SKKN sáng kiến kinh nghiệm các bài toàn về số ,dãy số chữ số

Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Những Vấn đề chung
I-/Tính cấp thiết
Hiện nay học Toán và giải toán của học sinh nhìn chung có chiều hớng tiến bộ so
với trớc. Có đợc điều đó chính là nhờ các em đã chú trọng, đầu t nhiều cho việc học
nói chung trong đó có học toán. Mặt khác, điều cốt lõi là các giáo viên đã đổi mới phơng pháp dạy học phát huy tính chủ động, sáng tạo và óc t duy cho học sinh. Nhng do
đặc điểm lứa tuổi, đại đa số các em cha có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học
thành hệ thống nhất là khi các kiến thức này nằm rải rác ở các lớp. Vì vậy nhiệm vụ
của giáo viên bồi dỡng học sinh là phải giúp các em hệ thống lại các kiến thức đã
học thành từng chuyên đề nhỏ, từng loại toán, dạng toán để các em dễ dàng tiếp thu
hơn và tiếp thu một cách khoa học.
Đối với các bài toán về số, chữ số và dãy số thì các kiến thức cơ bản có từ lớp 1 đến
lớp 5, các kiến thức này đợc đa ra từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng cao
nhằm phù hợp với khả năng t duy của các em. Do vậy nếu ngời dạy đầu t thời gian
công sức tập hợp các kiến thức này thành một chuyên đề có tính hệ thống và hớng dẫn,
giúp đỡ học sinh các kiến thức từ dễ đến khó thì chắc chắn các em sẽ dễ dàng nắm đ ợc lợng kiến thức mà giáo viên và bài học đặt ra. Từ đó khả năng học toán của các em
đợc nâng lên đến độ thích hợp để tiếp thu kiến thức theo trình độ nâng chuẩn và trên
chuẩn
II-/Mục đích và yêu cầu
Khi chọn chuyên đề này để áp dụng cho việc bồi dỡng học sinh khá giỏi thì mục
đích của đề tài là giúp các em có điều kiện nâng cao khả năng học toán đặc biệt là khả
năng t duy lôgíc và óc khái quát, tổng hợp. Bên cạnh đó đề tài này còn giúp các em có
khả năng từ cách giải bài toán cụ thể mà khái quát hoá đa các bài toán khác cùng loại
về dạng đã học để giải. Học xong phần này các em phải đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm đợc các kiến thức cơ bản về dãy số có nâng cao.
- Có kĩ năng giải toán và giải đợc các bài toán cùng dạng và cùng loại.
- Đạt kết quả tốt trong hoc toán và trong các kì thi chọn học sinh giỏi.
III-/Đối tợng và phơng pháp
Đề tài này dành cho đối tợng học sinh khá giỏi lớp 4 -5 trong các trờng, đặc biệt nó
có kết quả khả quan hơn trong việc bồi dỡng các đội tuyển học sinh giỏi.
Phơng pháp chính là: Phân tích, tổng hợp, giảng giải, vấn đáp, trực quan, điều

tra..... đặc biệt chú trọng phơng pháp phân tích để tìm ra cách giải của bài toán và tổng

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-1-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
hợp để trình bày lời giải của bài toán. Ngoài ra còn sử dụng 1 số phơng pháp khác nh:
thực hành, luyện tập, hoặc thảo luận theo nhóm...

Nội dung và kết quả
I-/Nội dung
Các bài toán về số, chữ số và dãy số là các bài toán yêu cầu học sinh biết dựa vào
các tính chất, các đặc điểm của chữ số, số để giải toán đồng thời tính toán trên cơ sở
dãy số hoặc quy về dãy số để tính toán và giải toán. Khi bắt đầu bồi dỡng kiến thức
cho các em, qua điều tra và trắc nghiệm tôi thấy kiến thức về số, chữ số và dãy số của
các em còn bị hổng nhiều. Các em cha biết cách giải các bài toán về số, chữ số và dãy
số nhất là các bài toán phải quy về dãy số để giải. Ví dụ Một quyển sách có 234
trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó ngời ta phải dùng bao nhiêu chữ số hoặc
Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ mọt thành một số lớn. Hỏi chữ số thú
2004 là chữ số nào
Qua một số bài làm của học sinh và một số bài kiểm tra, kết quả cụ thể của học
sinh nh sau:
Tổng số bài làm Điểm 9 - 10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm 1 - 4
35
7 = 20%

