Sáng kiến kinh nghiệm SKKN hướng dẫn học sinh THCS tự học về phép chia trên tập số nguyên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS TỰ HỌC VỀ PHÉP CHIA TRÊN
TẬP SỐ NGUYÊN”


A- MỞ ĐẦU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần khuyến
khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được năng lực sáng
tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về một lĩnh vực khoa
học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh những tài liệu đó viết
chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết dưới dạng chuyên đề với
cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập áp dụng mà không trình bày
được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định hướng được lời giải như thế ? Lối viết
này đòi hỏi người học phải có một trình độ nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó
đối với học sinh trung học cơ sở. Để khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên
đề Toán theo hướng chuyên đề. C ng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình.
Với m i ví dụ điểm hình tôi đều trình bày luận điểm tại sao lại tư duy như thế? để d n
tới lời giải.
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về hướng
d n học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này tôi đăng ký
nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”. Đề
tài đã được triển khai tại trường THCS Ph Cừ và được Hội đ ng khoa học trường đánh
giá cao trong năm học vừa qua.
2 Đ

tƣ n v p

mv n

nc u

T n ề t : “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”
* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng d n học sinh tự học trong quá trình học tập
môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng d n học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học Phép
chia trên tập số nguyên . Tập trung chủ yếu nghiên cứu về bài toán chia hết
và chia có dư của biểu thức một biến và một số ứng dụng của phép chia trên tập số
nguyên.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở trường
THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và kỹ thuật dạy học
tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Ph Cừ.
II- PHƢƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1- Cơ sở lý luận


Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 D y ọc tíc cực là gì?
Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được d ng ở nhiều nước để chỉ những
phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của
người học."Tích cực" trong phương pháp dạy học - tích cực được d ng với nghĩa là hoạt
động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không d ng theo nghĩa trái với
tiêu cực.
Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của
người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là
tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương tác đề tài
chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri thức hơn là việc
nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trường học tập tích cực,

giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải là người “đọc
chính tả” cho học sinh chép!
1 2 Đặc trƣn cơ bản của d y- ọc tíc cực
a. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
b. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc.
c. Dạy và học coi trọng hướng d n tìm tòi.
d. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
e. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.
f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và lợi ích
của xã hội.
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc trưng
là Khám phá và Khai phá , có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào


(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong chương
trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ thuật dạy
học tích cực, đề tài tập trung giải pháp làm thế nào đề thực hiện được Dạy học chú
trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng hướng d n tìm tòi .
2. Cơ sở t ực t ễn
Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Ph Cừ- trường chất lượng cao của
huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn toán. Đây là điều
kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về ĐMPPDH. Trong những năm
học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương
pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và

triển khai các đề tài trong các tình huống điển hình đó là Phương pháp dạy học trong
tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất ở môn Toán được xếp loại B
cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu về Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động
Dạy-Học tiết ôn tập ở môn Toán được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học
2011-2012 và 2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài Hướng d n học sinh tự học một số bất
đẳng thức quen thuộc và Hướng d n học sinh tự học bài toán cực trị hình học đều
được xếp loại C cấp tỉnh. Năm học này, tôi tiếp tục hướng nghiên cứu về hướng d n học
sinh tự học một số chuyên đề khó trong toán số học cho đối tượng là học sinh khá, giỏi.
Các chuyên đề này giúp cho học sinh rất nhiều trong việc phát triển tư duy Toán, có điều
kiện để sáng tạo đ ng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng
con đường học tập cho riêng mình.
Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản thân
tôi luôn cố gắng tìm tòi lời giải của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và giúp đỡ học
sinh của mình tự học?”. Một trong những đáp án của bài toán trên là viết những tài
liệu với giọng văn như những lời tâm sự hướng tới sự đ ng cảm với học trò của mình
đó là Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy? chứ không phải Thầy giải bài tập đó
em có hiểu không? . Tài liệu tôi viết dành tặng cho học sinh của mình tôi thường chọn
những vấn đề toán học gần gũi với các em, đặc biệt là ph hợp với đối tượng học sinh.
Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy học này tôi chuyển tải đề tài Hướng dẫn học sinh
tự học một số bài toán về chia trên tập số nguyên” một chủ đề kiến thức toán học tương
đối khó đối với học sinh và cũng là tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài của năm học trước.
Tôi viết dành cho học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9.
3. Các b ện p áp cơ bản t ến
3.1 P ƣơn p áp n

n c u:

n n

nc a ềt

1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới PPDH môn
toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng, nhiệm vụ năm
học, hướng d n thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận cho đề tài.
2/ Nhóm phương pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra
bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá ....
3.2 Kế o c n

nc u

1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề Hướng d n học sinh tự học trong quá trình học tập
môn Toán với trường THCS Ph Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Ph Cừ trong các năm học từ
năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao g m:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Ph Cừ
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đ ng khoa học trường THCS Ph Cừ


