CHUYÊN đề 1 BIẾN đổi đa THỨC đại số

Bài giảng đại số 9

FB: />
CHUYÊN ĐỀ 1. BIẾN ĐỔI ĐA THỨC THỨC ĐẠI SỐ

TIẾT 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ:
a) Tính chất:
a n  a.a.a...a

a0 = 1, a1 = a (a  0)

(n  N)

(n thừa số a)
a m .a n  a m  n

(m, n  N )

am:an = am-n

(m, n  N,m  n)
n

m n

x
xn
(x.y) = x .y ;    n

y
 y

m.n

n

(x ) = x

n

n

 y  0

b) Ví dụ:
a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7
b) 15m9 : 3m7 = 5m2
2. Nhân đơn thức với đa thức:
a) Công thức:

A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC

b) Ví dụ:
1. 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x.3x2 + 5x(-4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x
2. (2 3  5 ) 3 - 60 = 2 3 3  5 3  4.15 = 6 + 15  2 15 = 6  15
3. Nhân đa thức với đa thức:
a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa
thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được.
b) Công thức

Nguyễn Văn Lực

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD


Bài giảng đại số 9

FB: />
c) Ví dụ:
1. (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1
= 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - 2 = 6x3 - 17x2 + 11x - 2.
2. (1 - x )(1 + x  x ) = 1 +

x  x  x  x x  x x = 1 x x

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
2
3

a) (3xy - x2 + y) x2y

b) (5x3 - x2)(1 - 5x)

Giải:
2
3

2

3

2
3

2
3

a) (3xy - x2 + y) x2y = 3xy. x2y + (-x2). x2y + y. x2y
= 2x3y2 -

2 4
2
x y + x2y2
3
3

b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3
= - 25x4 + 10x3- x2
Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30
15x = 30  x = 2
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
( 28  12  7 ) 7 + 2 21 = 4.7 . 7  4.3. 7  7 . 7 + 2 21
= 2 7. 7  2 3. 7  7. 7 + 2 21 = 2.7 – 2 21 - 7 + 2 21 = 7
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính:
1
2

1
2

a) ( x + y)( x + y)

b) (x -

1
1
y)(x - y)
2
2

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a  0 ):
a) 3a . 27a
b) 9a 2b 4
c) 3a 3 12a
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm)
a) ( x  2 )( x  2 x  4 )
Nguyễn Văn Lực

b) ( x  y )( x 2  y  x y )


Bài giảng đại số 9

FB: />
Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC (Tiếp)

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chia đa thức cho đơn thức:
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức
A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả
với nhau.
Ví dụ:
(15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2
= (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)
= 5xy + 4x2 -

10
y
3

2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1. (6 x 2  13x  5) : (2 x  5)
Giải:
6 x 2  13 x  5

2x  5

- ( 6 x 2  15 x )

3x  1

2 x  5

- ( 2 x  5)
0

2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:
(12 x 2  14 x  3  6 x3  x 4 ) : (1  4 x  x 2 )

Giải: Ta có 12 x 2  14 x  3  6 x3  x 4  x 4  6 x3  12 x 2  14 x  3
và 1  4 x  x 2  x 2  4 x  1
x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3

- ( x 4  4 x3  x 2 )

x2  2 x  3

2 x 3  11x 2  14 x  3

- ( 2 x3  8 x 2  2 x )
3 x 2  12 x  3

(3 x 2  12 x  3)

0
Nguyễn Văn Lực

x2  4 x  1


Bài giảng đại số 9

FB: />
3. Tính chất cơ bản của phân thức:
a) Định nghĩa phân thức đại số:
Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng

A
, trong đó A, B là các đa thức và
B

B khác đa thức 0.
Ví dụ:

1
6x2 y2
;
5
x+2
8x y

b) Phân thức bằng nhau:
Ví dụ:

A C

B D

nếu AD = BC

x +1
1

vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1
2
x  1 x -1

c) Tính chất cơ bản của phân thức:
A A.M A A:N
; =
=
B B.M B B:N

d) Quy tắc đổi dấu:

(M  0; N  0; B  0)

A
-A
A
A
-A

;
 

B
-B
B
-B
B

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?

x  x2

x

a)
2
5 x  5 5( x  1)

x 2  8 3x 2  24 x

b)
2 x 1
6x  3

Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
45 x(3  x )  45 x( x  3)
=
= –3
15 x ( x  3)
15 x( x  3)

Bài 3. Tính:
a)

2300
23

b)

63x 3
với x > 0
7x

Giải:
a)

2300
=
23

23.100
23. 100
=
=
23
23

b)

63x 3
=
7x

9.7 x.x 2
3x 7 x
=
7x
7x

Nguyễn Văn Lực

100 = 10

= 3x với x > 0


Bài giảng đại số 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn phân thức:
10 xy 2 ( x  y )
b)
15 xy( x  y ) 2

6x2 y2
a)
8x y5

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

( x y  y x )( x  y )
 x y
xy

b)

x3  3xy  2 y 2
1

3

2
2
3
x  2 x y  xy  2 y
x y

với x > 0 và y > 0

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2 – 2 y
=

x ] + (5 x - 10y)

x ( x - 2y) + 5( x - 2y)

=(

x - 2y)( x + 5)

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung :
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được
biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 =  x  2 

2

2. x 2  9  ( x  3)( x  3)
3. ( x  y )2  ( x  y )2  ( x  y )  ( x  y )( x  y )  ( x  y )   2 x.2 y  4 xy
Cách khác: ( x  y )2  ( x  y )2  x 2  2 xy  y 2  ( x 2  2 xy  y 2 )  4 xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 5)
2. x - 3 x +
=

x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y)

x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y)

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)

b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2. Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0
x  3  0
 x  3
  x  3 2  x   0  

2  x  0  x  2
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 10( x - y) – 8y(y -

x)

b) 2 x y + 3z + 6y +

Bài 2. Giải các phương trình sau :
a) 5 x ( x - 2010) -

Nguyễn Văn Lực

x + 2010 = 0

b) x3 - 13 x = 0

xy

Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có
nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a  0 ) nếu

b1b2  ac

b1  b2  b
Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
b) y  3 y  2  y  y  2 y  2



y





 



y 1  2

y 2



y 1



y 1

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x
= (x + 2)2 -  2 x  =  x  2 x  2  x  2 x  2 
2

g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
=(a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
3

b) 27 x3 y  a 3b3 y  y  27 x 3  a 3b 3   y (3x )3   ab  




Nguyễn Văn Lực

y  3x  ab   9 x 2  3xab  a 2b 2 


Bài giảng đại số 9

FB: />
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)
  2 x   y 3    4 x 2  y 2 


3

  2 x  y   2 x   2 xy  y 2    2 x  y  2 x  y 


2

  2 x  y   4 x 2  2 xy  y 2  2 x  y 

b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2
= (a2 + 4)2 - ( 8 a)2
= (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a)
Bài 2. Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia
thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)
b)

Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
x 2 +xy-y 2
a)
2x 2 -3xy+y 2

2x 2 -3x+1
b)
x 2 +x-2

Bài 2. Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) xy  y x  x  1

Nguyễn Văn Lực

b)

a3  b3  a 2b  ab2


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:

5
7
và
12 30

* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:

60:12=5
60:30=2

* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
5
5.5 25


12 12.5 60
7
7.2 14


30 30.2 60

2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của

3x
x3
và 2
2x  4
x 4

* Bước 1: Tìm MTC.
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
2x +4 = 2(x + 2)
x2 - 4 = (x - 2) (x + 2)

- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)
+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3x  x  2 
3x
3x