14 = 40%
14 = 40%
Với kết quả này các em cha đạt trình độ chuẩn của học sinh giỏi. Nh vậy các
em khó mà đạt đợc điểm cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp. Từ đó tôi thấy
cần phải giúp các em hệ thống hoá kiến thức về dãy số và các bài toán về số, chữ số và
dãy số để các em có cái nhìn tổng quát về kiến thức đã và đang học
Bớc đầu để các em làm quen với số, chữ số và dãy số tôi đa ra các ví dụ cụ thể sau
đó tổng quát thành các kiến thức đơn giản, cơ bản các em cần nắm đợc cụ thể nh sau:

Số và chữ số
1- Những kiến thức cần lu ý:
a- Chữ số là các kí hiệu có tính chất quy ớc, dùng để ghi các số. Có mời chữ số là 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết 1 số tự nhiên ta sử dụng mời chữ số trên. chữ số đầu tiên
kể từ bên trái của 1 số tự nhiên phải khác 0. Với 10 chữ số này, ta có thể viết đ ợc tất cả
các số.
b- Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên :
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-2-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd
c- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
c.1- Trong 2 số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn.
c.2- Nếu 2 số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn
hơn sẽ lớn hơn.

d- Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. Số chẵn có tính chất là luôn
chia hết cho 2.
e- Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. Số lẻ có tính chất là không
chia hết cho 2, mà khi chia cho 2 thì luôn d 1.
g- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1đơn vị là
hai số tự nhiên liên tiếp.
h- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau2 đơn vị
là 2 số chẵn liên tiếp.
i- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau2 đơn vị là 2 số
lẻ liên tiếp.
k- Khi phải viết số có nhiều chữ số giống nhau ngời ta thờng chỉ viết 2 chữ số đầu
rồi ... sau đó viết chữ số cuối bên dới ghi số lợng chữ số giống nhau đó
10 . . . 0
8chữ số 0

2- Các dạng toán:
Dạng 1 : Sử dụng cấu tạo thập phân của số
ở dạng này ta thờng gặp các loại toán sau:
Loại 1: Viết thêm 1hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số
tự nhiên.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta
đợc một số lớn gấp 13 lần số đã cho .
Giải :
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dợc số 9ab. Theo bài ra ta có :
9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
900 = ab x 13 ab
900 = ab x ( 13 1 )

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-3-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
900 = ab x 12
ab = 900 : 12
ab = 75
Bài 2 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng
thêm 1 112 đơn vị .
Giải :
Gọi số phải tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dợc số abc5.
Theo bài ra ta có :
abc5 = abc + 1 112
10 x abc + 5 = abc + 1 112
10 x abc = abc + 1 112 5
10 x abc = abc + 1 107
10 x abc abc = 1 107
( 10 1 ) x abc = 1 107
9 x abc = 1 107
abc = 123
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục
và hàng đơn vị của số đó ta đợc số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên
trái số vừa nhận dợc thì số đó lại tăng lên 3 lần.
Giải:
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 0xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta
đợc số a0b. Theo bài ra ta có :
ab x 10 = a0b
Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta đợc số
1a00. Theo bài ra ta có :

1a00 = 3 x a00
Giải ra ta đợc a = 5 .Số phải tìm là 50
Loại 2 : Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên
Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi
4455 đơn vị. Tìm số đó.
Giải :
Gọi số phải tìm là abcd. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta đợc số ab.
Theo đề bài ta có
abcd ab = 4455

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-4-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
100 x ab + cd ab = 4455
cd + 100 x ab ab = 4455
cd + 99 x ab = 4455
cd = 99 x (45 ab)
Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên
45 ab phải bằng 0 hoặc 1.
- Nếu 45 ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0.
- Nếu 45 ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99.
Số phải tìm là 4500 hoặc 4499.
Loại 3 : Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó
Bài 1 : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tỏng các chữ số của nó.
Giải :
Cách 1 :
Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có

ab = 5 x (a + b)
10 x a + b = 5 x a + 5 x b
10 x a 5 x a = 5 x b b
(10 5) x a = (5 1) x b
5xa=4xb
Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4.
Số phải tìm là 45.
Cách 2 :
Theo bài ra ta có
ab = 5 x ( a + b)
Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thay vào ta có :
a5 = 5 x (a + 5)
10 x a + 5 = 5 x a + 25
Tính ra ta đợc a = 4.
Thử lại : 45 : (4 + 5) = 5 . Vậy số phải tìm là 45.
Bài 2 : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó đợc thơng là 28
và d 1

