2 + 24x + 24 = 0 Û x =

1± 7
- 3
.

 Bảng biến thiên:
x

1+ 7
- 3

- ¥

y'

0

+

1- 7
- 3
0

-

+¥
+

y

 Dựa vào bảng biến thiên:
æ 1+ 7÷
ö
ç
÷
ç
¥
;
÷
ç
ç
- 3 ÷
÷
ç
è
ø

 Hàm số đã cho đồng biến trên:
và

æ
1- 7
ç
ç
;+ ¥
ç
ç
ç
è - 3

ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
.

æ
1+ 7 1- 7ö
÷
ç
÷
ç
;
÷

ç
÷
ç
3
3
÷
ç
è
ø
 Hàm số nghịch biến trên:
.

BÀI TOÁN 3
TÌM THAM SỐ

m

ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP HỢP

D

A. PHƯƠNG PHÁP
Bước 1. Tập xác định:
Bước 2. Tính

D =?

y'=?

Page 14

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bước 3. Lập luận:
· y

· y

đồng biến trên X

nghịch biến trên X

Û y ' £ 0, " x Î X

 Trường hợp 1: Cho hàm số bậc ba

a/ Hàm số

b/ Hàm số

y = f (x)

y = f (x)

đồng biến trên

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a ¹ 0)

, ta có.

ìï a > 0
f ' ( x ) ³ 0, " x Î ¡ Û ïí
ïï D £ 0
î
¡ Û

nghịch biến trên
y=

 Trường hợp 2: Hàm nhất biến

Û y ' ³ 0, " x Î X

ìï a < 0
f ' ( x ) £ 0 " x Î ¡ Û ïí
ïï D £ 0
î
¡ Û
ax + b
cx + d

a/ Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

, tập xác định

ïì - d ïïü

D = R \ ïí
ý
ïï c ïïþ
î

Û f ' ( x ) > 0, " x Î D

b/ Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

Û f ' ( x ) < 0, " x Î D

y'=0
 Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình
có hữu
y'=0
hạn nghiệm, nếu phương trình
có vô nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu
bằng.

B. CÁC VÍ DỤ
y=
Ví dụ 1. Cho hàm số
¡
biến trên .

1 2
(m - m )x 3 + 2mx 2 + 3x - 1
3

. Tìm

m

Bài giải:
♦ Tập xác định:
♦ Đạo hàm:

D=¡

y ' = (m 2 - m )x 2 + 4mx + 3

♦ Hàm số luôn đồng biến trên

♥ Trường hợp 1: Xét
+ Với

m =0

THPT MONG THỌ

¡ Û y'³ 0 "x Î ¡

ém = 0
m2 - m = 0 Û ê
êm = 1
ê
ë

, ta có

y ' = 3 > 0, " x Î ¡

, suy ra

Page 15

m =0

thỏa.

để hàm số luôn đồng


ÔN THI THPT QUỐC
GIA

+ Với

m =1

3
4

y ' = 4x + 3 > 0 Û x > , ta có
ìï m ¹ 0
ï
í
ïï m ¹ 1
î

2

m - m ¹Û0
♥ Trường hợp 2: Xét

, suy ra

m =1

không thỏa

, khi đó:

ìï D ' = m 2 + 3m £ 0
ìï - 3 ££m 0
ïï
ï
í 2
í
ïï m - m > 0
ï m < 0 Úm > 1
y ' ³ 0 " x Î ¡ Û ïî
Û ïî
Û - 3£ m < 0
♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị
Ví dụ 2. Cho hàm số
biến trên khoảng

m

cần tìm là

- 3 ££m

y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1)x - 2m + 3

( 1;2)

0

.r

. Tìm

m

để hàm số nghịch

.

Bài giải
♦ Tập xác định:
♦ Đạo hàm:

D=¡

y ' = 3x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1)

♦ Hàm số nghịch biến trên khoảng
Ta có

( 1;2)

Û y ' £ 0 " x Î ( 1;2)

D ' = 9m 2 - 9(m 2 - 1) = 9 > 0, " m

Suy ra

y'

luôn có hai nghiệm phân biệt

x 1 = m - 1; x 2 = m + 1 (x 1 < x 2 )

ìï x £ 1
ï 1
í
y ' £ 0 " x Î ( 1;2) Û x 1 £ 1 < 2 £ x 2 Û ïïî x 2 ³ 2 Û
Do đó:
,
♦ Vậy giá trị

m

cần tìm là

Ví dụ 3. Cho hàm số

( 0; + ¥ )

1£ m £ 2

ìï m - 1 £ 1
ï
í
ïï m + 1 ³ 2
Û 1£ m £ 2
î

.r

y = x 3 - 3x 2 - mx + 2

. Tìm

m

để hàm số đồng biến trên khoảng

.