2 x  4 2( x  2) 2  x  2  x  2 

2  x  3
x3
x3


2
x  4 ( x  2)( x  2) 2  x  2  x  2 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

5

3
và 2
2x  6
x 9

MTC: 2(x - 3)(x + 3)

5
5
5( x  3)


2x  6 2( x  3) 2( x  3)(x  3)
3
3
3.2
6



x  9 ( x  3)(x  3) 2( x  3)(x  3) 2( x  3)(x  3)
2

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một
phân thức để tìm MTC thuận tiện hơn).
4x 2  3x  5
a)
;
x3 1

b)

10
;
x2

1  2x
x2  x 1
5
2x  4

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)

I. LUYỆN TẬP:
Bài 1. Quy đồng mẫu phân thức sau:

2x
x

và 2
3x  12x
x  8x  16
2

Phân tích các mẫu:
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
3x2 - 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
2x
2x
2x.3x
6x 2



x 2  8x  16 ( x  4) 2 3x ( x  4) 2 3x ( x  4) 2

x
x
x ( x  4)


3x  12x 3x ( x  4) 3x ( x  4) 2
2

Bài 2. Rút gọn biểu thức :

1
1


2 3 2 3

Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 )
Quy đồng:

2 32 3 4
1
1
=
 4

43
1
2 3 2 3

Bài 3. Giải phương trình:

x2 1
2
 
x  2 x x x  2

Giải: ĐKXĐ: x  0;x  2
x2 1
2
 x 2  2x  x  2  2  x 2  x  0
 
x  2 x x x  2
 x  0  kTM®K 

.Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1
 x  x  1  0  
x


1
TM®K




II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a)

x y x y
;
;
x y x y

Bài 2. Chứng minh đẳng thức :
Nguyễn Văn Lực

b)

1
1
;
;
xy xy

3
2
3
6
62
4

2
3
2
6


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.
A C AC
 
B B
B

Ví dụ: Tính:

x2
4x  4 x 2  4x  4 x  2



a)
3x  6 3x  6
3x  6
3

b)

x2
2 .x  2



2 2 .x  2
2 .x  2



x 2  2 2 .x  2
2 .x  2

x  2   x  2
2 x  2 
2
2



2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức
rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ví dụ:

y  12
6
+ 2
6 y  36
y  6y

MTC: 6y(y - 6)
y  12
y  12
6
6
+ 2
=
+
= (y -12)y + 6.6
6( y  6)
6 y  36
y ( y  6)
y  6y
6 y( y  6)
6y(y-6)

y 2  12 y  36

( y  6) 2
y6
=
=
=
6y
6 y ( y  6)
6 y ( y  6)

*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: A  C  C  A
B

D

D

B

- Tính chất kết hợp:  A  C   E  A   C  E 
B

D

F

B

D

F

3. Phép trừ các phân thức đại số:
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
của

C
D

Nguyễn Văn Lực

C
A
A
cho phân thức , ta cộng
với phân thức đối
D
B
B

A C
A  C
=
+  
B D
B
 D


Bài giảng đại số 9

FB: />
Ví dụ:
 x 1 
( x  3)
+ 
2

( x  1)
 x( x  1) 

a)

x 1
x3
- 2

2
x 1 x  x



 ( x  1) 
 ( x  1)( x  1) 
x3
( x  3) x
+ 
+ 



( x  1)( x  1)
x( x  1)( x  1)  x( x  1)( x  1) 
 x( x  1) 

x 1
1
( x  3) x  ( x  1)2



2
x( x  1) x( x  1)
x( x  1)( x  1)
3x
x2
( 3  x)
 x2 
+  


x2
( 3  x)
3 x
x2


b)


 x  2  x  2 

( 3  x)( 3  x)

+ 
  x  2 3  x
( x  2)( 3  x)







2
2
7  2 x2
  3  x  ( x  4) 
 ( x  2)( 3  x)
( x  2)( 3  x)