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-5-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Giải :
Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó bằng c.
Theo bài ra ta có :

ab = c x 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3.
+ Nếu c = 1 thì ab = 29.
Thử lại : 9 2 = 7 1 (loại)
+ Nếu c = 2 thì ab = 57.
Thử lại : 7 5 = 2 ; 57 : 2 = 28 (d 1)
+ Nếu c= 3 thì ab = 58.
Thử lại : 8 5 = 3 ; 85 : 3 = 28 (d 1)
Vậy số phải tìm là 85 và 57.
Bài 3 : Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Giải :
Cách 1 :
Gọi số phải tìm là abc. Theo bài ra ta có
abc = 5 x a x b x c.
Vì a x 5 x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhng c
không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có.
100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b.
20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b.
Vì a x 5 x b chia hết cho 5 nên 2 x b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 x b có tận cùng
bằng 4 hoặc 9, nhng 2 x b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7.
- Trờng hợp b = 2 ta có a25 = 5 x a x 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn.
Vậy trờng hợp b = 2 bị loại.
- Trờng hợp b = 7 ta có 20 x a + 15 = 35 x a. Tính ra ta đợc a = 1.
Thử lại :
175 = 5 x 7 x 5.
Vậy số phải tìm là 175.
Cách 2 :
Tơng tự cach 1 ta có :
ab5 = 25 x a x b
Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nêna, b
phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tơng tự cách 1 ta tìm đợc a = 1. Số phải tìm là 175.

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-6-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Loại 4 : So sánh tổng hoặc điền dấu
Bài 1 : Cho A = abc + ab + 1997
B = 1ab9 + 9ac + 9b
So sánh A và B
Giải :
Ta thấy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b
= 1999 + ab0 + a0 + c + b
= 1999 + abc + ab
. . . a > B
Bài 2 : So sánh tổng A và B.
A = abc +de + 1992
B = 19bc + d1 + a9e
Giải :
Ta thấy : B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90
= abc + de + 1991
Từ đó ta suy ra A > B.
bài 3 : Điền dấu
1a26 + 4b4 +5bc
abc + m000
x5 + 5x

abc + 1997

m0bc + a00

xx +56

Dạng 2 : Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các phép tính.
Bài 1 : Tổng của hai số gấp đôi số thứ nhất. Tìm thơng của 2 số đó.
Giải :
Ta có : STN + ST2 = Tổng. Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy ra thơng
của 2 số đó bằng 1.
Bài 2 : Một phép chia có thơng là 6 và số d là 3, tổng của số bị chia, số chia và số d bằng
195. Tìm số bị chia và số chia.
Giải :
Gọi số bị chia là A, số chia là B
Ta có : A : B = 6 (d 3) hay A = B x 6 + 3
Và : A + B + 3 = 195

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-7-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
A + B = 1995 3 = 1992.
3
A:

|

|

|

|

|

| |

| |
1992

B:

|

|

B = (1992 3) : (6 + 1) = 27
A = 27 x 6 + 3 = 165.
Bài 3 : Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng là 3 và số d là 3. Tìm 2 số đó.
Giải :
3
Số lớn :
|
|
|
| |
33
Số bé :
|

|
Số bé là :
(33 3) : 2 = 15
Số lớn là :
33 + 15 = 48
Đáp số : SL 48 ; SB 15.
* Bài tập về nhà :
Bài 1 : Tìm 1 số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta đ ợc 1
số lớn gấp 31 lần số phải tìm.
Bài 2 : Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đ ợc
số lớn gấp 26 lần số phải tìm.
Bài 3 : Tìm 1số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc
số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.
Bài 4 : Cho số có 3 chữ số, nếu ta xoá chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm
số đó.
Bài 5 : tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó lớn gấp ba lần tích các chữ số
của nó .
Bài 6 : Cho A = abcde + abc + 2001
B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5
So sánh A và B
Bài 7 : Cho hai số, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta đợc thơng là 7 và số d lớn nhất có

