SKKN áp dụng phương pháp QHĐ để giải quyết các bài toán tối ưu trong tin học

Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƢỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI

----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP QHĐ VÀO GIẢI QUYẾT MỘT
SỐ BÀI TOÁN TRONG TIN HỌC

HỌ TÊN GIÁO VIÊN: MAI HỒNG KIÊN
Đơn vị: Tổ Toán - tin

Năm học 2013 – 2014
1


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

MỤC LỤC
Nội dung
1 . Đặt vấn đề
2. Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lý luận
2.2 Thực trạng vấn đề
2.3 Các biện pháp thực hiện giải quyết vấn đề
2.3.1 Áp dụng phương pháp QHĐ
2.3.2 Ví dụ minh họa
2.3.3 Một số bài toán tối ưu giải bằng phương pháp QHĐ
2.4 Hiệu quả của SKNN

3 Kết luận
4. Tài liệu tham khảo

Trang
1
2
3
4
4
6
9
16
17
17

2


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

1. Đặt vấn đề.
- Sự phát triển như vũ bão của Công nghệ Thông tin và Truyền thông đóng vai trò
không nhỏ trong sự phát triển chung của nhân loại. Đảng và nhà nước đã xác định rõ ý
nghĩa và tầm quan trọng của tin học, Công nghệ Thông tin và Truyền thông cũng như
yêu cầu đẩy mạnh của ứng dụng Công nghệ Thông tin, đào tạo thế hệ trẻ năng động,
sáng tạo, nắm vững tri thức khoa học công nghệ để làm chủ trong mọi hoàn cảnh công
tác và hoạt động xã hội trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước.
- Chính vì xác định được tầm quan trọng đó nên nhà nước đã đưa môn tin học vào trong
nhà trường và ngay từ tiểu học học sinh được tiếp xúc môn tin học để làm quen dần với
lĩnh vực công nghệ thông tin, tạo nền móng ban đầu để học những phần nâng cao tiếp

theo.
- Trong chương trình Tin học THPT lớp 10 học sinh được giới thiệu các kiến thức đại
cương về tin học, lớp 11 học sinh được giới thiệu về lập trình, lớp 12 học sinh được học
về cơ sở dữ liệu. Trong chương trình Tin học THPT thì chương trình lớp 11 là phần
được cho là khó nhất, học sinh phải làm quen với ngôn ngữ lập trình Pascal và nắm
được một số thuật toán. Chương trình tin học lớp 11 nhằm rèn luyện tư duy về thuật
toán cho học sinh, rèn luyện kĩ năng lập trình, tính kiên trì, tỉ mỉ cẩn thận.
- Tuy nhiên từ thực tiễn giảng dạy học sinh đại trà cũng như học sinh đội tuyển tin học
của trường THPT chuyên Lào Cai tôi thấy rằng, học sinh gặp khó khăn khi chuyển lời
giải các bài toán từ toán sang ngôn ngữ lập trình. Đặc biệt là việc phân tích bài toán,
nhận biết bài toán đó có thể giải quyết bằng phương pháp nào, cỏ lời giải tối ưu hay
không ?
Xuất phát từ cơ sở trên, tôi đã chọn đề tài “Áp dụng phương pháp quy hoạch động để
giải các bài toán tối ưu trong tin học”, giúp các học sinh nắm được phương pháp quy
hoạch động khi giải quyết những bài toán tối ưu trong tin học.

3


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

2. Giải quyết vấn đề
2.1 .Cơ sở lí luận
- Nguyên lý tối ƣu của Bellman
Phương pháp quy hoạch động cùng nguyên lý tối ưu được nhà toán học Mỹ
R.Bellman đề xuất vào những năm 50 của thế kỷ 20. Phương pháp này đã được áp dụng
để giải hàng loạt bài toán thực tế trong các quá trình kỹ thuật cộng nghệ, tổ chức sản
xuất, kế hoạch hoá kinh tế…
Trong thực tế, ta thường gặp một số bài toán tối ưu loại sau: Có một đại lượng f
hình thành trong một quá trình gồm nhiều giai đoạn và ta chỉ quan tâm đến kết quả cuối