B- NỘI DUNG
I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu Dạy học chú trọng rèn luyện phương
pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng d n tìm tòi đối với bộ môn Toán.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
-Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đ ng thời giúp cho các

em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình.
II- GIẢI PHÁP
C ƣơn I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC
1 Quan

ểm về tự ọc

Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được năng lực
sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục.
Giáo dục phải coi trọng việc b i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho
người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu,
thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và học cần thực hiện theo ba định
hướng:
- B i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;
- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
- Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học là một trong những đặc trưng cơ bản của
dạy-học tích cực. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là khuyến khích
người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã biết và đã qua
trải nghiệm. GV nên đưa người học vào những tình huống có vấn đề để các em trực tiếp
quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS tìm ra những câu trả lời đúng, các đáp
án chính xác nhất. Các em còn được khuyến khích khai phá ra những cách giải quyết
cho riêng mình và động viên trình bày quan điểm theo từng cá nhân. Đó là nét riêng, nét
mới có nhiều sáng tạo nhất. Có như vậy bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học còn
biết làm chủ cách xây dựng kiến thức, tạo cơ hội tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy
nở, phát triển. Có thể so sánh nếu quá trình giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường
tròn đó phải là cách tổ chức các hoạt động học tập cho đối tượng người học.


Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học. Nếu người học có được

phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen và ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng say mê học
tập, khơi dậy nội lực vốn có trong m i người học và kết quả học tập sẽ tăng lên.
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí óc để
chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng nhưng chính
những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy sinh viên tư duy để thoát khỏi lúng túng ,
nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những dấu hỏi, phát hiện vấn đề
và từ đó đi đến có đề tài nghiên cứu.
2.2. Nghiên cứu khoa học
Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển tự học lên
đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ giữa tư duy độc
lập và tư duy sáng tạo.
3 P ƣơn p áp tự ọc bồ dƣỡn năn lực tự ọc, kỹ năn tự ọc l m cầu n
ọc tập v n
n c u k oa ọc của n ƣờ ọc

ữa

Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động rất cơ
bản do tính chất đặc th của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi, khả năng
nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt động nghiên
cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành
nghiên cứu khoa học ph hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất định nhằm đạt mục đích
nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa học có thể diễn ra theo các giai
đoạn sau:
- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;

- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4 Một s b ện p áp cơ bản ƣớn dẫn ọc s n tự ọc:
...Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau:
1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không?
2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không?


3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không?
4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không?
5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không?
6- Học sinh có được tự đánh giá không...
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch thì
không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế hoạch học
tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. M i người, t y vào nhu cầu của mình, sẽ
lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi cần, nhưng điều quan
trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian
Bất cứ ai cũng có 168 giờ m i tuần, nhưng có người sử dụng quỹ thời gian đó có
hiệu quả hơn người khác. Học sinh có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê tất cả công
việc cho từng ngày sau đó, nếu ta thấy còn ít hơn 30 giờ m i tuần để tự học thì ta hãy
kiểm điểm lại xem tại sao mình phí thời gian như vậy.
4.1.3- Chọn địa điểm học
Ta có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc d rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn choviệc
học. Quan trọng là nơi đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho nên hãy làm cho
việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen học tập.
4.1.4- Chọn thời điểm học tập.
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh m n, vào đúng khoảng thời

gian đã lên kế hoạch để học.
4.1.5- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu, cần đọc
trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu học sau giờ lên lớp, cần chú ý xem lại
những thông tin ghi chép được.
4.1.6- Học cho giờ thảo luận


Sử dụng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ năng phát
biểu với các học viên khác (nếu cần). Điều này sẽ giúp hoàn thiện kỹ năng phát biểu.
4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập.
Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự tính sẽ
d ng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không hiệu quả, ta
có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp có thói quen học tốt hơn và khi
đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là
một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc rất dễ !
4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là ngu n tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng d n cụ thể để đạt
lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ đắc lực cho
giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô c ng quan trọng để học sinh tham gia
vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản
là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới các
em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa
có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo
viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ m u giáo viên không nên thay đổi để nếu học
sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh yếu có thêm 1 tài
liệu

để
đọc
lại
khi
chưa
rõ
cách
giáo
viên
hướng
d n.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên
ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này vừa tiết kiệm
thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài giảng không bị nhàm
chán
4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài
liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT để
học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để có thể
tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học sinh có 1
cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án tương tự đã có để giải
quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng d n.


4.2.3 Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng d n học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để hs có
khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết các tài liệu
theo hướng các chuyên đề nhằm định hướng về Tư duy và Kỹ năng cho học sinh đ ng
thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học.