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-8-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
thể có đợc là 48. Tìm hai số đó.
Bài 8 : Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất có hai

chữ số, còn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 3 đơn vị

Dạng 3 : Thành lập số và tính tổng.
Bài 1 : Cho 4 chữ số : 0, 3, 8 và 9.
a, Viết đợc tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho.
c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho.
Giải :
Cách 1: Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số :
8 9 : 3089
0
9 8 : 3098
0 9 : 3809
3

8
9 0 : 3890
0 8 : 3908
9

8 0 : 3980
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy : Từ 4 chữ số đã cho ta viết đợc 6 số có chứ số hàng
nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đề bài.
Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy só các số thoả mãn điều kiện
của đề bài là
6 x 3 = 18 (số)
Cách 2 :
Lần lợt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị nh
sau :
- có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0

không thể đứng ở vị trí hàng nghìn).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng
nghìn)
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

-9-


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
nghìn và hàng trăm).
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng
trăm và hàng chục).
Vậy các số viết đợc là :
3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)
b, Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng
nghìn là chữ số lớn nhất (Trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng nghìn của số phải
tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số
hàng trăm bằng 8.
Chữ số hàng chục là chữ số lớn trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là
3.
Số phải tìm là 9830.
Tơng tự phần trên ta nhận đợc số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089.
c, Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn
nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9.
Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 9 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải
bằng 3.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong hai chữ số còn lại, nên chữ số

hàng trăm phải bằng 8.
Vậy số phải tìm là 9830.
Tơng tự số chẵn nhỏ nhất là 3098.
Bài 2 : Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tien để đợc một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự
nhiên vừa nhận đợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại đẻe đợc :
a, Số lớn nhất.
b, Số nhỏ nhất.
Viết các số đó.
Giải :
Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta đợc số tự nhiên :
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận đợc số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ
bên trái phải là chữ số 9. Vậy trớc hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy 1, 3, 5, 7. Số
còn lại là :
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Ta phải xoá tiếp 15 4 = 11 chữ số còn lại để đợc số lớn nhất. Để sau khi xoá

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 10 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
nhận đợc số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta
phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. Số
còn lại là :
992 123 252 729.
Ta phải xoá tiếp 11 9 = 2 chữ số từ số còn lại để đợc số lớn nhất. Chữ số thứ
ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để đợc số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải
xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là

9 923 252 729.
b, Lập luận tơng tự câu a. số phải tìm là 1 111 111 122
Bài 3 : Cho 3 chữ số 2, 3 và 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số
đã cho. Hỏi :
a, Lập đợc mấy số nh thế
b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần?
c, Tính tổng các số.
Giải :
a, Ta lập đợc 6 số sau
235
325
523
253
352
532
b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần.
c, Tổng các số đó là :
(2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1
= 10 x 2 x (100 + 10 + 1)
= 10 x 2 x 111
= 2220
Bài 4 : Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số
đẫ cho. Tính tổng các số đó.
Giải :
Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập đợc 6 số sau :
1234
1324
1423
1243
1342

1432
Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 6 lần. Vậy tổng các số lập đợc :
(1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 +
2 + 3 + 4) x 1 x 6
= 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1)
= 60 x 1111

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 11 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
= 66660.
Bài 5 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà ở mỗi số có đủ 5 chữ
số đã cho. Tính tổng
Giải :
Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập đợc 24 số
Tơng tự nên ta lập đợc
24 x 5 = 120 (số)
Tổng là :
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 1000 x 24 + (1 + 2 + + 3 +
4 + 5) x 100 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x x 1 x 24
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 24 x 11111
= 15 x 24 x 11111
= 3999960
Bài 6 : Cho 3 chữ số 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã
cho mà mỗi chữ số trên chỉ viết 1 lần. Tính tổng các số đó.
Giải :
Ta lập đợc 3 số 334, 343, 433