cùng là giá trị của f phải lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ta gọi chung là giá trị tối ưu của f. Giá
trị của f phụ thuộc vào những đại lượng xuất hiện trong bài toán mà mỗi bộ giá trị của
chúng được gọi là một trạng thái của hệ thống và phụ thuộc vào cách thức đạt được giá
trị f trong từng giai đoạn mà mỗi cách tổ chức được gọi là một điều khiển. Đại lượng f
thường được gọi là hàm mục tiêu và quá trình đạt được giá trị tối ưu của f được gọi là
quá trình điều khiển tối ưu.
Bellman phát biểu nguyên lý tối ưu (cũng gọi là nguyên lý Bellman) mà ý tưởng
cơ bản là như sau: “Với mỗi quá trình điều khiển tối ưu, đối với trạng thái bắt đầu A0,
với trạng thái A trong quá trình đó, phần quá trình kể từ trạng thái A xem như trạng thái
bắt đầu cũng là tối ưu”.
Chú ý rằng nguyên lý này được thừa nhận mà không chứng minh.
Phương pháp tìm điều khiển tối ưu theo nguyên lý Bellman thường được gọi là
quy hoạch động. Thuật ngữ này nói lên thực chất của quá trình điều khiển là động: có
thể trong một số bước đầu tiên lựa chọn điều khiển tối ưu dường như không tốt nhưng
tựu chung cả quá trình lại là tốt nhất.
Hiểu một cách đơn giản hơn quy hoạch đ ng là phương pháp giải bài toán từ nhỏ
đến lớn, việc giải – tìm phương án tối ưu của các bài toán nhỏ và lưu trữ các kết quả
4


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

này lại s giúp ta có thể giải các bài toán với kích thước lớn dần đến khi đạt được kết
quả mong muốn.
2.2 Thực trạng của vấn đề.
Xét bài toán sau:
Cho một dãy N số nguyên A1, A2,…,AN. Hãy tìm cách xoá đi một số ít nhất số
hạng để dãy còn lại là đơn điệu hay nói cách khác hãy chọn một số nhiều nhất các số
hạng sao cho dãy B gồm các số hạng đó theo trình tự xuất hiện trong dãy A là đơn điệu.
Quá trình chọn B được điều khiển qua N giai đoạn để đạt được mục tiêu là số

lượng số hạng của dãy B là nhiều nhất, điều khiển ở giai đoạn i thể hiện việc chọn hay
không chọn Ai vào dãy B.
Giả sử dãy đã cho là 1 8 10 2 4 6 7. Nếu ta chọn lần lượt 1, 8, 10 thì chỉ chọn
được 3 số hạng nhưng nếu bỏ qua 8 và 10 thì ta chọn được 5 số hạng 1, 2, 4, 6, 7.
Khi giải một bài toán bằng cách “chia để trị” chuyển việc giải bài toán kích thước
lớn về việc giải nhiều bài toán cùng kiểu có kích thước nhỏ hơn thì thuật toán này
thường được thể hiện bằng các chương trình con đệ quy. Khi đó, trên thực tế, nhiều kết
quả trung gian phải tính nhiều lần.
Vậy ý tưởng cơ bản của quy hoạch động là : Tránh tính toán lại mọi thứ hai lần,
mà lưu giữ kết quả đã tìm kiếm được vào m t bảng làm giả thiết cho việc tìm kiếm
những kết quả của trường hợp sau.
Chúng ta s làm đầy dần giá trị của bảng này bởi các kết quả của những trường
hợp trước đã được giải. Kết quả cuối cùng chính là kết quả của bài toán cần giải. Nói
cách khác phương pháp quy hoạch động đã thể hiện sức mạnh của nguyên lý chia để trị
đến cao độ.
Quy hoạch đ ng là kỹ thuật thiết kế bottom-up (từ dưới lên). Nó được bắt đầu với
những trường hợp con nhỏ nhất (thường là đơn giải nhất và giải được ngay). Bằng
cách tổ hợp các kết quả đã có (không phải tính lại) của các trường hợp con, sẽ đạt đạt
5