Bài giải
♦ Tập xác định:
♦ Đạo hàm:

D=¡

y ' = 3x 2 - 6x - m

Page 16

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
♦ Hàm số đồng biến trên khoảng

( 0; + ¥ )

Û y ' ³ 0 " x Î ( 0; + ¥
,

)

(có dấu bằng)

2
Û 3x - 6x - m ³ 0 " x Î ( 0; + ¥
,
2
Û 3x - 6x ³ m " x Î ( 0; + ¥
,

f (x ) = 3x 2 - 6x " x Î ( 0; + ¥
♦ Xét hàm số
,
f '(x ) = 6x - 6
Bảng biến thiên:
x

)

f '(x ) = 0 Û x = 1

;

+¥

1

-

f (x )

(*)

, ta có:

0

f '(x )

)

)

0

+

+¥

0
- 3

Từ BBT ta suy ra: (*)
♦ Vậy giá trị

m

Û m £- 3

cần tìm là

m £- 3

.r

mx + 7m - 8
x- m

y=
Ví dụ 4. Cho hàm số
định của nó.

. Tìm

m

để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

Bài giải
♦ Tập xác định:

D = ¡ \ {m}

y'=

♦ Đạo hàm:

- m 2 - 7m + 8

(x -

m)

2

. Dấu của

y'

♦ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

là dấu của biểu thức

- m 2 - 7m + 8

.

Û y'> 0 "x Î D
,
Û - m 2 - 7m + 8 > 0
Û - 8< m < 1

♦ Vậy giá trị

m

cần tìm là
y=

Ví dụ 5. Cho hàm số

- 8< m < 1

.r

mx + 7m - 8
x- m

. Tìm

Bài giải
THPT MONG THỌ

Page 17

m

để hàm số đồng biến trên khoảng

( 3; + ¥ )

.


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
♦ Tập xác định:

D = ¡ \ {m}

y'=

- m 2 - 7m + 8

(x - m)

♦ Đạo hàm:

2

. Dấu của

♦ Hàm số đồng biến trên khoảng

( 3; + ¥ )

y'

Û y ' > 0 " x Î ( 3; + ¥
,

ìï - m 2 - 7m + 8 > 0
ï
í
ïm £ 3
Û ïïî
Û
♦ Vậy giá trị

m

cần tìm là

- 8< m £ 3

là dấu của biểu thức

- m 2 - 7m + 8

.

)

ìï - 8 < m < 1
ï
í
ïï m £ 3

Û - 8< m £ 3
î

.r

BÀI TOÁN 4
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
QUY TẮC I
QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính

f / (x )

. Xác định các điểm

xi

tại đó

f '(x ) = 0

hoặc không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính

f / (x )

.

f / (x ) = 0

Giải phương trình
và kí hiệu
i = 1, 2,...
(
) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính

f / / (x )

và

f / / (x i )

xi

.

 ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
 Định lý 1: (Quy tắc I)

( a, b ) \ { x o }
và có đạo hàm
xo
xo
f '(x )

y = f (x )
x
◊ Nếu
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua
thì
đạt cực tiểu tại
xo
xo
f '(x )
y = f (x )
x
◊ Nếu
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
thì
đạt cực đại tại
Giả sử hs

y = f (x )

liên tục trên khoảng

( a ;b ) É x o

Page 18

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
x

x0

a
f '(x )

+

b

0

–

f(xo)
y = f (x )

cực đại
f(a)

f(b)

x
x0

a

b
f '(x )

–

0

+
y = f (x )



Định lý 2: (Quy tắc II)
Giả sử hàm số
◊ Nếu
◊ Nếu

y = f (x )

f '' ( x o ) < 0
f '' ( x o ) > 0

B. CÁC VÍ DỤ

có đạo hàm trên

thì
thì

y = f (x )
y = f (x )

( a; b) É x o

đạt cực đại tại
đạt cực tiểu tại

y=
Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số

f ' ( xo ) = 0

;

xo
xo

và

f '' ( x o ) ¹ 0

.
.