Tổng các số :
(3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1
= 10 x (10 + 10 + 1)
= 10 x 111
= 1110.
Bài 7 : Cho 4 chữ số : 2, 2, 5, 1.
Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng
Giải :
- Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập đợc các số :
1225
1522
1252
- Chọn chữ số 5 ở hàng nghìn ta cũng lập đợc 3 số.
- Chọn chữ số 2 ở hàng nghìn ta lập đợc 6 số
2152
2251
2512
2125
2215
2521
Vậy ta lập đợc 12 số.
Tổng là :
(1 + 2 + 2 + 5) x 1000 x 3 + (1 + 2 + 2 + 5) x 100 x 3 + (1+ 2 + 2 + 5) x 1 x 3

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 12 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.

= (1 + 2 + 2 + 5) x 3 x 1111
= 10 x 3 x 1111
= 33330
Bài 8 : Cho 3 chữ số 0, 3, 7. Hãy lập tất cảc các số có 3 chữ số sao cho mỗi số có đủ 3 chữ
số đã cho. Tính tổng các số vừa lập
Giải :
Ta lập đợc 4 số
307
703
370
730
Tổng
(3 + 7) x 100 x 2 + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x 1
= 10 x 100 x 2 + 10 x 10 + 10 x 1
= 20 x 100 + 100 + 10
= 2110.
Các bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho 4 chữ số : 0, 2, 3, 5. Hãy lập tất cả các số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã
cho. Tính tổng.
Bài 2 : Cho 4 chữ số : 1, 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4
chữ số đã cho. Tính tổng.
Bài 3 : Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 4. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà mỗi số có đủ 5
chữ số đã cho. Tính tổng.
Bài 4 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
a, Có thể viết đợcbao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? Trong các số
viết đợc có bao nhiêu số chẵn?
b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 5 chữ số đã
cho
Bài 5 : Có thể viết đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng :
a, Các chữ số của chúng đều là những số lẻ?

b, Các chữ số của chúng đều là những số chẵn?
Bài 6 :
a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số đợc viết tữ 3 chữ số khác nhau.
b, Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số đợc viết từ 3 chữ số khác nhau.
Bài 7 : Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 để đợc 1 số tự nhiên. Hãy xoá đi 10

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 13 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
chữ số vừa nhận đợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để đợc :
a, Số lớn nhất;
b, Số nhỏ nhất;
Viết các số đó.
Bài 8 : Viết liên tiếp 10 số chẵn khác 0 đầu tiên để đợc một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10
chữ số của số vừa nhận đợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để đợc :
a, Số chẵn lớn nhất;
b, Số lẻ nhỏ nhất.

Dãy số
1- Dãy số là gì ?
Ví dụ 1: 1 , 2, 3,..............,100
Ta thấy: 2 - 1 = 1
3 - 2 = 1
.................
Ví dụ 2: 1, 2, 3, 5, 8,............
Ta thấy: 3 = 1 + 2
5= 2+ 3

................
Và 1 số ví dụ khác
Rút ra kết luận: Dãy số là một tập hợp các dãy số đợc viết liền nhau liên tiếp theo một
quy luật nhất định
2- Dãy số cách đều
Ví dụ 1: 1, 3, 5, 7, 9,.........
Ta thấy: 3 - 1 = 2 hoặc 1 : 2 = 0 d 1
5 -3 =2
3 : 2 = 1d1
...............
......................
Ví dụ 2: 2, 5, 8, 11 .................
Ta thấy: 5 - 2 = 3 hoặc
2 : 3 =0d2
8 - 5 =3
5 : 3= 1d2
...............
......................
Kết luận: Dãy số cách đều là dãy số mà hiệu của mỗi số hạng với số liền trớc nó
luôn luôn bằng nhau
Hoặc: Dãy số cách đều là dãy số mà mỗi số hạng trong dãy khi đem chia cho

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 14 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
khoảng cách giữa 2 số hạng đều có cùng số d
3- Dãy số khác