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính sau:
2x 2  x
2  x2
x 1
+
+
1 x
x 1
x 1

2 x
2x 2  x
2  x2
x 1
=
+

x 1
x 1
x 1
x 1

2

( x  1)2
 x 1

x 1

Bài 2. Rút gọn biểu thức
P 


x 1
2 x
( x  1)( x  2)  2 x ( x  2)


x4

x 2
x 2
x  2 x  x  2  2x  4 x
3x  x  2

x4
x4

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính:

1
1

x x 1

Bài 2. Cho biểu thức: P 

x 1
2 x
25 x


4 x
x 2
x 2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 1.

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phép nhân các phân thức đại số:
A C A.C
. 
(B; D ≠ 0)
B D B.D

Ví dụ:
a)
b)

x  1 x  1 ( x  1)( x  1)
x2 1
.

 2
x  2 x  2 ( x  2)( x  2) x  4
3  x x  3 ( 3  x)( x  3) x 2  3
.

 2
x 1 1 x

( x  1)(1  x)
x 1

2. Phép chia các phân thức đại số:
Ví dụ:

A C A D
:  .
( B, C , D  0)
B D B C

a)

7  x x 1 7  x x  2 7  x
:

.

x  2 x  2 x  2 x 1 x 1

b)

x 2  2 x 2  2 .x
x2  2
( x  1)
(x  2)
:

.


2
x 1
x( x  1) x( x  2 )
x x
x2

(x  -2, x  -1)
(x  1, x  - 2 )

3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ:
- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân
thức đại số.
- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân
thức.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
7 x  2 14 x  4 7 x  2 x 2 y
(7 x  2) x 2 y
x
:

.

 2
3
2
3
3
3xy

x y
3xy 14 x  4 3xy (14 x  4) 6 y

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
=



Q = 

x

1 x



x  3 x

(đ/k:....)
1  x  1  x

x (1  x )  x (1  x ) 3  x
3 x  3  3(1  x )
3
=



1 x
1 x

1 x
1 x
1 x

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ


Bài 1. Rút gọn biểu thức: A= 

x

 x 2

Bài 2. Tính:



x  x2
.
x  2  4 x

x 1 x  2 x  3
:
.

x  2 x  3 x 1

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A  A  0

b, A.B  A. B  A  0,B  0 

a, A 2  A  
 A  A  0
c,

A
A

B
B

d, A2B  A B  B  0 

 A  0,B  0 

Ví dụ:
a) Rút gọn biểu thức:

2 8

50  2  2 2  5 2  8 2

b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 1  10a  25a 2  4a , tại a =
1  10a  25a 2  4a  (1  5a) 2  4a
 1  5a  4a

Thay a =

2 vào biểu thức trên ta được:

1 5 2  4 2  2 1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Rút gọn 20  45  75  180  2 5  3 5  5 5  6 5  2 5


a
1   1
2 



 : 

 a 1 a  a   a  1 a 1 

Bài 2. Cho biểu thức: A  

a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
b) Tìm a để A > 0
Giải: a) Điều kiện A xác định: a  0; a  1


a

1

 

1

2



Ta có: A  


:

a ( a  1)   a  1 ( a  1)( a  1) 
 a 1



b) A > 0

a. a 1
a 1  2
a 1
a 1 a 1
:

.

a ( a  1) ( a  1)( a  1)
a ( a  1) a  1
a

a 1
 0  a 1  0  a  1
a

Nguyễn Văn Lực

2


Bài giảng đại số 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn: B 

3
2

3 1
3 1

Bài 2. Cho biểu thức: Q 


a
 1 
a 2  b2 
a 2  b2
a


b
:
2
2
 a  a b

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
2 x

Bài 3. Cho biểu thức P  

2 x



2 x
2 x



4x 
x 3
 :
x 4 2 x x

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0.
c) Tìm giá trị của x sao cho P  1 .