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

tới kết quả của trường hợp có kích thước lớn dần lên và tổng quát hơn, cho đến khi cuối
cùng đạt tới lời giải của trường hợp tổng quát nhất.
Trong một số trường hợp, khi giải một bài toán A, trước hết ta tìm họ bài toán
A(p) phụ thuộc tham số p (có thể p là một véc tơ) mà A(p0)=A với p0 là trạng thái ban
đầu của bài toán A. Sau đó tìm cách giải họ bài toán A(p) với tham số p bằng cách áp
dụng nguyên lý tối ưu của Bellman. Cuối cùng cho p=p 0 s nhận được kết quả của bài
toán A ban đầu.

2.3. Các biện pháp thực hiện giải quyết vấn đề
2.3.1. Áp dụng phương pháp quy hoạch động.
Bước 1: Lập hệ thức
Dựa vào nguyên lý tối ưu tìm cách chia quá trình giải bài toán thành từng giai
đoạn, sau đó tìm hệ thức biểu diễn tương quan quyết định của bước đang xử lý với các
bước đã xử lý trước đó. Hoặc tìm cách phân rã bài toán thành các “bài toán con” tương
tự có kích thước nhỏ hơn, tìm hệ thức nêu quan hệ giữa kết quả bài toán kích thước đã
cho với kết quả của các “bài toán con” cùng kiểu có kích thước nhỏ hơn của nó nhằm
xây dựng phương trình truy toán (dạng hàm hoặc thủ tục đệ quy).
Về m t cách xây dựng phương trình truy toán:
Ta chia việc giải bài toán thành n giai đoạn. Mỗi giai đoạn i có trạng thái ban đầu
là t(i) và chịu tác động điều khiển d(i) s biến thành trạng thái tiếp theo t(i+1) của giai
đoạn i+1 (i=1,2,…,n-1). Theo nguyên lý tối ưu của Bellman thì việc tối ưu giai đoạn
cuối cùng không làm ảnh hưởng đến kết quả toàn bài toán. Với trạng thái ban đầu là t(n)
sau khi làm giai đoạn n tốt nhất ta có trạng thái ban đầu của giai đoạn n-1 là t(n-1) và
tác động điều khiển của giai đoạn n-1 là d(n-1), có thể tiếp tục xét đến giai đoạn n-1.
Sau khi tối ưu giai đoạn n-1 ta lại có t(n-2) và d(n-2) và lại có thể tối ưu giai đoạn n-2
… cho đến khi các giai đoạn từ n giảm đến 1 được tối ưu thì coi như hoàn thành bài
toán. Gọi giá trị tối ưu của bài toán tính đến giai đoạn k là Fk, giá trị tối ưu của bài toán
tính riêng ở giai đoạn k là Gk thì
6


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

Fk = Fk-1 + Gk
Hay là: F1 (t (k ))  m ax {G k (t (k ), d (k ))  Fk 1 (t (k  1))} (*)
d ( k )

Bước 2: Tổ chức dữ liệu và chương trình

Tổ chức dữ liệu sao cho đạt các yêu cầu sau:


Dữ liệu được tính toán dần theo các bước.



Dữ liệu được lưu trữ để giảm lượng tính toán lặp lại.



Kích thước miền nhớ dành cho lưu trữ dữ liệu càng nhỏ càng tốt, kiểu dữ

liệu được chọn phù hợp, nên chọn đơn giản dễ truy cập.
Cụ thể
 Các giá trị của Fk thường được lưu trữ trong một bảng (mảng một chiều hoặc
hai, ba, v.v… chiều).
 Cần lưu ý khởi trị các giá trị ban đầu của bảng cho thích hợp, đó là các kết
quả của các bài toán con có kích cỡ nhỏ nhất của bài toán đang
giải: F1 (t (1))  m ax {G1 (t (1), d (1))  F0 (t (0))}
d (1)

 Dựa vào công thức, phương trình truy toán (*) và các giá trị đã có trong bảng
để tìm dần các giá trị còn lại của bảng.
 Ngoài ra còn cần mảng lưu trữ nghiệm tương ứng với các giá trị tối ưu trong
từng gian đoạn.
 Dựa vào bảng lưu trữ nghiệm và bảng giá trị tối ưu trong từng giai đoạn đã
xây dựng, tìm ra kết quả bài toán.
Bước 3: Làm tốt
Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức (*) và giảm kích thước miền nhớ.