Có nhiều dãy số khác có quy luật khác nhau. Muốn làm một bài toán về dãy số ta
buộc phải tìm đợc quy luật của dãy số đó
Ví dụ 1: 1, 2, 4, 8, 16 ...........
Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy đều gấp đôi số hạng đứng liền trớc nó
Ví dụ 2: 1, 4, 9, 16, 25,..................
Quy luật: Số hạng ở vị trí nào thì bằng chính số thứ tự của vị trí ấy nhân với chính nó
Ví dụ 3: 1, 3, 6, 10, 15,............
Quy luật: Mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trớc với số thứ tự của nó trong dãy
số
.................
Sau khi các em nắm bắt đợc các kiến thức cơ bản về dãy số tôi tiếp tục nâng dần
mức độ khái quát lên để các em hiểu sâu, hiểu kĩ hơn về dãy số. Đó là các bài toán về
dãy số
4- Các bài toán về dãy số cách đều

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số
Bài toán: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7,........99. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng
- Lời giải cụ thể:
Số cuối hơn số đầu là:
99 - 1 = 98
Khoảng cách giữa 2 số hạng liền nhau là:
3 - 1 = 5 - 3 =2
Số khoảng cách là:
98: 2 = 49
Số số hạng là:
49 + 1 = 50
Biểu thức đáp số là:
( 99 - 1) : ( 5 - 3) + 1 = 50
- Rút ra công thức tổng quát:
Số số hạng = (Số cuối - số đầu): khoảng cách + 1

- Bài tập áp dụng
+ Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,..............100

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 15 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
- Dãy số đợc viết theo quy luận nào ? số 51 có thuộc dãy số không? Tại sao ?
+ Bài 2: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,......... 214. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng

Dạng 2: Tính tổng của dãy số
Bài toán: Cho dãy số : 2, 4, 6, 8, .........100. Hãy tính tổng của dãy số đó
- Lời giải cụ thể
Tổng của số đầu và số cuối à
2+ 100 = 102
Dãy số có số hạng là:
( 100 - 2) : 2 + 1 = 50
Tổng của dãy số là:
(102 ì 50) : 2 = 2550
Biểu thức đáp số là
(2 + 100) ì 50 : 2 = 2550
- Công thức tổng quát
Tổng = (số đầu + số cuối) ì Số số hạng : 2
- Bài toán áp dụng:
- Bài 1: Cho dãy số: 5, 9, 13,........... 1981
Tính tổng của dãy số đó
Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp thành dãy số: 2, 4, 6, 8, . . . , 234
a-Tính tổng của dãy số trên?

b- Không làm tính cụ thể, em hãy cho biết nếu viết tiếp đến số 2004 thì tổng của
dãy số đó có chia hết cho 3 không? Tại sao?

Dạng 3: Tìm só hạng thứ

n của dãy số

Bài toán: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào
- Lời giải cụ thể
Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là
98 - 1 = 99
Mỗi khoảng cách là
3 - 1 = 5 -3 =2
Số hạng thứ 100 là

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 16 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
1 + 99 ì 2 = 199
- Công thức tổng quát:
Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ì (Số số hạng - 1)
- Bài toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107,......
Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó.

Dạng 4: Tìm số chữ số của dãy biết số số hạng
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này ngời ta phải dùng bao
nhiêu chữ số

Giải:
Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số
có 2 chữ số có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.
Vậy số chữ số cần dùng là :
9 ì 1 + 90 ì 2 + 51 ì 3 = 342 chữ số
Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó ngời ta
phải dùng bao nhiêu chữ số.
Giải:
Để đánh số trang quyển sách đó ngời ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234
thành dãy số. Dãy số này có
( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số
Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số
Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số
Vậy ngời ta phải dùng số chữ số là:
9 ì 1 + 90 ì 2 + 135 ì 3 = 594 chữ số
áp dụng:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2004 thành 1 số rất
lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số
Bài 2: Trờng Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trờng
đó ngời ta phải dùng bao nhiêu chữ số

Dạng 5: Tìm số hạng biết số chữ

số

Bài toán: Để đánh số trang 1 quyển sách ngời ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách
đó có bao nhiêu trang
Giải:

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 17 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Để đánh số trang quyển sách đó, ngời ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1
thành dãy số. Dãy số này có
9 số có 1 chữ số
có 90 số có 2 chữ số
Để viết các số này cần số chữ số là
9 ì 1 + 90 ì 2 = 189 chữ số
Số chữ số còn lại là:
435 - 189 = 246 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết đợc
246 : 3 = 82 số
Số trang quyển sách đó là
99 + 82 = 181 ( trang)
áp dụng:
Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 ngời ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số
hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu.
Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trờng Tiểu học, ngời ta phải dùng 1137 chữ số.
Hỏi trờng đó có bao nhiêu học sinh