1 3 1 2
x - x - 2x + 2
3
2

Bài giải:
 Cách 1. (Sử dụng quy tắc 1)
♦ Tập xác định:

R.

y ' = x 2 - x - 2; y ' = 0 Û x = - 1, x = 2
♦ Ta có:
♦ Bảng biến thiên:
x
−∞
THPT MONG THỌ

–1

2
Page 19

+∞


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
y'

+

0

y

–

0

+

19
6

−∞

- 4
3

- ¥

♦ Vậy hàm số đạt cực đại tại

♦ Hàm số đạt cực tiểu tại

x =- 1

x =2

= y ( - 1) =
và giá trị cực đại yCĐ
= y ( 2) =

và giá trị cực tiểu yCT

19
6

- 4
3

.

 Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)
♦ Tập xác định:

D =R

y ' = x 2 - x - 2 y '' = 2x - 1
♦
;
y ' = 0 Û x = - 1, x = 2
♦

♦

♦

y '' ( - 1) = - 3 < 0
y '' ( 2) = 3 > 0

nên hàm số đạt cực đại tại điểm

nên hàm số đạt cực tiểu tại

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số:

x =2

x =- 1

= y ( - 1) =
, yCĐ

= y ( 2) = , yCT

19
6

4
3

y = - x 4 + 6x 2 - 8x + 1

Bài giải

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

¡

.
2

 Ta có:

y ' = - 4x 3 + 12x 2 - 8 = - 4 ( x - 1) ( x + 2)

.

éx = - 2
y ' = 0 Û - 4 ( x - 1) ( x + 2) = 0 Þ ê
êx = 1
ê
ë
2

 Cho:

 Bảng biến thiên:
x
y'

- 2

- ¥

+

0

Page 20

+¥

1
+

0

–

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
y

25
- ¥

- ¥

 Hàm số đạt cực đại tại

x =- 2

với giá trị cực đại của hàm số là

y ( - 2) = 25

.

Hàm số không có cực tiểu.
Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số

a/

3 - 2x

y=
x- 1

b/

- x 2 + 2x - 1
y=
x+2

Bài giải
y=
a/ Tìm cực trị của hàm số:

3 - 2x
x- 1

 Hàm số đã cho liên tục và xác định trên:
y'=
 Ta có:

- 1
< 0, " x ¹ 1
( x - 1)
Þ
y=

b/ Tìm cực trị của hàm số:

 Ta có:

- x 2 - 4x + 5

( x + 2)

2

.

Hàm số không có cực trị.

- x 2 + 2x - 1
x+2

 Hàm số đã cho xác định trên:
y'=

D = ¡ \ { 1}

D = ( - ¥ : - 2) È ( - 2; + ¥

)

.

,"x ¹ 2

.

éy ( - 5) = 12
éx = - 5

ê
Þ ê
y ' = 0 Û - x - 4x + 5 = 0 Û ê
êy 1 = 0
x =1
ê
ê
ë( )
ë
2

 Cho

 Bảng biến thiên:
x

- ¥

- 5

- 2

y'

THPT MONG THỌ

Page 21

1

+¥


ÔN THI THPT QUỐC
GIA
y
+¥

0

+¥

 Kết luận:
 Hàm số đạt cực đại tại
 Hàm số đạt cực tiểu tại

x =1

và giá trị cực đại là

x =- 5

và

yCÐ = y ( 1) = 0

yCT = y ( - 5) = 12

.

.

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số
a/

y = - x 3 + 3x 2

b/

y = x 4 - x2

Bài giải
a/ Tìm cực trị của hàm số:

y = - x 3 + 3x 2

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
y'=

(

- 3 x 2 - 2x
3

2 - x + 3x

 Ta có:

) , x < 3, x ¹
2

( - ¥ ; 3ùúû: y ' = 0 Û
Suy ra, trên khoảng

y'

.

0
.

 Hàm số không có đạo hàm tại các điểm

 Bảng biến thiên:
x
- ¥

( - ¥ ; 3ùúû

x = 0, x = 3

- 3 x 2 - 2x

(

)

3

2

2 - x + 3x

0
–

=0Û x =2
.

2
+

0

.

3

+¥

–

y

+¥

2

Page 22

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA

 Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại
b/ Tìm cực trị của hàm số:

x = 2, yCÐ = 2

. Đạt cực tiểu tại

x = 0, yCT = 0

y = x 4 - x2

é- 2;2ù
ê
ú
ë
û
 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
.
y'=

4 - 2x 2

ù
, xÎ é
ê

ë- 2;2ú
û
4- x
.
2

 Ta có:

 Hàm số không có đạo hàm tại các điểm

x = - 2, x = 2

.