C ƣơn II-

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC

v GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY
I- Đán

á c un

Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học sinh
vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất thì việc kiểm
tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp phần tích cực làm
chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học hướng
d n học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn toán nói riêng
còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh v n đơn giản là cố gắng
hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách có thể), và học thuộc
trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì chỉ quen thuộc với cách
kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng. Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn
giản là thực hiện theo phân phối chương trình, trước khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh
một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy học nên
chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội dung SGK. Một
số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, v n áp dụng một cách rập khuôn, máy móc lối dạy
học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện, liệt kê kiến thức theo SGK là
chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư
duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương tiện dạy học nhất là các phương tiện trực
quan để dạy học và tổ chức cho học sinh nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến
thức và con đường để chiếm lĩnh kiến thức của học sinh.
Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết kế bài

giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương trình, hướng d n
học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến lớn trong thực tế đời
sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không tổ chức hoạt động học tập


cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt động, không hướng d n được
phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay v n theo "lối mòn", giáo viên
truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo viên còn đọc
hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK. Việc sử dụng các
phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản trong... chỉ d ng khi thi
giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các tiết học thông thường hầu như
"dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện kỹ năng
tự học cũng như việc hướng d n tự học của giáo viên cho học sinh không được chú ý làm
cho chất lượng giờ dạy không cao
II. Tổn

p s l ệu

ều tra t ƣc t ễn

1- Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức
độ
Lớp

Tự đọc bài mới Tự học STK sau Học theo tài
SGK trước khi bài học trên lớp

liệu của giáo
đến lớp
viên

9A (45hs)

1/45=2,2%

20/45=44,5%

24/45=53.3%

8A (44hs)

0/45=0%

23/44=52,3%

21/44=47,7%

8B (45hs)

1/45=2,2%

22/45=49%

22/45=48,8%

7A (48hs)

3/48=6,3%

31/48=64,6%

14/48=29,1%

7B (47hs)

2/47=4,3%

19/47=40,4%

26/47=55,3%

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy các em
có chung câu trả lời là khó, với lại hôm sau đã được Thầy dạy r i! . Có nhiều em tự học
thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra thêm bài tập về
nhà ở tài liệu này.


2- Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học sinh
thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh
2.1 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: “Em có
thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không? nguyên nhân?(em
có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em”
M u phiếu:
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó

c) Do tài liệu có nhiều ch không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ d n tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hướng d n giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn không thích – trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý do b)
và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: Em học
được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng các mứ c
dưới đây)
a) Khoảng 5-10%

b) Khoảng 10-15%

c) Khoảng 20-30%

d) Khoảng 40-50%

e) Khoảng 60-80%

f) Khoảng 85-100%

Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương
án

a

b

c

d

e

f


Số lượng

9

14

20

34

53

22

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả tài liệu
g m bài tập của thầy có hướng d n giải.

*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ d n tới lời giải, với
loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên chiếm phần lớn điều
này có nghĩa là tài liệu này ph hợp với các em, được các em đón nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các chuyên
đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những suy nghĩ của
mình d n tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học
2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: “Trong
môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em khó khăn khi
học nhất?. Kết quả cụ thể:
Các cấp độ

Đôi khi
gặp khó
khăn khi
tìm được
hướng
giải quyết

Gặp
rất
nhiều khó
khăn khi
tìm hướng
giải quyết

Không
định
hướng
được

1- Bài toán về số lũy thừa
(số chính phương, lập
phương…)

22%

75%

3%

2- Bài toán về phần nguyên

17%

80%

3%

3- Bài toán về phép chia hết
và phép chia có dư

25%

65%

10%

4- Bài toán về số nguyên tố,

28%

55%

17%

Dễ
tìm
được
hướng
giải quyết

Các dạng toán điển hình


hợp số
5- Phương trình nghiệm
nguyên

27%

42%

31%

2.3.2 (c ng với nội dung phiếu 2.2.1)
Một số ý kiến của em về phép chia hết và chia có dư trong các bài tập số học mà em đã
biết (về ứng dụng phép chia trên tập số nguyên trong việc giải bài toán số học, về k
năng giải toán chia trên tập số nguyên )
Đánh giá kết quả điều tra:

Đối với những kỹ năng cơ bản giải bài toán cơ bản số học thì hầu hết học sinh gặp
khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. Đối với các bài toán liên quan đến phép chia
trên tập số nguyên có nhiều học sinh biết hướng giải quyết. Có thể do dạng toán này gần
gũi với các em. Nhiều HS qua phỏng vấn cho biết mặc d tìm được hướng đi nhưng khi
trình bày lại rất khó khăn. Nhiều HS cho rằng mình làm được chẳng qua là đã từng được
biết trước (do đọc sách hay do thầy chữa r i).
Đối với câu hỏi 2.3.2 thì thu thập được khá nhiều ý kiến. kiến tập trung nhất là ứng
dụng của chia hết, chia có dư trên tập số nguyên ở hầu hết các bài tập số mà các em đã
gặp.
CHƢƠNG III
VÍ DỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
I- LÝ THUYẾT CHUNG
1- P ép c a tr n tập s nguyên
1.1- Địn n

ĩa


Cho a,b l cc số nguyên, b 0. Ta nói a chia cho b được thương l q v dư r khi a=bq+r
với q,r l cc số nguyên v 0 r b .