Dạng 6: Tìm chữ số thứ n của dãy
Bài toán: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ?
Giải:
Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số
Có 90 số có 2 chữ số
Để viết các số này cần
9 ì 1 + 90 ì 2 = 189 chữ số

Số chữ số còn lại là
200 - 189 = 11 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết đợc
11 : 3 = 3 số d 2 chữ số
Nên có 3 số có 3 chữ số đợc viết liên tiếp đến
99 + 3 = 102
Còn d 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhng chỉ viết đợc 10. Vậy chữ số thứ 200 của
dãy là chữ số 0 của số 103.
áp dụng:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 18 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm đợc chữ số thứ 2004 của dãy là chữ
số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?

Dạng 7: Tìm xem tích các số hạng trong dãy tận cùng

bằng chữ số nào

Bài toán 1: Em hãy tính xem tích các số tự nhiên liên tiếp từ 18 đến 26 tận cùng bằng
mấy chữ số giống nhau.
Giải
Tích đó viết nh sau: 18 ì 19 ì 20 ì ....... ì 26
Ta thấy 25 = 5 ì 5 mà mỗi số chẵn khi nhân với 5 cho ta 1 số tròn chục. Mặt khác
trong dãy còn có số 20 là số tròn chục. Mỗi số tròn chục khi nhân cho ta một chữ số 0.

Vậy tích đã cho có tận cùng bằng 3 chữ số giống nhau , đó là chữ số 0
Bài toán 2: Tích sau có tận cùng là chữ số nào:
9 ì 19 ì 29 ì..........ì 99
Giải:
Tích trên có ( 99 - 9) : 10 + 1 = 10 thừa số mà .............9 ì.......9 = .......1
Có 10 : 2 = 5 cặp nh vậy. Mà ..........1 ì .......1 ì........ì.......1 = ..........1
Vậy tích trên có tận cùng là chữ số 1. Nh vậy nếu số thừa số có tận cùng là 9
trong dãy là lẻ thì tích sẽ có tận cùng là: ..........1 ì .........9 = ......9 nếu thừa số là
chẵn thì tích sẽ có tận cùng là 1
áp dụng:
Bài 1: Tích các số tự nhiên liên tiếp từ 24 đến 75 có tận cùng là mấy chữ số giống nhau
Bài 2: Các tích sau có tận cùng là chữ số nào:
a- 6 ì 16 ì 26 ì...........ì 1996
b- 7 ì 17 ì 27 ì..........ì 197

Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3.......n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136
Giải:
áp dụng công thức tính tổng ta có :
1 + 2 + 3 +........+ n =

(1 + n) ì n
= 136
2

Do đó: (1 + n ) ì n = 136 ì 2

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 19 -

Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
= 17 ì 8 ì 2
= 16 ì 17
Vậy n
= 16
Bài toán 2: Cho dãy số 21, 22, 23, ......n
Tìm n biết 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840
Giải:
Nếu cộng thêm và tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng
sau:
1 + 2 + 3 +..........+ 21 + 22 + 23 +.........+ n
áp dụng công thức tính tổng ta có
(1 + n) ì n : 2 = 1 + 2 + ....+ 20 + 4840
= ( 1 + 20) ì 20 : 2 + 4840
= 210 + 4840 = 5050
( 1+ n) ì n = 5050 ì 2
= 10100
= 101 ì 100
Vậy n = 100
áp dụng
Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345
Hãy tìm số n
Bài 2: Tìm số n biết rằng
98 + 102+........+n = 15050

Dạng 9: Viết liên tiếp 1 nhóm chũ số ( chữ cái) thành dãy. Hỏi chữ số (chữ cái)
thứ n là chữ số ( chữ cái) nào .
Bài toán 1; Một bạn học sinh viết liên tiếp các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 thành dãy

1357913579........Hỏi chữ số thứ 1998 là chữ số nào
Giải
Ta nhận thấy cứ 5 chữ số lập thành 1 nhóm 13579 với 1998 chữ số ta viết đợc
1998 : 5 = 399 nhóm d 3 chữ số dùng để viết nhóm tiếp theo, nhng mới viết đợc135.
Vậy chữ số thứ 1998 là chữ số 5.
Bài toán 2: Ngời ta viết liên tiếp các chữ cái K, I, N , H, M, Ô, N thành các dãy
KINH MÔN KINH MÔN........

