SKKN sáng kiến kinh ngiệm kinh nghiệm dạy bài tập góc và cung lượng giác công thức lượng giác theophương pháp hệ thống

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM DẠY BÀI TẬP GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
THEO PHƯƠNG PHÁP HỆ THỐNG

Người thực hiện: Lê Thị Thu Lý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

THANH HÓA NĂM 2013


Mục lục
Trang
i. Đặt vấn đề……………………………………………………………….. 1
1.1 Lý do chọn đề tài.
1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
ii. Giải quyết vấn đề………………………………………………………..2
2.1 Cơ sở lí luận.
2.2 Thực trạng vấn đề.
2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài…….……...2
2.4 Kiểm nghiệm……………………………….………….…….………18
iii. Kiến nghị, đề xuất………………………………………………….……19

1

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. 1. Lý do chọn đề tài:
Góc và cung lượng giác là một chương có nhiều kiến thức mới, khó nhưng
lạirất quan trọng trong chương trình đại số lớp 10. Nó là một chương tiếp nối với
chương “phương trình lượng giác” ở lớp 11 và đồng thời là một dạng toán
thường xuyên xuất hiện trong các kì thi đại học, cao đẳng. “Hệ thống bài tập
Góc, cung lượng giác, công thức lượng giác lớp 10” là một trong những vấn đề
rất quan trọng mà các em học sinh cần rèn luyện để làm nền tảng cho mình trước
khi bước vào lớp 11 với toán lượng giác thú vị và hấp dẫn.
Do phần kiến thức lí thuyết của chương mới nên khi tiếp cận học sinh sẽ khó
tiếp thu dẫn đến kĩ năng giải bài tập của các em còn hạn chế. Nếu giáo viên
không có phương pháp hợp lý để giúp các em tiếp thu kiến thức, ghi nhớ và sử
dụng thành thạo các công thức lượng giác thì sau này việc giải các phương rình
lượng giác với các em sẽ rất khó khăn. Chính vì lí do trên mà qua những năm
trực tiếp giảng dạy tôi đã rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm khi giảng dạy
chương này qua dạy phần bài tập của chương bằng phương pháp hệ thống các
dạng bài tập cơ bản nhằm giúp học sinh tiếp thu bài dễ dàng hơn qua đó nâng
cao chất lượng dạy và học. Sự đổi mới đó bước đầu đã thu được những kết quả
khả quan.
1. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu trong đề tài này là học sinh khối 10 qua các năm tôi
trực tiếp giảng dạy và năm học 2012-2013 là các lớp 10B6 và 10B7.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này là “Chương VI: Cung và góc lượng giác.
Công thức lượng giác” - Sách giáo khoa Đại số 10.

2


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2. 1. Cơ sở lí luận

Khi giải một bài tập lượng giác, việc đầu tiên giáo viên yêu cầu học sinh đọc
đề bài, qua đó giúp các em nhận dạng bài toán, từ đó sẽ đưa ra được phương
pháp giải phù hợp. Bài tập ở chương này khó với lí do nó rất đa dạng, bài tập
thiên về tính toán cũng có và bài tập dòi hỏi tư duy sáng tạo cũng có,…Chính vì
thế việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập, kĩ năng vận dụng công thức lượng giác
một cách thành thạo là một việc làm cần thiết mà giáo viên cần rèn cho học sinh.
2. 2. Thực trạng vấn đề
- Nội dung chương có rất nhiều kiến thức khó và nhiều dạng bài tập nên nếu
không tập trung học để có kiến thức nền tảng vững chắc thì khó có thể nắm bắt
được kiến thức.
- Đa số học sinh khi bắt đầu tiếp cận với các kiến thức này đều thấy ngại học vì
các em chưa nhớ công thức và kĩ năng vận dụng công thức kém.
- Trong khuôn khổ SKKN này tôi chỉ đưa ra các dạng bài tập cơ bản nhưng có
ý nghĩa quan trọng hỗ trợ cho các em kiến thức nền tảng lượng giác vững chắc.
2. 3. Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài
* Trong quá trình giảng dạy, qua mỗi bài giáo viên cần giúp học sinh hệ thống
lại các kiến thức cơ bản trong chương mà các em cần ghi nhớ, bên cạnh đó (tùy
vào đối tượng học sinh) mà giáo viên có thể chứng minh thêm một số công thức
hỗ trợ cho các em trong quá trình làm bài tập.

sin

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

tang

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác:
T

Cho (OA, OM ) = α . Giả sử M ( x; y) .