Khi r=0 ta nói a chia hết cho b.

Hệ qu: Khi chia a cho b 0 thì số dư có b 1 kh năng nhận được một trong cc số ca
tập hợp

0;1;2;...; b 1 .

1.2-

Mt

Như vậy với mỗi số tứ nhiên a thì tập số nguyên Z được "phân hoch" theo a "lớp".
Mỗi lớp gồm cc số nguyên chia cho a có cùng số dư.

s tớn c t c bn v c a t.
Cho a,b,c l cỏc s nguyờn. Ta cú mt s tớnh cht c bn sau:
TC 2.1

Nếu a b v b c thì a c

TC2.2

Nếu a b thì ac b

TC2.3

Nếu a b v c b thì a+c b

TC2.4

Nếu ab c m (b,c)=1 thì a c

TC2.5

Nếu a b ; a c v (b,c)=1 thì a bc

TC2.6 Nếu a n p v p nguyên tố thì a p (n N)

2- S p õn tớc mt s t n

n ra t a s n uy n t

M i s t nhiờn u c vit di dng tớch ca ly tha cỏc s nguyờn t. S phõn tớch
ny l duy nht.
Ta có a=p1n1 .p 2 n2 .p 3n3 ....p k n k

(với p1 , p 2 ,...p k l cc số nguyên tố v n1 , n 2 ,...n k l

cc số tứ nhiên khc 0). Ta có một số tính chất cơ bn sau:
TC3.1

b l một ước ca a khi b có dng a=p1m1 .p 2 m2 .p 3m3 ....p k m k (với m1 , m 2 ,...m k l

cc số tứ nhiên v 0 m1 n1 ; 0 m 2 n 2 ;...;0 m k n k )
TC3.2 Số ước ca a l n1 1 n 2 1 .... n k 1

TC3.3 Số a l một số lủy thụa bậc t khi t l ước chung ca n1 , n 2 ,...n k

3- n lý Fec-ma
Cho a l số tứ nhiên v p l một số nguyên tố thì a p a p
Hệ qu: a l số tứ nhiên v p l một số nguyên tố v (a,p)=1 thì a p1 1 p

4- Hn

n t

c

u a l y t a c n bc




Ta có a n b n a b a n1 a n2 b a n 3b2 ... a 2 b n 3 ab n 2 b n 1



Hệ qu: với a,b nguyên v m,n l cc số tứ nhiên, a b thì
5.1 a n b n a b

b

5.2 a mn b mn a n

m

n

m

5.3 a 2n1 b2n1 a 2n 1 b

a n bn

2n 1

a b a b

II- MT S BI TON C BN V PHẫP CHIA TRấN TP S NGUYấN
1- Mt s k nn c bn

b

toỏn v c a t

Vớ d 1:
Chững minh A(n)=3n 4 14n3 21n 2 10n 24

Ngh nh th no?
Để chững minh A(n) 24 ta cần chững minh A(n) 3 v A(n) 8 (vì (3,8)=1)
A n có dng l một đa thữc bậc 3 đối với n. Để chững minh A(n) 3 một cch thông
thường nhất l ta phân hoch n theo 3 rồi thay v A(n). Tuy nhiên để thuận lợi cho việc xét
ta đưa A(n) về tích nếu có thể. Ta có lời gii sau:
A(n)=n n 1 n 2 3n 5 A(n) 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
Li có A(n)=n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3 8
vì n n 1 2 n n 1 n 2 4 8 v n n 1 n 2 n 3 8 do trong 4 số nguyên liên
tiếp có 2 số chản v có một số l bội 4 .

Vớ d 2:
Chững minh A(n)=n3 51n2 481n 3 48 với mọi n lẻ

Ngh nh th no?


Ta thây so với ví dú 1 thì biểu thữc ny cùng dng. Tuy nhiên hệ số ca đa thữc A(n) lớn
Ta lm gim hệ số bng cch viết A(n)=B(48)+ F(n) v chững minh F(n) 48
Ta có lời gii vãn tãt sau:
A(n)=n 3 51n 2 481n 3 n 3 3n 2 n 3 48n 2 480 48 F(n) n 3 3n 2 n 3 48

Ta có F(n)= n 3 n 1 n 1
Với n=2k+1 (k Z) ta có F(n)= 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1
F(n) 16 vì k k 1 2. li có F(n) 3 vì k 1 k k 1 3
F(n) 16 v F(n) 3 m (16,3)=1 nên F(n) 48 A(n) 48

