T 12h 17 ontapchuong3 TTBH

ÔN TẬP CHƢƠNG 3
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tọa độ vectơ và tọa độ điểm
Tọa độ vectơ: u   x; y;z  u  x; y;z  u  xi  y j  zk
Tọa độ điểm: M(x; y; z)  M = (x; y; z)  OM   x; y;z 

AB   xB  x A ;yB  y A ;zB  zA 

2. Tích vô hƣớng và tích có hƣớng của hai vectơ
Cho hai vectơ u(a;b;c) và v(a';b';c ')
u.v  a.a' b.b' c.c '

 b c
c a a b 
u, v  = 
;
;
 = bc '- b ' c;ca'- c ' a;ab '- a'b 


 b ' c ' c ' a' a'b ' 

3. Tính diện tích hình bình hành ABCD và diện tích tam giác ABC
1
S ABCD | [AB, AD]| ; S ABC  | [AB, AC]|
2

4. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và thể tích khối tứ diện ABCD
VABCD.A 'B ' C 'D ' | [AB, AD]AA ' | ; VABCD 

| [AB, AC]AD |
6

5. Phƣơng trình mặt phẳng
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (1) (A2 + B2 + C2 >0)
(1) là phương mặt phẳng () qua M0(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến n  A;B;C  .
Ax + By + Cz + D = 0 (2) (A2 + B2 + C2 >0)
(2) là phương trình tổng quát của mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n  A;B;C 

6. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) lần lượt có
phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0
(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0


Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi A

A'

Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi A

A'

=B=C=D
B'

C'

D'

=B=C D
B'

C'

D'

Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C  A ' : B ' : C'

7. Phƣơng trình của đƣờng thẳng:
 x = x 0 + at

 y = y 0 + bt
z = z + c t
0


t R

1

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d với
tham số t, d qua điểm (x0; y0; z0) và nhận u  a;b;c  làm một vectơ chỉ phương.
Với mỗi t  R phương trình cho ta tọa độ một điểm M trên đường thẳng d.
x - x 0 y - y 0 z - z0
=
=
(2)
a
b

c

Hệ phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d có
một vectơ chỉ phương là u  a;b;c  (với abc ≠ 0 ) và d qua điểm (x0; y0; z0)

8. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm A, có vectơ chỉ phương u và
đường thẳng d’ đi qua điểm B, có vectơ chỉ phương u '
d và d’ trùng nhau  u , u ' và AB đôi một cùng phương
 u,u'  u, AB   0

 

d song song d’  u và u ' cùng phương nhưng u và AB không cùng phương
 u,u'   0



 u, AB   0


d cắt d’  u và u ' không cùng phương và u , u ' và AB đồng phẳng
 u, u '   0



 u, u '  AB  0


d chéo d’  u , u ' và AB không đồng phẳng  u, u ' AB  0





9. Khoảng cách
Khoảng cách giữa hai điểm: AB  AB 

 xB  x A 2   yB  y A 2   zB  zA 2

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
d M 0 ,(P)  =

Ax 0 + By 0 + Cz0 + D
A 2 + B 2 + C2

Khoảng cách h từ một điểm M đến đường thẳng d qua điểm M0 và có vectơ

M0M,u

chỉ phương u là: h  
u
Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’, biết d qua điểm A và
có vectơ chỉ phương u ; d’ qua điểm B và có vectơ chỉ phương u ' là: h 

u,u ' AB


u,u '



10. Phƣơng trình mặt cầu
Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

(1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R( R > 0)

Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
Phương trình (2 ) được gọi là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính
R=

a2  b2  c2  d khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0

II. BÀI TẬP

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 2; 3), B(5; –1; 2), C(3; 7; 6),
D(5; 3; 8).
1) Chứng minh ABCD là tứ diện
2) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm A (5; 3; 1), B(-3; 1; 1), C(5; -3; 7),
D(-2; 5; 4).
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) suy ra ABCD là tứ diện
2) Tính chiều cao h của tứ diện kẻ từ A
3) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc (BCD), tìm tọa độ tiếp điểm H

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho các điểm A (1; 2; 3), B(– 3; –1; 4),
và mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0

1) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P)


2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc (P)
3) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
4) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), qua I và vuông góc với AB

Bài tập 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 1; 1), mặt phẳng (P): x – y + z – 3 = 0
 x = -2 + 3t

và hai đường thẳng d 1:  y = -1 + t
z = 1 - t


x = 1 + t '

d2 : y = 2 - t '
z = -1 + t '


Viết phương trình đường thẳng d trong từng trường hợp sau:
1) qua điểm A và vuông góc với cả d1 và d2
2) qua điểm A, cắt d1 và vuông góc d2
3) qua điểm A, cắt d1 và song song mặt phẳng (P)