T 12g 17 thaytuan nguyenhamp2 tomtatbaihoc

NGUYÊN HÀM (Phần 2)
III. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1
Nếu

 f(u) du = F(u) + C

và u = u(x) là hàm có đạo hàm liên tục thì

 f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)] + C
Chứng minh:
Theo giả thiết: F '(u) = f(u) . Ta có: F[u(x)]  C  ' = F '[u(x)].u'(x) = f[u(x)].u'(x).

Ví dụ 1: Tính
a)



x3 +1
dx
x2

b)

x

b)



x2
3

dx
+1

Ví dụ 2: Tính



a) (x 2 + 1)5 xdx

ln x
dx
x

Ví dụ 3: Tính



a) sin3 x cos x dx



b) sin3 x dx

Hệ quả Với u = ax + b (a  0), ta có

1

 f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG VỚI ax + b (a  0)


Ví dụ 4: Tính



a) (2x - 3)7 dx

b)

dx

 (3 x-1)

2



c) sin(5x -1) dx



d) e3x+1 dx

2. Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

 u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) -  u'(x) v(x) dx
Chứng minh:
[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
Do đó, u(x)v’(x) = [u(x)v(x)]’ – u’(x)v(x)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được

 u(x) v'(x) dx =  [u(x) v(x)]' dx -  u'(x) v(x) dx
hay

 u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) -  u'(x) v(x) dx

Chú ý: vì dv = v’(x)dx, du = u’(x)dx nên đẳng thức trên có thể viết dưới dạng:

 ud v = u v-  v du
Ví dụ 5: Tính



a) xe x dx



b) (x+ 5) cosxdx
TỔNG QUÁT



c) lnxdx