Vớ d 3:
Chững minh A(n)=4n2 3n 5 6 với mọi n không chia hết cho 2 v cho 3

Ngh nh th no?
Ta hiu n khụng chia ht cho 2 v 3 cú ngha l nh th no? Mt phộp chia n cho 2 v 3
hay xột n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phõn hoch n theo 6 v thay vo A(n) ta cú c
li gii n gin. Tt nhiờn cng nh 2 vớ d trờn, nu ta vit A(n) theo dng tớch s thun
li hn khi thay n. Ta cú li gii sau
A(n)=4n 2 3n 5 =4n 2 3n 1 6 4n 1 n 1 6
với n không chia hết cho 2 v cho 3 khi n phân hoch theo 6 thì chỉ có 2 dng
n=6k+1; n=6k+5 (k l số nguyên)
*) Với n=6k+1 thì A(n)= 24k 3 6k 2 6 8k 13k 1 6
*) Với n=6k+5 thì A(n)= 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6 6

T u kt 1:
Qua 3 vớ d trờn, chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng a thc khi chia
cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn chng minh A(n) chia ht cho k l
1) Vit k thnh tớch cỏc s nguyờn ụi mt nguyờn t c ng nhau (cng hn k=a.b.c vi
a,b,c nguyờn t sỏnh ụi)
2) Chng minh A(n) chia ht cho cỏc tha s ca k trong phõn tớch trờn
3) chng minh A(n) chia ht cho s nguyờn a ta phõn hoch n theo a r i thay vo A(n)
4) thun li cho vic thay n ta thng vit A(n) v dng tớch (bi khi ú bc ca bin
n s c gim i trong m i biu thc cn thay th)
Vớ d 4:

Chững minh B(n)=11n2 122n1 133 với n N

Ngh nh th no? Ta Ta thy dng ca biu thc B(n) l tng cỏc ly tha. Chia cho s
133 l quỏ ln vic phõn hoch n theo 133 l khụng th. Vi phộp chia mt ly tha cho
mt s ta cú hai tớnh cht quan trng (nh lý Fec-ma v Hng ng thc) ó nờu trờn.
s dng hng ng thc (HT) ta cn lm xut hin hiu hai ly tha c ng s m. Ta
cú li gii sau:
B(n)=11n2 122n1 112.11n 12.122n 121.11n 12.144n 12.144 n 12.11n 133.11n





B(n) 133 với n N vì 12.144 n 12.11n 12 144 n 11n 144 11 133

Vớ d 5:
Chững minh B(n)=5n2 +26.5n +82n 1 59 với n N





Lời gii: ta có B(n)=25.5n +26.5n +8.64n 51.5n 8.64n 59.5n 8 64 n 5n 59
vì 64 n 5n 64 5 59.

Vớ d 6: Chững minh B(n)= n 1 1 n 2 với n N
n

Ngh nh th no? Ta thy nu ch s dng HT nh hai vớ d trờn thỡ ch cú th chng

minh B(n) chia ht n. Tuy nhiờn vic s dng HT cng gi ý cho ta khi phõn tớch B(n)
thnh nhõn t thỡ ngoi nhõn t n cũn nhõn t chia ht cho n. Ta cú li gii sau:
B(n)= n 1 1 n 1 1 n 1

n

Ta có n 1
n 1

n 1

n 1

n 1

1 n 1

n 2

n 2

n 1

n 1

n 3

1 n 1

n 1

n 2

n 1

n 3

.... n 1 1


.... n 1 1 (biểu thữc gồm n-1 ngoặc đơn)

n 3

1 .... n 1 1 n n

vì n 1 1 n 1 1 n với mọi k tứ nhiên.
k

Vậy B(n) n 2 với n N

Vớ d 7:
Chững minh B(n)=22 5 7 với n N.
2n

Ngh nh th no?
Ta cú th hiu B(n)=22 5 7 với n N cú nga l B(n) chia 7 d 2. Bi toỏn tr v tỡm d
ca B(n) khi chia cho 7. S dng HT an-bn l hp lý. trỏnh phc tp ta chn b=1.
Vi nh lý Fec-ma ta bit rng 26 1 7. Tuy nhiờn do
2n

26 1 chia hết cho 23 1 v 22 1 nên ta kiểm tra v chọn được 23 1 7. Việc xét lủy thụa
bây giờ sẽ đơn gin hơn.
Vì 23 1 7 nên 2 2k 1 7 với mọi k N. Do vậy ta cần phân hoch 22n theo 3 (tìm dư ca
22n khi chia cho 3). Dễ thấy 22n 4 n 3k 1 (k N). Ta có lời gii sau:





Ta có 22n 4 n 4 n 1 1 =3k+1 (với k N) vì 4 n 1 4 1 3.