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) A B   A2B  A  0, B  0  ; A B  A2B  A  0, B  0  ;
A 1

B B

b)

A

c)

B

d)



 AB  0,B  0 

AB

A B
B

 B  0 ;



C A B
C

AB
A B





 A  0, B  0, A  B .

C A B
C

AB
A B



 A  0, B  0, A  B

Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:
1 
a 1
 1
M

với a  0, a  1
:

a  1 a  2 a  1
a  a

Giải:
1 
a 1
 1
M 

:
a 1 a  2 a 1
a a
 1 a 
a 1

:
2
 a ( a  1)  ( a  1)


a 1
1
1
a
a

Suy ra M  1 

1
a

 1 (Vì a  0, a  1 ). Vậy M < 1

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Rút gọn biểu thức:

5 5  5 5
5 5 5 5

Giải:




5 5  5 5  5 5
5 5 5 5
5 5

Nguyễn Văn Lực

5  5   5  5 5  5   5 
5  5  5  5 5  5 

5   5  5 
2

20

2

3


Bài giảng đại số 9

FB: />
 x2 x
x

4 x
 4

Bài 2. Cho biểu thức:

P= 

  x 1
x 1 

 . 

x  1 
  x 1

a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện: x  0; x  1
 x2 x
x

P  

4 x
 4
x3  x

.
4 x




x  x  1



  x 1
x 1 
x 2 x. x  x

.
 . 
 
x  1 
4 x
  x 1



x 1  x 1 .





x 1 x 1

x 1





  x  1
 x  1 x  1
2

x 1 

2

x  x  1 x  1 2 x  2
.
x 1
4 x

x 1

2 x

x  0
 x  1

b) Để P = 0  x  x  1  0  

Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn biểu thức: 5  5  5  5
5 5

Bài 2. Cho biểu thức Q =

5 5

1 x x
1 x

a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
6x  1
6x  1  x 2  36
 2
Bài 3. Cho phân thức P =  2
;
.
2
 x  6x

a) Tìm điều kiện xác định của P?

b) Rút gọn P.
c)Tính giá trị của P tại x  9  4 5 .

Nguyễn Văn Lực

x  6x  12x  12


Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 11: LUYỆN TẬP

Câu 1. Rút gọn các phân thức sau:
a)





y 2  3y   xy  3x  y  y  3   x  y  3   y  3  x  y  y  3
y 2  3y  xy  3x




x2  y2
 x  y  x  y 
 x  y  x  y 
 x  y  x  y  x  y





2 x2  2x  4
2x2  4x  8
2


b)
3
2
x 8
 x  2 x  2x  4 x  2





 x 1
Câu 2. Cho biểu thức: P  

 x 1

x 1 1
x

 


2 
x 1   2 x

2

a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P.
b) Tìm x để

P
2
x

Giải:
a) Điều kiện: x  0 : x  1
2

 x 1
x  1  1
x 
P  



 
2  
x  1 
 x 1
 2 x




  x  1
 x  1 x  1
2

x 1 

2


2
  2  2x 
  4 x 



 4 x   1  x   4 x  1  x  1  x
 

 

  
x
 1 x   2 x   1 x  4x
2

2

b) Để

1
P
1 x
1
2
 2  x  . Kết hợp với điều kiện ta được: 0  x 
2
3
3
x
x

 

14
1

1

x 3
x2  9
14
1
14
1
 1
Giải: Ta có phương trình 2

 1

x 3
x 3
x 9
 x  3 x  3
ĐKXĐ: x ≠ 3 .
14
1
 1
 14   x  3 x  3   x  3
x 3
 x  3 x  3

Câu 3. Giải phương trình:

 14  x 2  9  x  3
 x 2  x  20  0

 = 1 + 4.20 = 81 > 0,   81  9
x1 

1  9
1  9
 4; x 2 
 5 ,
2
2

x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5.
Nguyễn Văn Lực

Bài giảng đại số 9

FB: />
TIẾT 12: KIỂM TRA

ĐỀ SỐ 1
Câu 1. Rút gọn các phân thức sau:
x 2  4x 3  3
a) 2
x  5x  6

Câu 2. Tính:

4  4x 2  9y 2  12xy
b)
2x  2  3y

c)

xy  4y 2xy  4y

x 2 y3
x 2 y3

2 1
3 1
:
2 1

42 3

Câu 3. Cho biểu thức

A


1
x

x


 


x 

x  1 

x

x 1

a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

3
4

c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2

Câu 1. Tính:

1

2  5

2

1



2  5

Câu 2. Giải phương trình:

x

2

4
 2  x  0 (1)
2 x


 
Câu 3. Cho biểu thức: A  1  a  3 a  :  a  2  a  3 



a 9   a 3

2 a

a) Rút gon A.
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.
Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực

9a 

a a 6


Bài giảng đại số 9

FB: />
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
ĐỀ SỐ 1
Câu

x 2  4x 3  3  x  1 x  3 x  1



x 2  5x  6  x  2  x  3 x  2

a)

b)
Câ
u1

Điểm

Lời giải

1đ

4  4x 2  9y 2  12xy 4   4x 2  12xy  9y 2 

2x  2  3y
2x  3y  2

4   2x  3y 
 2  2x  3y  2  2x  3y 


 2  2x  3y
2x  3y  2
2  2x  3y
xy  4y 2xy  4y xy  4y  2xy  4y 3xy
3
c)



 2 3  2
2 3
2 3
2 3
x y
x y
x y
x y
xy
2

1đ
1đ

2 1
3 1
:
2 1
42 3
Câ
u2




2 1
x
42 3

2 1



3  1

2 1

 4  2 3  4  2 3 

2

1
1

16  12 2



2đ

a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:

 x 1   x
A

 x 


Câ
u3



A

 x  1 .

A

2 x2
2 x
x

x

3
b) Với x =
4



x 1  x



x 1



x 1 




x2  x  x2  x
 x  1

3
A  2  3
4

c) A < 8  2 x  8  x  4  x  16
kết hợp với điều kiện 0  x  16; x  1 .

Nguyễn Văn Lực

1đ
1đ
2đ
1đ


Bài giảng đại số 9

FB: />
ĐỀ SỐ 2
Câu

Điểm

Lời giải

Ta có:
1

2  5
Câu 1




52

1



1





2



2

2  5

2

1





52



2



1
1

52
52

1đ

  5  2  4  4
 5  2  5  2  5  4
52 

1đ

Giải: Điều kiện: x  0  x  2  0 , Ta có:

1đ

(1)  x  2  x   4  2  x  0
 x  2  x   2  x (2)

Điều kiện: 2  x  0  x  2 .
Kết hợp điều kiện của bài ta có: 0  x  2
Câu 2

1đ

Bình phương hai vế của (2) ta có:
x  x  2   2  x 

2

 x2  2x  4  4x  x2  x 

2
3

1đ

Vậy nghiệm của phương trình là x  2 .
3

a) TXĐ: a  0; a  4

A  1 



Câu 3








a   a 2
a 3 3 a 
A  1 


:

a  3  a  3 2 a
a 2

A

3
a 2

:
a 3 a 3

A

3
a 2

Nguyễn Văn Lực







 
 

  a 2
a 3 3 a 3 a
:


a 3   a 3 2 a
a 2
a 3
 

a ( a  3)

a 3

0,5 đ
0,5 đ

1đ

1đ


Bài giảng đại số 9

FB: />
b) Giả sử a  Z . Để A  Z 












Nguyễn Văn Lực

3
Z

a 2



a  2 là ước của 3



a  2  1 

a 23

a  2  3 
a  2 1

a 3 a 9
a 1 a 1
a  5  a  25
a  1(l )

2đ