Thường tìm cách dùng mảng một chiều thay cho mảng hai chiều nếu giá trị một dòng
(hoặc cột) của mảng hai chiều chỉ phụ thuộc một dòng (hoặc cột) kề trước.

7


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

Trong một số trường hợp có thể thay mảng hai chiều với các giá trị phần tử chỉ
nhận giá trị 0, 1 bởi mảng hai chiều mới bằng cách dùng kỹ thuật quản lý bit.
2.3.2. Ví dụ minh họa
Cho số tự nhiên n ≤ 100. Hãy cho biết có bao nhiêu cách phân tích số n thành tổng
của dãy các số nguyên dương, các cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là m t
cách.
n = 5 có 7 cách phân tích:
1. 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 5 = 1 + 1 + 1 + 2
3. 5 = 1 + 1 + 3
4. 5 = 1 + 2 + 2
5. 5 = 1 + 4
6. 5 = 2 + 3
7. 5 = 5
(Lưu ý: n = 0 vẫn coi là có 1 cách phân tích thành tổng các số nguyên dương (0 là tổng
của dãy rỗng)
Bước 1: Lập hệ thức
Nhận xét:
Nếu gọi F[m, v] là số cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dƣơng ≤ m. Khi
đó: Các cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương ≤ m có thể chia làm hai
loại:
-

Loại 1: Không chứa số m trong phép phân tích, khi đó số cách phân tích loại này
chính là số cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương < m, tức là số cách
phân tích số v thành tổng các số nguyên dương ≤ m - 1 và bằng F[m - 1, v].

-

Loại 2: Có chứa ít nhất một số m trong phép phân tích. Khi đó nếu trong các cách
phân tích loại này ta bỏ đi số m đó thì ta s được các cách phân tích số v - m thành
tổng các số nguyên dương ≤ m (Lưu ý: điều này chỉ đúng khi không tính lặp lại các
8


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

hoán vị của một cách). Có nghĩa là về mặt số lượng, số các cách phân tích loại này
bằng F[m, v - m]
Trong trường hợp m > v thì rõ ràng chỉ có các cách phân tích loại 1, còn trong
trường hợp m ≤ v thì s có cả các cách phân tích loại 1 và loại 2. Vì thế:

F[m 1, v]; if m > v
F[m, v]= 
F[m-1,v]+F[m,v-m]; if m  v
Bước 2: Tổ chức dữ liệu và chương trình
Ta có công thức xây dựng F[m, v] từ F[m - 1, v] và F[m, v - m]. Công thức này có
tên gọi là công thức truy hồi đưa việc tính F[m, v] về việc tính các F[m', v'] với dữ liệu
nhỏ hơn. Tất nhiên cuối cùng ta s quan tâm đến F[n, n]: Số các cách phân tích n thành
tổng các số nguyên dương ≤ n.
Ví dụ với n = 5, bảng F s là:
F 0 1 2 3 4 5 V

0

1 0 0 0 0 0

1

1 1 1 1 1 1

2

1 1 2 2 3 3

3

1 1 2 3 4 5

4

1 1 2 3 5 6

5

1 1 2 3 5 7

m
Nhìn vào bảng F, ta thấy rằng F[m, v] được tính bằng tổng của:
Một phần tử ở hàng trên: F[m - 1, v] và một phần tử ở cùng hàng, bên trái: F[m, v - m].
Cài đặt:
program Analysis_Counting;
const