B(n) 23k 1 5 2.8k 5 2 8k 1 7 7 vì 8k 1 8 1 7

T u kt 2:
Qua 3 vớ d 4,5,6 trờn õy chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng tng cỏc
ly tha khi chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn chng minh B(n)
chia ht cho k trong dng ny.
1) Vit cỏc biu thc v dng hiu cỏc ly tha c ng s m
2) S dng HT vit biu thc v dng tớch nu cú th!
3) S dng nh lý Fec-ma chn bi nh nht ca mt s cú dng hiu hai ly tha .
Vớ d 8:
Chững minh S(n)=16n 15n 1 225 với n N

Ngh nh th no?

Biu thc S(n) cha c ly tha v a thc. Vic s dng cỏc k nng c bn trờn s
gp khú khn i vi dng ny. Nhn xột thy S(n+1) cú th truy h i v S(n) c nờn ta
s dng chng minh kiu qui np (ta cn chng minh S(n+1) v S(n) chia cho 225 cú
cựng s d, sau ú th vi n=0). Ta cú li gii sau:
S(n)=16n 15n 1 S(n 1) 16 n1 15 n 1 1





S(n 1) S(n) 16 n1 15 n 1 1 16 n 15n 1 16 n 16 1 15 15 16 n 1 225
vì 16n 1 15. Vậy S(n+1) v S(n) chia cho 225 có cùng số dư.
Mặt khc S(0)=160 15.0 1 0 225 nê n S(n) chia hết cho 225 với mọi gi trị n N

Vớ d 9:
Chững minh S n =23 1 3n với n N *
n

Lời gii: Ta chững minh bng qui np
Gi sừ bi ton đũng với n=k N * tữc l S k 2 2 1 3k hay 23 1 q3k 23 q3k 1
k

k 1

k

1 2

Xét bi ton với n=k+1 ta có S k1 23 1 23

k

3

3k

k





1 22.3 23 1
k

k




 



2







 q.3k. q.3k  1  q.3k  1  1  q.3k q 2 .3k.2  3q.3k  3 





 q.3k.3 q 2 .3k.21  q.3k  1 3k 1
Nh­ vËy nÕu S k 3k th× S k 1 3k 1.
MÆt kh²c ta cã S1  23 9 31 ®òng nªn S n 3n víi mäi n  N *
1

T ểu kết 3:
Qua các ví dụ 8,9 ta đã sử dụng phép chứng minh bằng qui nạp. Đây là phương
pháp chứng minh khá quen thuộc. Nội dung của bài toán qui nạp thường là Chứng minh
biểu thức S(n) thỏa mãn tính chất (T) với các giá trị của n tự nhiên (n>k) sao cho n chia
cho q dư r tức là n=m.q+r. Bài toán sẽ có cơ hội làm được bằng qui nạp
nếu như ta viết được S(n+r) theo S(n).
2- Một s b

toán l n quan ến p ép c a tr n tập s n uy n

2.1- Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số nguyên
Ví dụ 10: T×m sè d­ khi chia 3100 cho 8? cho 7? cho 56
Nghĩ như thế nào?
Đây là phép chia một lũy thừa cho một số tự nhiên. Một số kỹ năng cơ bản được vận
dụng như tiểu kết 2.
Bài giải:

*) Ta có 32 1 8. p dúng hệ qu 5.2 ta có 3100 1 350.2 1 32 1 8. Vậy 3100 chia 8 dư 1
Theo định lý Fec-ma ta có 36 1 7. Ta cần viết 3100 theo 36 k để sừ dúng hệ qu 5.1





*) Ta có 3100 34.396 34 396 1 34. Vì 396 1 36.16 1 36 1 7 v 34 81 chia 7
có dư 4 nên 3100 chia cho 7 dư 4.
*) Để tìm dư ca 3100 khi chia cho 56 ta xuất pht tụ việc tìm dư 3100 khi chia cho 7 v 8
(vì 56=7.8 v (7,8)=1)
Gi sừ 3100 56k r với 0 r 56 (k,r l cc số tứ nhiên). Vì 3100 chia cho 7 dư 4 v chia
cho 8 dư 1 nên r chia cho 7 dư 4 v chia cho 8 dư 1. Với 0 r 56 v n N ta có r=25.
Vậy 3100 chia cho 56 có dư l 25.
Cch khc. Theo kết qu 3100 chia cho 7 dư 4 v chia cho 8 dư 1 ta có

3100 =7x+4=8y+1 (x,y nguyên) 7x 21 8y 24 7 x 3 8 y 3 .
x 3 8m
Vì (7,8)=1 nên
với m Z x 8m 3 3100 7 8m 3 4 56m 25
y 3 7m
3100 chia cho 56 có dư 25.

Vớ d 11:
102

Tìm dư ca 1247

khi chia cho 11

Nghĩ như thế nào? Trước hết ta lm gim cơ số ca lủy thụa trong phép chia.
Ta có 124 n 3n 124 3 121 11 với mọi n N. Do vậy để tìm dư 1247

102

102

ta tìm dư ca 37

khi chia cho 11

khi chia cho 11.