éx = - 2
( - 2;2) : y ' = 0 Û 4 - 2x = 0 Û êêê
x = 2
ë
2

 Suy ra, trên khoảng
y'
 Bảng xét dấu :
x
- ¥

- 2

y'

–

-

2

2

0

+

2

0

–

y

2

- 2

 Kết luận:
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
 Hàm số đạt cực đại tại điểm

x =-

x = 2

2

(

yCT = y -

và
yCÐ = y

và

( 2 ) = 2y

Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số
THPT MONG THỌ

)

2 =- 2

Page 23

.
.

.

+¥

.


ễN THI THPT QUC
GIA
a/

y = 2 sin 2x - 3

y = 3 - 2 cos x - cos 2x

b/

Bi gii
a/ Tim cc tri cua ham sụ:

y = 2 sin 2x - 3

Ham sụ a cho xac inh va liờn tuc trờn oan
Ta co:

.

y ' = 4 cos 2x

y ' = 0 cos 2x = 0 2x =
Cho

Tinh:

Ă

y '' = - 8 sin 2x

x=
Ham sụ at cc ai tai:
x =
Ham sụ at cc tiờu tai:

va

p
p
p
+ k p x = + k. , ( k ẻ Â )
2
4
2

.

ổ
ổ
ử
ùỡù - 8 khi k = 2n
p
pử
p
ữ

ữ
ỗ
ữ
ữ
y '' ỗ
+
k
.
=
8
sin
+
k
p
=
ỗ
ỗ
ớ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ ùù 8 khi k = 2n + 1
2ứ
ố4
ố2
ứ
ợ

ổ
ử
p
p
ữ
ữ
+ n p ị yCé = y ỗ
+
n
p
=- 1
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4
ố4
ứ

p
p
+ ( 2n + 1)
4
2

.

.

ổ

p
pử
ữ
ữ
yCT = y ỗ
+
2
n
+
1
=- 5
ỗ
(
)
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố4
b/ Tim cc tri cua ham sụ:

y = 3 - 2 cos x - cos 2x

Ham sụ a cho xac inh va liờn tuc trờn oan


y ' = 2 sin x + 2 sin 2x = 2 sin x ( 1 + 2 cos x )

Cho

Ă

.

.

y ' = 0 2 sin x (1 + 2 cos x ) = 0
ộsin x = 0
ờ
ờ
ờcos x = - 1 = cos 2p
ờ
2
3
ở
ộx = k p
ờ
ờ
;( k ẻ Â )
ờx = 2p + k 2p
ờ
3
ở

Ma

y '' = 2 cos x + 4 cos 2x

Page 24

THPT MONG TH




ÔN THI THPT QUỐC GIA
æ 2p
ö
2p
÷
÷
y '' ç
±
+
k
2
p
= 6 cos
=- 3< 0
ç
÷
ç
÷
3
è 3
ø
æ 2p
ö 9
÷
ç

2p
÷
y
=
y
±
+
k
2
p
=
ç
÷
x =±
+ k 2p CÐ
ç
÷
è 3
ø 2
3
Hàm số đạt cực đại tại
,
.



y '' ( k p) = 2 cos k p + 4 > 0, " k Î ¢
x = k p yCT = y ( k p) = 2 ( 1 - cos k p)
Hàm số đạt cực tiểu tại
,

.

BÀI TOÁN 5
TÌM THAM SỐ

m

ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

A. PHƯƠNG PHÁP
Bước 1. Tập xác định:
Bước 2. Tính

D =?

y'=?

Bước 3. Lập luận:
a/ Hàm số

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0)
2
Û f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c = 0

b/ Hàm số

y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c ( a ¹ 0)
3
Û f ' ( x ) = 4ax + 2bx = 0

có cực đại và cực tiểu

có hai nghiệm phân biệt.

có cực đại và cực tiểu

có ba nghiệm phân biệt.

B. CÁC VÍ DỤ
y=
Ví dụ 1. Cho hàm số
điểm cực trị.

1 2
(m - 1)x 3 + (m + 1)x 2 + 3x + 5
3

. Tìm

Bài giải
♦ Tập xác định:
♦ Đạo hàm:

D=¡

y ' = (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3
y ' = 0 Û (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3 = 0

♦ Hàm số có hai điểm cực trị

THPT MONG THỌ

Û y'=0

có hai nghiệm phân biệt

Page 25

m

để hàm số có hai