max = 100;
var
F: array[0..max, 0..max] of Integer;
n, m, v: Integer;
9


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(F[0], SizeOf(F[0]), 0);
F[0, 0] := 1;
for m := 1 to n do
for v := 0 to n do
if v < m then F[m, v] := F[m - 1, v]
else F[m, v] := F[m - 1, v] + F[m, v - m];
WriteLn(F[n, n], ' Analyses');
end.
Bước 3: Làm tốt
Cải tiến dùng 2 mảng 1 chiều
Cách làm trên có thể tóm tắt lại như sau: Khởi tạo dòng 0 của bảng, sau đó dùng
dòng 0 tính dòng 1, dùng dòng 1 tính dòng 2 v.v… tới khi tính được hết dòng n. Có thể
nhận thấy rằng khi đã tính xong dòng thứ k thì việc lưu trữ các dòng từ dòng 0 tới dòng
k - 1 là không cần thiết bởi vì việc tính dòng k + 1 chỉ phụ thuộc các giá trị lưu trữ trên
dòng k. Vậy ta có thể dùng hai mảng một chiều: Mảng Current lưu dòng hiện thời đang
xét của bảng và mảng Next lưu dòng kế tiếp, đầu tiên mảng Current được gán các giá trị
tương ứng trên dòng 0. Sau đó dùng mảng Current tính mảng Next, mảng Next sau khi
tính s mang các giá trị tương ứng trên dòng 1. Rồi lại gán mảng Current := Next và
tiếp tục dùng mảng Current tính mảng Next, mảng Next s gồm các giá trị tương ứng

trên dòng 2 v.v… Vậy ta có cài đặt cải tiến sau:
program Analysis_Counting_2;
const max = 100;
var
Current, Next: array[0..max] of Integer;
n, m, v: Integer;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(Current, SizeOf(Current), 0);
Current[0] := 1;
for m := 1 to n do
begin
for v := 0 to n do
if v < m then Next[v] := Current[v]
10


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

else Next[v] := Current[v] + Next[v - m];
Current := Next;
end;
WriteLn(Current[n], ' Analyses');
end.
2.3.3. Một số bài toán tối ƣu giải bằng phƣơng pháp quy hoạch động
Bài toán 1: Bài toán cái túi
Trong siêu thị có n gói hàng (n ≤ 100), gói hàng thứ i có trọng lượng là W[i] ≤
100 và trị giá V[i] ≤ 100. Một tên trộm đột nhập vào siêu thị, tên trộm mang theo một
cái túi có thể mang được tối đa trọng lượng M (M ≤ 100). Hỏi tên trộm s lấy đi những
gói hàng nào để được tổng giá trị lớn nhất.

Input: file văn bản BAG.INP
-

Dòng 1: Chứa hai số n, M cách nhau ít nhất một dấu cách

-

n dòng tiếp theo, dòng thứ i chứa hai số nguyên dương W[i], V[i] cách nhau
ít nhất một dấu cách