Theo định lý Fec-ma thì 310 1 11. Vì 310 1 35 1 v 32 1 nên ta kiểm tra thêm
35 1 v 32 1 khi chia cho11. Ta được 35 1 11 vì thế ta viết 37

102

theo 35 . muốn

thế ta phân hoch 7102 theo 5. Tương tứ như trên ta có lời gii sau:

Lời gii:

Ta có 7102 72.7100 49 74.25 1 49 chia cho 5 dư 4 vì 74.25 1 74 1 5
7102 5k 4 (k N).







v 34 81 chia cho 11 dư 4. Vậy 124 7

khi chia cho 11 có dư 4.



Ta có 37 35k 4 34.35k 34 35k 1 34 chia cho 11 dư 4 vì 35k 1 35 1 11
102

102

T u kt 4:


kt

*) Để tìm dư ca một lủy thụa tầng dng x m khi chia cho một số p no đó ta sừ dúng
một kỹ thuật tm gọi l "h tầng". Bng định lý Fec-ma ta tìm được a để x a 1 p như

t

vậy ta cần tìm dư ca m k theo a. Tiếp túc kỹ thuật trên ta lần lượt h cc tầng ca
lủy thụa trở về bi ton cơ bn tìm dư ca lủy thụa khi chia cho một số tứ nhiên.

*) Bi toỏn tỡm ch s hng n v, hng chc, hng trm ca mt s chớnh l tỡm d
ca s ú khi chia cho 10 ( chia 2 v 5); chia cho 100 (chia 4 v 25); .
2.2- C

n m n mt b u t

c k ụn c a t c o mt s nguyờn

Vớ d 12
a) Chững minh 3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N
2

b) Chững minh n 2 3n 5 không chia hết cho 121với n N
Lời gii:
a) Nếu 3n+1 17 m 17 nguyên tố nên 3n 1 289 m 170 không chia hết cho 289
2

3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N
2

Nếu 3n+1không chia hết cho 17 thì 3n 1 170 không chia hết cho 17
2

3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N
2

b) Vì (4,121)=1 nên n2 3n 5 không chia hết cho 121với n N





4 n 2 3n 5 không chia hết cho 121với n N





Ta có 4 n 2 3n 5 4n 2 12n 20 2n 3 11
2

Tương tứ câu a ta chững minh được 2n 3 11 không chia hết cho 121.
2

T u kt 5:
Đ ể chững minh S không chia hết cho p k (p l một số nguyên tố) ta viết S dưới dng
S=B k Q trong đó Q p nhưng Q không chia hết cho p k . Nếu gặp khó khăn khi viết theo
một lủy thụa ta có thể chọn thêm một hệ số m với điều kiện (m,p)=1 v xét m.S khi
chia cho p k .

2.3- C

n m n mt s l

ps

Vớ d 13: Chững minh S n 19.8n 17 l một hợp số với mọi n N
Ngh nh th no?


Suy ngh thụng thng nht l ta chng minh Sn chia ht cho mt s no ú. tỡm hiu
ta s dng qui np khụng hon ton bng cỏch ln lt th n=0; 1; 2;3;4 tỡm ra qui
lut.
Ta chỉ quan tâm đến ước nguyên tố ca S n 19.8n 17
S 0 36 có ước nguyên tố 3, 2
S1 169 có ước nguyên tố 13
S 2 1233 có cc ước nguyên tố 3, 137
S 3 9745 có cc ước nguyên tố 5....
S 4 77841 có cc ước nguyên tố 3
.....
Ta thừ một qui luật n chia 4 dư 0 hoặc 2 thì S n 3
n chia cho 4 dư 1 thì S n 13
n chia 4 dư 3 thì S n 5

Ta cú li gii sau:
S n 19.8n 17





*) Với n=2k (k N) ta có S n 19.64 k 17 19 64 k 1 36 3 vì 64 k 1 64 1 3
m S n 3 nên S n l hợp số với mọi n=2k (k N)

*) Với n=4k+1 (k N) ta có S n 19.84k 1 17 13.84k 1 13 6.8.84k 4

13.84k 1 13 48 84k 1 52 13 vì 84k 1 84 1 13
m S n 13 nên S n l hợp số với mọi n=4k +1(k N)
*) Với n=4k+3 (k N) ta có S n 19.84k 3 17 20.84k 3 17 84k 3









20.84k 3 17 83 83. 84k 1 5 vì 84k 1 84 1 5

m S n 5 nên S n l hợp số với mọi n=4k+3 (k N).