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 20 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
Hỏi chữ cái thứ 2000 là chữ cái nào
Giải:
Ta thấy cứ 7 chữ cái thành lập 1 nhóm KINH MÔN với 2000 chữ cái ta viết đợc số
nhóm là:
1999 : 7 = 285 nhóm, d 5 chữ cái để viết nhóm tiếp theo nhng với viết đợc
KINH M.
Vậy chữ cái thứ 2000 là chữ M
áp dụng:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các chữ cái H, A, I , D, Ư, Ơ, N, G thành dãy
HAI DƯƠNG HAI DƯƠNG........... viết đến chữ cái thứ 1234 thì phát hiện ra đã viết
nhầm chữ cái đó. Hỏi chữ cái viết nhầm là chữ cái nào
Bài 2: Ngời ta viết các chữ cái: T, o, A, n, t, u, Ô, i, t, h, ơ thành dãy
ToAntuôithơToAntu..... mỗi chữ cái viết 1 màu khác nhau theo thứ tự xanh,
đỏ, vàng. Hỏi chữ cái thứ 2004 là chữ gì, màu gì?

II-/Kết quả

Qua một thời gian giúp các em học và ôn luyện các kiến thức cơ bản, hớng dẫn các
em làm các bài toán về dãy số, qua kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh có sự tiến bộ
nhanh. Các em không bị lúng túng khi gặp loại toán này mà ngợc lại các em rất thích
các dạng toán mà tôi đã hệ thống đợc. Các em học tập hăng say hơn, hứng thú hơn và
kết quả là các em nắm kiến thức chắc và làm bài tốt. Cụ thể nh sau
Tổng số bài tham gia Điểm 9 - 10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6
Điểm 1 - 4
35
5 = 14,3%
12 = 34,3%
14 = 40%
4 = 11,4%
Qua kết quả này cho ta thấy tác dụng rõ rệt của đề tài này đối với việc bồi dỡng học
sinh khá giỏi trong nhà trờng.
III-/Hạn chế
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên các kiến thức hệ thống đợc cha sâu. Mặt khác
trình độ của học sinh trong lớp không đồng đều cũng phần nào hạn chế tác dụng của
đề tài này. Chính vì vậy kết quả đạt đợc cha thật nh mong muốn theo yêu cầu đề ra

Kết luận chung
Học sinh Tiểu học rất tiềm tàng khả năng phát triển, các em luôn muốn vơn tới
cái mới, cái hay và tự khẳng định mình. Nhng khả năng t duy của các em mới ở mức
độ từ biểu tợng cụ thể để rút ra đánh giá, kết luận mà cha có khả năng khái quát, tống
hợp các kiến thức đợc học. Khi giáo viên hớng dẫn học sinh cùng làm công việc này
tức là hệ thống hoá các kiến thức đã và đang học của một phần nào đó thành các kiểu,

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 21 -

Các bài toán về số, chữ số và dãy số.
loại, dạng toán có chung một vài đặc điểm toán học thì các em sẽ dễ dàng nắm đợc
kiến thức chính cơ bản và áp dụng để giải các bài toán theo yêu cầu của nội dung học.
Từ đó do không bị ức chếvề khả năng nên các em học tập thoải mái hơn, phát huy tính
tích cực của mình trong học tập và đạt đợc yêu cầu mà chơng trình đề ra. Nh vậy ta đã
giúp các em cách học có khoa học, lô gic và luôn hớng tới sự khái quát, tổng hợp. Mặt
khác kĩ năng giải toán của các em đợc rèn giũa qua làm các bài tập và năng lực t duy
của các em đợc phát triển có định hớng. Từ đó tạo tiền đề để các em học tập tốt hơn
các môn học khác và học tiếp lên các lớp trên. Đó cũng chính là mục tiêu của đề tài
này.

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 22 -


Các bài toán về số, chữ số và dãy số.

Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận.

- 23 -