Output: file văn bản BAG.OUT
-

Dòng 1: Ghi giá trị lớn nhất tên trộm có thể lấy

-

Dòng 2: Ghi chỉ số những gói bị lấy
BAG.INP BAG.OUT
5 11

11

33

521

44
54
9 10

44

11


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

Bài gi i:
Nếu gọi F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể có bằng cách chọn trong các gói {1, 2, …,
i} với giới hạn trọng lượng j. Thì giá trị lớn nhất khi được chọn trong số n gói với giới
hạn trọng lượng M chính là F[n, M].
Công thức truy hồi tính F[i, j].
Với giới hạn trọng lượng j, việc chọn tối ưu trong số các gói {1, 2, …, i - 1, i} để
có giá trị lớn nhất s có hai khả năng:
o Nếu không chọn gói thứ i thì F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể bằng cách chọn trong
số các gói {1, 2, …, i - 1} với giới hạn trọng lượng là j. Tức là F[i, j] = F[i - 1, j]
o Nếu có chọn gói thứ i (tất nhiên chỉ xét tới trường hợp này khi mà W[i] ≤ j) thì
F[i, j] bằng giá trị gói thứ i là V[i] cộng với giá trị lớn nhất có thể có được bằng
cách chọn trong số các gói {1, 2, …, i - 1} với giới hạn trọng lượng j - W[i]. Tức
là về mặt giá trị thu được: F[i, j] = V[i] + F[i - 1, j - W[i]]
Vì theo cách xây dựng F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể, nên F[i, j] s là Max trong 2 giá
trị thu được ở trên.
Cơ sở quy hoạch đ ng:
Dễ thấy F[0, j] = giá trị lớn nhất có thể bằng cách chọn trong số 0 gói = 0.
Tính bảng phương án:
Bảng phương án F gồm n + 1 dòng, M + 1 cột, trước tiên được điền cơ sở quy
hoạch động: Dòng 0 gồm toàn số 0. Sử dụng công thức truy hồi, dùng dòng 0 tính dòng
1, dùng dòng 1 tính dòng 2, v.v… đến khi tính hết dòng n.
Truy vết
Tính xong bảng phương án thì ta quan tâm đến F[n, M] đó chính là giá trị lớn

nhất thu được khi chọn trong cả n gói với giới hạn trọng lượng M. Nếu F[n, M] = F[n 1, M] thì tức là không chọn gói thứ n, ta truy tiếp F[n - 1, M]. Còn nếu F[n, M] ≠ F[n 1, M] thì ta thông báo rằng phép chọn tối ưu có chọn gói thứ n và truy tiếp F[n - 1, M W[n]]. Cứ tiếp tục cho tới khi truy lên tới hàng 0 của bảng phương án.
program Bag;
const
12


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

InputFile = 'BAG.INP';
OutputFile = 'BAG.OUT';
max = 100;
var
W, V: Array[1..max] of Integer;
F: array[0..max, 0..max] of Integer;
n, M: Integer;
procedure Enter;
var
i: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, M);
for i := 1 to n do ReadLn(fi, W[i], V[i]);
Close(fi);
end;
procedure Optimize;
var
i, j: Integer;
begin
FillChar(F[0], SizeOf(F[0]), 0);

for i := 1 to n do
for j := 0 to M do
begin {Tính F[i, j]}
F[i, j] := F[i - 1, j];
if (j >= W[i]) and (F[i, j] < F[i - 1, j - W[i]] +
V[i]) then
F[i, j] := F[i - 1, j - W[i]] + V[i];
end;
end;
procedure Trace;
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, F[n, M]);
while n <> 0 do
begin
if F[n, M] <> F[n - 1, M] then
begin
Write(fo, n, ' ');
M := M - W[n];
13


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

end;
Dec(n);
end;
Close(fo);

end;
begin
Enter;
Optimize;
Trace;
end.
Bài toán 2: Chia thưởng
Cần chia hết m phần thưởng cho n học sinh sắp theo thứ tự từ giỏi trở xuống sao
cho mỗi bạn không nhận ít phần thưởng hơn bạn xếp sau mình.
1  m, n  70.
Hãy tính số cách chia.
Thí dụ, với số phần thưởng m = 7, và số học sinh n = 4 s có 11 cách chia 7 phần
thưởng cho 4 học sinh theo yêu cầu của đầu bài. Đó là:
Phƣơng án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

   
7
6
5

5
4
4
3
3
4
3
2

0
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2

0
0
0
1
0
1
1
2
1

1
2

0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1

14


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

Bài giải
Lập hệ thức
Gọi Chia(i, j) là số cách chia i phần thưởng cho j học sinh, ta thấy:
- Nếu không có học sinh nào (j = 0) thì không có cách chia nào (Chia = 0).
- Nếu không có phần thưởng nào (i = 0) thì chỉ có một cách chia (Chia(0,j) = 1 -

mỗi học sinh nhận 0 phần thưởng). Ta cũng quy ước Chia(0, 0) = 1.
- Nếu số phần thưởng ít hơn số học sinh (i < j) thì trong mọi phương án chia, từ

học sinh thứ i + 1 trở đi s không được nhận phần thưởng nào:

Chia(i, j) = Chia(i, i) nếu i < j.
Ta xét tất cả các phương án chia trong trường hợp i  j. Ta tách các phương án chia
thành hai nhóm không giao nhau dựa trên số phần thưởng mà học sinh đứng cuối bảng
thành tích, học sinh thứ j, được nhận:
-

Nhóm thứ nhất gồm các phương án trong đó học sinh thứ j không được nhận

thưởng, tức là i phần thưởng chỉ chia cho j - 1 học sinh và do đó, số cách chia, tức là số
phần tử của nhóm này s là: Chia(i, j - 1).
-

Nhóm thứ hai gồm các phương án trong đó học sinh thứ j cũng được nhận

thưởng. Khi đó, do học sinh đứng cuối bảng thành tích được nhận thưởng thì mọi học
sinh khác cũng s có thưởng. Do ai cũng được thưởng nên ta bớt của mỗi người một
phần thưởng (để họ lĩnh sau), số phần thưởng còn lại (i - j) s được chia cho j học sinh.
Số cách chia khi đó s là Chia(i - j, j).
Tổng số cách chia cho trường hợp i  j s là tổng số phần tử của hai nhóm, ta có:
Chia(i, j) = Chia(i, j - 1) + Chia(i - j, j).
Tổng hợp lại ta có:

15


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

Điều kiện
i: số phần thưởng

Chia(i, j)

j: số học sinh
j=0

Chia(i, j) = 0

i = 0 and j  0

Chia(i, j) = 1

i
Chia(i, j) = Chia(i, i)

ij

Chia(i, j) = Chia(i, j – 1) + Chia(i – j, j)
Các tính chất của hàm Chia(i, j)
Chia i phần thưởng cho j học sinh

Tổ chức dữ liệu và chƣơng trình
Ta có phương án đầu tiên của giải thuật Chia như sau:
Phương án đệ quy. Hàm Chia(i,j) tính số cách chia i phần thưởng cho j học sinh
function Chia(i,j: integer):longint;
begin
if j = 0 then Chia := 0
else {j > 0 }
if i = 0 then {i = 0; j > 0 }
Chia := 1

else {i,j > 0 }
if i < j then {0 < i < j }
Chia := Chia(i,i)
else {i >= j > 0 }
Chia := Chia(i,j-1)+Chia(i-j,j);
end;
Phương án này chạy chậm vì phát sinh ra quá nhiều lần gọi hàm trùng lặp. Bảng
dưới đây liệt kê số lần gọi hàm Chia khi giải bài toán chia thưởng với bảy phần thưởng
(m = 7) và 4 học sinh (n = 4). Thí dụ, hàm Chia(1,1) s được gọi 9 lần,… Tổng số lần
gọi hàm Chia là 79. 79 lần gọi hàm để sinh ra kết quả 11 là quá tốn kém.

16


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên





















0
9
1
1
0
9
9
2
1
0
6
6
1
0
0
5
5
2
1
1
3
3
1
1
0

2
2
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Số lần gọi hàm Chia cục bộ
khi tính hàm Chia(7,4)
Làm tốt
Phương án 1 khá dễ triển khai nhưng chương trình s chạy rất lâu. Diễn tả đệ quy
thường trong sáng, nhàn tản, nhưng khi thực hiện s sinh ra hiện tượng gọi lặp lại những
hàm đệ quy. Cải tiến là tránh những lần gọi lặp như vậy. Muốn thế chúng ta tính sẵn các
giá trị của hàm theo các trị của đầu vào khác nhau và điền vào một mảng hai chiều cc.
Mảng cc được mô tả như sau:
const
MN = 70;{ gioi han tren cua m va n }

j-1

j

var cc: array[0..MN,0..MN] of longint;
Ta quy ước cc[i, j] chứa số cách chia i phần thưởng cho j
học sinh.

i-j
...
i

[i-j,j]
...
[i,j-1] [i,j]

Theo phân tích của phương án 1, ta có:
 cc[0, 0] = 1; cc[i, 0] = 0, với i:=1..m.
 cc[i, j] = cc[i, i], nếu i < j
 cc[i, j] = cc[i, j-1]+cc[i-j, j], nếu i  j.
Từ đó ta suy ra quy trình điền trị vào bảng cc như sau:
 Khởi trị
 cc[0,0 ]:= 1;
17