2.4- C

Vậy S n l hợp số với mọi n N

n m n mt s nguyờn k ụn p l mt s l y t a

Cú nhiu cỏch chng minh mt s t nhiờn x khụng phi l ly tha bc n ca mt s
t nhiờn b. Mt cỏch c s dng nhiu l cn c s phõn hoch ca b n theo mt s
nguyờn no ú. Chng hn khụng cú s chớnh phng chia 3 d 2
vớ d s 4444 (cú 2003 ch s 4) khụng phi s chớnh phng vỡ s ny khi chia cho 3
cú d 2 (tng cỏc ch s ca nú l 2003.4=3.2003+2003 chia 3 d 2). Thụng thng


tỡm c cn c phõn hoch ta chn phộp qui np khụng hon ton qua cỏc vớ d c
th tỡm ra qui lut.
Vớ d 14
Chững minh S n 13n.2 7n.5 26 không thể l số chính phương với mọi n N

Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton bng cỏch thay ln lt n=0, 1, 2,.. ta u thy S n chia
ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 9. Ta cú 133-1 v 73-1 u chia ht cho 9 nờn ta phõn
hoch theo 3.
Li gii:
Gi sừ n chia cho 3 dư r ta có n=3k+r với r 0;1;2 v k N
S n 13n.2 7n.5 26 =133k r .2 73k r.5 26









2.13r 133k 1 5.7r 73k 1 2.13r 5.7r 26.

Ta có 133k 1 133 1 9 v 73k 1 73 1 9.
Xét Q 2.13r 5.7 r 26. Lần lượt thay r 0;1;2 vo Q ta thấy Q 3 nhưng Q không
chia hết cho 9 S n chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Do vậy S n không thể l số chính phương với mọi n N.

2.5- S dn p ộp c a tron v c

p n tr n n

m n uy n

Nhn xột:
Nguyờn tc c bn gii phng trỡnh nghim nguyờn g m 2 bc chn
v th ( chn tp nghim cú th nhn v th cỏc giỏ tr ú vo phng trỡnh)
chn c tp hp cỏc giỏ tr cú 2 k nng c bn ú l d ng bt ng thc v chia ht.
c trng c bn s dng chn bng bt ng thc l hai v khụng c ng tng gim (v
trỏi tng thỡ v phi gim) hoc nu c ng tng gim thỡ mt v tng chm cũn v kia
tng nhanh . Vớ d phng trỡnh xyz=x+y+z vi x,y,z l cỏc s dng. Mc d khi tng
cỏc giỏ tr x,y,z thỡ 2 v c ng tng nhng rừ rng tớch 3 s nguyờn dng s tng nhanh
hn rt nhiu so vi tng 3 s nờn xy ra bng nhau thỡ tp cỏc s x,y,z s b chn li
mt thi im no ú!

Vớ d 15

Tìm n để A= n.2n 1 chia hết cho 3

Ngh nh th no? Vi nhn xột trờn ta thy bi toỏn khụng th chn c bng bt
ng thc. S dng qui np khụng hon ton ta s tỡm c qui lut phõn hoch n.


Lời gii:





*) Với n=2k (k N) ta có A=n.4 k 1 2k 4 k 1 2k 1 3 2k 1 3 (vì 4 k 1 4 1 3)
3k k 1 3 k 3q 1 n 6q 2 với q N.





*) Với n=2k+1 (k N) ta có A=n.2 2 k 1 1 2n 4 k 1 2n 1 3 2n 1 3
2 2k 1 1 3 4k 3 3 k 3 n 6q 1 với q N
Vậy n 6q 1 hoặc n 6q 2 với q N.

Vớ d 16: Gii phương trình 7z 1 2 x.3y với x,y,z l cc số tứ nhiên
Ngh nh th no?
Bng nhn xột trờn ta thy khụng th chn c bng bt ng thc.
Quan sỏt thy v phi ca phng trỡnh l mt s chia ht cho 6 vi nhng giỏ tr
x,y nguyờn dng. Bi toỏn tr v tỡm d ca ly tha ca 7 khi chia cho 6. Ta cú li gii

sau:





7z 1 7 z 1 2 chia cho 6 dư 2 2 x.3y chia cho 6 dư 2.
Với x>0 v y>0 thì 2 x.3y 6 x 0 v y>0 không l nghiệm ca phương trình
Thừ vơí x=y=0 ta được kết qu phương trình vô nghiệm

Vớ d 17: Tìm x,y l cc số tứ nhiên thỏa mn 5x 1 2y
Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton ta thy ngoi nghim (x,y)=(1;2) ra khú cú th
tỡm c nghim khỏc. iu ny hng ta ti vic chng minh phng trỡnh vụ nghim
khi x>1. Ta hiu bi toỏn theo ngha no?
*1) 5x 1 2 y l biểu diễn lủy thụa ca 5 theo lủy thụa ca 2??
*2) 5x 1 l một lủy thụa ca 2?
*3) 5x 1 chia hết cho 2? 4? 8? 16?...
....
Tới đây bng qui np không hon ton thì ta tìm được qui luật về chia hết. Đây l cơ
sở để ta chững minh phương trình vô nghiệm

Lời gii:
Nếu x 2 thì 5x 1 52q 1 25q 1 25 1 3 2 y 3 vô lý





Nếu x=2k+1 5x 1 52k 1 1 5. 25k 1 4 chia 8 dư 4 2 y chia 8 dư 4