B

cosα = x = OH
sin α = y = OK
sinα
tan α =
= AT
cosα
cosα
cot α =
= BS
sin α

K



π
 α ≠ + kπ 

2


cotang

S
M
α

O

H

A

cosin

(α ≠ kπ )

Nhận xét:
+) ∀α , − 1 ≤ cosα ≤ 1; − 1 ≤ sin α ≤ 1
+) tanα xác định khi α ≠

π
2

+ kπ , k ∈ Z

+) cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z
3


+) sin(α + k2π ) = sinα

+) tan(α + kπ ) = tanα

cos(α + k2π ) = cosα

cot(α + kπ ) = cot α

2. Dấu của các giá trị lượng giác:
Phần tư
Giá trị lượng giác
cosα
sinα
tanα
cotα

I

II

III

IV

+
+
+
+

–
+
–
–

–
–
+
+

+
–
–
–

3. Giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt:
0
00

π

π

π

π

6
300

4

3

2

2π
3

3π
4

π

3π
2

2π

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

3
2

2

2

0

–1

0

–1

0

1

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3

3

cot

0

−

1
2

−

2
2

− 3

–1

3
3

–1

−

0

0

0

4. Hệ thức cơ bản:
sin2α + cos2α = 1 ;

tanα .cotα = 1 ; 1 + tan2 α =

1
2

; 1 + cot 2 α =

cos α

1
sin2 α

5. Giá trị lượng giác của các cung(góc) có liên quan đặc biệt:

4


Góc đối nhau

Góc bù nhau

cos( −α ) = cosα

sin(π − α ) = sin α

sin( −α ) = − sinα

cos(π − α ) = − cosα

tan( −α ) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

cot( −α ) = − cot α

cot(π − α ) = − cot α

Góc hơn kém π

Góc phụ nhau
π

sin  − α  = cosα
2

π

cos − α  = sinα
2

π

tan  − α  = cot α
2


π

cot  − α  = tanα
2


Góc hơn kém

π
2

sin(π + α ) = − sin α

π

sin  + α  = cosα
2


cos(π + α ) = − cosα

π

cos + α  = − sinα
2


tan(π + α ) = tan α

π


tan  + α  = − cot α
2


cot(π + α ) = cot α

π

cot  + α  = − tanα
2


II. Công thức lượng giác:
1. Công thức cộng:
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin( a − b) = sin a.cos b − sin b.cosa
cos( a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos( a − b) = cosa.cosb + sin a.sin b

Hệ quả:

π
 1 + tanα
tan  + α  =
,
4
 1 − tanα

tan a + tan b

1 − tan a.tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a.tan b
tan( a + b) =

π
 1 − tanα
tan  − α  =
4
 1 + tan α

2. Công thức nhân đôi:
sin2α = 2sinα .cosα
cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α

5


tan2α =

Công thức hạ bậc
1 − cos2α
sin2 α =
2
1 + cos2α
cos α =
2
1 − cos2α
2

tan α =
1 + cos2α
2

2tanα
1 − tan2 α

;

cot 2α =

cot 2 α − 1
2cot α

Công thức nhân ba (*)
sin3α = 3sinα − 4sin3 α
cos3α = 4cos3 α − 3cosα
3tanα − tan3 α
tan3α =
1 − 3tan2 α

3. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+ b
a− b
.cos
2
2
a+ b
a− b
cosa − cosb = − 2sin

.sin
2
2
a+ b
a− b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2
a+ b
a− b
sin a − sin b = 2cos
.sin
2
2
cosa + cosb = 2cos

sin( a + b)
cosa.cosb
sin( a − b)
tan a − tan b =
cosa.cosb
sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a.sin b
sin( b − a)
cot a − cot b =
sin a.sin b
tan a + tan b =



π
π
sin α + cosα = 2.sin  α +  = 2.cos α − 
4
4




π
π
sinα − cosα = 2sin α −  = − 2 cosα + 

4

4

4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
 cos( a − b) + cos( a + b) 
2
1
sin a.sin b =  cos( a − b) − cos( a + b) 
2
1
sin a.cosb = sin( a − b) + sin( a + b) 
2
cosa.cosb =

* Phân dạng bài tập giúp học sinh ghi nhớ và tiếp thu bài dễ hơn:
A. VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc)lượng giác ta
xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) lượng giác đó thuộc góc phần tư
nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1: Xác định dấu của các biểu thức sau:

6


a) A = sin500.cos(−3000 )
c) C = cot

b) B = sin2150.tan

 2π 
3π
.sin  −

5
 3 

d) D = cos

21π
7

4π
π

4π
9π
.sin .tan
.cot
5
3
3
5

Bài 2: Cho 00 < α < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin(α + 900 )

b) B = cos(α − 450 )

c) C = cos(2700 − α )

d) D = cos(2α + 900 )

Bài 3: Cho 0 < α <

π
2

. Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(α + π )



c) C = sin  α +

b) B = tan(α − π )

2π 

5 




d) D = cos α −

3π 

8 

B. VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để
từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại:
1. Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα:
- Từ sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ cosα = ± 1 − sin2 α .
+ Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα = 1 − sin2 α .
+ Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα = − 1 − sin2 α .
- Tính tanα =

sinα
;
cosα

cot α =

1
.
tanα

2. Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα:
- Từ sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin α = ± 1 − cos2 α .
+ Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα = 1 − cos2 α .
+ Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin α = − 1 − cos2 α .
- Tính tanα =

sinα
;
cosα

cot α =

1
.
tanα

3. Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα:
- Tính cot α =

1
.
tanα

7