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

 với i := 1..m: cc[i,0] := 0;
 Điền bảng: Lần lượt điền theo từng c t j:= 1..n. Tại mỗi c t j ta đặt:
 với i := 0..j-1: cc[i,j] := cc[i,i];
 với i := j..m: cc[i,j] := cc[i,j-1]+cc[i-j,j];
Nhận kết quả: Sau khi điền bảng, giá trị cc[m, n] chính là kết quả cần tìm.
Phƣơng án d ng mảng 2 chiều:

function Chia2(m,n: integer):longint;
var i,j: integer;
begin
cc[0,0] := 1;
for i := 1 to m do cc[i,0] := 0;
for j := 1 to n do
begin
for i := 0 to j-1 do cc[i,j] := cc[i,i];
for i := j to m do
cc[i,j] := cc[i,j-1]+cc[i-j,j];
end;
Chia2 := cc[m,n];
end;
2.4. Hiệu quả của SKKN.
- Trong quá trình trao đổi, thảo luận, trình bày học sinh được thể hiện khả năng vận
dụng, hiểu biết của mình nên các em tỏ ra hăng hái trong việc giơ tay phát biểu tranh
luận.
- Đa số học sinh các lớp 11Toán, 11A1 nắm được “phương pháp quy hoạch đ ng” và
100% học sinh đội tuyển nắm và vận dụng tốt kĩ thuật này.
- Kết quả đạt được: Trong các năm học trước 2011-2012, 2012-2013 đội tuyển Tin học
của trường không có giải HSGQG nào thì đến năm học 2013-2014 đội tuyển Tin học
của trường đạt 8 giải HSG cấp tỉnh trong đó có giải nhất và giải nhì. 01 giải HSG Quốc
gia.

18


Sáng kiến kinh nghiệm 2014 – Mai Hồng Kiên -THPT chuyên

3. Kết luận

Như đã nói ở trên, chìa khóa trong thuật toán quy hoạch động là việc xây dựng các bài
toán con mà ta gọi là mảng quy hoạch động. Mảng này có thể là 1, 2 hoặc có thể nhiều
chiều tùy thuộc vào lời giải của bài toán phụ thuộc vào các loại tham số nào. Tiếp đến là
cách quy nạp thu gọn bài toán sau mỗi bước, tức là không gian bài toán (kích thước dữ
liệu) nhỏ lại, cho đến khi nào ta hoàn toàn có thể giải được bài toán nhỏ (điểm dừng của
quy nạp). Bản chất của công việc này là ta phải xây dựng được lời giải của bài toán qua
các bài toán con, tức là lập được công thức truy hồi, và dựa vào công thức truy hồi, ta s
biết được cần phải khởi tạo như thế nào.
Trong các phần trên, chúng ta đã khảo sát một số bài toán có thể dùng thuật toán quy
hoạch động để giải quyết một cách hiệu quả. Những vấn đề này đều liên quan đến bài
toán tìm phương án tối ưu để thực hiện một công việc nào đó và chúng có chung một
tính chất là đáp án tốt nhất cho một bài toán con vẫn được duy trì khi bài toán con đó
trở thành một phần trong bài toán lớn hơn.
Thuật toán quy hoạch động thường được áp dụng để giải các bài toán tối ưu, bài toán
đếm, … Vì vậy, nếu giới hạn kích thước dữ liệu của các bài toán tối ưu lớn và việc sử
dụng các thuật toán khác (như duyệt, nhánh cận, ...) có độ phức tạp thời gian lớn thì
chúng ta hãy nghĩ đến thuật toán quy hoạch động.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Sách giáo khoa tin học 11
2. Sách giáo viên tin học 11
3. Tài liệu giáo khoa chuyên tin

Hồ Sĩ Đàm
Hồ Sĩ Đàm
Hồ Sĩ Đàm

Chủ biên
Chủ biên

Chủ biên

19